Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4"

Transkript

1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má na posledním místě nulu. Co znamenají jevy,,,,? b) Nechť jev spočívá v tom, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou padne na horní stěně liché číslo a nechť jev znamená, že padne číslo, které je dělitelné číslem 3. Charakterizujte jevy,,,,, ( ). c) Zjednodušte následující výrazy: a. ( ) ( ) ( ) b. ( ) ( ) ( ) c. d) Navrhněte alespoň dva úplné systémy disjunktních jevů při házení standardní hrací kostkou. e) Tvoří jevy,,,, úplný systém neslučitelných jevů? f) Průmyslově vyráběný filtr je podroben třem různým zkouškám. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí při první zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí ve druhé zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí ve druhé zkoušce. Vyjádřete ve množinové symbolice pro popsané jevy,,, že filtr obstojí a. jen v první zkoušce, b. v první a ve druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce, c. ve všech třech zkouškách, d. alespoň v jedné zkoušce, e. alespoň ve dvou zkouškách, f. právě v jedné zkoušce, g. právě ve dvou zkouškách, h. maximálně ve dvou zkouškách. Řešení 1a Máme náhodně vybrané přirozené číslo. Dále je pro toto číslo zadáno: Jev znamená, že je dělitelné pěti. Jev znamená, že má na posledním místě desítkového zápisu nulu, neboli že je dělitelné deseti. Víme, že každé číslo dělitelné deseti je dělitelné i pěti. Univerzální množinou je množina všech přirozených čísel. Máme určit význam následujících jevů: Jev vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. To znamená, že je dělitelné deseti. Proto. Jev vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti nebo je dělitelné deseti. To znamená, že je dělitelné pěti. Proto. Jev vyjadřuje, že naše číslo není dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. To není možné. Proto. Jev vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti nebo není dělitelné deseti. To znamená, že nemůže být dělitelné deseti. Proto. 1

2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Jev vyjadřuje, že neplatí, že naše číslo je dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. Výraz popisující jev můžeme formálně upravit takto. To znamená, že není dělitelné pěti nebo není dělitelné deseti. Proto. Řešení 1b Při hodu standardní hrací kostkou dle zadání platí: Jev 1,3,5, jev 3,6. Univerzální množinou je 1,2,3,,5,6 Máme charakterizovat následující jevy: Jev 1,3,5 3,6 1,3,5,6 nastane, když padne jedno z čísel 1, 3, 5, 6. Jev 1,3,5 3,6 3 nastane, když padne číslo 3. Jev 1,3,5 3,6 1,5 nastane, když padne jedno z čísel 1, 5. Jev 3,6 1,2,3,,5,6 3,6 1,2,,5 nastane, když padne jedno z čísel 1, 2,, 5. Jev 1,3,5 3,6 (1,2,3,,5,6 1,3,5) 3,6 2,,6 3,6 6 nastane, když padne číslo 6. Jev ( ) (3,6 1,3,5) 1,3,5 6 1,3,5 je nemožný, neboli nenastane nikdy. Řešení 1c Máme zjednodušit zadané výrazy. Ke zjednodušení použijeme zákony komutativní, asociativní, distributivní a komplementu. Univerzální množinu neboli jev jistý označíme!.prázdnou množinu neboli jev nemožný označíme. a) ( ) ( ) ( ) "( ) # ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) "( ) # ( ) (! ) ( ) ( ) ( ) ( )! c) ( ) $ %& ( ) ( ) ( )! Řešení 1d Standardní hrací kostka má množinu možných jevů při jednom hodu! 1, 2, 3,, 5, 6. Máme navrhnout nejméně dva úplné systému disjunktních jevů. Tvorba takového systému spočívá v rozdělení! na dvě (nebo více) množiny, takové, že platí úplnost! a disjunktnost. Možným systémem je rozdělení na sudá a lichá čísla, neboli 2,, 6, 1, 3, 5. Možným systémem je rozdělení na nízká a vysoká čísla, neboli 1, 2, 3,, 5, 6. Možným systémem je rozdělení 1, 6, 2, 3,, 5. Možným systémem je rozdělení 1, 2, 3,, 5, 6. Možným systémem je rozdělení 1, 2, 3,, 5, 6. Je možné nalézt řadu dalších systémů vyhovujících zadání. Řešení 1e Máme zadané jevy,,,, 2

3 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Tyto jevy jsou neslučitelné (disjunktní), jsou-li neslučitelné pro každé dva z těchto jevů. Neslučitelnost znamená, že mají prázdný průnik. To musíme prověřit pro každou dvojici jevů. Ke zjednodušení použijeme zákony komutativní, asociativní, distributivní a komplementu. Univerzální množinu neboli jev jistý označíme!.prázdnou množinu neboli jev nemožný označíme. $ & $ & $ & $ & $ & $ & Tím jsme ověřili, že dané jevy jsou nezávislé. Aby uvedené jevy tvořily úplný systém, musí jejich sjednocení dát jev jistý. To musíme rovněž prověřit. Přitom bychom využili stejné zákony jako dříve. Nicméně algebraický důkaz tohoto faktu je poměrně náročný. Velmi jednoduché je ale prokázat tuto skutečnost pomocí Vennova diagramu. Vzhledem k tomu, že prověření neslučitelnosti i úplnosti dalo správný výsledek, můžeme konstatovat, že daný systém tvoří úplný systém neslučitelných jevů. 3

4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Řešení 1f Máme náhodné jevy filtr obstojí v první zkoušce, filtr obstojí ve druhé zkoušce, filtr obstojí ve třetí zkoušce. V množinové symbolice máme vyjádřit následující situace, že filtr obstojí: a) jen v první zkoušce. V této situace musí současně nastat jevy, a. Tuto současnost vyjádříme průnikem. b) v první a ve druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce. Na základě stejného principu tuto situaci vyjádříme c) ve všech třech zkouškách. Na základě stejného principu tuto situaci vyjádříme d) alespoň v jedné zkoušce. Toto je situace opačná (neboli doplňkový jev) k situaci, že filtr neobstojí v žádné zkoušce. To vyjádříme takto! ( ) e) alespoň ve dvou zkouškách. Tato situace je sjednocením jevů, že obstojí právě dvakrát a že obstojí právě třikrát. To vyjádříme jako ( ) ( ) ( ) ( ) f) právě v jedné zkoušce. Vyjádříme takto ( ) ( ) ( ) g) právě ve dvou zkouškách. Vyjádříme takto ( ) ( ) ( ) h) maximálně ve dvou zkouškách. Toto je doplňkový jev k jevu neobstojí ve třech zkouškách. To vyjádříme jako! ( )

5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 2 a) Určete pravděpodobnost toho, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou: a. padne číslo 6; b. padne liché číslo; c. nepadne číslo. b) V sadě 100 žárovek je 2 vadných (ostatní jsou v pořádku). Určete pravděpodobnost toho, že mezi 11 náhodně vybranými žárovkami budou právě 2 vadné. c) V krabici je 5 bílých, 6 modrých a 7 červených kuliček. Náhodně z ní (bez vracení do krabice) vyberte 9 kuliček. Jaká je pravděpodobnost toho, že jste vybrali 2 bílé, 3 modré a červené kuličky? d) V urně je 19 kuliček, z nichž je každá očíslovaná právě jedním z čísel 1, 2,..., 19. Náhodně z ní vytáhneme jednu kuličku. Určete pravděpodobnost toho, že vytažená kulička je označená číslem, které je dělitelné dvěma nebo třemi. Řešení 2a Označme ' náhodný jev výsledek hodu standardní hrací kostkou. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu kostkou je ( 1,2,3,,5,6 Protože předpokládáme standardní (necinklou, poctivou) hrací kostku, mají jednotlivé hodnoty stejnou pravděpodobnost, neboli platí )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) )(' 5) )(' 6) 1 6 a) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo 6, neboli hledáme )(' 6). Tou je, jak vidíme výše )(' 6) 1 6 b) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo liché. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' *) pro * 1,,6 jsou disjunktní. Hledáme tedy )(' 1) )(' 3) )(' 5) c) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou nepadne číslo. Stačí si uvědomit, že na základě předchozí úvahy nalezneme snadno řešení přímou cestou. )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' 5) )(' 6) Jiným způsobem, jak vyřešit tuto podúlohu je využít toho, že jev nepadne číslo je doplňkovým jevem k jevu padne číslo. hladanou pravděpodobnost pak můžeme vypočítat snadno takto )(' ) 1 )(' ) Řešení 2b V sadě je 100 žárovek, z nichž je 2 vadných. Náhodně vybereme 11 žárovek. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných žárovek jsou právě 2 vadné. Skupinu 11 libovolných žárovek ze 100 žárovek v sadě můžeme vybrat celkem 1(11; 100) způsoby. V sadě je tedy 2 vadných a 76 bezvadných žárovek. Je důležité uvědomit si, že při postupném 5

6 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží a budeme tedy používat kombinace bez opakování. Označme ' *, pro * 0,,11 náhodný jev vybrání * vadných žárovek z 11 náhodně vybraných žárovek ze sady se 100 žárovkami. V této situaci tedy platí )(' *) 1(*; 2) 1(11 *; 76) 1(11; 100) Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Nás konkrétně zajímá )(' 2) Snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' 2) 1(2; 2) 1(11 2; 76) 1(11; 100) 1(2; 2) 1(11 2; 76) 1(11; 100) $67 6 & $ 9: ;;<6 & $ ;; & $ $67 8 & $ 9: ;;<8 & $ ;; & $67 6 & $ 9: ;;<6 & $ ;; & 67 6 & $9: > & $ ;; & , Řešení 2c Celkem je v krabici 18 kuliček. Z nich vybereme 9 kuliček. To lze udělat celkem 1(9; 18) způsoby. Máme vypočítat pravděpodobnost toho, že jsme vybrali právě 2 bílé, 3 modré a červené kuličky. Přitom vybíráme 2 bílé kuličky z 5, 3 modré kuličky z 6 a červené kuličky ze 7. To lze udělat celkem 1(2; 5) 1(3; 6) 1(; 7) způsoby. Tedy pravděpodobnost toho, že vybereme 2 bílé, 3 modré a červené kuličky je 1(2; 5) 1(3; 6) 1(; 7) $A 6 & $: B & $9 7 & 5 1(9; 18) $ ;C > & ,1397 Řešení 2d Označme ' náhodný jev vytažení kuličky označené číslem dělitelným dvěma. Takových kuliček je v sadě 19 kuliček celkem 9. Jde o kuličky 2,, 6, 8, 10, 12, 1, 16, 18. Tedy )(') 9 19 Označme D náhodný jev vytažení kuličky označené číslem dělitelným třemi. Takových kuliček je v sadě 19 kuliček celkem 6. Jde o kuličky 3, 6, 9, 12, 15, 18. Tedy )(D) 6 19 Máme určit pravděpodobnost toho, že vytažená kulička je označená číslem, které je dělitelné dvěma nebo třemi. K výpočtu využijeme vztahu )(' D) )(') )(') )(' D) 6

7 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST K uzavření výpočtu potřebujeme znát )(' D). Je zřejmé že čísla současně dělitelná dvěma i třemi jsou 6, 12, 18. Tato množina má tři prvky. Odtud )(' D) 3 19 Nyní můžeme dosadit do vztahu, který nám dá výsledek. )(' D) )(') )(') )(' D) ,

8 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než? b) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je větší než 3? c) Z 32 hracích karet vybíráme 7. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi nimi budou tři srdce? d) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí pětkrát po sobě padne hlava? e) Kupující chce koupit jeden chléb a konzervu. V obchodě mají 30 kusů chleba, z toho 5 z minulého dne a 20 konzerv s nečitelným datem výroby, z toho 1 po záruční lhůtě. Jaká je pravděpodobnost, že zákazník koupí čerstvý chléb a konzervu v záruce? f) Roztržitá sekretářka náhodně vloží tři dopisy do tří obálek. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden adresát dostane správný dopis? g) V obchodě je vystaveno 10 hrnců, z toho 2 mají skrytou vadu. Kupující si koupí dva kusy. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich má skrytou vadu? h) Házíme sedmkrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě třikrát? i) Test obsahuje 10 otázek, ke každé jsou čtyři různé odpovědi, právě jedna z nich je správná. Na absolvování zkoušky je třeba správně odpovědět alespoň na 5 otázek. Jaká je pravděpodobnost, že úplně nepřipravený uchazeč udělá zkoušku? j) V osudí je 100 lístků označených čísly 1 až 100. S jakou pravděpodobností vytáhneme číslo, které je dělitelné dvěma nebo pěti? k) V bedně je 9 výrobků, z nich je celkem 3 vadných. Náhodně z bedny vytáhneme 6 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že z vytažených výrobků jsou alespoň čtyři bez vady? l) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je 9? m) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne: a. sudé číslo, b. číslo dělitelné třemi, c. číslo menší než šest? n) V laboratoři je 60 baněk, z nichž je 6 špatně označených. Jaká je pravděpodobnost, že pokud vybereme 5 baněk, budou z nich právě 3 správně označené? o) Jaká je pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici, kterou tvoříme z 19 chlapců a 12 dívek, budou: a. samí chlapci, b. samé dívky, c. 2 chlapci a 1 dívka? p) V bedně s 30 výrobky jsou 3 vadné. Urči pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně vybranými výrobky budou nejvýše 2 vadné. q) Chlapec napsal libovolné číslo od 1 do 20. Jaká je pravděpodobnost, že napsal prvočíslo? r) Zuzka má k dispozici cifry 0, 2, 3,, 5, 6, 7, každou z nich nejméně třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že jestliže vytvoří libovolné trojmístné číslo z daných cifer, tak to bude číslo 5? s) Ze 100 párů bot je 5 párů vadných. Kontrolor náhodně vybere páry bot. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden pár bude vadný? 8

9 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Řešení 3a Označme ' náhodný jev výsledek hodu standardní hrací kostkou. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu kostkou je ( 1,2,3,,5,6 Protože předpokládáme standardní (necinklou, poctivou) hrací kostku, mají jednotlivé hodnoty stejnou pravděpodobnost, neboli platí )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) )(' 5) )(' 6) 1 6 Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než, neboli hledáme )(' > ). Stačí si uvědomit, že čísla na kostce větší než jsou pouze 5 a 6 a to, že výsledky hodu 5 a 6 jsou disjunktní jevy. Pak již snadno postupujeme k výsledku )(' > ) )$(' 5) (' 6)& )(' 5) )(' 6) , Řešení 3b Označme ' náhodný jev výsledek hodu dvěma standardními hracími kostkami. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu dvěma kostkami je množina uspořádaných dvojic ( G I, J ; I, J 1,2,3,,5,6M Zde je I výsledek hodu na první kostce a J výsledek hodu na druhé kostce. Tuto množinu si můžeme vypsat i detailně. 1,1, 1,2, 1,3, 1,, 1,5, 1,6, Q T 2,1, 2,2, 2,3, 2,, 2,5, 2,6, O O 3,1, 3,2, 3,3, 3,, 3,5, 3,6, ( P,1,,2,,3,,,,5,,6, S O 5,1, 5,2, 5,3, 5,, 5,5, 5,6, O N 6,1, 6,2, 6,3, 6,, 6,5, 6,6 R Jde o 2-členné kombinace z 6 prvků. Tato množina má celkem 36 prvků, všechny mají stejnou pravděpodobnost rovnou Je zřejmé, že z těchto 36 prvků mají součet větší než 3 všechny prvky, kromě tří prvků 1,1, 1,2, 2,1 Takže 33 prvků má součet větší než 3. Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami dostaneme součet větší než 3, tedy je , Jiné řešení Úlohu lze pochopitelně řešit mnoha různými způsoby. Zkusme si vypočítat hledanou pravděpodobnost ještě jednou zcela odlišným způsobem. Označme ' náhodný jev součet hodnot při hodu dvěma standardními hracími kostkami. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků při hodu dvěma kostkami je množina ( 2,3,,5,6,7,8,9,10,11,12 Na základě předchozího rozboru možných výsledků platí )(' 2) 1 36, )(' 3) 2 36, )(' ) 3 36, )(' 5) 36, )(' 6) 5 36, )(' 7) 6 36, )(' 8) 5 36, )(' 9) 36, 9

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST )(' 10) 3 36, )(' 11) 2 36, )(' 12) 1 36, Všimněme si, že v čitatelích jsou počty prvků na vedlejších diagonálách matice, do níž jsme uspořádali v předchozím řešení detailní výpis množin (. Máme vypočítat )(' > 3). Uvědomíme si, že jednotlivé možné součty jsou disjunktní jevy. Pak již snadno odvodíme )(' > 3) )$(' ) (' 5) (' 6) (' 7) (' 8) (' 9) (' 10) (' 11) (' 12)& )(' ) )(' 5) )(' 6) )(' 7) )(' 8) )(' 9) )(' 10) )(' 11) )(' 12) , Ještě jiné řešení Oba předchozí postupy je možné vést nikoli přímo, ale přes pravděpodobnost doplňkového jevu. Budeme tedy postupovat takto )(' > 3) 1 )(' 3) 1 )$(' 2) (' 3)& 1 $)(' 2) )(' 3)& 1 W X , Vidíme, že vzhledem k charakteru úlohy přinesl postup přes doplňkový jev výrazné zkrácení výpočtu. Řešení 3c Standardní sada 32 hracích karet (mariášová) obsahuje barvy (červené, zelené, kule, žaludy) po 8 hodnotách (7, 8, 9, 10, spodek, svršek, král a eso). Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 kartami vytaženými náhodně z této sady budou právě 3 srdce (červené). Je zřejmé, že rozsah úlohy již neumožňuje rozumné řešení vypsáním jednotlivých možností. Je také zřejmé, že pro tuto úlohu nejsou důležité hodnoty jednotlivých karet. Tuto druhou skutečnost bychom mohli využít pro vlastní výpočet pravděpodobnosti, není to ale nutné. Je ale naprosto nutné uvědomit si, že nezáleží na pořadí tažení jednotlivých karet. Nejprve zkoumejme náhodný jev výběru 7 karet z balíčku 32 karet. Obor hodnot tohoto jevu má velikost rovnou počtu 7-členných kombinací z 32 prvků (nezáleží na pořadí), neboli 1(7; 32). Nyní se zabývejme tím, kolik z těchto možností obsahuje právě 3 srdce. Tři srdcové karty vybíráme z 8 srdcových (červených) karet, počet všech možných výběrů těchto tří srdcových karet tedy je 1(3; 8). K těmto třem srdcovým kartám musíme vybrat ještě čtyři karty nesrdcové ze zbylých 2 karet. Počet možností, jak tyto karty vybrat je tedy 1(; 2). Celkem tedy můžeme vybrat 7 karet, z nichž právě 3 jsou srdcové, celkem 1(3; 8) 1(; 2) způsoby. Označíme-li ' náhodný jev výběru 7 karet, z nichž právě 3 jsou srdcové, ze standardního balíčku 32 karet, pak )(') 1(3; 8) 1(; 2) 1(7; 32) $C B & $67 7 & $ B6 9 & ,

11 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Řešení 3d Při hodu mincí (necinknutou, spravedlivou) je pravděpodobnost, že v jednom hodu padne hlava (líc, panna) stejná, jako pravděpodobnost, že padne orel (rub). V obou případech je tato pravděpodobnost rovna 1 2. Při opakovaném hodu mincí výsledek pokusu nijak nezávisí na výsledcích předchozích pokusů. Pravděpodobnosti pro jednotlivé hody tedy musíme násobit. Označíme-li ' náhodný jev, že při pěti hodech mincí padne pokaždé hlava, pak )(') W1 2 X A 1 2 A , Jiné řešení K řešení lze přistoupit i jinak. Označíme-li Y výsledek hodu hlava (panna) a Z výsledek hodu orel a uskutečníme-li 5 hodů mincí, pak počet možných výsledků tohoto náhodného jevu je počet 5- členných variací ze dvou prvků s opakováním (záleží na pořadí), neboli! [ (5; 2) 2 A 32 Nás zajímá pravděpodobnost, že pokaždé padne hlava. Variace (Y, Y, Y, Y, Y) je v tomto počtu pouze jednou. Z toho je zřejmé, že samozřejmě dostaneme stejný výsledek. Řešení 3e Označme D náhodný jev výběru 1 čerstvého bochníku chleba z 30 kusů, z nichž je 5 z minulého dne. Označme \ náhodný jev výběru 1 konzervy v záruční lhůtě z 20 kusů, z nichž je 1 po záruce. V této situaci platí )(D) , )(\) Označme ' D \ náhodný jev současného výběru 1 čerstvého bochníku a 1 konzervy v záruční lhůtě. Potom )(') )(D) )(\) , Řešení 3f Celou situaci si můžeme znázornit tak, že jednotlivé dopisy označíme I ;, I 6, I B a nalezneme všechny jejich permutace (jako různé uspořádané trojice). Přitom I ] na ^- pozici představuje situaci vložení _- tého dopisu do ^-té obálky. Těchto permutací je )(3) 3! 6 Detailně vypsáno jde o tyto permutace (I ;, I 6, I B ), (I ;, I B, I 6 ), (I 6, I ;, I B ), (I 6, I B, I ; ), (I B, I ;, I 6 ), (I B, I 6, I ; ) Označme ' * náhodný jev vložení * správných dopisů ze 3 do 3 nadepsaných obálek. Jevu ' 0 odpovídají permutace (I 6, I B, I ; ), (I B, I ;, I 6 ). Jevu ' 1 odpovídá permutace (I ;, I B, I 6 ), (I B, I 6, I ; ), (I 6, I ;, I B ). Jevu ' 2 neodpovídá žádná permutace. Jevu ' 3 odpovídá permutace (I ;, I 6, I B ). Tedy )(' 0) , )(' 1) , )(' 2) 0 6 0, )(' 3) 1 6, 11

12 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Máme nalézt pravděpodobnost, že do správné obálky bude vložen alespoň jeden dopis. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' *), pro * 0,1,2,3 jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat )(' 1) )$(' 1) (' 2) (' 3)& )(' 1) )(' 2) )(' 3) , Řešení 3g Máme vypočítat pravděpodobnost výběru dvou hrnců, z nichž alespoň jeden je vadný, z 10 kusů hrnců, z nichž jsou právě dva vadné. Označme ' * náhodný jev výběru dvou hrnců, z nichž právě * je vadných, z 10 kusů hrnců, z nichž jsou právě dva vadné. Zde * 0, 1, 2. Celkový počet možností, jak vybrat 2 hrnce z 10 je 2-členná kombinace z 10 prvků, tedy 1(2; 10). Dále platí pro výběr dvou nezávadných hrnců )(' 0) 1(2; 10 2) 1(2; 10) $<6 6 & $ 6 & $ 12 C 6 & $ 6 & Pro výběr právě jednoho vadného a jednoho nezávadných hrnců platí )(' 1) 1(1; 2) 1(1; 10 2) 1(2; 10) Pro výběr právě dvou vadných hrnců platí )(' 2) 1(2; 2) 1(0; 10 2) 1(2; 10) $6 ; &$<6 ; & $ 6 & $ $6 6 &$<6 & $ 6 & $ 6 ; &$C ; & $ 6 & 6 6 &$C & $ 6 & Je zřejmé, že jevy )(' *), pro * 0,1,2 jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat )(' 1) )$(' 1) (' 2)& )(' 1) )(' 2) , Řešení 3h Máme vypočítat pravděpodobnost, že při sedmi hodech standardní hrací kostkou padne šestka právě třikrát. Tento náhodný jev označme '. Je zřejmé, že výsledek jednotlivých hodů kostkou nezávisí na předchozích hodech. Pravděpodobnost, že v jednom hodu padne šestka je 1 6. Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne jakákoli jiná hodnota než šest (doplňkový jev) je 5 6. Je zřejmé, že celkový počet možných výsledků sedmi hodů standardní kostkou je počet 7-členných variací z 6 prvků s opakováním, neboli! [ (7; 6) 6 9 Počet způsobů, jimiž může padnout šestka při 3 hodech ze 7 je 1(3, 7). Počet způsobů jakým mohou dopadnout ostatní čtyři hody je! [ (; 5). Velikost oboru hodnot náhodné proměnné ' je součinem těchto hodnot. Odtud již je zřejmé, že )(') 1(3; 7)![ (; 5)! [ $9 B & (7; 6) A ,07813

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Řešení 3i Označme ' * náhodný jev úspěšné odpovědi zcela nepřipraveným uchazečem právě na * otázek testu, skládajícího se z 10 otázek po odpovědích, z nichž vždy právě 1 je správná. Pravděpodobnost výběru správné odpovědi na jednu konkrétní otázku je tedy1 a pravděpodobnost výběru nesprávné odpovědi je 3. Počet způsobů, jak vybrat * správně zodpovězených otázek z deseti je 1(*; 10). Počet způsobů, jak vybrat zbylé chybné odpovědi je 1(10 *; 10). Pravděpodobnost náhodného výběru * správně zodpovězených otázek z deseti je tedy 1(*; 10) W 1 8 X Pravděpodobnost náhodného výběru 10 * chybně zodpovězených otázek z deseti je W 3 X <8 Součin těchto hodnot je počet způsobů, jak náhodně správně odpovědět na * otázek z 10. Platí tedy )(' *) 1(*; 10) W 1 8 X W 3 <8 X Jednotlivé náhodné jevy )(' *), pro * 0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jsou vzájemně disjunktní. Máme nalézt )(' 5). Je zřejmé, že nyní již můžeme počítat )(' 5) )$(' 5) (' 6) (' 7) (' 8) (' 9) (' 10)& )(' 5) )(' 6) )(' 7) )(' 8) )(' 9) )(' 10) b 1(*; 10) W 1 8 X W 3 <8 X 8cA 1(5; 10) W 1 A X W 3 <A X 1(6; 10) W 1 : X W 3 <: X 1(7; 10) W 1 9 X W 3 <9 X 1(8; 10) W 1 C X W 3 <C X 1(9; 10) W 1 > X W 3 <> X 1(10; 10) W 1 X W 3 X < 1(5; 10) W 1 A X W 3 A X 1(6; 10) W 1 : X W 3 7 X 1(7; 10) W 1 9 X W 3 B X 1(8; 10) W 1 C X W 3 6 X 1(9, 10) W 1 > X W 3 ; X 1(10; 10) W 1 X W 3 X W 10 5 X W1 X A W 3 X A W 10 6 X W1 X : W 3 X 7 W 10 7 X W1 X 9 W 3 X B W 10 8 X W1 X C W 3 X 6 W 10 9 X W1 X > W 3 X ; W X W1 X W 3 X A A 3A A : : B B C C > > 3; ; A B ;

14 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST A 37 3B 36 3; A 37 3B 36 3; A B ; , Poznámka Numerický výpočet bylo možné si zjednodušit pomocí výpočtu pravděpodobnosti doplňkového jevu takto )(' 5) 1 )(' < 5) 1 )$(' 0) (' 1) (' 2) (' 3) (' )& 1 $)(' 0) )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' )& 7 1 b 1(*, 10) W 1 8 X W 3 <8 X 1 8c e1(0, 10) W 1 X W 3 < X 1(1, 10) W 1 ; X W 3 <; X 1(2, 10) W 1 6 X W 3 <6 X 1(3, 10) W 1 B X W 3 <B X 1(, 10) W 1 7 X W 3 <7f X 1 e1(0, 10) W 1 X W 3 X 1(1, 10) W 1 ; X W 3 > X 1(2, 10) W 1 6 X W 3 C X 1(3, 10) W 1 B X W 3 9 X 1(, 10) W 1 7 X W 3 :f X 1 gw 10 0 X W1 X W 3 X W 10 1 X W1 X ; W 3 X > W 10 2 X W1 X 6 W 3 X C W 10 3 X W1 X B W 3 X 9 1 W 10 X W1 X 7 W 3 X :h e ; ; 3> > C C B B : 3 10 :f 1 e1 1 3> C : 1 e1 3 3> 3C 39 3: e1 3 3> 3C 39 3: f 1 e > 5 3C : f f f

15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 1 e > 5 3 C : f W X W X , Dle očekávání jsme dostali stejný výsledek. Výpočet byl ale opravdu jen mírně jednodušší. Doplňkový jev má jen o jeden člen méně, než jev zkoumaný. Kontrola Při výpočtu pravděpodobnosti je někdy problematické dělat zkoušku výpočtu. Dobrá kontrola ale je udělat test, že pravděpodobnost úplného jevu určeného způsobem použitým ve výpočtu je rovna jedné. V tomto případě jde konkrétně o to, že úplný náhodný jev má podle binomické věty pravděpodobnost rovnou jedné. Viz následující výpočet b )(' *) b 1(*; 10) W 1 8 X W 3 <8 X b W 10 8 * X W1 X W 3 <8 X W 1 3 X 1 1 8c 8c 8c Řešení 3j Máme najít pravděpodobnost vytažení čísla dělitelného 5 nebo 2 ze sady čísel 1 až 100. Oborem hodnot náhodného jevu ' tažení čísla ze sady 1 až 100 jsou čísla 1 až 100. Těchto čísel je 100. Označme ' 6 náhodný jev vytažení čísla dělitelného 2. V sadě 1 až 100 je celkem 50 čísel dělitelných 2. Označme ' A náhodný jev vytažení čísla dělitelného 5. V sadě 1 až 100 je celkem 20 čísel dělitelných 5. Důležité je uvědomit si, že náhodné jevy ' 6 a ' A nejsou disjunktní. Čísla dělitelná 10 jsou totiž dělitelná jak 2, tak 5. Takových čísel v sadě 1 až 100 je celkem 10. Proto platí )(' 6 ' A ) )(' 6 ) )(' A ) )(' 6 ' A ) Z předchozího jasně vyplývá )(' 6 ) )(' A ) )(' 6 ' A ) Odtud již přímo po dosazení snadno dostaneme výsledek úlohy )(' 6 ' A ) ,6 Řešení 3k V bedně je 9 výrobků, z nichž je 3 vadných. Náhodně vybereme 6 výrobků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vytažených výrobků jsou alespoň čtyři bez vady. 6 libovolných výrobků ze 9 výrobků v bedně můžeme vybrat celkem 1(6; 9) způsoby. V bedně je tedy 3 vadných a 6 bezvadných výrobků. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3,, 5, 6 náhodný jev vybrání * bezvadných výrobků z 6 náhodně vybraných z bedny se 9 výrobky. V této situaci tedy platí 15

16 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Potom )(' *) )(' 0) )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) )(' 5) )(' 6) 1(*; 6) 1(6 *; 3) 1(6; 9) 1(0; 6) 1(6 0; 3) 1(6, 9) 1(1; 6) 1(6 1; 3) 1(6; 9) 1(2; 6) 1(6 2; 3) 1(6; 9) 1(3; 6) 1(6 3; 3) 1(6; 9) 1(; 6) 1(6, 3) 1(6; 9) 1(5; 6) 1(6 5; 3) 1(6; 9) 1(6; 6) 1(6 6; 3) 1(6; 9) $: 8 & $ 7B :<8 & : & $: & $ 7B :< & : & $: ; & $ 7B :<; & : & $: 6 & $ 7B :<6 & : & $: B & $ 7B :<B & : & $: 7 & $ 7B :<7 & : & $: A & $ 7B :<A & : & $: : & $ 7B :<: & : & Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ) )$(' ) (' 5) (' 6)& )(' ) )(' 5) )(' 6) $: 7 & $ 7B :<7 & : & $ : A & $ 7B :<A & : & $ : : & $ 7B :<: & : & , Řešení 3l Házíme dvěma standardními hracími kostkami. Obor hodnot náhodného jevu hodu dvěma kostkami má 36 prvků a detailně vypsáno je jím množina 1,1, 1,2, 1,3, 1,, 1,5, 1,6, Q T 2,1, 2,2, 2,3, 2,, 2,5, 2,6, O O 3,1, 3,2, 3,3, 3,, 3,5, 3,6, ( P,1,,2,,3,,,,5,,6, S O 5,1, 5,2, 5,3, 5,, 5,5, 5,6, O N 6,1, 6,2, 6,3, 6,, 6,5, 6,6 R Zajímá nás pravděpodobnost náhodného jevu ', kdy součet hodnot na obou kostkách je 9. To se stane jen v následujících čtyřech případech 3,6,,5, 5,, 6,3.Odtud snadno dostaneme )(') ,

17 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Řešení 3m Házíme standardní hrací kostkou. Výsledkem každého hodu je jedna z 6 možností. a) Z těchto 6 možností jsou 3 sudá čísla. Proto pravděpodobnost, že padne sudé číslo, je ,5 b) Z těchto 6 možností jsou 2 čísla dělitelná třemi. Proto pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné třemi, je , c) Z těchto 6 možností je 5 čísel menších než 6. Proto pravděpodobnost, že padne číslo menší než 6, je 5 6 0, Řešení 3n V laboratoři je 60 baněk, z nichž je 6 špatně označených. Náhodně vybereme 5 baněk. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných baněk jsou právě 3 správně označené. 5 libovolných baněk ze 60 můžeme vybrat celkem 1(5; 60) způsoby. V laboratoři je tedy 6 vadně označených a 5 dobře označených baněk. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3,, 5 náhodný jev vybrání * správně označených baněk z 5 náhodně vybraných z laboratoře se 60 baňkami. V této situaci tedy platí )(' *) 1(*; 5) 1(5 *; 6) 1(5; 60) Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Potom konkrétně )(' 3) 1(3; 5) 1(5 3; 6) 1(5; 60) $A7 8 & $ : A<8 & $ : A & $A7 B & $ : A<B & $ : A & Máme vypočítat )(' 3) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. 1(3; 5) 1(5 3; 6) )(' 3) $A7 B & $ : A<B & 1(5; 60) $ : A & $ A7 B & $: 6 & 1882 $ : A & , Řešení 3o Máme 19 chlapců a 12 dívek, to je celkem 31 osob. Z nich náhodně vytvoříme trojici. Počet trojic, které lze z těchto chlapců a dívek je 1(3; 31). a) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou samí chlapci (těch je 19) je 1(3; 19) 1(3; 31) $;> B & $ B; B & , b) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou samé dívky (těch je 12) je 17

18 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 1(3; 12) 1(3; 31) $;6 B & $ B; B & ,0893 c) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou právě dva chlapci (těch je 19) a právě jedna dívka (těch je 12) je 1(2; 19) 1(1; 12) $;> 6 &$;6 ; & (3; 31) $ B; B & , Řešení 3p V bedně je 30 výrobků, z nichž jsou 3 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných výrobků jsou nejvýše 2 vadné. 5 libovolných výrobků ze 30 výrobků v bedně můžeme vybrat celkem 1(5; 30) způsoby. V bedně je tedy 3 vadných a 27 bezvadných výrobků. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3 náhodný jev vybrání * vadných výrobků z 5 náhodně vybraných z bedny se 30 výrobky. V této situaci tedy platí Potom )(' *) )(' 0) )(' 1) )(' 2) )(' 3) 1(*; 3) 1(5 *; 27) 1(5; 30) 1(0; 3) 1(5 0; 27) 1(5; 30) 1(1; 3) 1(5 1; 27) 1(5; 30) 1(2; 3) 1(5 2; 27) 1(5; 30) 1(3; 3) 1(5 3; 27) 1(5; 30) $B 8 & $ 69 A<8 & $ B A & $B & $ 69 A< & $ B A & $B ; & $ 69 A<; & $ B A & $B 6 & $ 69 A<6 & $ B A & $B B & $ 69 A<B & $ B A & Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' 2) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' 2) )$(' 0) (' 1) (' 2)& )(' 0) )(' 1) )(' 2) $B & $ 69 A< & $ B A & $ B ; & $ 69 A<; & $ B A & $ B 6 & $ 69 A<6 & $ B A & $ B & $69 A & $ B A & $ B ; & $69 7 & $ B A & $ B 6 & $69 B & $ B A & , Řešení 3q Máme určit pravděpodobnost, že libovolně náhodně vybrané číslo od 1 do 20 je prvočíslo. V tomto rozsahu jsou jen následující prvočísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Těch je celkem osm. Hledaná pravděpodobnost tedy je 18

19 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST , Řešení 3r Máme k dispozici cifry 0, 2, 3,, 5, 6, 7 (je jich sedm), každou z nich nejméně třikrát. Máme určit pravděpodobnost toho, že libovolně vytvořené trojmístné číslo z těchto cifer je rovno 5. Pozor, číselná skupina ze tří cifer začínající nulou se nepovažuje za trojmístné číslo. Trojmístné číslo z daných cifer vytvoříme tak, že na první pozici bude libovolná z šesti cifer (daná skupina kromě nuly), na druhém místě bude libovolná z daných sedmi cifer a na třetím místě bude rovněž libovolná z daných sedmi cifer. Počet tato vytvořených třímístných čísel tedy je Zkoumaný náhodný jev se vztahuje ke třímístnému číslu 5. To je jedna z předchozích 29 možností. Hledaná pravděpodobnost tedy je , Řešení 3s Máme 100 párů bot, z nichž je 5 párů vadných. Náhodně vybereme páry. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných párů bot je alespoň jeden pár vadný. libovolné páry ze 100 párů můžeme vybrat celkem 1(; 100) způsoby. Máme tedy 5 vadných a 95 bezvadných párů. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3, náhodný jev vybrání * vadných párů ze náhodně vybraných ze 100 párů. V této situaci tedy platí Potom )(' *) )(' 0) )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) 1(*; 5) 1( *; 95) 1(; 100) 1(0; 5) 1( 0; 95) 1(; 100) 1(1; 5) 1( 1; 95) 1(; 100) 1(2; 5) 1( 2; 95) 1(; 100) 1(3; 5) 1( 3; 95) 1(; 100) 1(; 5) 1( ; 95) 1(; 100) $A 8 & $ >A 7<8 & $ 7 & $A & $ >A 7< & $ 7 & $A ; & $ >A 7<; & $ 7 & $A 6 & $ >A 7<6 & $ 7 & $A B & $ >A 7<B & $ 7 & $A 7 & $ >A 7<7 & $ 7 & Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' 1) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' 1) )$(' 1) (' 2) (' 3) (' )& )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) $A ; & $ >A 7<; & $ 7 & $ A 6 & $ >A 7<6 & $ 7 & $ A B & $ >A 7<B & $ 7 & $ A 7 & $ >A 7<7 & $ 7 & 19

20 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST $A ; & $>A B & $ 7 & $ A 6 & $>A 6 & $ 7 & $ A B & $>A ; & $ 7 & $ A 7 & $>A & $ 7 & ,

21 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad a) V osudí se losuje 5 čísel z 35. Za 3 uhodnuta čísla se vyplácí třetí cena. Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme právě třetí cenu, pokud podáme tiket s jednou pěticí čísel? b) V obchodním domě mají 100 televizorů, z toho je 85 první a 15 druhé jakosti. Prvních deset kupujících dostalo televizor první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že jedenáctému předvedou televizor druhé jakosti? c) V urně jsou bílé a 3 modré kuličky. Náhodně vytáhneme 2 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že: a. obě kuličky jsou bílé, b. jedna kulička je bílá a jedna modrá? d) Házíme třemi kostkami. a. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 9? b. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 10? c. Odůvodněte, proč při hodu třemi kostkami součet 10 padá častěji než součet 9. e) Ve skladu je 800 součástek, z toho 20 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 9 náhodně vybranými součástkami nebudou více než 3 vadné? f) Ve třídě je 30 žáků. Sedm z nich nemá domácí úkol. Učitel vyvolá náhodně 6 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň z nich vypracovali domácí úkol? g) Čtyři pánové si odloží v šatně čtyři stejné klobouky. Jaká je pravděpodobnost, že při odchodu alespoň jeden z nich dostane zpět svůj klobouk? h) Házíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že poprvé padne sudé číslo, podruhé číslo větší než čtyři a potřetí liché číslo? i) Tři střelci střílejí každý jednou na stejný terč. První zasáhne cíl s pravděpodobností 70%, druhý s pravděpodobností 80% a třetí s pravděpodobností 90%. Jaká je pravděpodobnost, že cíl zasáhnou a. alespoň jednou, b. alespoň dvakrát? j) Pravděpodobnost, že žárovka bude svítit déle než 800 hodin, je 0,2. Na chodbě jsou tři žárovky. Jaká je pravděpodobnost, že po 800 hodinách provozu bude svítit alespoň jedna z nich? k) V sportce se losuje 6 čísel ze 9. Jaká je pravděpodobnost, že, pokud jsme tipovali jednu šestici čísel, vyhrajeme a. první cenu (tipneme 6 čísel správně), b. druhou cenu (tipneme 5 čísel správně), c. třetí cenu (tipneme čísla správně), d. čtvrtou cenu (tipneme 3 čísla správně)? Řešení a Losuje se 5 čísel z 35. Počet možných kombinací losovaných čísel je tedy 1(5; 35). Tiket byl podán s jednou pěticí čísel. Označme ' * náhodný jev shody * čísel vylosované kombinace a kombinace 5 čísel zapsané na tiketu. Náhodně vybranou *-tici čísel z pěti zapsaných na tiketu lze vybrat celkem 1(*; 5) způsoby, zbylých 5 * čísel může být libovolně vybráno z nevylosovaných čísel, tedy celkem 1(5 *; 35 5) způsoby. Tedy obecně 21

22 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Hledáme )(' 3) )(' *) 1(3; 5) 1(5 3; 35 5) 1(5; 35) (*; 5) 1(5 *; 35 5) 1(5; 35) $A B & $BA<A A<B & $ BA A & $ A B & $B 6 & $ BA A & , Řešení b K dispozici bylo 85 televizorů první jakosti a 15 druhé jakosti. Prvních deset kupujících dostalo televizor první jakosti. Zbylo tedy 75 televizorů první a 15 televizorů druhé jakosti, tedy celkem 90 televizorů. Prodej dalšímu zákazníkovi závisí vždy na aktuálním stavu zboží, nikoli na předchozích uskutečněných prodejích. Označíme-li ' náhodný jev prodej televizoru druhé jakosti dalšímu zákazníkovi, pak 15 )(') 15 (85 10) , Řešení c Náhodně vybíráme dvě kuličky ze bílých a 3 modrých, neboli celkem ze 7 kuliček. To lze udělat právě 1(2; 7) způsoby. a) Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že nastane náhodný jev ', že obě kuličky budou bílé. Dvě bílé kuličky lze vybrat právě 1(2; ) způsoby. Proto 1(2; ) )(') 1(2; 7) $7 6 & 3 $ 9 6 & ,28571 b) Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že nastane náhodný jev D, že jedna kulička je bílá a druhá modrá. Jednu bílou kuličku lze vybrat právě 1(1; ) způsoby. Jednu modrou kuličku lze vybrat právě 1(1; 3) způsoby. Proto )(D) 1(1; ) 1(1; 3) 1(2; 7) $7 ; & $B ; & $ 9 6 & ,57129 Řešení d Házíme najednou třemi standardními kostkami (každá má šest stran). Celkový počet možných výsledků je! [ (3; 6), protože jde o variace s opakováním, neboť výsledek hodu na jedné kostce neovlivňuje výsledek hodu jinou kostkou. a) Máme zjistit pravděpodobnost, že nastane náhodný jev ', neboli že padne součet 9. Tato situace může nastat ve 25 výsledcích hodu. Je důležité uvědomit si, že jde o uspořádané trojice, neboť stejný výsledek na různých kostkách nelze zaměňovat. Konkrétně součet 9 padne při následujících výsledcích hodu.

23 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 1,2,6, 1,3,5, 1,,, 1,5,3, 1,6,2, Q T 2,1,6, 2,2,5, 2,3,, 2,,3, 2,5,2, 2,6,1, O O 3,1,5, 3,2,, 3,3,3, 3,,2, 3,5,1, P,1,,,2,3,,3,2,,,1, S O 5,1,3, 5,2,2, 5,3,1, O N 6,1,2, 6,2,1, R Odtud snadno dostaneme )(') 25! [ (3; 6) 25 6 B ,11571 b) Máme zjistit pravděpodobnost, že nastane náhodný jev D, neboli že padne součet 10. Tato situace může nastat ve 27 výsledcích hodu. Je důležité uvědomit si, že jde o uspořádané trojice, neboť stejný výsledek na různých kostkách nelze zaměňovat. Konkrétně součet 10 padne při následujících výsledcích hodu. Q O 1,3,6, 1,,5, 1,5,, 1,6,3, 2,2,6, 2,3,5, 2,,, 2,5,3, 2,6,2, 3,1,6, 3,2,5, 3,3,, 3,,3, 3,5,2, 3,6,1 P,1,5,,2,,,3,3,,,2,,5,1, S O 5,1,, 5,2,3, 5,3,2, 5,,1, O N 6,1,3, 6,2,2, 6,3,1, R Odtud snadno dostaneme )(D) 27! [ (3; 6) 27 6 B ,125 c) Důvod, proč při hodu třemi kostkami padá součet 10 častěji než součet 9 je zřejmý. Pro součet 9 je 25 možností výsledků hodu a pro součet 10 je 27 možných výsledků hodu. Řešení e Máme 800 součástek, z nichž je 20 vadných. Náhodně vybereme 9 součástek. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými součástkami nebudou více než 3 vadné. 9 libovolných součástek z 800 můžeme vybrat celkem 1(9; 800) způsoby. Máme tedy 20 vadných a 780 bezvadných součástek. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží, používáme tedy kombinace. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9 náhodný jev vybrání * vadných součástek z 9 náhodně vybraných součástek z 800. V této situaci tedy platí )(' *) 1(*; 20) 1(9 *; 780) 1(9; 800) $6 8 & $9C ><8 & $ C > & Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' 3) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' 3) )$(' 0) (' 1) (' 2) (' 3)& )(' 0) )(' 1) )(' 2) )(' 3) 6 6 & $9C ><6 & $6 & $9C >< & $ C > & $ 6 ; & $9C ><; & $ C $6 & $9C > & $ C > & $ > & $ 6 ; & $9C C & $ C > & $ $ C > & $ 6 6 & $9C 9 & $ C > & $ T O 6 B & $9C ><B & $ C > & 6 B & $9C : & $ C > & 23

24 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST , , , , , Řešení f Máme 30 žáků, z nichž 7 nemá domácí úkol. Náhodně vybereme 6 žáků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými žáky alespoň mají domácí úkol. 6 libovolných žáků ze 30 můžeme vybrat celkem 1(6; 30) způsoby. Máme tedy 7 žáků bez úkolu a 23 žáků s úkolem. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží, používáme tedy kombinace. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3,, 5, 6 náhodný jev vybrání * žáků s úkolem ze 6 náhodně vybraných žáků ze 30. V této situaci tedy platí )(' *) 1(*; 23) 1(6 *; 7) 1(6; 30) $6B 8 & $ 9 :<8 & $ B : & Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ) )$(' ) (' 5) (' 6)& )(' ) )(' 5) )(' 6) 1(; 23) 1(6 ; 7) 1(5; 23) 1(6 5; 7) 1(6; 23) 1(6 6; 7) 1(6; 30) 1(6; 30) 1(6; 30) $6B 7 & $ 9 :<7 & $ B : & $ 6B A & $ 9 :<A & $ B : & $ 6B : & $ 9 :<: & $ B : & $ 6B 7 & $9 6 & $ B : & $ 6B A & $9 ; & $ B : & $ $ B : & B : & $9 & 0, , , , Řešení g Celou situaci si můžeme znázornit tak, že jednotlivé klobouky označíme I ;, I 6, I B, I 7 a nalezneme všechny jejich permutace (jako různé uspořádané trojice). Přitom I ] na ^- pozici představuje situaci odebrání _-tého klobouku ^-tým pánem. Těchto permutací je )()! 2 Detailně vypsáno jde o tyto permutace Q (I ;, I 6, I B, I 7 ), (I ;, I 6, I 7, I B ), (I ;, I B, I 6, I 7 ), (I ;, I B, I 7, I 6 ), (I ;, I 7, I 6, I B ), (I ;, I 7, I B, I 6 ), T (I 6, I ;, I B, I 7 ), (I 6, I ;, I 7, I B ), (I 6, I B, I ;, I 7 ), (I 6, I B, I 7, I ; ), (I 6, I 7, I ;, I B ), (I 6, I 7, I B, I ; ), P(I B, I ;, I 6, I 7 ), (I B, I ;, I 7, I 6 ), (I B, I 6, I ;, I 7 ), (I B, I 6, I 7, I ; ), (I B, I 7, I ;, I 6 ), (I B, I 7, I 6, I ; ), S N(I 7, I ;, I 6, I B ), (I 7, I ;, I B, I 6 ), (I 7, I 6, I ;, I B ), (I 7, I 6, I B, I ; ), (I 7, I B, I ;, I 6 ), (I 7, I B, I 6, I ; )R Označme ' * náhodný jev odebrání * správných klobouků ze celkem -mi pány. Jevu ' 0 odpovídají permutace (I 6, I ;, I 7, I B ), (I 6, I B, I 7, I ; ), (I 6, I 7, I ;, I B ), (I B, I ;, I 7, I 6 ), (I B, I 7, I ;, I 6 ) (I B, I 7, I 6, I ; ), (I 7, I ;, I 6, I B ), (I 7, I B, I ;, I 6 ), (I 7, I B, I 6, I ; ) Jevu ' 1 odpovídají permutace 2

25 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST (I ;, I B, I 7, I 6 ), (I ;, I 7, I 6, I B ), (I 6, I ;, I B, I 7 ), (I 6, I B, I ;, I 7 ), (I 6, I 7, I B, I ; ), (I B, I ;, I 6, I 7 ), (I B, I 6, I 7, I ; ), (I 7, I ;, I B, I 6 ), (I 7, I 6, I ;, I B ) Jevu ' 2 odpovídají permutace (I ;, I 6, I 7, I B ), (I ;, I 7, I B, I 6 ), (I ;, I B, I 6, I 7 ), (I B, I 6, I ;, I 7 ), (I 7, I 6, I B, I ; ) Jevu ' 3 neodpovídá žádná permutace. Jevu ' odpovídá permutace (I ;, I 6, I B, I 7 ) Tedy )(' 0) , )(' 1) , )(' 2) 5 2, )(' 3) 0 2 0, )(' ) 1 2, Máme nalézt pravděpodobnost, že do správné klobouk si vezme alespoň jeden pán. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' *), pro * 0, 1, 2, 3, jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat )(' 1) )$(' 1) (' 2) (' 3) (' )& )(' 1) )(' 2) )(' 3) )(' ) ,625 Řešení h Hodíme třikrát jednou standardní kostkou. Výsledky jednotlivých hodů nemají žádný vliv na výsledky ostatních hodů. Označme ' náhodný jev, že při prvním hodu padne sudé číslo. Označme D náhodný jev, že při druhém hodu padne číslo větší než. Označme \ náhodný jev, že při třetím hodu padne liché číslo. Při hodu standardní kostkou padne vždy jedna ze 6 hodnot. Pro první hod platí, že sudá čísla ze zmíněných šesti jsou tři. Pro druhý hod platí, že čísla větší než ze zmíněných šesti jsou dvě. Pro třetí hod platí, že lichá čísla ze zmíněných šesti jsou tři. Tedy )(') , )(D) , )(\) Máme vypočítat pravděpodobnost, že všechny tři zmíněné jevy nastanou současně. Snadno odvodíme )(' D \) )(') )(D) )(\) , Řešení i Máme tři střelce. Každý střílí právě jednou. První zasáhne cíl s pravděpodobností i 0,7 a mine s pravděpodobností i 0,3. Druhý zasáhne cíl s pravděpodobností 0,8 a mine s pravděpodobností 0,2. Třetí zasáhne cíl s pravděpodobností j 0,9 a mine s pravděpodobností j 0,1. Označme náhodný jev ' *, že střelci zasáhnou cíl právě * krát. Potom )(' 0) i j 0,3 0,2 0,1 0,006 )(' 1) i j i j i j 0,01 0,02 0,05 0,092 )(' 2) i j i j i j 0,056 0,126 0,216 0,398 25

26 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST )(' 3) i j 0,7 0,8 0,9 0,50 a) Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň jednou. To znamená, že máme vypočítat )(' 1). To provedeme snadno takto )(' 1) )$(' 1) (' 2) (' 3)& )(' 1) )(' 2) )(' 3) 0,092 0,398 0,50 0,99 b) Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň dvakrát. To znamená, že máme vypočítat )(' 2). To provedeme snadno takto )(' 2) )$(' 2) (' 3)& )(' 2) )(' 3) 0,398 0,50 0,902 Poznámka První podúlohu lze řešit i jinak. Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň jednou. Tato situace je doplňkovým jevem k jevu, že všichni tři střelci současně minou. Potom hledanou pravděpodobnost nalezneme velmi snadno )(') 1 i j 1 0,3 0,2 0,1 1 0,006 0,99 Řešení j Máme tři žárovky. Pro každou z nich platí, že pravděpodobnost, že bude svítit po nominální době je i 0,2, pravděpodobnost, že svítit nebude je i 0,8. Označme ' *, pro * 0, 1, 2, 3 náhodný jev, že po nominální době bude svítit * žárovek. Potom )(' 0) i i i 0,8 0,8 0,8 0,512 )(' 1) i i i i i i i i i 0,128 0,128 0,128 0,38 )(' 2) i i i i i j i j 0,032 0,032 0,032 0,096 )(' 3) i i i 0,2 0,2 0,2 0,008 Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že po uplynutí nominální doby bude svítit alespoň jedna žárovka. To znamená, že máme vypočítat )(' 1). To provedeme snadno takto )(' 1) )$(' 1) (' 2) (' 3)& )(' 1) )(' 2) )(' 3) 0,38 0,096 0,008 0,88 Řešení k Losuje se 6 čísel ze 9 (například sportka hodně postaru). Počet možných kombinací losovaných čísel je tedy 1(6; 9). Tipována byla jedna šestice čísel. Označme ' * náhodný jev shody * čísel vylosované kombinace a kombinace 6 čísel zapsané na tiketu. Náhodně vybranou *-tici čísel z šesti zapsaných na tiketu lze vybrat celkem 1(*; 6) způsoby, zbylých 5 * čísel může být libovolně vybráno z nevylosovaných čísel, tedy celkem 1(6 *; 9 6) způsoby. Tedy obecně 1(*; 6) 1(6 *; 9 6) )(' *) 1(6; 9) Je zřejmé, že náhodné jevy ' * jsou vzájemně disjunktní. Hledáme )(' 6) )(' 5) 1(6; 6) 1(6 6; 9 6) 1(6; 9) 0, (5; 6) 1(6 5; 9 6) 1(6; 9) 0, $: : & $7><: :<: & : & $ : : & $ 7B 26 :< & : & $: A & $7><: :<A & : & $ : A & $7B ; & : &

27 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST )(' ) )(' 3) 1(; 6) 1(6 ; 9 6) 1(6; 9) 0, (3; 6) 1(6 3; 9 6) 1(6; 9) 0, Jen jako doplněk můžeme vypočítat )(' 2) )(' 1) )(' 0) 1(2; 6) 1(6 2; 9 6) 1(6; 9) 0, (1; 6) 1(6 1; 9 6) 1(6; 9) 0, (0; 6) 1(6 0; 9 6) 1(6; 9) $: 7 & $7><: :<7 & : & $ : $: B & $7><: :<B & : & $ : $: 6 & $7><: :<6 & : & $ : 7 & $7B : & 6 & B & $7B : & B & 6 & $7B : & 7 & $: ; & $7><: :<; & : & $ : ; & $7B A & : & $: & $7><: :< & : & $ : & $7B : & : & , Poznámka Alespoň základní správnost postupu ověříme, když sečteme pravděpodobnost všech možností (jsou disjunktní, jak bylo uvedeno). Tento součet musí být roven 1, protože sjednocení všech možností je jev jistý. Snadno ověříme : b )(' *) b : 1(*; 6) 1(6 *; 9 6) 1(6; 9) 8c 8c 0, , , , , , ,

28 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 5 a) Jsou známy pravděpodobnosti )() 0,3; )() 0,6; )( ) 0,7. Vypočtěte pravděpodobnost )( ) a rozhodnout, zda jsou jevy a nezávislé. b) Stroj se porouchá, jakmile u některé z jeho šesti základních součástek nastane porucha. Pravděpodobnost poruchy je 0,001. Poruchy základních součástek jsou nezávislé. Jaké je pravděpodobnost, že se stroj porouchá? c) Náhodná veličina udává, kolikrát při dvou hodech mincí padne panna. Odvoďte pravděpodobnostní funkci ) veličiny, její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl kil. Pomocí distribuční funkce pak vyjádřete pravděpodobnost, že panna padne právě jednou a pravděpodobnost, že panna padne alespoň jednou. Řešení 5a Použijeme vzorec pro pravděpodobnosti sjednocení jevů )( ) )() )() )( ) Odtud snadno vyjádříme )( ) )() )() )( ) Po dosazení dostaneme )( ) 0,3 0,6 0,7 0,2 Pro nezávislé jevy musí platit )( ) )() )() Nezávislost ověříme dosazením 0,2 0,3 0,6 0,18 Rovnost zjevně neplatí. Proto je zřejmé, že jevy a nejsou nezávislé, neboli jsou závislé. Řešení 5b Označíme-li jev, že se stroj porouchá a ] jev, že se porouchá i-tá součástka, pak můžeme psát _, _ 1,6 ; )( ] ) 0,001 Dále víme, že jevy ;, 6, B, 7, A, : jsou nezávislé. Stroj se tedy porouchá, když nastane alespoň jeden z jevů ]. Tedy platí )() )( ; 6 B 7 A : ) Poslední výraz dále budeme upravovat pomocí doplňkových jevů takto )() )( ; 6 B 7 A : ) 1 )( ) ; 6 B 7 A : 1 )( ; 6 B 7 A ) : 1 )( ))( ; ))( 6 ))( B ))( 7 ))( A ) : 1 $1 )( ; )&$1 )( 6 )&$1 )( B )&$1 )( 7 )&$1 )( A )&$1 )( : )& Dosadíme a snadno získáme hledanou pravděpodobnost )() 1 (1 0,001)(1 0,001)(1 0,001)(1 0,001)(1 0,001)(1 0,001) 1 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0, ,999 : 1 0, , ,006 0,6 % 28

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Řešené příklady z pravděpodobnosti:

Řešené příklady z pravděpodobnosti: Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,

Více

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10 2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

5.1. Klasická pravděpodobnst

5.1. Klasická pravděpodobnst 5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

S1P Příklady 01. Náhodné jevy S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu. 2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P

Více

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

22. Pravděpodobnost a statistika

22. Pravděpodobnost a statistika 22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

Pravděpodobnost (pracovní verze)

Pravděpodobnost (pracovní verze) Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost

Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy

Více

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní

Více

4.5.9 Pravděpodobnost II

4.5.9 Pravděpodobnost II .5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 2. století - využití ICT ve vyučování matematiky na

Více

Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.

Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1 1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační čísla 1. Vypočítejte:

Variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační čísla 1. Vypočítejte: Variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační čísla 1. Vypočítejte: 8 4 8 4 + 4 8 4 4. Zjednodušte: [ 1680 ] 5 6 7 4 3 [ 840 ] [ 70 ] 5 1 8 + 9 1 30 9 3. Upravte na společného jmenovatele: 1 7 0

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

2. Elementární kombinatorika

2. Elementární kombinatorika 2.1. Kombinace, variace, permutace bez opakování 2. Elementární kombinatorika Definice 2.1. Kombinace je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Variace je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2. 9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 5

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 5 Příklad a) Uvažujme jevy A, B, C. Výsledkem náhodného pokusu může být pouze nastoupení právě jednoho z uvedených jevů, nebo nastoupení všech tří těchto jevů současně. Zjistěte, zda jsou dané jevy vzájemně

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3 1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více