M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

Transkript

1 M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 74 3x - y = 1 Řešení: x + y = 74 3x - y = 1 1+ y x = 3 1 æ + y ö ç è 3 ø ( + y) 9 + y 1 + y + 4y + 4y 9 = 74 = y (1) = y + 4y + 9y = y + 4y = 0 y 1, - = 4 ± æ ç è 4 ö -13. ø 13 (- 665) y 1 = 7 y = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x: x x 1+.7 = 5 3 æ 95 ö 1 +. ç - è 13 = ø = 3 1 = - Závěr: ì P = í î [ 5;7 ], Příklad : é 59 95ùü ê - ;- úý ë 13 13ûþ - ± 8649 = 13 = - ± z

3 Řešte soustavu rovnic: x - y = 640 x : y = 7 : 3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: æ 7 y ö ç - y = 640 è 3 ø 49 y - y = y - 9y = y = y = 576 y = 144 y 1 = 1 y = -1 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x 1 = 7. 1 : 3 = 8 x = 7. (-1) : 3 = -8 Závěr: K = {[ 8;1 ]; [- 8; -1]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady K = {[0; 0], [; 4]} Řešte soustavu rovnic: 174 z

4 K = {[3; 0]} K = {[0; -1]} ± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací 3 z

5 metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod. Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 3 x - y = -1 x = 3 - y (3 - y) - y = y - y = -1 -y = -4 y = x = 3 - x = 1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; ] Zkouška: L 1 = 1 + = 3 P 1 = 3 L = 1 - = -1 P = -1 L 1 = P 1 L = P Příklad : Řešte soustavu rovnic:. (x + y) - 5. (y - x) = (x + y) + 7. (3x + 5y) = 7 Řešení:. (x + y) - 5. (y - x) = (x + y) + 7. (3x + 5y) = 7 x + y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 1x + 35y = 7 4 z

6 7x - 3y = 17 4x + 41y = y x = y y = y + 41y = y + 87y = y = -359 y = -1 x = Výsledek zapíšeme [x; y] = [; -1] Zkouška: L 1 =. [ + (-1)] - 5. (-1 - ) = - 5. (-3) = 17 P 1 = 17 L = 3. [ +.(-1)] + 7. [ (-1)] = = 7 P = 7 L 1 = P 1 L = P Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 3x - 3y = 3 x = 1 + y 3. (1 + y) - 3y = y - 3y = 3 0 = 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L 1 = 1-0 = 1 P 1 = 1 L = = 3 P = 3 L 1 = P 1 L = P Příklad 4: Řešte soustavu rovnic: 3x + y = z z

7 3y + z = x + 1 3x + z = y Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1 3x + y =. (z + 1) 3y + z =. (x + 1) 3x + z =. (y + 1) 3x + y = z + 3y + z = x + 3x + z = y + 3x + y - z = -x + 3y + z = 3x - y + z = Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + z + (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3. (-3x + z + ) + z =. (x + 1) 3x + z =. (-3x + z + + 1) -9x + 6z z = x + 3x + z = -6x + 4z x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - () Dosadíme do první rovnice: -11x + 7. (3x - ) = -4-11x + 1x - 14 = -4 10x = 10 x = 1 Dosadíme do rovnice (): z = = 1 Dosadíme do rovnice (1): y = = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] Zkouška: L = = = P 1 = L 1 = P L = = = 1+ 1 P = L = P L = = 3 = P 3 = L 3 = P Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 6 z

8 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky ) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí. Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic:. (x - 3y) = 15 4x - y = -3 x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 1y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 1y - y = y = -33 y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): x - 6y = 15-4x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: x - 4x - 6y + 6y = x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. 7 z

9 Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5. ± Soustavy o třech a více neznámých - procvičovací příklady [1/3; 1/] [4; 1; ; 3] [5; 5; 5] [-0,5; 3,75; 7,75; 0,5] 8 z

10 [5; ; 0] [1; 4; 5] [3; 4; 5] Nekonečně mnoho řešení 9 z

11 [3; ; ; 3] [1; -1; ] [3;,5] [1; 1; 1; 1] [1; 6] 10 z

12 [0; 0,5; 0] é5 5 ê ;- ;- ë3 3 4 ; 3 7ù 3ú û [0; 17; 5] [3; 4] [0; 0; 0] 11 z

13 [10; 1] [1; ; -] [4; 6; 8]. 173 [3; ; 1] [0,; -1; 1] 1 z

14 [7; 5; -3] [15; 1; 10] [8; 5; 3] Nemá řešení [5; 4; 1; ; 1] ± Jednoduché nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >... čteme větší 13 z

15 <... čteme menší... čteme menší nebo rovno ³... čteme větší nebo rovno Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. x (x + 3) > 4 x x - 6 > 4-7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad : Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti:. (7 - x) > 3x x > 3x - 7-7x > -1 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x < 3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ; 3) Graficky znázorníme: Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: 14 z

16 7 -.0 L = = 6 L > P 7 6 Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti. ± Nerovnice - procvičovací příklady Každé reálné číslo Řešením je libovolné přirozené číslo z

17 ± Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést. Postup je pak následující: 1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný). Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek). 3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení. Ukázkové příklady: Příklad 1: 16 z

18 Řešení: Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace: 1. možnost: x - Ö3 > 0 Ù x + Ö > 0 Odtud: x > Ö3 Ù x > -Ö/ Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění: Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; + ). možnost: x - Ö3 < 0 Ù x + Ö < 0 Odtud: x < Ö3 Ù x < -Ö/ Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění: Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (- ; -Ö/ ) Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedy x Î (- ; -Ö/ ) È (Ö3; + ) Celkové řešení graficky znázorníme: Ověření správnosti: Pro x = : L = = = přibližně 0,05 > P = 0 L > P Příklad : 17 z

19 Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele: ( x + )(. x - ) - ( x - 5 )(. x + ) + 3. ( x - 5) ( x - 5 )(. x + ) V čitateli roznásobíme a sloučíme: x x 6x - 9 ( x - 5 )(. x + ) 3. ( x - 3) ( x - 5 )(. x + ) - x + 5x x -15 > 0 ( x - 5 )(. x + ) > 0 > 0 > 0 Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění: ( x - 3) ( x - 5 )(. x + ) > 0 Nyní mohou nastat následující situace: 1. možnost: x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + < 0 x > 3/ Ù x < 5 Ù x < - Závěr: x Î { }. možnost: x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + < 0 x < 3/ Ù x > 5 Ù x < - Závěr: x Î { } 3. možnost: x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + > 0 x < 3/ Ù x < 5 Ù x > - Závěr: x Î (-; 3/) 4. možnost: x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + > 0 x > 3/ Ù x > 5 Ù x > - Závěr: x Î (5; + ) Celkové řešení: x Î (-; 3/) È (5; + ) Graficky znázorníme: 18 z

20 Ověření správnosti řešení: Pro x = 0: 0 - L = = P = 1- = 1- = -0,5 0 + L > P Příklad 3: Řešení: ± Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady 19 z

21 z

22 z

23 x 4 - x 3 -x - x z

24 Obsah Soustava kvadratické a lineární rovnice 1 Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady Soustavy rovnic 3 Soustavy o třech a více neznámých - procvičovací příklady 8 Jednoduché nerovnice 13 Nerovnice - procvičovací příklady 15 Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 16 Nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru - procvičovací příklady :31:03 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (