UKÁZKY HEURISTICKÝCH STRATEGIÍ Jan Kopka
|
|
- Renata Bartošová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 UKÁZKY HEURISTICKÝCH STRATEGIÍ Jan Kopka ABSTRACT: This paper shows how to solve problems with the help of different heuristic strategie. In this way is presented here several basic strategie. Matematické teorie mají v období svého vzniku charakter experimentálně induktivní a teprve ve chvíli svého konečného zpracování nabývají charakter ryze deduktivní. Pokud chceme se žáky matematiku ve škole na jejich úrovni skutečně dělat, pak bychom měli alespoň trochu respektovat to, jak matematické teorie vznikají, jak se rozvíjejí a jak nakonec získávají deduktivní charakter. Výzkumný přístup k výuce matematiky k tomuto může podstatně přispět. Vlastní zkoumání (v širším slova smyslu) je schematicky znázorněno na následujícím schématu: Otázka (problém) Řešení problému Vyřešený problém Neúspěch Situace Zkoumání Hypotéza Důkaz Matematická věta Vysvětlení Ověření Žádný objev Vyvrácení Neúspěch Variace situace Zkoumání Část A Část B Mnoho učebnic a také mnoho hodin školské matematiky obsahuje pouze část B výše uvedeného schématu. V praxi se to projevuje tak, že věty, definice i problémy padají z nebe. V superčisté formě se tento přístup projevuje v mnohých vysokoškolských přednáškách, ale především ve většině odborných matematických knih. Tam se dokonce hypotéza nazývá větou ještě před tím, než se provede její důkaz. Pokud by před část B (kde je to vhodné) byla zařazena část A, dospějeme k větám a problémům přirozenou cestou. Žáci pak do problematiky vidí a navíc objevené problémy a hypotézy mohou považovat za své. Jsme přesvědčeni o tom, že by se matematika na prvním stupni měla odehrávat v části A a pokud jsou k tomu vhodné příležitosti, měly by se podnikat výlety do části B. Později se školská matematika posunuje doprava. A tak se nakonec vysokoškolská matematika většinou odehrává v části B. Na vhodných místech by se však měly podnikat výlety do části A (především při výchově budoucích učitelů matematiky). 1
2 Původně jsme si mysleli, že metoda zkoumání je možná až na druhém a především třetím stupni škol a samozřejmě i na školách vysokých. Dnes, po experimentech na školách, jsme přesvědčeni, že tato metoda je dobře použitelná i na prvním stupni, a že se pomocí ní dá pracovat dokonce i s mentálně retardovanými žáky. Žáci a studenti jsou při jejím použití maximálně aktivní a obvykle získají vhled do zkoumané problematiky. Při zkoumání i při následném řešení problémů či dokazování hypotéz žáci provádějí řadu činností charakteristických pro profesionální matematiky. Po tomto krátkém úvodu věnovaném zkoumání přistupme k vlastnímu tématu (viz název článku). Velmi bychom se přimlouvali za to, aby čtenář chápal školskou matematiku spíše jako výuku matematických činností než jako seznamování studentů s matematickými teoriemi 1. Činnosti charakteristické pro tvůrčí práci matematiků a v mnoha případech i přírodovědců nazveme heuristické strategie. Jsou to úvahy, které nezaručují, že získané řešení je opravdu správné. Proto po objevu tohoto řešení musíme obvykle ukázat, že výsledek skutečně správný je. Přesné matematické úvahy zdůvodňující správnost nalezených řešení obvykle následují a jsou ryze deduktivní povahy. Vypišme několik těchto strategií. Zvláště užitečné jsou např.: přeformulování, analogie, zobecnění, specializace, cesta nazpět, systematické experimentování, hledání vzorce, znázornění, konkretizace 2. Pro matematické myšlení je pravděpodobně nejzákladnější zobecňování a konkretizace. O zobecňování se v literatuře píše poměrně dosti, o konkretizaci téměř vůbec. Zabývejme se proto konkretizací. Budeme ji demonstrovat pomocí problému 3. Problém 1: Taková čísla jako nazveme palindromy, protože to jsou čísla, která se čtou stejně zepředu i zezadu. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? Protože s palindromy nemáme žádné zkušenosti, je vhodné si jich nejprve několik vypsat. Palindromy jsou např. čísla: , 94749, 8338, 565, 44, 8. Nás však budou v dalším zajímat pouze čtyřciferné palindromy. Jsou to např. čísla 6776, 1001, Je vidět, že jsme právě použili konkretizaci několikrát za sebou, abychom si vytvořili určitou představu pojmu, který se vyskytuje v našem problému. Nyní bychom měli sami sebe přesvědčit zda to, co říká můj přítel, je pravda. Zatím o jeho tvrzení nemáme ani ponětí. Vezmeme proto asi zcela náhodně několik čtyřciferných palindromů a vydělíme je jedenácti. Dostaneme např.: 4554 = , 1001 = 11.91, 8338 = , 3113 = Na základě výše uvedených čtyř náhodně zvolených příkladů dostal problém smysl. Nyní se nám jistě zdá, že by můj přítel mohl mít pravdu. Toto přesvědčení jsme získali opět pomocí několika konkretizací původního obecnějšího problému. Jistotu však nezískáme, dokud nepřezkoušíme všech 90 čtyřciferných palindromů. (Je jich skutečně 90?) Teprve nyní se tedy začínáme zabývat problematikou řešení. Máme ukázat, že pro všechny čtyřciferné palindromy platí to, co pro výše uvedené čtyři. Protože, jak jsme již výše uvedli, je těchto palindromů 90, mohli bychom problém vyřešit tak, že všechny palindromy přezkoušíme, tzn. použijeme 90-krát za sebou konkretizaci. To by však byla práce velmi zdlouhavá, a proto se pokusíme najít cestu jinou. K tomu nám pomůže opět konkretizace, tentokráte však systematická. Vypíšeme si podle velikosti několik prvních palindromů. Prvních pět je: 1001, 1111, 1221, 1331, U všech můžeme snadno ukázat, že jsou dělitelné číslem 11. Ještě více jsme se tak utvrdili v přesvědčení, že přítel má pravdu. Pokud 1 Samozřejmě nemůžeme ignorovat, že při nejrůznějších zkouškách jsou studenti mnohem více zkoušeni z faktů, které stejně brzy zapomenou než právě z těch charakteristických činností. 2 Příklady najde čtenář např. v knížce [3] nebo v článku [1]. 3 Problém je převzat z knížky [4]. 2
3 nás nyní napadne podívat se, jaká je vzdálenost mezi sousedními palindromy, bude velmi blízko k vyřešení problému. K zápisu použijeme tabulku diferencí: AHA! Už víme jak. Číslo 1001 je dělitelné 11 a každé další číslo je vždy větší o 110. Protože však i číslo 110 je dělitelné 11, musí být každý palindrom dělitelný 11. A jsme hotovi! Nebo to tak není? Pokud by to, co jsme uvedli o vytváření palindromů, byla pravda, pak by všechny palindromy musely mít na místě jednotek číslici 1 (přičítáním čísla 110 se číslice na místě jednotek nemění), což ale není pravda. Vždyť palindromem je např. i číslo Kde jsme tedy udělali chybu? Systematickým experimentováním jsme došli k závěru, že diference mezi palindromy je 110. Ono to tak ale nemusí být. Pokud se totiž při přechodu od jednoho palindromu k dalšímu změní číslice na místě tisíců, pak je diference jiná. Pomocí konkretizace, ale tentokrát rafinované, tak dostaneme např. následující část tabulky diferencí: Teď vidíme, že diference mezi palindromy je dvojí, a to 110 nebo 11. Naštěstí obě tato čísla jsou dělitelná 11 a tak se dělitelnost číslem 11 pomocí těchto diferencí skutečně rozšíří z nejmenšího čtyřciferného palindromu 1001 na všechny ostatní palindromy. A problém je teď skutečně vyřešen. Můj přítel měl pravdu. Vraťme se nyní ke konkretizaci. Při práci s problémem 1 jsme použili na různých místech různě vytvářené konkretizace. 1. Abychom problém pochopili, použili jsme náhodnou konkretizaci. 2. Abychom objevili ideu vlastního řešení, použili jsme systematickou konkretizaci. Systematická konkretizace může podstatnou měrou přispět k objevení zákonitostí, nemusíme však pomocí ní objevit některé záludnosti (viz diference mezi palindromy při změně cifry na místě tisíců v problému 1), a proto 3. je vhodné použít někdy tzv. rafinovanou konkretizaci. Tato konkretizace se hodí, když např. ověřujeme, zda daná hypotéza platí a může v sobě zahrnovat třeba volbu různých extrémních či zvláštních případů. Vraťme se ještě k našemu problému. Tento problém je možné dokázat velmi elegantně. Zapišme si libovolný čtyřciferný palindrom ve tvaru abba, kde a, b jsou číslice v desítkové soustavě. Pak platí: abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11(91a + 10b). Poslední term jasně ukazuje, že palindrom abba je dělitelný číslem 11. Zdá se, že právě předvedený důkaz v sobě neobsahuje žádnou konkretizaci. Ve skutečnosti tomu tak ale není. Abychom takovouto argumentaci mohli přijmout, musíme rozumět tomu, co se v ní používá. Musíme rozumět tomu, co to znamená, že písmena a, b značí libovolné číslice, musíme vědět, co znamená, že číslo je čtyřciferný palindrom a musíme chápat, že čtyřciferný palindrom lze označit abba. Toto vše samozřejmě úzce souvisí s konkretizací. 3
4 Snad ještě poznamenejme, že pokud by studenti byli dospěli k problému 1 pomocí zkoumání čtyřciferných palindromů, pak by náhodná konkretizace na začátku práce s problémem byla zbytečná, neboť žáci by do problému měli dobrý vhled již při vyslovení samotného problému (hypotézy). Poznámka: Když arabský matematik al Chvarizmi ( ) ve svém Aritmetickém traktátu seznamuje čtenáře s tím, jak se sčítají přirozená čísla zapsaná v desítkové soustavě, bere několik vhodně zvolených konkrétních příkladů a na nich toto sčítání ukazuje. Probírá tak všechny možné situace, které se při sčítání mohou vyskytnout (sčítání bez přechodu přes desítku, sčítání s přechodem přes desítku, chování čísla 0 při sčítání atd.). Každý, kdo pochopí tyto konkrétní příklady, je pak schopen sčítat libovolná dvě čísla. Obdobně to ukazuje i u odčítání, násobení a dělení. Tento matematik ve své době neměl jinou možnost, protože proměnné se v té době ještě nepoužívaly. Přesto je třeba říci, že on si onu obecnost dobře uvědomoval a prováděl vhodnou konkretizaci, aby pomocí ní mohli jeho čtenáři vyřešit libovolný příklad, tedy aby si mohli uvědomit onu obecnost situace. Myslím si, že i v dnešní době (kdy máme k dispozici proměnné) bychom ve škole měli postupovat obdobně. Pomocí konkrétních příkladů bychom měli žáky dovést k pochopení a poskytnout jim tak možnost, aby k zobecnění došli pod našim vedením sami. Oni jsou totiž žáci na prvním stupni, ale i v nižších ročnících druhého stupně v podobné situaci jako čtenáři děl výše uvedeného arabského matematika. Proměnné nemají k dispozici a když se ke konci druhého stupně proměnné začínají zavádět, je to velmi pracná záležitost. Pokud již proměnné k dispozici máme a jsme tedy schopni zapisovat pomocí nich i různé formule, zdá se mi (při pohledu z didaktického hlediska), že je mnohdy zneužíváme. Bez skutečného pochopení toho, co formule říká, nemá smysl takovou formuli uvádět. Nyní budeme demonstrovat jiné tři heuristické strategie a to opět pomocí řešení určitého problému 4. Problém 2: Farmář pěstuje zelí vždy na čtvercovém záhonu. Tento rok obsahuje jeho čtvercový záhon o 23 hlávek zelí více než loňský rok. Kolik hlávek zelí pěstuje letos? Řešení: a) Experimentování (vytvoření tabulky) 5 Počet hlávek zelí v každém roce je vyjádřen čtvercovým číslem, tj. některým z čísel 1, 4, 9, 16,.. (viz obr. 1). Obr Tento rok farmář pěstuje o 23 hlávek zelí více, tzn. letošní počet odpovídá čtvercovému číslu o 23 většímu než vloni. Budeme tedy experimentovat. V letošním roce může být počet = 24, = 27, = 22,.. Aby zkoumaná čísla byla přehledná, sestavíme z nich tabulku: vloni letos Problém je převzat z knihy [5]. 5 Toto řešení bychom také mohli nazvat aritmetické či numerické. 4
5 nejsou čtvercová je č. není č. Protože 144 je čtvercové číslo, neboť 144 = 12 2, našli jsme jedno řešení. Další řešení pravděpodobně neexistují, protože diference mezi čtvercovými čísly se stále zvětšuje a tedy již nikdy nebude 23 (Lze ukázat opět pomocí zkoumání, že diference tvoří posloupnost za sebou jdoucích lichých čísel). Odpověď: V letošním roce pěstuje farmář 144 hlávek zelí. b) Grafické řešení: Řešení bude reprezetováno následujícími čtyřmi čtverci: Čtverec A Čtverec B Čtverec C Čtverec D Čtverec A představuje záhon v loňském roce. Protože nevíme, kolik hlávek obsahoval, nevyplníme ho. Čtverec B představuje rozšířený záhon v letošním roce. V tuto chvíli nevíme, kolik obsahuje hlávek, a proto ho nevyplníme. Do rozšíření čtverce C doplníme vhodným způsobem hlávky zelí, které jsou navíc. Po všech možných pokusech zjistíme, že to lze jediným způsobem 23 = (viz obr. 2). Nyní můžeme doplnit celý čtverec D a získáme tak odpověď na předloženou otázku (odpověď viz výše) Obr. 2 c) Algebraické řešení (modelujeme situaci pomocí rovnice nebo soustavy rovnic) Označme x 2 počet hlávek zelí tento rok a y 2 počet hlávek v minulém roce. Pak můžeme sestavit rovnici x 2 - y 2 = 23 Pravou stranu lze rozložit a tak dostaneme (x + y) (x - y) = 23 Čísla x + y a x y jsou přirozená a číslo x + y je větší než x y. Číslo 23 je prvočíslo a má pouze dva dělitele 1 a 23. Proto můžeme sestavit soustavu rovnic x + y = 23 x - y = 1 Řešením této soustavy dostaneme [x, y] = [12, 11]. (Odpověď viz výše.) Na závěr problému: Uvedená tři řešení představují vlastně tři různé přístupy: a) numerický, b) geometrický a c) algebraický. Při řešení a) lze také využít kalkulátor. Každé z těchto řešení navíc ukazuje jinou heuristickou strategii. Řešení a) představuje systematické 5
6 experimentování vedoucí k vytvoření tabulky. Řešení b) ukazuje využití grafického znázornění a c) modelování situace pomocí rovnice. Vyřešením uvedeného problému by však nemělo znamenat, že se touto problematikou přestaneme zabývat. Měli bychom spolu s žáky vytvořit hrozen vnitřně spřízněných problémů 6. Tím dáme jasně najevo, že metoda je pro nás mnohem důležitější než vlastní výsledek. Jak vytvořit zmíněný hrozen? Např. a) Změníme číslo, jímž se liší počet hlávek v letošním a v loňském roce. Tento rozdíl bude např. 31 nebo 37 nebo 11. (Pozor, musí to být vždy liché číslo, aby úloha měla řešení.) b) Změníme tvar záhonů. Záhony budou tvořit např. rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky (jim odpovídají tzv. trojúhelníková čísla) nebo obdélníky určitého typu (jim odpovídají určitá obdélníková čísla) atd. c) Změníme počet záhonů. Zelí může být pěstováno na dvou nebo i více záhonech. Závěrem ještě dodejme, že empirie v přírodních vědách a i v matematice je nástrojem objevu nikoliv pravdy. Nástrojem pravdy v matematice je důkaz pomocí čistého rozumu (viz důkaz za řešením problému 1). Tyto důkazy by se samozřejmě měly objevovat až později, až budeme mít k těmto důkazům prostředky a až budou studenti schopni tyto důkazy chápat. Dokazovat však můžeme pouze taková fakta, která studenti dobře pochopili a jsou přesvědčeni, že jsou pravdivá (např. na základě konkretizace). I tak by však měly být v předuniverzitním studiu zařazovány s velkým rozmyslem. Literatura: [1] Kopka, J.: Isolated and non isolated problems. In: Selected topics from Mathematical Education. Oslo, University of Oslo, [2] Kopka, J.: Problem Posing and Learning Mathematics. In: Mathematical Investigations in School Mathematics. Oslo, University of Oslo, [3] Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí n.l. UJEP [4] Mason, J.: Thinking Mathematically. Bristol, Leaper & Gard Ltc., [5] Schultz, J.: Mathematics for elementary school teachers. Columbus Ohio, Adresa autora: katedra matematiky, Pedagogická fakulta UJEP v Ústí nad Labem, České mládeže 8, Ústí nad Labem Česká republika 6 O hroznech problémů více např. v článku [1] nebo v knížce [3]. 6
VÝZKUMNÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ
VÝZKUMNÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ JAN KOPKA Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, UJEP, České mládeže 8, 400 96 Ústí nad Labem, Česká republika e-mail: Kopkaj@pf.ujep.cz Abstract: KOPKA, J.: Investigative
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY Petr Eisenmann, Jiří Přibyl PřF UJEP Ústí nad Labem Abstrakt: Náš příspěvek popisuje možnosti systematického experimentování pomocí počítače jako prostředku
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D., jana.prihonska@tul.cz, linka 2370 Rozdělení úloh Podle obsahu, zadání, požadavku Podle využité řešitelské strategie Podle poznávacích procesů Podle
Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly
METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:
Heuristiky ve výuce matematiky
Heuristiky ve výuce matematiky Petr Eisenmann Univerzita J. E. Purkyně Ústí nad Labem, Přírodovědecká fakulta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 1 / 60 Autoři Tato prezentace popisuje
Strategie řešení problémů, vytváření hroznů problémů, výzkumný přístup při výuce matematiky. Jan Kopka
Strategie řešení problémů, vytváření hroznů problémů, výzkumný přístup při výuce matematiky Jan Kopka Následující text a ukázky problémů jsou převzaté z knížek [], [3] a publikovaných článků autora. Strategie
Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1)
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu:
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.
Největší společný dělitel
1..1 Největší společný dělitel Předpoklady: 01016 Číslo Číslo nsn Platí pravidlo "nsn získáme jako součin obou čísel"? = 1 = Násobící pravidlo platí. 1 = Násobící pravidlo platí. 1 = Násobící pravidlo
METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ
Smolenice 0. 4.-. 4. 005 METODY PRÁCE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY A V MATEMATICKÉM VZDĚLÁVÁNÍ UČITELŮ RŮŽENA BLAŽKOVÁ Katedra matematiky, Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně, Poříčí 31, 603
VYUŽITÍ EXPERIMENTOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ VE ŠKOLSKÉ MATEMATICE
DOI: 10.5507/tvv.2016.001 VYUŽITÍ EXPERIMENTOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ VE ŠKOLSKÉ MATEMATICE ANTOŠ Karel, CZ Resumé Článek Využití experimentování při řešení problémů ve školské matematice chce ukázat,
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
1.5.2 Číselné soustavy II
.. Číselné soustavy II Předpoklady: Př. : Převeď do desítkové soustavy čísla. a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) 6 = + + + = 7 + 9 + = a) = 4 + 4 + 4 = 6 + 4 + = 9 b) 4 = 6 + 6 + 6 = 6 + 6 + = 6 + + = 69. c) 6 Pedagogická
Řešení úloh z TSP MU SADY S 1
Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům
Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel
Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Vzdělávací předmět: Matematika 4 Ročník:
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Vzdělávací předmět: Matematika 4 Ročník: 5. 5 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka
U Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš
METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:
Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník
Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika
Dělitelnost přirozených čísel. Násobek a dělitel
Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel VY_42_INOVACE_ČER_10 1. Autor: Mgr. Soňa Černá 2. Datum vytvoření: 2.1.2012 3. Ročník: 6. 4. Vzdělávací oblast: Matematika 5. Vzdělávací obor: Matematika
Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah
Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá
Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
2.3.7 Lineární rovnice s více neznámými I
..7 Lineární rovnice s více neznámými I Předpoklady: 01 Pedagogická poznámka: Následující hodinu považuji za velmi důležitou hlavně kvůli pochopení soustav rovnic, které mají více než jedno řešení. Proto
a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
Kód uchazeče ID:... Varianta:
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 01 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1. Mějme dvě čísla zapsaná v sedmičkové soustavě 3456 7 a 3310 7. Vyjádřete
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet
II. kolo kategorie Z9
60. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z9 Z9 II 1 Čtyřmístným palindromem nazveme každé čtyřmístné přirozené číslo, které má na místě jednotek stejnou číslici jako na místě tisíců a které
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Nestandardní aplikační úlohy a problémy Gradovaný řetězec úloh Téma: Výrazy s proměnnou / Obsah
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
Fibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Každé dítě bude mít 4 kuličky. Zkouška: (např. sečtením kuliček každého z dětí) = 20.
10. DĚLENÍ PŘIROZENÝCH ČÍSEL 10. 1. Pamětné dělení Dělení přirozených čísel je definováno jako inverzní operace k operaci násobení. Jestliže pro přirozená čísla a, b, c platí a. b = c pak pro a 0, b 0
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
1.2.3 Racionální čísla I
.2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Pedagogická poznámka: Hodina je trochu netypická, na jejím začátku provedu výklad (spíše opakování), který nechám na tabuli a potom až do konce řeší žáci zbytek
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně
MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.
MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia
MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0
Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová
Tematický plán učiva Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová 1. Používá čtení a psaní v číselném oboru 0 1 000 000. 2. Rozumí lineárnímu uspořádání
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět MATEMATIKA 1. OBDOBÍ Oblast:
Vzdělávací oblast: a její aplikace Vyučovací předmět MATEMATIKA 1. OBDOBÍ Období: 1. Číslo a početní operace Používá přirozená čísla k modelování reálných situací Počítá předměty v daném souboru Vytváří
Matematika a její aplikace Matematika
Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.
{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301
1.3.2 Množina všech dělitelů Předpoklady: 010301 Pedagogická poznámka: Na začátku si rozebereme řadu z poslední Odpočítávané. Na způsob jejího generování většinou nikdo nepřijde a proto ji dostanou žáci
Moravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se
teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů
Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické
pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
1.2.3 Racionální čísla I
.2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
TEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
Algebrogramy. PaedDr. Libuše Sekaninová Martin Blahák (grafická úprava)
Algebrogramy PaedDr. Libuše Sekaninová Martin Blahák (grafická úprava) Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických pracovníků propojením pedagogické
1.5.7 Prvočísla a složená čísla
17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:
1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná
METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady:
1.2.2 Desetinná čísla II Předpoklady: 010201 Pedagogická poznámka: Je třeba zahájit tak, aby se stihl ještě společný začátek příkladu 7 (pokud někdo příklad 7 začne s předstihem, nevadí to, ale jde o to,
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA 1
Charakteristika vyučovacího předmětu SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA 1 Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Název vyučovacího předmětu: Časové vymezení předmětu: Matematika a její aplikace Matematika a její
HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
1.5.7 Znaky dělitelnosti
1.5.7 Znaky dělitelnosti Předpoklady: 010506 Pedagogická poznámka: Příklad 1 je dořešení zadání z minulé hodiny. Je třeba se u něj nezdržovat. Př. 1: Na základní škole ses učil pravidla, podle kterých
Co víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),
L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA
Charakteristika vyučovacího předmětu SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Název vyučovacího předmětu: Časové vymezení předmětu: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace
Úlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
1. Základní pojmy a číselné soustavy
1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)
Téma 1: Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel)
Téma : Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel) Příklady Číselná osa ) Která z následujících čísel neleží
Absolutní hodnota I. π = π. Předpoklady: = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá.
1..10 Absolutní hodnota I Předpoklady: 01005 = 0 = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá. π = π = = Záporná čísla absolutní hodnota změní na kladná (vynásobí je 1). 5 5 = Absolutní hodnota
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Konstruktivistické přístupy. Mnohočleny, lomené algebraické výrazy.
Konstruktivistické přístupy. Mnohočleny, lomené algebraické výrazy. Mgr. Irena Budínová, Ph.D. Konstruktivismus Zjednodušeně můžeme říci, že konstruktivismus představuje směr, který zdůrazňuje aktivní
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
Algebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
Matematika. 6. ročník. Číslo a proměnná. desetinná čísla (využití LEGO EV3) číselný výraz. zaokrouhlování desetinných čísel. (využití LEGO EV3)
list 1 / 8 M časová dotace: 4 hod / týden Matematika 6. ročník (M 9 1 01) (M 9 1 02) (M 9 1 03) provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; čte, zapíše, porovná desetinná čísla a zobrazí
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu