Název: Pravděpodobnost a běžný život

Transkript

1 Název: Pravděpodobnost a běžný život Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tematický celek: pravděpodobnost Anotace: Pravděpodobnost na základě příběhu, 45 minut, psací potřeby, kalkulačka Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Teorie Pravděpodobností daného jevu rozumíme poměr počtu příznivých možností ku všem možnostem, které mohou v dané situaci nastat: P(A) = Počet příznivých možností Počet všech možností. Postup práce Student obdrží pracovní list se zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin pravděpodobnosti se student pokusí řešit jednotlivé úlohy a následně odpovědět na položené otázky. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy včetně požadovaného vyobrazení. Výsledky: Pan Klokočka je velice vzdělaným člověkem. Kromě toho, že je velice vzdělaný, má také rád náhodu. Během dne se často rozhoduje na základě náhodných jevů. Protože je ale opravdu chytrý, často si vybírá takové jevy, které jsou více pravděpodobné, a to pokud se rozhoduje pro něco, o co opravdu stojí. Někdy naopak volí jevy méně pravděpodobné, aby nemusel dělat to, co se mu nezdá. Zkuste přijít na to, co pana Klokočku asi baví 1) Každé ráno se panu Klokočkovi těžko vstává. Před prací se rozhodl navštěvovat kurzy plavání, aby udělal něco pro své tělo, ale donutit se tam jít, je skutečně těžké. Pan Klokočka se tedy rozhodl, že každé ráno vytáhne z balíčku karet na prší 5 karet (nevrací je zpět do balíčku). Pokud nebude ani jedna srdcová či kterékoliv eso, na cvičení půjde. Jaká je pravděpodobnost, že půjde cvičit? Jev A vytáhne kartu, která není srdcová ani eso (19 možností). S každou další kartou tahá z menšího počtu karet, ale má také méně možností, jakou kartu může vytáhnout. P 1 (A) = 19, P 32 2(A) = 18, P 31 3(A) = 17, P 30 4(A) = 16, P 29 5(A) = P(A) = P 1 (A). P 2 (A). P 3 (A). P 4 (A). P 5 (A) P(A) = 5,77%, že půjde cvičit 2) V práci má pan Klokočka závodní jídelnu a ne vždy se tamějším kuchařům podaří uvařit podle představ zaměstnanců. Aby předešel každodennímu rozhodování se, vymyslel, že vše nechá na náhodě. V pytlíčku, který nosí při sobě má 10 kuliček, 8 červených a 2 modré. Pokud si ze tří tahů (kdy taženou kuličku vždy vrací zpět do pytlíku) vytáhne tři červené, půjde raději do restaurace. Jakou má pravděpodobnost, že se nají v jídelně? Jakou by měl pravděpodobnost, kdyby mu stačila alespoň jedna vytažená červená kulička? Jev A Vytáhne právě 3 červené kuličky, červenou kuličku táhne s 80% pravděpodobností P(A) = 0,8 3 P(A) = 51,2%

3 Jev B Vytáhne alespoň jednu červenou kuličku. Tzn. Jednu červenou a dvě modré nebo dvě červené a jednu modrou nebo tři červené. P(B) = ( 3 1 ). 0,8.0,22 + ( 3 2 ). 0,82. 0,2 + 0,8 3 P(A) = 9,6% + 38,4% + 51,2% = 99,2% 3) Přátelé z kanceláře chodí na pravidelné měsíční setkání, kde sledují vybraný zápas basketbalové NBA. Každý měsíc také pana Klokočku lákají, aby šel s nimi. Ten jejich nabídku pravidelně přijímá, má však vždy jednu, stále stejnou podmínkou. Chce jít jen v případě, že nevyhraje hlavní výhru v loterii. To by ho prý totiž ranila mrtvice Jaká je pravděpodobnost, že příště přijde, jestliže se výherce sportky losuje jednou za měsíc a on má vsazeno (Losuje se postupně 6 čísel ze 49ti a pan Klokočka musí uhodnout všech 6). Jev A nevyhraje hlavní výhru, tzn., nebude mít všech šest čísel správných. Všech možností ( 49 6 ) P(A) = 1 ( 49 6 ) P(A) = 0, % 4) Sami jste asi zjistili, že vyhrát sportku není nic jednoduchého, a tak zatím pan Klokočka pravidelně absolvuje srazy se svými přáteli. O délce jeho setrvání ovšem rozhoduje, jak jinak, také náhoda. Tentokrát se rozhodl, že setrvá až do konce otevírací doby pouze v případě, že v zápase basketbalové NBA promění Lebron James alespoň osm z deseti trestných hodů. Jak pravděpodobné je, že pan Klokočka zůstane, jestliže Lebron James má dlouhodobou úspěšnost střelby 85% (a v zápase skutečně střílel 10 trestných hodů)? Jev A trefí osm z deseti P(A) = ( 10 8 ). 0,858. 0,15 2 P(A) = 27,6% Jev B trefí devět z deseti P(B) = ( 10 9 ). 0,859. 0,15 P(B) = 34,7% Jev C trefí deset z deseti P(C) = ( ). 0,8510 P(C) = 19,7% P(celková) = 27,6% + 34,7% + 19,7% = 82%

4 5) Cestou domů může jít pan Klokočka přes Petřín nebo se projít kolem Pražského Hradu. Obě tyto procházky miluje a tak si těsně před odchodem ze setkání s kolegy hodí 3x dvěma mincemi. Pokud na nich padnou alespoň jednou dva orli současně, jde přes Hrad. Jakou má pravděpodobnost, že půjde třikrát po sobě stejnou cestou? Jev A padnou alespoň jednou dva orli, Jev B nepadnou ani jednou dva orli P(A) = 1 P(B) P(B) = ( 3 4 ) 3 = 0, P(A) = 57,8125% Třikrát stejnou cestou půjde s pravděpodobností 19,32%. (0, %). 6) Po celém dni v práci a večeru s kamarády už čeká pana Klokočku jen poslední událost. Při cestě domů vymyslel, že manželku požádá, aby vybrala náhodné čtyřciferné číslo. Pokud řekne číslo dělitelné dvěma, které navíc obsahuje právě jednu osmičku, ráno jí udělá královskou snídani do postele. Jakou pravděpodobnost příjemného rána má paní Klokočková? (předpokládejte, že vybrané číslo je skutečně náhodné) Počet všech možností 9 možných cifer 10 možných cifer 10 možných cifer 10 možných cifer Počet příznivých možností Číslo 8 9 možných cifer 9 možných cifer 4 možné cifry 8 možných cifer Číslo 8 9 možných cifer 4 možné cifry 8 možných cifer 9 možných cifer Číslo 8 4 možné cifry 8 možných cifer 9 možných cifer 9 možných cifer Číslo 8 Jev A zvolí správné číslo Všech čísel 9000, Možných čísel 1180 P(A) = =0,1311 Má 13% pravděpodobnost, že se dočká snídaně.

5 Pracovní list pro žáka Pravděpodobnost a běžný život Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Psací potřeby, Kalkulačka Teorie Pravděpodobností daného jevu rozumíme poměr počtu příznivých možností ku všem možnostem, které mohou v dané situaci nastat: P(A) = Postup práce Počet příznivých možností Počet všech možností Na základě vědomostí, nabytých během hodin pravděpodobnosti se pokuste řešit jednotlivé úlohy a následně odpovězte na položené otázky. Úlohy: Pan Klokočka je velice vzdělaným člověkem. Kromě toho, že je velice vzdělaný, má také rád náhodu. Během dne se často rozhoduje na základě náhodných jevů. Protože je ale opravdu chytrý, často si vybírá takové jevy, které jsou více pravděpodobné, a to pokud se rozhoduje pro něco, o co opravdu stojí. Někdy naopak volí jevy méně pravděpodobné, aby nemusel dělat to, co se mu nezdá. Zkuste přijít na to, co pana Klokočku asi baví? 1) Každé ráno se panu Klokočkovi těžko vstává. Před prací se rozhodl navštěvovat kurzy plavání, aby udělal něco pro své tělo, ale donutit se tam jít, je skutečně těžké. Pan Klokočka se tedy rozhodl, že každé ráno vytáhne z balíčku karet na prší 5 karet (nevrací je zpět do balíčku). Pokud nebude ani jedna srdcová či kterékoliv eso, na cvičení půjde. Jaká je pravděpodobnost, že půjde cvičit?. 2) V práci má pan Klokočka závodní jídelnu a ne vždy se tamějším kuchařům podaří uvařit podle představ zaměstnanců. Aby předešel každodennímu rozhodování se, vymyslel, že vše nechá na náhodě. V pytlíčku, který nosí při sobě má 10 kuliček, 8 červených a 2 modré. Pokud si ze tří tahů (kdy taženou kuličku vždy vrací zpět do pytlíku) vytáhne tři červené, půjde raději do restaurace. Jakou má pravděpodobnost, že se nají v jídelně?

6 3) Přátelé z kanceláře chodí na pravidelné měsíční setkání, kde sledují vybraný zápas basketbalové NBA. Každý měsíc také pana Klokočku lákají, aby šel s nimi. Ten jejich nabídku pravidelně přijímá, má však vždy jednu, stále stejnou podmínkou. Chce jít jen v případě, že nevyhraje hlavní výhru v loterii. To by ho prý totiž ranila mrtvice Jaká je pravděpodobnost, že příště přijde, jestliže se výherce sportky losuje jednou za měsíc a on má vsazeno (Losuje se postupně 6 čísel ze 49ti a pan Klokočka musí uhodnout všech 6). 4) Sami jste asi zjistili, že vyhrát sportku není nic jednoduchého, a tak zatím pan Klokočka pravidelně absolvuje srazy se svými přáteli. O délce jeho setrvání ovšem rozhoduje, jak jinak, také náhoda. Tentokrát se rozhodl, že setrvá až do konce otevírací doby pouze v případě, že v zápase basketbalové NBA promění Lebron James alespoň osm z deseti trestných hodů. Jak pravděpodobné je, že pan Klokočka zůstane, jestliže Lebron James má dlouhodobou úspěšnost střelby 85% (a v zápase skutečně střílel 10 trestných hodů)? 5) Cestou domů může jít pan Klokočka přes Petřín nebo se projít kolem Pražského Hradu. Obě tyto procházky miluje a tak si těsně před odchodem ze setkání s kolegy hodí 3x dvěma mincemi. Pokud na nich padnou alespoň jednou dva orli současně, jde přes Hrad. Jakou má pravděpodobnost, že půjde třikrát po sobě stejnou cestou? 6) Po celém dni v práci a večeru s kamarády už čeká pana Klokočku jen poslední událost. Při cestě domů vymyslel, že manželku požádá, aby vybrala náhodné čtyřciferné číslo. Pokud řekne číslo dělitelné dvěma, které navíc obsahuje právě jednu osmičku, ráno jí udělá královskou snídani do postele. Jakou pravděpodobnost příjemného rána má paní Klokočková? (předpokládejte, že vybrané číslo je skutečně náhodné)