Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Transkript

1 III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p.

2 Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost, že zítra bude pršet je přibližně 1:2 %. Osobní zkušenost. 3. Je pravděpodobné, že v následujících 5 letech utrpí úraz při autonehodě jeden člověk z 83. Data. Čísla jsou stejná, jiný je jejich původ.

3 Relativní četnost výskytu jevu Klasická definice pravděpodobnosti Základní prostor obsahuje n elementárních jevů, se stejnou pravděpodobností výskytu P(E i ) = 1 n. Jev A je sjednocením právě k elementárních jevů. Pravděpodobnost výskytu jevu A je P(A) = k n :

4 Úlohy Příklad Házíme spravedlivou hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ze tří hodů padne alespoň jedna šestka? 1. Celkový počet možností (variace s opakováním) n = 6 3 = 216 : 2. Počet příznivých možností (odčítáme případy, kdy šestka nepadne) k = 216 ` 5 3 = 91 : 3. Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka P(A) = k n = : = 0;421 :

5 Pravděpodobnost jako míra Axiomatická definice Pravděpodobnosti jevu A 2 F je reálné číslo P(A) takové, že 1. 0» P(A), 2. P(I ) = 1, 3. pro navzájem neslučitelné jevy A 1 ; A 2 ; : : : ; A n platí P(A 1 + A A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) : 1. P(O) = 0 2. P(A 0 ) = 1 ` P(A), 3. A B, potom P(A)» P(B), 4. 0» P(A)» 1.

6 Pravděpodobnost jako míra oblasti Geometrická definice Mějme geometrickou míru na oblasti. Pokud A je její měřitelnou podoblastí, pak pravděpodobnost, že náhodně zvolený bod leží v oblasti A je rovna P(A) = jaj j j :

7 Délka úsečky Příklad Tramvaje přijíždějí na zastávku v intervalu 10 minut jaká je pravděpodobnost, že po náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 3 minuty? Celková délka oblasti j j = 10 : 2. Délka příznivé oblasti jaj = 3 : 3. Pravděpodobnost, že příchod náleží příznivé oblasti P(A) = jaj j j = 3 10 = 0;3 :

8 Plocha kruhu Příklad Spravedlivě obodujte zásah do jednotlivých polí terče. Černé pole má průměr 1 cm, modré pole má průměr 2,5 cm a celý terč má poloměr 2 cm. 1. Plocha terče jdj = ı 2 2 : = 12;566 cm 2, C B C B A B C B C 2. jaj = ı 0;5 2 : = 0;785 cm 2, P(A) = jaj : = 0;063 (6 %) jdj 3. jbj = ı 1;25 2 ` A = : 4;123 cm 2, P(B) = jbj : = 0;328 (33 %) jdj 4. jcj = ı 2 2 ` A ` B = : 6;872 cm 2, P(C) = jcj : = 0;609 (61 %) jdj Body A 10b., B 2b., C 1b.

9 Pravděpodobnost určená na základě pozorování Statistická definice Nechť f n je počet výskytů hromadného jevu A v n pozorováních, potom Rozdíl s klasickou definicí? f n P(A) = lim n!1 n : Klasická definice pravděpodobnosti elementárních jevů známe. Statistická definice pravděpodobnosti elementárních jevů určujeme pokusem.

10 Pravděpodobnost součtu jevů Součet slučitelných jevů P(A + B) = P(A) + P(B) ` P(A B) P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) ` P(A B) ` P(A C) ` P(B C) + P(A B C) Obecně princip zapojení a vypojení. Pro neslučitelné jevy platí P(A + B) = P(A) + P(B).

11 Součet jevů úloha Příklad Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostky padne alespoň jedna šestka. 1. Jev A na první kostce padne šest, jev B na druhé kostce padne šest, A B na obou kostkách padla šestka, A + B šestka padla alespoň na jedné kostce. 2. P(A) = 1 6, P(B) = 1 1, P(A B) = P(A + B) = ` 1 36 = 11 : = 0;

12 Jev s podmínkou Podmíněné jevy Jev A se uskutečnil za podmínky, že se uskutečnil také jev B. Značíme AjB. Příklad Určete pravděpodobnost, že na kostce padla šestka, pokud víte, že padlo sudé číslo.

13 Příklad V jedné ze tří krabiček je ukryta výhra, v prvním kole vybere hráč jednu krabičku. Krupiér otevře ze zbývajích krabiček tu, ve které výhra určitě není. Která strategie je pro hráče ve druhém kole výhodnější? 1. Neměnit volbu, 2. změnit volbu na druhou neotevřenou krabici, 3. obě předcházející možnosti jsou stejně výhodné. Příklad (Varianta jasná) V jedné z tisíce krabiček je ukryta výhra, v prvním kole vybere hráč jednu krabičku. Krupiér otevře ze zbývajích krabiček 998 těch, ve kterých výhra určitě není. Která strategie je pro hráče ve druhém kole výhodnější?

14 Jev s podmínkou Příklad 1. v rodině jsou tři děti. 2. A v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví. 3. B v rodině se narodili dva chlapci po sobě. 4. C nejmladší z dětí v rodině je děvče. 5. AjB v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví, pokud víme, že se narodili dva chlapci po sobě 6. AjC v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví, pokud víme, že nejmladší z dětí je děvče.

15 Pravděpodobnost podmíněných jevů D 1 D 2 D 3 A B C AjB AjC H H H ˆ D H H H D H D D H H H D D H D H D D D D D ˆ P(A) = 6 8 = 3 4 ; P(AjB) = 2 3 ; P(AjC) = 3 4

16 Pravděpodobnost podmíněných jevů Podmíněná pravděpodobnost P(AjB) = P(A B) P(B) Jev nezávislý na druhém Jev A je nezávislý na jevu B, jestliže Jevy nezávislé P(A) = P(AjB) Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže ; P(B) 6= 0 P(A) = P(AjB) a P(B) = P(BjA)

17 Pravděpodobnost součinu, nezávislé jevy Věta 1. Pokud jsou jevy A a B nezávislé, pak jsou nezávislé také A 0 ; B ; A 0 ; B a A 0 ; B. 2. Jevy A a B jsou nezávislé právě, když P(A B) = P(A) P(B) : P(A B) = P(AjB) P(B) P(A B) = P(BjA) P(A)

18 Pravděpodobnost průniku Příklad Jaká je pravděpodobnost, že ze zamíchaného balíčku 32 karet vytáhnete po sobě dvě esa? B první karta je eso, A druhá karta je eso, A \ B obě (první i druhá karta) jsou esa, AjB druhá karta je eso, za podmínky, že již bylo eso vytaženo. P(B) = 4=32 ; P(AjB) = 3=31 ; P(A \ B) = P(AjB) P(B) = 3=31 4=32 : = 0;0121

19 Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev A. Pokud H 1 ; H 2 ; : : : ; H n tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(A) = nx i=1 P(H i ) P(AjH i ) : Mějme A a tři alternativní hypotézy, H 1 ; H 2 ; H 3 ; pak H 1 A H 3 A H 1 A H2 A H 3 H 2 P(A) = P(A H 1 ) + P(A H 2 ) + P(A H 3 ) P(A H i ) = P(H i )P(AjH i ); i = 1; 2; 3 P(A) = P(H 1 )P(AjH 1 )+ + P(H 2 )P(AjH 2 )+ + P(H 3 )P(AjH 3 )

20 Příklad

21 Bayesova formule (dvě alternativní hypotézy) Máme jevy A a H. Jevy H a H 0 tvoří úplnou skupinu alternativních hypotéz. P(A) = P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 ), P(A H) = P(H) P(AjH) = P(A) P(HjA), P(A H) P(HjA) = ; P(A) Bayesova věta pro dvě alternativní hypotézy Mějme jev A a alternativní hypotézy H a H 0, pak P(HjA) = P(H) P(AjH) P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 )

22 Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule Příklad Preventivní test označí správně 99 % nemocných (senzitivita) a správně označí 98 % zdravých (specificita). V populaci jsou 3 % nemocných. Zvažte, zda je účelné test provozovat. 1. Jak velkou část populace test označí pozitivně? 2. Jak velkou část nemocné populace označí test pozitivně? 3. Jak velkou část zdravé populace označí test pozitivně?

23 Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule H jedinec je nemocný, P(H) = 0;03, H 0 jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0;97, AjH nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0;99, AjH 0 zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0;02, A jedinec má pozitivní test...? H A jedinec má pozit. test a je nemocný...? H A jedinec má pozit. test a je zdravý...? P(A) = P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 ) = 0;049 P(HjA) = P(H) P(AjH) P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 ) = 0;61 P(H 0 ja) = 1 ` P(HjA) = 0;39

24 Změna zadání H jedinec je nemocný, P(H) = 0;01, H 0 jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0;97, AjH nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0;99, AjH 0 zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0;02, A jedinec má pozitivní test...? H A jedinec má pozit. test a je nemocný...? H A jedinec má pozit. test a je zdravý...? P(A) = P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 ) = 0;029 P(HjA) = P(H) P(AjH) P(H) P(AjH) + P(H 0 ) P(AjH 0 ) = 0;33 P(H 0 ja) = 1 ` P(HjA) = 0;67

25 Bayesova formule, obecně Věta (Bayesova) Mějme jev A. Pokud H 1 ; H 2 ; : : : ; H n tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(H k ja) = P(A H k) P(A) = P(H k) P(AjH k ) nx P(H i ) P(AjH i ) i=1 P(H i ) pravděpodobnost hypotézy H i a priori P(H i ja) pravděpodobnost H i a posteriori