1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

Transkript

1 I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá jevu A ) B při jednom hodu padne sudé číslo; Řešení: P B) = = 1 = 0 Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a tři {, 4, } jsou příznivé jevu B c) C při dvou hodech padnou oě šestky; Řešení: P C) = 1 = Je celkem možností {i, j); i, j = 1,, } a z nich je jedna {, )} je příznivá jevu C d) D při dvou hodech padnou stejné počty ok; Řešení: P D) = = = 1 = 01 Je celkem možností viz c) ) Příznivých jevu D je z nich šest, {1, 1),,, )} Neo inteligentně: Při prvním hodu padne číslo a toto předepsané číslo padne při druhém hodu s pravděpodoností p = 1 e) E při dvou hodech padne alespoň jednou šestka; Řešení: Jev E je,že nepadne žádná šestka a ten má pravděpodonost P E) = = = 11 Je tedy P E) = 1 P E) = f) F při dvou hodech padne právě jednou šestka; Řešení: P F ) = = 18 Je F = F 1 F, kde jev F 1 je prvním hodem šestka a druhým ne šestka a F je prvním hodem ne šestka a druhým šestka Jevy F 1 a F se navzájem vylučují, tedy pravděpodonosti se sčítají Při výpočtu pravděpodoností P F 1 ) a P F ) využíváme skutečnosti, že hody jsou nezávislé, tedy jednotlivé pravděpodonosti se násoí g) G při dvou hodech padne alespoň na jedné kostce lichý počet ok; Řešení: Jev G je, že padne při oou hodech sudý počet ok Pravděpodonost, že při hodu padne sudý počet ok je = 1 Je tedy P G) = 1 P G) = = = = 07 Využíváme opět nezávislosti 4 hodů a tedy násoení odpovídajících pravděpodoností h) H při dvou hodech je součet ok roven 8; Řešení: Z možností {i, j); i, j = 1,, } jsou jevu H příznivé možnosti {, ),, ), 4, 4),, ),, )}, tedy celkem pět Hledaná pravděpodonost je 1

2 P H) = = k) K při dvou hoden je součin počtů ok roven 8; Řešení: Z možností {i, j); i, j = 1,, } jsou jevu K příznivé možnosti {, 4), 4, )}, tedy celkem dvě Je tedy P K) = = 1 18 = 00 Házíme třikrát mincí třemi mincemi) Určete pravděpodonosti těchto jevů: Kolik je elementárních jevů a zapište je Jakou mají pravděpodonost Řešení: Elementárních jevů je celkem 8 Můžeme je zapsat jako uspořádané trojice {R, R, R), R, R, L), R, L, R), L, R, R), R, L, L), L, R, L), L, L, R), L, L, L)} Místo písmen můžeme volit např symoly 0 a 1 Pravděpodonost toho, že na minci padne ru neo líc je stejná a je rovna 1 Když využijeme toho, že jsou jednotlivé hody nezávislé, tedy se pravděpodonosti průniku jevů dostanou jako součin jednotlivých pravděpodoností, dostaneme pro každý elementární jev pravděpodonost P = = 1 8 = 01 a) A na všech mincích padne ru; Řešení: Je P A) = 1, když si uvědomíme, že z 8 možností je jevu A příznivá 8 pouze jedna Můžeme postupovat i pomocí násoení pravděpodonosti při výpočtu pravděpodoností průniku nezávislých jevů ) B na všech mincích padne stejná strana; Řešení: Je P B) = 8 = 1 = 0, když uvážíme, že z osmi možností jsou jevu 4 příznivé dvě Lze postupovat také takto Je B = B 1 B, kde jev B 1 je na všech ru a jev B je na všech líc Jevy se navzájem vylučují B 1 B = V a tedy P B) = P B 1 ) + P B ) = = 1 4 c) C alespoň na jedné minci padne ru; Řešení: Jev C je opačný k jevu C na všech mincích padne líc Je P C) = = 1 8 Je tedy P C) = 1 P C) = = 7 = 0, 87 8 d) D padne právě jednou ru; Řešení: Z osmi možností jsou příznivé jevu tři Je tedy P D) = 8 = 0, 7 V osudí máme ílých koulí a c černých koulí, které jsou nerozlišitelné Určete pravděpodonosti uvedených jevů: a) A náhodně vyjmutá koule je ílá Řešení: Je celkem + c možností jakou kouli vyjmeme Z nich má za následek jev A Je tedy P A) = + c

3 ) B vyíráme jednu po druhé a poslední, která v osudí zyde je černá Řešení: Každá koule má stejnou pravděpodonost ýt poslední Je tedy celkem +c možností a z nich je c příznivých jevu B Je tedy P B) = c + c c) C vyjmeme kouli, vrátíme zpátky a opět vyjmeme kouli Oě koule mají ílou arvu Řešení: V každém tahu je pravděpodonost vyjmutí ílé koule rovna + c Protože jsou oa tahy nezávislé, je pravděpodonost dvou tahů rovna součinu pravděpodoností z jednotlivých tahů Je tedy P C) = + c d) D vyjmeme kouli, odložíme stranou a vyjmeme další kouli Oě mají černou arvu Řešení: Musí ýt c Podoně jako v c) je P D) = c + c c 1 + c 1 e) E vyjmeme kouli, vrátíme zpátky a opět vyjmeme kouli Oě koule mají stejnou arvu Řešení: Jev je sjednocením dvou jevů, které se navzájem vylučují Jsou to E 1 tažené koule jsou ílé a E oě tažené jsou černé Je pak c + c P E) = P E 1 ) + P E ) = + = + c + c + c) f) F vyjmeme kouli, odložíme stranou a vyjmeme další kouli Oě mají rozdílnou arvu Řešení: Jev je sjednocením dvou jevů, které se navzájem vylučují Jsou to jevy F 1, první koule je ílá, druhá černá a jev F první je černá a druhá ílá Je tedy P F ) = c P F 1 ) + P F ) = + c) + c 1) + c + c) + c 1) = c + c) + c 1) oě g) G vyjmeme pět koulí a všechny jsou ílé ) Vypočtěte pro = 1 a c = 10 + c Řešení: Je celkem možností jak vyjmout pětici koulí a znich je příz- nivých jevu G Je tedy P G) = Pro číselné zadání je 1 + c P G) = ) = = = 1 0 = 00 4 Píšeme náhodně tři cifry Určete pravděpodonosti těchto jevů:

4 Úlohu řešte ve dvou variantách: číslo může ýt liovolné, neo číslo nesmí začínat nulou) a) A Cifry jsou navzájem různé Řešení: Každou z cifer je možné vyrat celkem 10 způsoy Celkový počet možných vole je tedy 10 = 0 Příznivých možností jevu A je 1098 = 70, neoť první cifru lze vyrat 10 způsoy, druhou 9 způsoy 1 je už z výěru vyloučena) a třetí 8 již dvě jsou zakázány) Je tedy P A) = 70 0 = 07 Varianta A Pro všechny voly je možné první cifru vyrat 9 způsoy nesmí ýt 0), druhou a třetí deseti, tedy je celkem = 900 možností Příznivé jevu A jsou voly: 9 možností pro první cifru, nula je vyloučena), 9 možností pro druhou zvolená je vyloučena, ale přidáme nulu) a 8 pro třetí cifru, tedy celkem 998 = 41 Je tedy P A ) = = 07 To znamená, že P A) = P A ) ) B Pravě dvě cifry jsou stejné Řešení: Je opět 0 všech možností voly Příznivých jevu B je 70 Dvojici shodných cifer lze vyrat 10 způsoy, 9 pak zývající cifru, kterou lze umístit na první, druhou či třetí pozici Dostaneme tak celkem 109 = 70 možností Je tedy P B) = 70 = 07 0 Pro variantu B dostaneme opět 900 všech možností výěru Příznivých jevu B je 99 = 4 Oznamčme si cifry písmeny a a Uvažovaná čísla mají tvar {a, a, }, {a,, a} {, a, a} Pro první dva tvary je a 0, tedy 9 možností a může ýt nula, tj taky 9 možností Pro třetí tvar je 0, tedy 9 možností a a může ýt nulové, tj opět 9 možností Každá z uvažovaných variant čísla se vyskytne ve 99 = 81 možnostech, tudíž všech je celkem 81 = 4 Je tedy P B ) = 4 = 07 Rovněž i tady je P B) = P 900 B ) c) C Cifry jsou všechny stejné Řešení: Cifru je možné volit 10 způsoy, je tedy P C) = 10 = Pro variantu C dostaneme 9 možností voly cifry a tudíž je P C ) = 9 = 001, 900 tedy i zde je P C) = P C ) Poznamenejme, že ovšem platí: P A) + P B) + P C) = 1 Ve sportce se losuje čísel ze 49 Vypočtěte pravděpodonosti jevu A k uhodneme k čísel, k = 0, 1,, Poznamenejme, že výhra se vyplácí v případě jevů A, A, A 4, A 49 Řešení: Pro volu šestice čísel ze 49 máme celkem možností Uhádnout zvolenou šestici znamená zvolit jedinou možnost Je tedy P A ) = 1 ) = = Pokud chceme uhádnout pět čísel, musíme zvolit pět čísel ze šesti To je celkem možností Poslední šesté číslo volíme ze zývajících 49 = 4 čísel Je tedy 4

5 49 4 P A ) = = 49 Odoně dostaneme = P A 4 ) = P A ) = P A ) = P A 1 ) = a 4 = 49 4 = = = = , = 1710, = 017, = 04101, P A 0 ) = = = 049 Poznamenejme, že je jedná o hypergeometrické rozdělení: 49 je všech prvků; je sledované vlastnosti tažených); k, k = 0, 1,, je počet tažených ve výěru čísel Tedy P A k ) = 4 ) k k 49, k = 0, 1,, V osudí je ílých koulí a c černých koulí Dva hráči jeden po druhém náhodně vyjímají kouli a po tahu ji vrací) Hra končí jakmile některý z hráčů vytahne ílou kouli Vypočtěte pravděpodonosti P 1 výhry prvního hráče a P výhry druhého Vyčíslete pro = c = 1 házení mincí) a = 1, c = házení hrací kostkou)

6 Řešení: Pravděpodonost tažení ílé koule v kterékoliv pokusu je a černé je + c c K tomu, ay první hráč vyhrál v prvním kole, je nutné, ay vytáhl ílou kouli + c hned na první pokus Ay vyhrál druhý hráč, musí ýt první neúspěšný a druhý musí vytáhnout ílou kouli Ay tyto situace nastaly až v k tém kole, k > 1, musí proěhnout k 1 kol losování, ve kterých jsou oa hráči neúspěšní Celkovou pravděpodonost dostaneme jako součet pravděpodoností výher jednotlivých kol Je tedy P 1 = c c 4 c k + c + + c + c + + c + c + + c + c + = = c k + c = + c k=0 + c + c, a P = c c c k+1 + c + c + + c + c c + c + = = c c k c = + c + c + c + c k=0 Pochopitelně můžeme počítat jednodušeji P = 1 P 1 Pro uvedená číselná zadání dostaneme: = c = 1 : P 1 =, P = 1 ; = 1, c = : P 1 = 11, P = 11 7 Dva střelci střílí dvakrát na terč První jej zasahuje s pravděpodoností p 1 a druhý s p Vítězí ten, kdo má více zásahů Vypočtěte pravděpodonosti možných výsledků Vyčíslete jednotlivé pravděpodonosti pro hodnoty a) p 1 = 09, p = 08; ) p 1 = 09, p = 08 Řešení: Jednotlivé výstřely jsou na soě nezávislé, pravděpodonosti průniků jednotlivých jevů dostaneme násoením P 1 vítězí první musí nastat tyto situace: 1 dvakrát zasáhne, dvakrát mine; 1 dvakrát zasáhne, jednou zasáhne a jednou mine; 1 jednou zasáhne a jednou mine, dvakrát mine Potom je pravděpodonost výhry prvního rovna P 1 = p 11 p ) + p 1p 1 p ) + p 1 1 p 1 )1 p ) Odoně dostaneme pro výhru druhého pravděpodonost P = p 1 p 1 ) + p p 1 1 p 1 ) + p 1 p )1 p 1 ) a pravděpodonost nerozhodného výsledku P x = p 1p + 4p 1 p 1 p 1 )1 p ) + 1 p 1 ) 1 p ) Pro zadané číselné hodnoty dostaneme: a) P 1 = 089, P = 0198, P x = 014; ) P 1 = 0988, P = 0148, P x = 074

7 8 Mezi součástkami je % vadných Ze skupiny součástek jich náhodně vyereme 1 Jaké jsou pravděpodonosti jevů, že ve vyrané skupině je k, k = 0, 1,, vadných součástek Řešení: Připomeňme, že se jedná o hypergeometrické rozdělení Všech možných výěrů 1 součástek prvků) ze sta je K tomu, ay souor 1 osahoval k vadných součástek musíme je vyrat ze souoru vadných Zývajících 1 k dorých musíme vyrat ze souoru 97 dorých Pravděpodonost jevu, že souor osahuje k vadných součástek je tedy 97 P k = k 1 k, k = 0, 1,, 1 Dosazením dostaneme: 97 P 0 = P 1 = P = P = ) = = 0108, ) = = 01, ) = = 00, ) = = Student zná odpověď na 0 otázek z Náhodně si vytáhne otázky Jaké jsou pravděpodonosti toho, že zodpoví,, 1 či žádnou otázku Řešení: 0 P = P = 0 ) = = 049; ) = = 04104; 7

8 0 P 1 = = 04 4 = 0089; P 0 = ) = 4 4 = V osudí jsou ílé a černé koule Náhodně vytáhneme dvě a pravděpodonost toho, že jsou ílé je 0 Jaký je nejmenší možný počet koulí v osudí Řešení: Předpokládejme, že je v osudí celkem n koulí a z toho je k, k ílých Potom je pravděpodonost tažení dvou ílých koulí rovna k p = = n kk 1) nn 1) Odtud dostaneme podmínku 1 = kk 1) nn 1) nn 1) = kk 1) Postupným dosazováním dostáváme: n =, k = : = 4; n =, k = : = 4; k = : = 1; n = 4, k = : 1 = 4; k = : 1 = 1; k = 4 : 1 = 4 Podmínka je splněna pro n = 4 a k = V osudí jsou 4 koule, ílé a 1 černá 11 Máme domluvenou schůzku mezi 1 a 1 hodinou, na kterou oa přicházíme náhodně a čekáme nejvýše 10 minut Určete jaká je pravděpodonost P s, že dojde k setkání Jaká ude tato pravděpodonost P s, pokud čeká pouze jeden Řešení: Označme t 1 čas po 1 hodině, kdy přijde první označený, ne v čase) a t, kdy přijde druhý Potom od t 1, t ) ve čtverci 0, 1) 0, 1) označuje odpovídající situaci Ay došlo k setkání, musí ýt t 1 t < 1 Protože je každá situace stejně pravděpodoná, je pravděpodonost setkání rovna poměru osahu části čtverce, která odpovídá setkání ku osahu čtverce Je tedy ) P s = 1 ) : 1 = 1 = 11 = 0, 0 Pokud ude čekat jen první, musí přijít dříve a pak setkání odpovídá stav 0 t t 1 < 1 Je tedy 8

9 P s = ) ) : 1 = 1 1 ) = 11 7 = 0, Přijímač přijímá signály ze dvou zdrojů Signály přicházejí náhodně v intervalu 0,s Pokud je přijat signál z 1 vysílače, je přijímač na 0,1s lokován Vypočtěte pravděpodonosti P p přijetí signálu a P z zalokování příjmu Řešení: Označme si t 1 okamžik příchodu signálu z 1 vysílače a t okamžik příchodu signálu z vysílače Je 0 < t 1, < 0, Ay yl přijímač lokován, musí ýt t 1 < t < t + 0, 1 Bod t 1, t 1 ) ve čtverci 0; 0, ) 0; 0, ) odpovídá situaci příchodu oou signálů Protože je každá možnost stejně pravděpodoná, je pravděpodonost zalokování P z rovna poměru části čtverce ku osahu celého čtverce Je tedy P z = 1 0, 0, ) : 0, 0, 0, 1 = = 0, 0, Pravděpodonost příjmu je tedy P p = 1 P z = 1 0, = 0, 74 1 Vlaky metra jezdí po minutách Jestliže jdeme náhodně na metro, vypočtěte pravděpodonost P jevu, že čekáme nejvýše 1 minutu : Řešení Označíme si t 1 okamžik našeho příchodu a t okamžik příjezdu metra K tomu, ay nastal sledovaný jev musí platit 0 t t 1 1 Každé situaci odpovídá od t 1, t ) ve čtverci 0, 0, Příznivé situace sledovanému jevu jsou v pásu splňujícím podmínku 0 t t 1 1 Pravděpodonost P je rovna poměru osahu pásu a osahu čtverce Je tedy P = 1 1) ) = 1 = 9 0 = 0, 18 9