HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27"

Magdalena Ševčíková
před 7 lety
Počet zobrazení:

Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 20

1 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

2 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus 4 Nekonečné řetězové zlomky Konvergence Iracionální čísla Periodické řetězové zlomky 5 Aplikace řetězových zlomků Neurčitá rovnice prvního stupně Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

3 Motivace Úvod Pohádky tisíce a jedné noci Šahrazád pokrývala koberec hedvábnými čtverci Vždy největší možný čtverec, jestliže jich bylo víc, tak všechny Poměr délky ku šířce racionální číslo Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

4 Motivace pokračování Úvod Obdélník s rozměry 83x181. 2x 83x83, zbyde 83x15 5x 15x15, zbyde 8x15 1x 8x8, zbyde 8x7 1x 7x7, zbyde 1x7 7x 1x1, pokryto = = 2 + = = = Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

5 Základní pojmy Základní pojmy definice Řetězovým zlomkem nazýváme výraz a 1 + a 2 + b 1 b 2 a 3 + b 3 a kde a k, b k pro k = 1, 2,... mohou být reálná nebo komplexní čísla. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

6 Základní pojmy poznámka Řetězový zlomek nazveme konečný, jestliže má konečný počet prvků. nekonečný, jestliže má nekonečný počet prvků. pravidelný, jestliže všechny čitatele se rovnají 1 a všechny jmenovatele jsou přirozená čísla. poznámka Místo psaní složitých výrazů častěji používáme pro řetězové zlomky tvar [a 1, a 2,..., a n ], číslům a 1, a 2,..., a n říkáme prvky řetězového zlomku. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

7 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Spočítáme řetězové zlomky zepředu Abychom mohli vytvořit rozumnou teorii, která by pokryla i nekonečné zlomky, musíme je umět počítat zepředu. a 1 + a 1 = a 1 1 = P 1 Q 1 a a 2 = a 1a a 2 = P 2 Q 2 1 a = a 1a 2 a 3 + a 1 + a 3 a a 2 a = P 3 Q 3 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

8 Sblížené zlomky Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky a a 1 a 2 a 3 a 4 + a 1 a 2 + a 1 a 4 + a 3 a a = = P 4 a a a 3 a 4 + a 2 + a 4 Q 4 a 4. 1 a a 2 + a a an 1 = P n Q n = p q definice Zlomkům P 1 Q 1, P 2 Q 2,, Pn Q n říkáme sblížené zlomky řetězového zlomku. Poslední sblížený zlomek Pn Q n je roven hodnotě řetězového zlomku, kladnému racionálnímu číslu p q. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

9 Vlastnosti Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky věta Pro každé k 2 platí následující vztahy: P k = a k P k 1 + P k 2 Q k = a k Q k 1 + Q k 2, pokud formálně položíme P 0 = 1, Q 0 = 0. Důkaz. Matematickou indukcí. poznámka Pro obecný řetězový zlomek platí podobné vzorce: P k = a k P k 1 + b k P k 2, Q k = a k Q k 1 + b k Q k 2 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

10 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky příklad Vypočítejte sblížené zlomky řetězového zlomku [2,2,1,1,2,2]. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

11 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky příklad Vypočítejte sblížené zlomky řetězového zlomku [2,2,1,1,2,2]. Řešení. Nejprve sestavíme sblížené zlomky do tabulky. a k a 1 a 2 a 3 a n P k P 1 = a 1 P 2 = a 1 a a 1 a 2 a 3 + a 1 + a 3 a n P n 1 + P n 2 Q k Q 1 = 1 Q 2 = a 2 a 2 a a n Q n 1 + Q n 2 Dle vzorečků sestavíme tabulku pro tento řetězový zlomek. a k P k Q k Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

12 Euklidův algoritmus Konečné řetězové zlomky Euklidův algoritmus Dosud jsme hledali vyjádření řetězového zlomku racionálním číslem. Ted obráceně, tj. najdeme k racionálnímu číslu p q řetězový zlomek. K tomu nám poslouží Euklidův algoritmus. (Algoritmus se v algebře používá na určení největšího společného dělitele.) p = qa 1 + r 1 q = r 1 a 2 + r 2 r 1 = r 2 a 3 + r 3 r n 2 = r n 1 a n + r n Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

13 Konečné řetězové zlomky Euklidův algoritmus celkově dostaneme: p q = a a 2 + a an jediné možné vyjádření a n > 1, nebot pro a n = 1 dává poslední rovnost r n 2 = r n 1 jednoznačné vyjádření Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

14 Konečné řetězové zlomky Euklidův algoritmus příklad Vypočítejte prvky řetězového zlomku a 1, a 2,, a n čísla Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

15 Nekonečné řetězové zlomky Nekonečné řetězové zlomky Konvergence V této kapitole se budeme zabývat nekonečnými pravidelnými řetězovými zlomky, tedy zlomky ve tvaru [a 1, a 2, a 3, ]. Každému nekonečnému řetězovému zlomku odpovídá nekonečná posloupnost sblížených zlomků. definice Řekneme, že nekonečný řetězový zlomek konverguje, jestliže existuje konečná limita P n lim = α, n Q n kde Pn Q n jsou sblížené zlomky řetězového zlomku. Číslo α nazveme hodnotou řetězového zlomku. Jestliže tato limita neexistuje, nebo je rovna ±, řekneme, že řetězový zlomek diverguje. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

16 Iracionální čísla Nekonečné řetězové zlomky Iracionální čísla věta Každé iracionální číslo se dá vyjádřit ve tvaru nekonečného pravidelného řetězového zlomku. příklad Vypočtěte řetězový zlomek čísla π. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

17 Nekonečné řetězové zlomky Iracionální čísla π = α 1 α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 1 π 3 = α 2 π π = α π 106π 333 = α 4 106π π = α 5 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

18 Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky definice Periodickým řetězovým zlomkem nazýváme výraz [a 1, a 2,, a k, a k+1,, a n, a k+1, ] a budeme ho značit [a 1, a 2,, a k, a k+1,, a n ]. Ryze periodickým je pak výraz [a 1, a 2,, a k, a 1, a 2,, a k,, a 1 ] = [a 1, a 2,, a k ]. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

19 Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky věta Pro řetězový zlomek čísla r, r N, r > 1, r I platí r = [a1, a 2, a 3,..., a 3, a 2, 2a 1 ]. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

20 Tabulka odmocnin Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky n ŘZ n n ŘZ n n ŘZ n 2 [1, 2] 14 [3, 1, 2, 1, 6] 26 [5, 10] 3 [1, 1, 2] 15 [3, 1, 6] 27 [5, 5, 10] 5 [2, 4] 17 [4, 8] 28 [5, 3, 2, 3, 10] 6 [2, 2, 4] 18 [4, 4, 8] 29 [5, 2, 1, 1, 2, 10] 7 [2, 1, 1, 1, 4] 19 [4, 2, 1, 3, 1, 2, 8] 30 [5, 2, 10] 8 [2, 1, 4] 20 [4, 2, 8] 31 [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, [3, 6] 21 [4, 1, 1, 2, 1, 1, 8] 32 [5, 1, 1, 1, 10] 11 [3, 3, 6] 22 [4, 1, 2, 4, 2, 1, 8] 33 [5, 1, 2, 1, 10] 12 [3, 2, 6] 23 [4, 1, 3, 1, 8] 34 [5, 1, 4, 1, 10] 13 [3, 1, 1, 1, 1, 6] 24 [4, 1, 8] 35 [5, 1, 10] Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

21 Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky definice Kvadratická iracionalita říkáme výrazu p ± r, q kde p, q Z, r N, r 1 a r I. Každý takový výraz je kořenem nějaké kvadratické rovnice. věta [Lagrangeova] Každý periodický řetězový zlomek je hodnotou nějaké kvadratické iracionality a naopak každou kvadratickou iracionalitu lze vyjádřit periodickým řetězovým zlomkem. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

22 Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky příklad Vypočtěte řetězový zlomek čísla α = Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

23 Řešení. Nekonečné řetězové zlomky Periodické řetězové zlomky α = 11 7 = α 1 3 α 1 = 5 7 = = α 2 6 α 2 = = = α 3 α 3 = α 4 = α 5 = α 6 = 1 = = α 4 3 = = α 5 2 = = α 6 3 = = α 7 α 7 = = α 8 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

24 Aplikace řetězových zlomků Neurčitá rovnice prvního stupně Řešení neurčité rovnice prvního stupně definice Rovnici ax + by = c, kde a, b, c Z jsou známá čísla, nazýváme neurčitou rovnicí prvního stupně. Má nekonečně mnoho řešení. Celočíselná řešení pouze tehdy, jestliže NSD(a, b) c, můžeme předpokládat, že jsou nesoudělná. Nalezení dvojice kořenů pomocí řetězových zlomků. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

25 Aplikace řetězových zlomků Neurčitá rovnice prvního stupně Nalezení dvojice kořenů pomocí řet.zl. 1 Obecné řešení rovnice x = x 0 bt, y = y 0 + at. 2 Najdeme prvky řetězového zlomku a b = Pn Q n. 3 Určíme předposlední sblížený zlomek a dosadíme do vzorce P n Q n 1 P n 1 Q n = ( 1) n. 4 Dostáváme obecně tedy x 0 = ( 1) n Q n 1 c, y 0 = ( 1) n 1 P n 1 c, x = ( 1) n Q n 1 c Q n t, y = ( 1) n 1 P n 1 c + P n t, kde t je libovolné celé číslo. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

26 Aplikace řetězových zlomků Neurčitá rovnice prvního stupně příklad Řešte rovnici 27x + 17y = 1. Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

27 Aplikace řetězových zlomků Neurčitá rovnice prvního stupně Díky za pozornost:o) Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Podobné dokumenty

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou