MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

Transkript

1 MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí s vektory, vektorovými prostory, vlastnostmi vektorových prostorů. Dále se naučí základním operacím s maticemi. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. vektorový prostor 2. matice, základní operace s maticemi 1. dílčí téma: vektorový prostor K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 1) a spočítejte příklady na těchto stranách. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: vektor, aritmetický vektor, vektorový prostor, aritmetický vektorový prostor, skupina vektorů, lineární kombinace skupiny vektorů, lineárně závislá skupina vektorů, lineárně nezávislá skupina vektorů, lineární obal skupiny vektorů, báze vektorového prostoru, dimenze vektorového prostoru. 1. Charakterizovat pojmy: vektor, vektorový prostor, lineární kombinace skupiny vektorů, báze vektorového prostoru. 2. Rozlišit lineárně závislou a lineárně nezávislou skupinu vektorů. 3. Napsat dvě různé báze libovolného aritmetického vektorového prostoru. 4. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 125, 126, 132, dílčí téma: matice, základní operace s maticemi Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany 60-64, ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte příslušná cvičení. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: matice, hodnost matice, ekvivalentní matice, transponovaná matice, inverzní matice

2 1. Nalézt transponovanou a inverzní matice, sčítat matice, násobit matice reálný číslem, násobit matice navzájem. 2. Upravit matici na horní lichoběžníkovou matici pomocí ekvivalentních úprav. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I , , 289. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Předmět je zakončen zápočtem. Podmínky pro udělení zápočtu jsou dvě. 1. Alespoň 50% docházka. 2. Úspěšné napsání zápočtové písemky. V zápočtové písemce má student za úkol spočítat derivace osmi funkcí. Pro úspěšné napsání písemky je třeba alespoň 5 příkladů z 8 spočítat bez chyby.

3 MATEMATIKA B metodický list č. 2 Lineární algebra II Základním cílem tohoto tematického celku řešit soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody i pomocí determinantů (Cramerovo pravidlo). Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 3. soustavy lineárních rovnic 4. determinanty, Cramerovo pravidlo 1. dílčí téma: soustavy lineárních rovnic K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 1) a spočítejte příklady na těchto stranách. Stěžejní je naučit se spolehlivě používat Gaussovu metodu pro řešení soustav lineárních rovnic. 5. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I , , dílčí téma: determinanty, Cramerovo pravidlo Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte příslušná cvičení Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku pojmu determinant. Uvědomte si, že determinant matice je podle náhledu 1. číslo, 2. schéma. Prostudujte si Cramerovo pravidlo, uvědomte rozsah jeho použitelnosti. 3. Spočítat jakýkoliv determinant matice až do řádu 4.

4 4. Rozhodnout o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a případně soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla vyřešit. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje)

5 MATEMATIKA B metodický list č. 3 Posloupnost, funkce Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit a seznámit posluchače s pojmy číselná posloupnost a její limita, funkce, spojitost a limita funkce. Posluchači poznají elementární funkce a jejich vlastnosti, naučí se počítat limity posloupností a funkcí. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 5. číselná posloupnost a její limita 6. elementární funkce 7. spojitost a limita funkce 1. dílčí téma: Číselná posloupnost a její limita K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a spočítejte příklady na těchto stranách společně s příklady ze cvičení 1 na straně 224. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: rozšířená číselná osa R, supremum, infimum, limita posloupnosti, Bolzano-Cauchyovo kritérium. 6. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: horní a dolní závora množiny, maximum a minimum množiny, posloupnost, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní posloupnost, okolí bodu, konvergentní posloupnost, vybraná posloupnost, limita posloupnosti 7. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 603, 604, 605, 608, 609, 611, 620, 626, 627, dílčí téma: Elementární funkce Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte cvičení 1 až 6 na straně 239

6 Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: reálná funkce jedné reálné proměnné, graf funkce, funkce sudá, lichá, periodická, součet rozdíl, součin a podíl funkcí, složená funkce funkce: konstantní, lineární, mocninná, goniometrické, exponenciální, logaritmická elementární funkce, polynomická a racionální funkce, cyklometrické funkce 5. Popsat vlastnosti funkce z grafu 6. Nakreslit grafy elementárních funkcí a popsat jejich vlastnosti 3. dílčí téma: Spojitost a limita funkce K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany 242 a 243, 249, , 260 a 265 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte příklady ze cvičení 1 3 na stranách a příklady ze cvičení 3 na straně 266. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: spojitost funkce v bodě c, limita funkce 1. Vypracovat příklady 653, 654, 656, 665, 675, 676, 684 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I, které se týkají sestrojování grafů funkcí 2. Vypracovat příklady 724, 725, 733, 759, 768, 769, 782, 789 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I, v nichž si procvičíte výpočet limit funkcí Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje)

7 MATEMATIKA B metodický list č. 4 Diferenciální počet funkcí I Základním cílem tohoto tematického celku je seznámit se s matematickou operací derivace a jejími základními vlastnostmi, naučit se počítat derivace elementárních funkcí, seznámit se se základními větami diferenciálního počtu (L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta). Tematický celek rozdělíme do následujících témat: 8. derivace funkce 9. užití derivace funkce: L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta 1. dílčí téma: Derivace funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J: Matematika I (část 2) a spočítejte příklady 1, 3 a 4 na straně 285. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: derivace funkce, derivace součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí, derivace složené funkce, funkce diferencovatelná na intervalu, nevlastní derivace, derivace n-tého řádu, diferenciál. 8. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: tečna grafu funkce v bodě C, funkce diferencovatelná na intervalu, jednostranná nevlastní derivace, derivace parametricky zadané funkce 9. Definovat pojmy: derivace funkce f v bodě c, derivace funkce f (x), derivace funkce zleva (zprava) v bodě c 10.Formulovat a objasnit věty: O spojitosti funkce v bodě c v důsledku existence derivace funkce f v bodě c O derivaci součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí a o derivaci reálného násobku funkce O derivaci složené funkce O ekvivalenci rovnosti jednostranných derivací a derivace funkce 11.Znát derivace elementárních funkcí s příslušnými obory existence (viz tabulku na straně 274 ve skriptech Budinský, B., Charvát, J: Matematika I)

8 12.Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 801, 802, 809, 810, 814, 816, 818, 819, 846, 849, 860, 863, 864, 872, 876, 915, dílčí téma: užití derivace funkce: L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta Ke druhému dílčímu tématu je potřeba prostudovat článek 5G od věty 5.45 po příklad 5.50 (strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I) a strany a spočítat příklady a) až f) ze cvičení 1 na straně 295 a příklady ze cvičení 2 4 na straně Vypracovat příklady , 942, 949, 957, 959, 964, 966, 969 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I. 2. Přesně vysvětlit tyto pojmy: Taylorův vzorec, zbytek v Taylorově vzorci po n-tém členu, Maclaurinův vzorec 3. Vypracovat příklady 970, 971, 984, 985 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje).

9 MATEMATIKA B metodický list č. 5 Diferenciální počet funkcí II Cílem tohoto tematického celku je seznámit posluchače s dalšími možnostmi použití diferenciálního počtu při vyšetřování vlastností a průběhů funkcí. Porozumíte pojmům monotonie funkce, lokální extrémy, inflexní body a konvexnost (konkávnost) funkce, asymptoty grafu funkce Pečlivě si prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypracujte cvičení 1 na straně 316 a následující. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: funkce rostoucí resp. klesající v bodě, ostré lokální minimum (maximum), funkce ryze konvexní resp. konkávní na množině M nebo v bodě c, inflexní bod funkce, asymptota grafu funkce. 13.Vysvětlit tyto pojmy: interval ryzí monotonie, lokální extrém, interval ryzí konvexnosti resp. konkávnosti, bod inflexe, šikmá asymptota 14.Formulovat a objasnit věty: O souvislosti nulové první derivace funkce a lokálního extrému funkce O souvislosti druhé derivace funkce a intervalech konvexnosti resp. konkávnosti O souvislosti druhé derivace funkce a existenci bodů inflexe 15.Vypracovat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 988, 990, 994, 996, 998, 999, 1004, 1010, 1013, 1015, 1022, 1025, 1031, 1034, 1040, 1043, 1045, 1054, 1056

10 MATEMATIKA B 1 metodický list č. 6 Řešení příkladů Umět využít nabyté vědomosti při řešení konkrétních příkladů. Příprava: Pokuste se samostatně vyřešit každý řešený příklad, který jsme počítali v rámci předchozí výuky. Pokud se Vám ho vyřešit nezdaří, přečtěte si zapsané řešení, pokuste se mu porozumět a opět se pokuste příklad samostatně vyřešit. Při opětovném neúspěchu vyhledejte pomoc v učebnici. V rámci hromadné konzultace 6. bloku budeme řešit další procvičující a navazující příklady.