PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 2. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 200

2 2 Pravděpodobnost a statistika Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Pravděpodobnost a statistika Obsah Pokusy, jevy... 5 Základní pojmy... 5 Operace s jevy... 6 Operace s jevy Varianta A... 7 Operace s jevy Varianta B... 0 Operace s jevy Varianta C... 4 Souhrnné příklady k procvičení... 6 Klasická pravděpodobnost... 8 Klasická pravděpodobnost Varianta A... 9 Klasická pravděpodobnost Varianta B Klasická pravděpodobnost Varianta C Souhrnné příklady k procvičení Věty o pravděpodobnostech... Věty o pravděpodobnostech Varianta A... Věty o pravděpodobnostech Varianta B... 5 Věty o pravděpodobnostech Varianta C Souhrnné příklady k procvičení Statistika Důležité pojmy Rozdělení četností a jeho grafické znázornění Statistické diagramy Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta A Výsledky varianta A Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta B... 6 Výsledky varianta B Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta C... 66

4 4 Pravděpodobnost a statistika Výsledky varianta C Charakteristiky polohy a variability... 7 Charakteristiky polohy a variability Varianta A... 7 Charakteristiky polohy a variability Varianta B Charakteristiky polohy a variability Varianta C Souhrnné příklady k procvičení Souhrnné příklady k procvičení - výsledky... 85

5 Pravděpodobnost a statistika 5 Pokusy, jevy Základní pojmy náhodné pokusy - procesy, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě množina všech možných výsledků pokusů (značíme Ω, její libovolný prvek písmenem ω ) předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné výsledky, a to tak, že se navzájem vylučují a že jeden z nich nastane vždy jev - podmnožina množiny všech možných výsledků jistý jev - jev, který při daném pokusu určitě nastane (celá množina Ω ) nemožný jev - jev, který nemůže nastat (prázdná množina )

6 6 Pravděpodobnost a statistika Operace s jevy Nechť A Ω, B Ω. Pro jevy A, B platí: A B A je podjevem jevu B A B sjednocení jevů A a B nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A a B A B průnik jevů A a B nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A a B současně A opačný jev k jevu A nastává právě tehdy, když nenastává jev A ( A A Ω, A A ) Je-li A B, nazýváme jevy A a B disjunktní (navzájem se vylučují) Příklad: Závodu v lukostřelbě se účastní děti (Iva, Jana a Tomáš). Určete množinu všech možných výsledků závodu příznivých jevu A. Jev A značí, že Tomáš nebude poslední. Interpretujte A. Řešení: Možných výsledků je! 2! 4, lze je popsat uspořádaným čtveřicemi. Z hlediska kombinatoriky budeme tvořit uspořádané čtveřice bez opakování ze tří písmen (počáteční písmena jmen dětí). [ I, T, J ],[ J, T, I ], [ T, I, J ], [ T, J, I ] Jev A je opačný jev, takže značí, že Tomáš bude poslední.

7 Pravděpodobnost a statistika 7 Operace s jevy Varianta A Příklady: Pan Tupa hází třemi mincemi. Určete množinu všech možných výsledků, které mohou nastat, jestliže: a) se jedná o tři stejné mince. b) se jedná o mince různých měn. Řešení: a) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince od sebe nelze rozlišit, takže budeme tvořit neuspořádané trojice ze dvou prvků (trojčlenné kombinace 2 + s opakováním ze dvou prvků). Možných výsledků je 4. b) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince lze rozlišit, budeme tvořit uspořádané trojice s opakováním ze dvou prvků. (čtyřčlenné variace s opakováním ze dvou prvků). Možných výsledků je 8. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: a) (p, p, p), (p, p, o), (p, o, o), (o, o, o) b) [ p, p, p] [ p, p, o] [ p, o, p] [ p, o, o] [ o, o, o] [ o, p, o] [ o, p, p] o, o, [ p]

8 8 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Házíme klasickou hrací kostkou. Jev X znamená, že na kostce padlo číslo větší než dva. Jev Y znamená, že na kostce padlo liché číslo menší než šest. Určete množinu možných výsledků a množiny X a Y. [ Ω, 2,, 4,5,6}, X,4,5, Y,, 5 { { } { }] 2) Házíme dvěma různě barevnými klasickými hracími kostkami. Určete množiny W, X, Y, Z, jestliže: jev W vyjadřuje, že na obou kostkách padne liché číslo. [ W,,,,,5,,,,,,5, 5,, 5,, 5, 5 {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ][ ]}] jev X vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude roven čtyřem. jev Y vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude menší než šest. jev Z vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude dělitelný pěti. [ X {[, ], [ 2, 2 ][,,]} ] [ Y {[, 4 ], [ 4, ][, 2, 2 ][, 2, ], [, 2]} ] [ Z {[, 4 ], [ 4, ], [ 2, ], [, 2 ], [ 4,6 ][, 6, 4 ][, 5,5]}] ) Fenka čeká tři štěňata. Vyjmenujte množinu všech možných výsledků, jestliže záleží na pořadí narození a pohlaví štěněte. Ω {[ F, F, F],[ F, F, P],[ F, P, F][, F, P, P][, P, P, P], [ P, P, F][, P, F, P][, P, F, F]} 4) Ve vesnici jsou u příležitosti mezinárodního dne dětí pořádány různé soutěže. Jednou z nich je skákání v pytli, kterého se letos v kategorii dětí mladších deseti let účastní čtyři dětí (děti označme písmeny A až D). Vyjmenujte všechny možné výsledky závodu z hlediska pořadí prvních dvou dětí v cíli. Ω [ C, A],[ C, B],[ C, D],[ D, A][, D, B][, D, C], [ A, B][, A, C][, A, D][, B, A][, B, D][, B, C] 5) V pytlíku jsou čtyři kuličky (modrá, bílá, žlutá, černá). Vytáhneme najednou dvě kuličky. Určete výsledky příznivé jevům A a B. a) Jev A vyjadřuje, že není vytažena modrá kulička. [ A { b, ž}{, b, č}{, ž, č }] b) Jev B vyjadřuje, že je vytažena bílá kulička. [ B { b, ž}{, b, č}{, b, m }] 6) Máme tři různé pytle (., 2.,.) s míčky. V prvním pytli jsou červené míčky, v druhém pytli jsou modré míčky a ve třetím pytli jsou modré i červené míčky. Míčky téže barvy jsou nerozlišitelné. Volíme jeden pytel a z něj vytáhneme jeden míček. Určete všechny

9 Pravděpodobnost a statistika 9 možné výsledky, jestliže nás zajímá jak barva vytaženého míčku, tak pytel, ze které byl míček vytažen. [ Ω {( č, )(, m,2)(, č, )(, m,) }] 7) Tři různé kusy oblečení (triko, mikina, svetr) se mají umístit do tří poliček ve skříni. Do každé poličky jeden kus oblečení. Sestavte množinu všech možných výsledků pokusu. [ Ω {[ t, m, s],[ t, s, m],[ m, t, s],[ m, s, t][, s, t, m][, s, m, t] }] 8) Dítě má v krabici dvě modré dvě červené a jednu zelenou kostku. Kostky téže barvy jsou nerozlišitelné. Dítě vytáhne náhodně dvě kostky, jednu po druhé, přičemž první kostku do krabice nevrátí. Sestavte množinu všech možných výsledků s ohledem na barvu kostky a pořadí, ve kterém byla vytažena. [ Ω {[ m, m],[ m, č],[ m, z],[ č, č],[ č, m][, č, z][, z, č][, z, m] }] 9) V botníku na zámku zbývají dva modré, dva žluté a dva červené páry přezůvek. Přezůvky téže barvy jsou nerozlišitelné. Tři příchozí lidé vytáhnou jeden po druhém náhodně přezůvky a nazují si je. Určete množiny A, B, C, které vyjadřují jevy: a) A- lidé si vytáhli přezůvky stejné barvy. [ A ] b) B-třetí příchozí si vytáhl červený pár přezůvek. B c) C-alespoň dva příchozí si vytáhli modré přezůvky. [ m, m, č],[ m, ž, č][, m, č, č][, ž, ž, č], [ ž, m, č][, ž, č, č][, č, m, č][, č, ž, č] [ C {[ m, m, č],[ m, m, ž],[ m, ž, č],[ m, č, m][, ž, m, m][, č, m, m] }]

10 0 Pravděpodobnost a statistika Operace s jevy Varianta B Příklady: ) Vysvětlete, co znamenají jevy A, A B, A B, když jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než 0, a jev B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné dvěma. 2) Do třídy 2. B chodí 2 chlapců a 6 děvčat. Do školního představení náhodně vybereme skupinu 5 dětí. Určete počet všech výsledků příznivých jevům B, A B, A B, kde jev A spočívá v tom, že ve vybrané skupině jsou chlapci a 2 dívky, a jev B spočívá v tom, že ve vybrané skupině je alespoň jedna dívka. Jevy B, A B, A B interpretujte. Řešení: ) Jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno deseti. Jev A B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je buď menší než deset nebo dělitelné dvěma. Jev A B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než deset a zároveň dělitelné dvěma. 2) Jev B znamená, že ve výběru nebude žádná dívka. Počet všech výsledků příznivých jevu 2 2! B je: 792. Z hlediska kombinatoriky jde o kombinace bez opakování. 5 7! 5! Jev A B znamená, že ve výběru budou 2 dívky a chlapci. Počet všech výsledků 2 6 2! 6! příznivých jevu A B je: 00. Z hlediska kombinatoriky jde 2 9!! 4! 2! o kombinace bez opakování. Jev A B znamená, že ve výběru budou buď tři chlapci a dvě dívky nebo samí chlapci Počet výsledků příznivých jevu A B je: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

11 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Z výrobního pásu sjede za hodinu deset hotových aut. Dvě auta z těchto deseti mají nějakou výrobní vadu. Vysvětlete, co znamenají jevy, A `, B `, A B, A B`, ( A B`)`, jestliže jev A znamená, že při náhodném výběru tří aut, bude alespoň jedno vadné a jev B znamená, že při náhodném výběru tří aut, nebude žádné vadné. 2) Vysvětlete, co znamenají jevy, A, A B, B [ A ` B, B` A, A B Ω, A B` A, ( A B`) ` B] A, A B`, A B`, když jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je sudé, a jev B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než 8. [ A`-náhodně vybrané přirozené číslo je liché, A B -náhodně vybrané přirozené číslo je sudé nebo menší než 8, A B -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 8 je sudé, A B` -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 8 je liché, A B`-náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno 8 nebo liché] ) Výtvarně dramaticky kroužek navštěvuje 5 dětí, z toho je deset dívek a pět chlapců. Náhodně vybereme 4 děti. Označme jevy: A -mezi vybranými dětmi je právě jedna dívka, B-mezi vybranými dětmi je alespoň jedna dívka, C-mezi vybranými dětmi je nejvýše jeden chlapec. Interpretujte následující jevy: B`, C`, A B, C B, A B, A B C, ( A B) C`, ( C B) ` A, ( A C) B`. [ B`-mezi vybranými dětmi není žádná dívka, C`-mezi vybranými dětmi jsou alespoň dva chlapci, A B A, C B - mezi vybranými dětmi jsou alespoň čtyři dívky, ( A B) C` ( C B) ` A ( A C) B` A B B, A B C, -mezi vybranými dětmi jsou právě čtyři chlapci, -mezi vybranými dětmi jsou nejvýše tři dívky, mezi vybranými dětmi není žádná dívka] 4) Zaměstnanec každé kanceláře musí na konci pracovní doby odevzdat klíč od své kanceláře do krabičky na vrátnici. Klíče jsou očíslovány očíslovaných čísly, 2,, 49, 50. Vybereme z krabičky náhodně dva klíče. Nechť A označuje jev, kdy vybereme dva

12 2 Pravděpodobnost a statistika klíče se sudými čísly, B označuje jev, kdy alespoň na jednom vybraném klíči je liché číslo, C označuje jev, kdy liché číslo je nejvýše na jednom vybraném klíči. Určete význam jevů A`, B`, C`, A C, A B`, C` A`, ( A B) C. A` B, B` A, C`-na obou vybraných kl. je liché číslo, A C A,A B` A,A` C` A`, 5) Na první poličce v knihovně je 8 různých knih. Autorem osmi z nich je Karel Čapek, deset knih napsala Agatha Christie. Šárka si vybere 5 knih. Určete počet všech výsledků příznivých jevům A, B, A`, B` kde jev A znamená, že alespoň tři vybrané knihy napsal Karel Čapek, a jev B znamená, že nejvýše tři vybrané knihy jsou od Agathy Christie. Jevy A`, B` interpretujte. ( A B) C C 276, 666, A`-nejvýše dvě z vybraných knih napsal Karel Čapek, 5292 B`-alespoň čtyři vybrané knihy jsou od Agathy Christie, 92 6) Štěpán Hází třemi různě barevnými hracími kostkami. Jev A značí, že na kostkách padla sudá čísla, Jev B značí, že součet, který padl na kostkách, je větší než čtrnáct, jev C značí, že na kostkách padla prvočísla. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A B [4] a) A B C [0] b) ( C B) A [28] c) A` C [27] d) ( C B)` [25] e) ( A C) B [205] 7) Házíme čtyřikrát po sobě jednoeurovou mincí. Jev A značí, že panna padne alespoň jednou, jev B značí, že panna padne víckrát než orel, Jev C značí, že orel padne právě dvakrát, jev D značí, že výsledek všech hodů bude stejný. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A B [5; panna padne alespoň krát] b) A C [6; orel padne právě 2krát] c) A B D [; panna padne právě 4krát] d) A` D [2; výsledek všech hodů bude stejný] e) ( B C)` [5; orel padne alespoň krát]

13 Pravděpodobnost a statistika f) ( A B) ( D A`) [4; panna padne právě krát] [ 6 ; Ω] g) ( A B C D)` Jevy interpretujte. 8) Pytlík obsahuje tři zelené a pět bílých kuliček. Vytáhneme čtyři kuličky-jednu po druhé, přičemž již vytažené kuličky nevracíme zpět do pytlíku. Kuličky téže barvy nelze rozlišit. Jev A znamená, že byly vytaženy kuličky stejné barvy, jev B znamená, že alespoň dvě vytažené kuličky jsou zelené, jev C znamená, že nejvýše tři vytažené kuličky jsou zelené. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A B [0] b) ( A C) ( A` B)` [5] c) C A [4] d) ( C` A)` [4]

14 4 Pravděpodobnost a statistika Operace s jevy Varianta C Příklad: Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Jev X znamená, že právě na jedné kostce padne čtyřka. Jev Y znamená, že na kostkách padne součet větší než osm. Pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastane právě jeden z jevů X, Y. b) nastane alespoň jeden z jevů X, Y. c) nastane nejvýše jeden z jevů X, Y. Řešení: a) XK [ 4,],[ 4, 2],[ 4,],[, 4],[ 2, 4],[, 4],[ 4,5],[ 5, 4],[ 4,6],[ 6, 4] X` Ω X YK [, 6],[ 6,],[ 5,5],[ 6,6],[ 5,6],[ 6,5][ 4,5],[ 5, 4],[ 4,6],[ 6, 4] Y` Ω Y ( X Y`) K[ 4,],[ 4, 2],[ 4,],[, 4],[ 2, 4],[, 4] ( X` Y) K[,6],[ 6,],[ 5,5],[ 6,6],[ 5,6],[ 6,5] Průnik jevů ( X Y ) a ( ` Y) X je prázdná množina. Proto, jestliže nastane jeden z nich, druhý z jevů nenastane, takže to, že nastane právě jeden z nich lze vyjádřit pomocí sjednocení. b) To, že nastane alespoň jeden z jevů X a Y lze vyjádřit pomocí sjednocení těchto jevů. c) Od množiny všech možných výsledků pokusu hodu dvěma kostkami odečteme ty pokusy, kde nastanou oba jevy X a Y zároveň. To, že nastanou oba jevy X a Y zároveň lze vyjádřit pomocí průnik těchto jevů: ( X Y). Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) ( X Y ) ( X Y) b) X Y c) Ω ( X Y)

15 Pravděpodobnost a statistika 5 Příklady k procvičení: ) Na soutěž v kreslení jsou ze skupiny 28 dětí vybrány 4 děti. Jev a znamená, že právě dvě z vybraných dětí jsou dívky. Jev B znamená, že nejvýše dvě z vybraných dětí jsou dívky. Pro jevy A, B pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastaly oba jevy. [ A B] b) nenastal žádný jev. [ A` B`] c) nastal nejvýše jeden z těchto jevů. [ Ω ( X Y) ] 2) Ondra dostal od babičky k narozeninám 2000 Kč a rozhodl si za ně koupit nová DVD do své sbírky filmů. Peníze mu stačí na čtyři DVD. Jev A znamená, že všechna koupená DVD jsou z americké produkce, jev B znamená, že alespoň dvě DVD jsou z odlišné produkce, než je americká, jev C znamená, že právě dvě DVD jsou z americké produkce. Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastal jen jev B. [ A` B C`] b) nastaly všechny tři jevy. [ A B C] c) nastaly alespoň dva jevy. [( A B) ( B C) ( A C) ] d) nastaly jevy B a C a jev A nenastal. [( B C) A`] e) nenastal žádný z jevů. [ A` B` C`] ) Banka rozesílá druhou upomínku k hypotéce třem klientům K, L, M. Každou z upomínek náhodně vložíme do jedné ze tří obálek nadepsaných jejich adresami. Nechť jev A znamená, že žádná upomínka není ve správné obálce, jev B znamená, že ve správné obálce je jen upomínka pro klienta K, jev C znamená, že ve správné obálce je nejvýše jedna upomínka. Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastal alespoň jeden jev. [ A B C] b) nastal jen jev C. [ A` B` C] a) nastal nejvýše jeden jev. [ Ω {( A B) ( A C) ( B C) ( A B C) }] b) nastaly nejvýše dva jevy. [ Ω ( A B C) ]

16 6 Pravděpodobnost a statistika Souhrnné příklady k procvičení ) Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Označme jako jev A situaci, kdy na obou kostkách padne číslo větší než čtyři, a jako jev B situaci, kdy na kostkách padne sudé číslo. Určete počet všech možných výsledků příznivých jevům: a) A B b) ( A B)` c) A B d) A B` e) ( A B) A` Sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevu A B. [ 5,5],[ 5,6],[ 2, 2],[ 2, 4][, 2,6][, 4, 2][, 4, 4] [ 4,6],[ 6,5],[ 6, 2],[ 6, 4],[ 6,6] [ 0 ] [ 26 ] [ 2 ] [ 20 ] [ 2 ], A B 2) Házíme třemi korunovými mincemi. Jev A značí, že panna padla víc než jednou. Jev B značí, že orel padl právě třikrát. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevům: a) A B` [ 4, A B` {[ p, p, o],[ p, o, p][, o, p, p][, p, p, p] }] b) A B [ 5, A B {[ p, p, o],[ p, o, p],[ o, p, p][, p, p, p][, o, o, o] }] c) ( A B) A` [ 4, ( A B) A` {[ o, o, p],[ o, p, o][, p, o, o][, o, o, o] }] d) ( A B) ` B` [, ( A B) ` B` {[ o, o, o] }] ) Ve skříni jsou uskladněny hokejky na florbal. jsou bílé 2 modré a červené. Vytáhneme ze skříně najednou tři hokejky. Jev A značí, že vytažené hokejky měly stejnou barvy, jev B značí, že alespoň jedna vytažená hokejka byla modrá, jev C značí, že právě dvě vytažené hokejky byly modré. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevům: a) A B` C` [ 2, A B` C` { b, b, b}{, č, č, č} }] b) ( B` B) C [ 2, ( B` B) C { m, m, b}{, m, m, č} }] c) A` C` [ 5, A` C` { m, č, č},{ b, č, č},{ m, b, b}{, b, m, č}{, b, b, č }] d) ( A` C) B` [ 2, ( A` C) B` {{ b, č, č}{, b, b, č }] e) ( A C) B` [ 2, ( A C) B` { b, b, b}{, č, č, č} }]

17 Pravděpodobnost a statistika 7 4) Do vědomostní soutěže jsou ze skupiny 25 dětí vybrány tři děti. Jev A znamená, že byli vybráni samí chlapci, jev B znamená, že byly vybrány samé dívky, jev C znamená, že byly vybrány dvě dívky a jeden chlapec. Zapište v množinové symbolice následující jevy: a) nebyl vybraný žádný chlapec [ B ] b) byl vybrán alespoň jeden chlapec [ A `] c) byly vybrány nejvýše dvě dívky [ B `] d) byli vybráni dva chlapci a jedna dívka [( A B C) `] 5) Sandra si v levných knihách nakoupila 4 knížky. Jev A znamená, že právě dvě mají tiskovou chybu, jev B znamená, že žádná nemá tiskovou chybu, jev C znamená, že alespoň dvě mají tiskovou chybu. Zapište v množinové symbolice následující jevy: a) nejvýše jedna kniha má tiskovou chybu [ C `] b) alespoň tři knihy mají tiskovou chybu [ C A] c) právě jedna kniha má tiskovou chybu [ B` C`] d) právě tři knihy mají tiskovou chybu [( A C) `] e) alespoň dvě nemají tiskovou chybu [( A C) C`] 6) Dobrodružného extrémního závodu se účastní deset družstev. Závod dokončí čtyři družstva. Jev A znamená, že členem alespoň jednoho družstva, které dokončilo závod, je žena, jev B znamená, že družstva, která dokončila závod, jsou čistě mužská, jev C znamená, že dvě družstva, která dokončila závod, obsahují ženy. a) družstva, která dokončila závod, mohou mít jakékoli složení z hlediska zastoupení mužů a žen. [ A A`] b) z družstev, která dokončila závod, obsahují ženu alespoň tři družstva nebo právě jedno družstvo. [ A C`]

18 8 Pravděpodobnost a statistika Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost P ( A) jevu A v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu m ( A) výsledků příznivých jevu A a počtu m všech možných výsledků pokusu: P ( A) ( A). m m Platí: i) pravděpodobnost P ( ) nemožného jevu je rovna nule P ( ) 0 ii) pravděpodobnost P ( Ω) jistého jevu je rovna jedné P ( Ω ) iii) pravděpodobnost P ( A) libovolného jevu A je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné 0 P( A) iv) pravděpodobnost P ( A`) jevu opačného je P( A) Příklad: Řešení: Divadelní kroužek navštěvuje osm děvčat a deset chlapců, ze kterých náhodně vybereme skupinu tří osob. Jak je pravděpodobnost, že ve skupině budou dva chlapci a jedna dívka? Jev A znamená, že ve výběru budou dva chlapci a jedna dívka. m ! 7! 0! 2! 8! ( A) ! m 86 5!! P ( A) ( ) m A m ,442 ( 44,2% ) Pravděpodobnost, že ve skupině budou dva chlapci a jedna dívka je 44,2%.

19 Pravděpodobnost a statistika 9 Klasická pravděpodobnost Varianta A Příklady: ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu stříbrným dolarem padne orel? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různě barevnými hracími kostkami padne součet větší než jedenáct? ) V malé rodinné firmě se za den vyrobí 252 výrobků, z nichž je 5 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že vybraný výrobek, který byl vyroben v úterý, je vadný? Řešení: ) Jev A znamená, že padl orel. m ( A ) m 2 ( A) m P ( A) 0,5 ( 50% ) m 2 2) Jev A znamená, že na kostkách padl součet větší než jedenáct. Ω {,,, 2,,,, 4,,5,,6, 2,, 2, 2,..., 6,, 6, 2, 6,...,, 6, 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} A {[ 6, 6]} m m ( A ) ( A) m P ( A) ( 2,78% ) m 6 ) jev A znamená, že vybraný výrobek je vadný. m ( A ) 5 m 252 ( A) m 5 P ( A) 0,098 m 252 (,98% ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: ) Pravděpodobnost, že padne orel, je 50%. 2) Pravděpodobnost, že padne více než jedenáct, je 2,78%. ) Výrobek je vadný s pravděpodobností,98%.

20 20 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo 6? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo větší než a) jedna b) dva c) pět d) šest ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo šest? 4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo menší než a) tři b) pět 5) Martina si na zábavě koupí 5 lístků do tomboly. Jakou má pravděpodobnost hlavní výhry, jestliže v tombole je 68 lístků? [ 2,98%] 6) David si v obchodě koupil fotoaparát. V obchodě mají na skladě šest fotoaparátů, z nichž je jeden vadný. S jakou pravděpodobností si David vybere vadný fotoaparát? 7) V okresní soutěži se koná soutěž ve střelbě. Vítěz zasáhl z 250 výstřelů 225-krát. Jakou [ 0 ] [ 7 %] měl pravděpodobnost zásahu? [ 90 %] 8) Eva strávila celý víkend na oslavě u kamarádky a nestihla se naučit na pondělní test. Pravděpodobnost, že test nezvládne je proto 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že test zvládne? [ 0,7] 9) Pravděpodobnost správného tipu výsledku v testu je 25%. Jaká je pravděpodobnost, že tip bude špatný? [ 75 %]

21 Pravděpodobnost a statistika 2 0) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet a) sedm? b) pět? ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet menší než a) pět? b) čtyři? [ 0,7] [ 0,] [ 0,67] [ 0,08] 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet větší než a) deset? b) dvanáct? ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne sudé číslo? 4) Jaká je pravděpodobnost, že při hrací hodu kostkou padne číslo dělitelné dvěma? 5) Z dvaceti dresů označených čísly až 20 vybereme náhodně jeden. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali a) dres označený sudým číslem? [ 0,08] [ 0,027] b) dres označený prvočíslem? [ 0,45] c) dres označený číslem dělitelným čtyřmi? 6) V sáčku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme jednu kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? [ 0,57]

22 22 Pravděpodobnost a statistika Klasická pravděpodobnost Varianta B Příklady: ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi Dolarem, Eurem a Koruně padne alespoň na jedné z těchto mincí panna? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šesti různými hracími kostkami padnou samá sudá čísla? ) V šesté třídě na druhém stupni základní školy je 28 žáků, z nichž budou dva zkoušeni. Připraveno na zkoušení je 6 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zkoušení připraveni? Řešení: ) Jev A znamená, že alespoň na jedné minci padla panna. ( A) 2 7 m m 2 8 ( A) m 7 P ( A) 0,875 ( 87,5% ) m 8 2) Jev A znamená, že na kostkách padla samá sudá čísla m m ( A) ( A) 6 m P( A) 0,05 (,5% ) m 6 6 ) Jev A znamená, že oba zkoušení žáci jsou připraveni m ( A) m ! m ( ) ( A) 2 4! 2! 240 P A 0,7 m 28 28! ! 2! (,7% ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: ) Pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padne alespoň na jedné z nich panna, je 87,5% 2) Pravděpodobnost, že padnou samá sudá čísla je,5%. ) Pravděpodobnost, že budou oba připraveni je,7%.

23 Pravděpodobnost a statistika 2 Příklady k procvičení: ) Ve třídě soukromého gymnázia je 26 dětí. Vybereme namátkou čtveřici žáků. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme a) jen chlapce? b) jen dívky? [ 0,067] [ 0,0] 2) Ve. B jsou žáci na začátku pondělní hodiny zkoušeni 4 žáci. Děti o víkendu slavily osmnáctiny jednoho z nich, a tak je na zkoušení připraveno jen 8 žáků z 2 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou všichni čtyři zkoušení nepřipraveni? [ 0,085] ) V sáčku je šest černých korálků a osm růžových korálků. Namátkou vybereme korálky. Jaká je pravděpodobnost, a) že budou všechny bílé? [ 0,54] b) že nebudou všechny bílé? [ 0,846] 4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu modrou, zelenou, oranžovou, žlutou a modrou hrací kostkou padne/ou a) na všech kostkách pětka? [ 0,00029] b) samá lichá čísla? [ 0,025] c) čísla větší než tři? [ 0,025] d) čísla menší než tři? [ 0,004] e) alespoň jednou šestka? [ 0,598] f) pět stejných čísel? [ 0,00077] 5) Na fotbalový turnaj se přihlásilo deset mužstev. K dispozici je jediné hřiště, na kterém se za první den turnaje stihlo odehrát 5 zápasů. Na začátku každého zápasu se losuje právo výběru strany hodem mincí. Jaká je pravděpodobnost, že během prvního dne turnaje a) byl výsledek všech hodů mincí stejný. b) panna padla právě třikrát. c) orel padl alespoň jednou

24 24 Pravděpodobnost a statistika 6) V pouzdře je 9 černých a 6 modrých propisek. Náhodně vybereme dvě z nich. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme dvě modré? 7 7) V misce je deset 20 švestek, z nichž je v pěti červ. Dušan si z misky vezme 4 švestky. Jaká je pravděpodobnost, že si vybral a) všechny dobré? [ 0,94] b) alespoň jednu červavou? [ 0,806] 8) V obchodě je výprodej. Na hromadě triček je 8 triček velikosti M, 2 trička velikosti S a 5 triček velikosti L. jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru triček vyberu jen trička velikosti S. 9) Správnou odpověď zaslalo během prvních deseti minut po zadání otázky 5 mužů a 7 žen. Z nich budou vylosováni tři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žena? 22 [ 0 ]

25 Pravděpodobnost a statistika 25 Klasická pravděpodobnost Varianta C Příklady: ) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu těmito kostkami padne postupka (tj., 2,, 4, 5, 6)? 2) V krabici jsou 4 červené a 6 bílých kostek. Vytáhneme jednu a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená kostka je bílá? ) V košíku na ovoce se nachází je 7 červených jablek a 5 žlutých jablek. Dítě si náhodně vybere 4 kusy ovoce. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě 2 žlutá jablka? Řešení: ) Jev A znamená, že padla postupka. ( A ) 6! 720 m m ( A) m 720 P ( A) 0,054 (,54% ) m ) Jev A znamená, že druhá vytažená kostka je bílá. m 9 6 ( A) 0 9 m 9 6 m ( ) ( A) P A 0,6 m ( 60% ) ) Jev A znamená, že mezi vybranými kusy budou právě dvě žlutá jablka. m ( A) m ! 5! ( ) ( ) 2 2 m A 5! 2!! 2! 4 P A 0,424 m 2 2! 4 8! 4! Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C ( 42,4% ) Výsledky řešení: ) Pravděpodobnost, že padne postupka je,54%. 2) Pravděpodobnost, že druhá tažená kostka je bílá, je 60%. ) Pravděpodobnost, že mezi vybranými jablky budou dvě žlutá je 42,4%.

26 26 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou a) alespoň tři šestky [ 0,062] b) alespoň čtyři šestky [ 0,0087] 2) Házíme pěti různými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách padne postupka? ) (to znamená sestava, 2,, 4, 5 nebo 2,, 4, 5, 6) [ 0,008] 4) Házíme třemi různými kostkami, jaká je pravděpodobnost, že na kostkách nepadne postupka? (tj., 2, nebo 2,, 4 nebo, 4, 5 nebo 4, 5, 6) [ 0,889] 5) Sbor navštěvuje 5 dětí, z toho 0 děvčat. Dirigent vybere osm, které budou zpívat první sloku písně. Jaká je pravděpodobnost, že vybere 4 chlapce a 4 děvčata. [ 0,6] 6) V pytlíku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme 2 černé a jednu bílou. [ 0,] 7) Tereza dostala sáček, v němž bylo 5 červených a 5 žlutých bonbonů. Nabídla kamarádce, která náhodně si ze sáčku vzala 4 bonbony. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dva žluté. [ 0,476] 8) Majitel obchodu s oblečením dostává každý týden dodávku nového zboží. Dodávku přijme, jestliže po namátkové kontrole pěti kusů oblečení nemá ani jeden kus vadu. Jaká je pravděpodobnost, že dodávku přijme, jestliže má odebrat 5 kusů oblečení, mezi nimiž jsou tři vadné kusy. 9) Do křížovkářské soutěže poslalo správnou odpověď sedm mužů a deset žen. Budou vylosováni čtyři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dvě ženy. [ 0,62] [ 0,97] 0) Házíme třemi rozlišitelnými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet devět? ) Student se na zkoušku stihl naučit pouze 42 z 60 otázek. Na zkoušce si bude tahat otázky. Jaká je pravděpodobnost, že bude umět odpovědět právě na jednu otázku. 2) Pan Vokatý si koupil náhradní díl do svého auta na vrakovišti. Neměl čas náhradní díl vyzkoušet, ale protože je stálý zákazník, tak se s majitelem vrakoviště dohodnul, že si vezme tři kusy, zkusí, který funguje, a zbývající mu další den přiveze nazpět. Jaká je [ 0,57] [ 0,88]

27 Pravděpodobnost a statistika 27 pravděpodobnost, že mezi třemi díly, které pan Vokatý dostal, jsou právě dva funkční, když je na vrakovišti k dispozici deset těchto náhradních dílů, z toho tři vadné? [ 0,525] ) V druhé třídě základní školy je 26 dětí. Čtyři z nich zapomněly vypracovat domácí úkol. Paní učitelka si náhodně vybere pět dětí, kterým domácí úkol zkontroluje. Jaká je pravděpodobnost, že dvě z vybraných dětí nebudou mít domácí úkol? [ 0,4] 4) V pytlíku je 5 bílých kuliček a 6 zelených hliněných kuliček. Vytáhneme jednu a dáme ji bokem, vytáhneme druhou a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobnost, že třetí tažená kulička bude bílá? 5) V krabici je 5 modrých, červené a 6 zelených kostek. Třikrát po sobě vytáhneme jednu kostku. Kostky nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že první tažená kostka je modrá [ 0,45] a poslední tažená kostka je zelená? [ 0,65] 6) Marie po příchodu do obchodu zjistila, že mají 6 souprav modrého povlečení, 4 soupravy červeného povlečení a 4 soupravy povlečení se vzorem. Náhodně vybrala tři soupravy. Jaká je pravděpodobnost, že jsou každá jiné barvy? [ 0,26]

28 28 Pravděpodobnost a statistika Souhrnné příklady k procvičení ) Klára jede na závody a balí si zavazadla. K ukrácení volného času si zabalí 0 DVD s filmy. Vybírat může ze 42 DVD. Jaká je pravděpodobnost, že mezi DVD, která si vybrala a) bude film Boogie Woogie [ 0,28] b) nebude film Boogie Woogie a bude film Temný rytíř. [ 0,86] 2) Zámek na kolo je možné otevřít trojmístným numerickým kódem. Určete pravděpodobnost, že se zámek v případě neznalosti kódu podaří otevřít a) jedním náhodně zvoleným trojciferným číslem. [ 0 ] b) 25 náhodně zvolenými trojcifernými čísly. [ 0,025] ) V klobouku je 20 očíslovaných papírků (čísly až 20). Jaká je pravděpodobnost, že bude vylosován papírek, na kterém je číslo dělitelné 4) jedenácti 2 5) pěti 5 6) Náhodně vybereme libovolné přirozené trojciferné číslo, ve kterém se žádná číslice nesmí opakovat. Jaká je pravděpodobnost, že je vybrané číslo dělitelné a) dvěma b) pěti 5 7) Jaká je pravděpodobnost, že libovolné přirozené čtyřciferné číslo, ve kterém se neopakuje žádná cifra, má na místě jednotek a) nulu b) osmičku ) Jaká je pravděpodobnost výhry první ceny ve sportce? [ 7,5 0 ] 9) Je při hodu třemi různými kostkami pravděpodobnější součet 4 nebo?,0,0972,4 9

29 Pravděpodobnost a statistika 29 0) Na hřišti se sejde 8 dětí, které se rozhodnou zahrát si volejbal, rozdělí se proto do tří skupin po šesti lidech. Jaká je pravděpodobnost, že Tomáš a Michal budou hrát ve stejné 5 skupině? 7 ) První maturitní den si studenti první čtyřčlenné skupiny, která skládá maturitu, vylosují v češtině otázky. První student losuje jednu otázku z plného počtu 0 možných, druhý student losuje jednu otázku z 29 možných, třetí student losuje jednu otázku z 28 možných a poslední student této skupiny losuje jednu otázku z 27 možných. Jaká je pravděpodobnost, že druhý maturitní den si jiná čtyřčlenná skupina vylosuje 6 a) tytéž otázky v tomtéž pořadí? [,52 0 ] b) jiné otázky? 2) V ošatce jsou dva druhy ovoce (jahody a švestky). Jahod je 0 Vytáhneme dva kusy ovoce. Kolik může být v ošatce švestek, jestliže je pravděpodobnost, že byla vytažena 0 právě jedna jahoda a právě jedna švestka je. 2 [ 0,546] [ 5 8] ) V obchodě jsou tři stejné poličky s triky. V první poličce jsou hnědá a 4 zelená trika s dlouhým rukávem, v druhé poličce jsou 4 hnědá a 5 zelených trik s krátkým rukávem a v poslední poličce je 6 hnědých a zelená trika bez rukávu. Z náhodně zvolené poličky si vezmeme jedno triko. Jaká je pravděpodobnost, že bude zelené? [ 0,487] 4) Učitel tělocviku si vede statistiku o výkonech dětí, které navštěvují jeho hodiny tělocviku, v běhu na 00 metrů. Jaká je pravděpodobnost, že dítě navštěvující jeho hodinu a) bude mít čas do vteřin? [ 0,4] b) bude starší deseti let? [ 0,468] stáří dítěte počet dětí s časem do vteřin do 0 let 5 68 nad 0 let 2 20 počet dětí s časem nad vteřin 5) Hodíme třikrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme větší číslo než v prvním hodu? [ 0,255] 6) Závodu v lyžování se účastní i dva největší rivalové Lukáš a Jindřich. Pravděpodobnost, že zvítězí Lukáš, je 42%, pravděpodobnost, že zvítězí Jindřich, je 46%

30 0 Pravděpodobnost a statistika a pravděpodobnost, že zvítězí někdo jiný, je 5%. Jiný výsledek nastat nemůže. Je to možné? 7) Všech 7 zaměstnanců nadnárodní firmy mluví alespoň jedním cizím jazykem (anglicky nebo francouzsky). Anglicky hovoří 0 zaměstnanců, francouzsky se domluví 5 zaměstnanců. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný pracovník mluví a) jen anglicky b) jen francouzsky c) oběma jazyky 8) Hráč dostane 6 karet z balíčku kanastových karet (balíček čítá 04 karet). Jaká je [ ne ] [ 0,595] [ 0,89] [ 0,26] 8 pravděpodobnost, že mezi nimi je všech osm desítek? [ 4,997 0 ] 9) Do osmipatrové budovy vešlo naráz pět lidí. Výtah z důvodu zatopení nefunguje, takže všichni musí jít po schodech. Jaká je pravděpodobnost, že každý jde do jiného patra. [ 0,205] 20) Z balíčku kanastových karet (balíček čítá 04 karet), vybereme jednu kartu, podíváme se na ni a vrátíme ji zpět. Pak vytáhneme druhou kartu. Určete pravděpodobnost, že obě karty a) jsou stejné barvy b) [ 0,25] jsou stejného druhu (např. dvě desítky, dvě esa atd.) [ 0,077 ]

31 Pravděpodobnost a statistika Věty o pravděpodobnostech ) Pravděpodobnost, že nastane jeden ze dvou navzájem se vylučujících jevů A, B (tj. A B ), je rovna součtu jejich pravděpodobností: ( A B) P( A) P( B) P + 2) Pravděpodobnost, že nastane jeden z jevů A, B, je P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) ) Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí P ( A B) P( A) P( B) 4) Řekneme, že jevy A, B, C jsou nezávislé, jestliže P ( A B) P( A) P( B), P( A C) P( A) P( C), P( B C) P( B) P( C) P a navíc ( A B C) P( A) P( B) P( C) 5) Mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem s pravděpodobností p, nebo nezdarem s pravděpodobností q. Potom pravděpodobnost jevu, P A k n k, že právě k pokusů bude zdařilých, je k n k ( A ) p q, k 0,, 2, K, n. k Příklad: Na táboře je v družstvu Rychlých šneků 5 dětí. Z toho je 8 dívek a 7 chlapců. Vybereme z nich namátkou trojčlennou hlídku. Jaká je pravděpodobnost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci? Řešení: Jev A znamená, že v hlídce jsou právě dva chlapci, P ( A) Jev B znamená, že v hlídce jsou právě tři chlapci, P ( B) 7 5 Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Jevy A a B se navzájem vylučují, takže použijeme vzorec z věty )

32 2 Pravděpodobnost a statistika ( ) ( ) ( ) ( ) 44,6% 0, B P A P B A P Pravděpodobnost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci, je 44,6%.

33 Pravděpodobnost a statistika Věty o pravděpodobnostech Varianta A Příklad: Házíme zelenou a žlutou kostkou. Najděte ( A B) součet čtyři, a jev B značí, že na žluté kostce padla pětka? Řešení: A {[ 2, 2],[,],[, ]} P ( A ) 2 6 B 6 {[,5],[ 2,5],[,5],[ 4,5],[ 5,5],[ 6,5]} P ( B ) 2 6 P ( A B) Ř P 2, Jevy A a B se navzájem vylučují. 2 4 ( A B) P( A) + P( B) + 0,25 ( 25% ) Jev ( A B) 6 P nastane s pravděpodobností 25%. P, jestliže jev A značí, že na kostkách padl 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Jev ( A B) P nastane s pravděpodobností 25%.

34 4 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Házíme dvěma různě zbarvenými kostkami. Najděte ( A B) P, jestliže a) A znamená, že na první kostce padlo sudé číslo, Jev B znamená, že na druhé kostce padlo liché číslo. [] b) A značí, že na první kostce padlo číslo větší než čtyři, a jev B značí, že na kostkách 5 padl součet čtyři. 2 c) A znamená, že na první kostce padlo číslo menší než dva, a B znamená, že na druhé kostce padlo liché číslo větší než dva. [0,5] 2) Při hodu kostkou můžou nastat následující jevy: A- padlo sudé číslo, B- Padlo liché číslo větší nebo rovno než třem, C- Padlo liché číslo menší než tři. Vypočítejte a) P( A B) b) P( A C) c) P( C B) ) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padnou samá prvočísla nebo samé šestky? [0,0]

35 Pravděpodobnost a statistika 5 Věty o pravděpodobnostech Varianta B Příklady: ) V obchodě mají na skladě 24 notebooků stejného druhu a značky, z nichž je pět vadných. Za jeden den byly prodány tři notebooky z této řady. Jaká je pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný? 2) Házíme třemi kostkami, jaká je pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo samá čísla menší než 4? ) Házíme třemi kostkami. Jev A značí, že na první kostce padne trojka. Jev B značí, že na druhé kostce padne liché číslo. Jev C značí, že na třetí kostce padne číslo větší než dva. Rozhodněte, zda jsou jevy A, B, C nezávislé. 4) Dva střelci Wang a Bonetti se v disciplíně trap rozstřelují o olympijský bronz. Pan Wang zasáhne cíl s pravděpodobností 95%. Pan Bonetti zasáhne cíl s pravděpodobností 9%. Jaká je pravděpodobnost, že při jednom výstřelu každého z nich a) zasáhnou oba. b) žádný nezasáhne cíl. c) Wang zasáhne cíl, Bonetti nezasáhne cíl. Řešení: ) jev A znamená, že mezi třemi prodanými byl právě jeden vadný notebook, P ( A) ! 9! 4! 7! 2! 24! 2!! jev B znamená jev A znamená, že mezi třemi prodanými byly právě dva vadné notebooky, P ( B) ! 9!! 2! 8! 24! 2!! jev C znamená, že mezi třemi prodanými byly právě tři vadné notebooky, P ( C ) ! 2!! 24! 2!! Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A, B, C. Jevy se navzájem vylučují.

36 6 Pravděpodobnost a statistika P ( A B C) P( A) + P( B) + P( C) + + 0,52 (52,%) Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je 52,%. 2) jev A znamená, padla samá lichá čísla, P ( A) jev B znamená, že padla čísla menší než čtyři, P( B) jev P( A B) znamená, že na kostkách padla lichá čísla menší než čtyři, P( A B) Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Průnik jevů A a B není prázdná množina, takže použijeme vzorec s věty 2). P 6 ( A B) P( A) + P( B) P( A B) + 0,2 (2,%) Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než čtyři, je 2,%. ) Jestliže platí vztahy z věty 4), jevy A, B, C jsou nezávislé. Tyto vztahy ověříme. 4 2 P ( A) P ( B ) P ( C ) P ( A B ) ( A B) [,],[,],[, ]} { 5 P ( A C ) ( A C ) [, ], [,4 ], [,5 ][, ]} { 6 P ( B C ) ( B C) {[,],[,4],[,5][,6],[,],[,4].[,5], 2 [,6 ],[ 5,],[ 5,4][. 5,5],[ 5,6]} P ( A B C ) ( A B C ) { [,, ], [,,4 ], [,,5 ][,,6 ], [,, ][,,,4 ][.,,5 ], [,,6 ],[,5, ][,,5,4][.,5,5 ][,,5,6]} P P P P ( A) P( B) P( A B) ( A) P( C) P( A C ) 2 2 ( B) P( C ) P( B C ) ( A) P( B) P( C ) P( A B C ) 2 2 6

37 Pravděpodobnost a statistika 7 4) jev A znamená, že pan Wang zasáhl cíl, P ( A) 95% jev B znamená, že pan Bonetti zasáhl cíl, P ( B) 9% jev A` znamená, že pan Wang nezasáhl cíl, P ( A` ) P( A) 0, 05 jev B` znamená, že pan Bonetti nezasáhl cíl, P ( B` ) P( B) 0, 09 a) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A a B zároveň. Jevy A a B jsou nezávislé (to, že jeden zasáhne, neovlivní pravděpodobnost toho, že zasáhne druhý). Platí: P( A B) P( A) P( B) 0,95 0,9 0,8645 (86,45%) b) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A` a B` zároveň. Jevy A` a B` jsou nezávislé. ( A` B`) P( A B) ` P( A B) [ P( A) + P( B) P( A B) ] P( A) P( B) + P( A) P( B) P( A) P( B) ( P( A) ) [ P( A) ] P( ) P [ B ] P ( A`) P( B`) Platí: P( A` B`) P( A`) P( B`) 0,05 0,09 0,0045 (4,5%) c) Chceme spočítat, pravděpodobnost, že nastanou oba dva jevy A a B` zároveň. Jevy A a B`jsou nezávislé. ( A B`) P( ( Ω A) ` B`) P[ ( Ω A) B] ` P( A` B) P( A`) P( B) + P( A` B) P( A`) P( B) ( P( A`) ) [ P( A`) ] P( ) P [ B ] P P ( A) P( B`) ( A B` ) P( A) P( B`) 0,95 0, ( 8,55% ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: ) Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je 52,%. 2) Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než čtyři, je 2,%. ) Jevy A, B, C jsou nezávislé. 4) a) Pravděpodobnost, že oba zasáhnou, je 86,45%. b) Pravděpodobnost, že oba dva střelci nezasáhnou cíl, je 4,5%. c) Pravděpodobnost, že pan Wang zasáhne cíl a pan Bonetti ne, je 8,55%.

38 8 Pravděpodobnost a statistika Příklady k procvičení: ) Závodu horských kol se účastní žáci dvou místních sportovních škol. První škola vyslala do závodu 2 dětí a druhá škola 8 dětí. Jaká je pravděpodobnost, že na stupních vítězů uvidíme alespoň dvě děti z první základní školy? Jak se změní pravděpodobnost, že na stupních vítězů uvidíme alespoň dvě děti z první základní školy, jestliže počet dětí vyslaných první školou je 8 a druhou 2? Výsledky vyjádřete v procentech. [65,6%, zmenší se o,2% ] 2) Agnes zjistila, že při stěhování dala použitá a nepoužitá DVD do stejné krabice. Ví, že nepoužitých měla 66 a použitých 2. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru čtyř DVD vytáhne alespoň dvě použitá? [0,48] ) Firma dodala 20 dresů velikosti M a 6 dresů velikosti L. trenér družstva dorostenců vybere náhodně 5 dresů pro své svěřence. Jaká je pravděpodobnost, že vybral alespoň dva dresy velikosti L. [0,754] 4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padnou a) samá prvočísla nebo samá čísla menší než pět. b) samá čísla dělitelná třemi (beze zbytku) nebo samá čísla větší než tři. [a) 0,69, b) ] 5) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padne a) součet nejvýše tři nebo samá stejná čísla. b) samá sudá čísla nebo samá stejná čísla. c) součet právě jedenáct nebo samá lichá čísla větší než dva. [a), b) 0,9, c) 0,079] 26 6) Házíme dvěma různě barevnými kostkami (modrou a černou). Rozhodněte, zda jevy v následujících případech jsou nebo nejsou nezávislé. a) Jev A značí, že na kostkách padl součet šest. Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla. b) Jev A značí, že na kostkách padl součet sedm. Jev B značí, že na černé kostce padlo číslo větší než tři. c) Jev A značí, že na kostkách padl součet pět. Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla. [a) ne, b) + c) ano]

39 Pravděpodobnost a statistika 9 7) Na čtyřletém gymnáziu propad v průměru 6% žáků z angličtiny a 0% žáků z francouzštiny. Z obou jazyků najednou propadá 5% žáků. Jsou jevy žák propadne z angličtiny a žák propadne z francouzštiny nezávislé? [nejsou] 8) Pravděpodobnost, že se Adriana zúčastní kurzu břišního tance je 25%, zatímco Eliška se kurzu zúčastní s pravděpodobností 42%. Pravděpodobnost, že se na kurz přihlásí obě je 0,5%. Jsou jevy Adriana se zúčastní kurzu a Eliška se zúčastní kurzu nezávislé? [jsou] 9) Házíme třemi různými kostkami (označme je x, y, z). Jsou následující jevy nezávislé? A: součet hodnot, které padly na kostkách x a y, je šest. B: na kostce z padla hodnota trojka C: na kostce x padla čtyřka [nejsou] 0) Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu prvočíslo a ve druhém liché číslo. [ ] ) Kateřina přijde na smluvenou schůzku včas s pravděpodobností 70%, Romana na ni přijde včas s pravděpodobností 85%. Jaká je pravděpodobnost, že a) přijdou obě včas. b) obě přijdou pozdě. c) Romana přijde včas a Kateřina pozdě. [a) 0,595, b) 0,045, c) 0,255] 2) V sáčku je 7 štítků s číslem jedna a 0 štítků s číslem dva. Martin si ze sáčku vybere jeden štítek, podívá se na číslo a vrátí štítek zpět. Lukáš přijde jako druhý, vytáhne štítek, podívá se na číslo a vrátí štítek zpět. Jaká je pravděpodobnost, že a) si oba vytáhli štítek s číslem jedna. b) si oba vytáhli štítek s číslem dva. c) Martin si vytáhl štítek s číslem jedna a Lukáš si vytáhl štítek s číslem dva. [a) 0,7, b) 0,46, c) 0,242]

40 40 Pravděpodobnost a statistika Věty o pravděpodobnostech Varianta C Příklady: ) Na začátku hodiny jsou v matematice zkoušeni u tabule dva žáci (Martin a Libor). Libor spočítá příklad správně s pravděpodobností 70%. Martin spočítá příklad správně s pravděpodobností 6%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně? 2) Karolína si v zahradnictví koupila cibulky okrasných květin. Pravděpodobnost, že cibulka vzejde, je 85%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti cibulek vzejdou právě tři? Řešení: ) Jev A značí, že Libor spočítá příklad správně, P ( A) 0, 7 Jev B značí, že Martin spočítá příklad správně, P ( B) 0, 6 P ( A` ) P( A) 0, P ( B` ) P( B) 0, 9 Jevy A a B jsou nezávislé. Alespoň jeden z nich správně znamená, že příklad spočítají správně oba nebo Libor ho spočítá správně a Martin špatně nebo Libor ho spočítá špatně a Martin správně. Rovnice bude tvaru: P P ( A B) + P( A B`) + P( A` B) ( A) P( B) + P( A) P( B` ) + P( A`) P( B) 0,7 0,6 + 0,7 0,9 + 0, 0,6 0,88 ( 88,% ) Další způsob řešení: ( A`) P( B`) 0,88 ( 88,% ) P Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně, je 88,%. 2) Jev A značí, že vzejdou právě tři cibulky, ( ) P A 0,85 Jev B značí, že právě dvě cibulky nevzejdou, ( ) ( ) 2 n k P B 0,85 0,5 k n k P ( A ) p q P ( A) P( B) 0,85 0,5 0,8 (,8% ) k !! 2! 2 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ) Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně, je 88,%. 2) Pravděpodobnost, že vzejdou tři cibulky je,8%.

41 Pravděpodobnost a statistika 4 Příklady k procvičení: ) Martina a Aneta píšou seminární práci. Martina ji dokončí včas s pravděpodobností 25%, Aneta ji dokončí včas s pravděpodobností 65%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jedna z nich dokončí seminární práci včas? Výsledek vyjádřete v procentech. [7,75%] 2) V košíku je 5 žlutých jablek a 6 červených jablek. Namátkou vybereme jablka. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň dvě vybraná budou žlutá? [ 2 ] ) Matěj a Denis střílí prakem na terč. Matěj zasáhne s pravděpodobností 60% a Denis zasáhne s pravděpodobností 45%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich zasáhne terč? [0,78] 4) Na výlet lodí jede 20 dětí, z nichž je 2 děvčat a 8 chlapců. Namátkou z nich vybereme trojici. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň dva chlapci? [0,96] 5) Milan odpoví na otázku špatně s pravděpodobností 75%. Jaká je pravděpodobnost, že ze tří otázek zodpoví právě dvě špatně? [0,42] 6) V přijímacím testu na vysokou školu je 80 otázek. Každá otázka má 4 možné odpovědi, ze kterých je právě jedna správná. V okamžiku, kdy je ohlášeno posledních deset minut na vypracování testu, Tomášovi zbývá zodpovědět ještě 20 otázek. Rozhodne se proto, volit odpovědi náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že zodpoví správně právě 6 otázek? Vyřešte příklad, jestliže každá otázka má pět správných odpovědí. [0,68, 0,09] 7) Jaká je pravděpodobnost, že z dvanácti prvních servisů jich deset bude ve správné části tenisového kurtu, jestliže a) úspěšnost tenistova prvního servisu je 65%. [0,09] b) úspěšnost tenistova prvního servisu je 72%. [0,9] 8) Úmrtnost na choleru je 50%. Jaká je pravděpodobnost, že ze 25 nakažených jich 7 nemoc přežije? [0,02] 9) Pravděpodobnost, že obchodní zástupce prodá pojištění je 6%. Jaká je pravděpodobnost, že prodá pojištění alespoň čtyřem klientům, když jich za jeden den navštíví devět? [0,226]

42 42 Pravděpodobnost a statistika Souhrnné příklady k procvičení ) V plátěném pytlíku je šest bílých a tři červené kuličky. Vybereme namátkou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu? [0,5] 2) Terč je rozdělen na dvě pásma (černé a bílé). Zásah do černého pásma je oceněn třemi body a zásah do bílého pásma je oceněn jedním bodem. Pravděpodobnost, že se střelec trefí do černého, je 2%, že se trefí do bílého, je 58%. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne terč? [0,9] b) nezasáhne terč? [0,] ) Pravděpodobnost, že se porouchá generátor a výroba bude muset být zastavena, je 0%. Pravděpodobnost, že se porouchá pás a výroba bude muset být přerušena, je 4%. Jaká je pravděpodobnost, že při současné práci obou těchto zařízení, a) dojde k přerušení výroby. [0,4] b) nedojde k přerušení výroby. [0,86] 4) Ve školním autobuse jede 26 dětí, z toho 4 chlapců a 2 dívek. Vybereme namátkou čtveřici dětí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou a) alespoň tři chlapci. [0,59] b) nejvýše dvě děvčata. [0,76] 5) Student prvního ročníku ekonomické vysoké školy musí v prvním semestru absolvovat tyto předměty: mikroekonomie, základy účetnictví, matematika, marketing, základy informatiky. Mikroekonomii zvládne s pravděpodobností 65%, základy účetnictví zvládne s pravděpodobností 95%, matematiku s pravděpodobností 45%, marketing s pravděpodobností 60% a základy informatiky s pravděpodobností 50%. Jaká je pravděpodobnost, že student neuspěje v matematice nebo základech informatiky a v ostatních předmětech uspěje? [0,77] 6) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu pěti mincemi na vše padne orel? [,%] 7) V obchodě prodají výrobek s vadou s pravděpodobností 2%. Jaká je pravděpodobnost, že sedm za sebou prodaných výrobků bude bez vady a další dva prodané budou vadné? Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé. [7%] 8) Střelkyně ze vzduchové pušky zasáhne devítku s pravděpodobností 95%. Jaká je pravděpodobnost, že osmkrát po sobě zasáhne devítku a poté dvakrát po sobě devítku nezasáhne? Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé. [0,006] 9) Biatlonista zasáhne terč s pravděpodobností 80%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti terčů tři zasáhne a dvakrát mine? [0,2048]