Budoucí hodnota anuity Spoření

Transkript

1 Finanční matematika

2 Budoucí hodnota anuity Spoření Doposud vypočítáme konečné (budoucí) hodnoty či počáteční (současné) hodnoty, za předpokladu konstantní (jednorázové) současné hodnoty (jednorázového vkládání) Nyní se zabýváme výpočty budoucích hodnot za předpokladu, že se ukládá v pravidelných intervalech neměněná částka, tj. spoření

3 členění spoření Krátkodobé: ukládá se pravidelně během 1 období, úroky budou připisovány na konci období, úložky jsou úročeny jednoduše Dlouhodobé: doba spoření je delší než jedno období úroky jsou na konci každého období přičteny k naspořené částce

4 Nechť Krátkodobé spoření úroky jsou připisovány najednou na konci úrokového období ukládá se stejná částka pravidelně m-krát za jedno období částky jsou úročeny jednoduše 2 typy krátkodobého spoření: předlhůtní, polhůtní

5 Krátkodobé spoření předlhůtní Nechť na počátku každé m-tiny jednoho období je ukládána částka x korun při úrokové sazbě i % odpovídající danému období. Za toto období bude ukládáno celkem m krát částky ve výši x x x x x m-1 m

6 Úložka číslo Doba uložení Budoucí hodnota úložky 1 m.1/m x.(1 + i.m.1/m) 2 (m 1).1/m x.(1 + i.(m -1).1/m) 3 (m 2).1/m x.(1 + i.(m 2).1/m) m 1.1/m x.(1 + i.1/m)

7 Celková naspořená částka S 1 za období je: S 1 = x.(1 + i.m.1/m) + x.(1 + i.(m -1).1/m) + + x.(1 + i.(m - 2).1/m) + + x.(1 + i.1/m) = x.{m + i/m.[m + (m - 1) + (m - 2) + + 1]} protože (m + 1).m [m + (m - 1) + (m 2) + + 1] = 2 i (m + 1).m (m + 1).i S 1 = x.{m +. } = m.x.[1 + ] m 2 2m Kde x je výše jedné úložky, m je počet úložek za 1 období, i je úroková sazba odpov. období

8 Příklad: Jaká bude naspořená částka na konci roku, když se bude ukládat na počátku každého měsíce 1500 Kč při úrokové sazbě 4,5% p.a.. Úroky jsou připisovány ročně. Řešení: (12 + 1).0,045 S 1 = (1 + ) 2.12 = 18438,75 Kč

9 Krátkodobé spoření polhůtní Nechť na konci každé m-tiny jednoho období je ukládána částka x korun při úrokové sazbě i % odpovídajícího. období Za jedno období bude ukládáno celkem m krát částky ve výši x x x x x m-1 m

10 Úložka číslo Doba uložení Budoucí hodnota úložky 1 (m -1).1/m x.(1 + i.(m - 1).1/m) 2 (m - 2).1/m x.(1 + i.(m - 2).1/m) 3 (m - 3).1/m x.(1 + i.(m - 3).1/m) m 0.1/m x

11 Celková naspořená částka S 1 za období je: S 1 = x.(1 + i.(m 1).1/m) + x.(1 + i.(m - 2).1/m) + + x.(1 + i.(m - 3).1/m) + + x = x.{m + i/m.[(m - 1) + (m - 2) + (m - 3) + + 0]} protože (m - 1).m [(m 1) + (m - 2) + (m 3) + + 0] = 2 i (m - 1).m (m - 1).i S 1 = x.{m +. } = m.x.[1 + ] m 2 2m Kde x je výše jedné úložky, m je počet úložek za 1 období, i je úroková sazba odpov. období

12 Příklad: Jaká bude naspořená částka na konci roku, když se bude ukládat koncem každého měsíce 1500 Kč při úrokové sazbě 4,5% p.a.. Úroky jsou připisovány ročně. Řešení: (12-1).0,045 S 1 = (1 + ) 2.12 = 18371,25 Kč

13 Dlouhodobé spoření Spoří se více než jedno období Pro začátek se předpokládá, že spoří se jednou za období Podle okamžiku uložení se opět dělí na: předlhůtní a polhůtní

14 Dlouhodobé spoření předlhůtní Nechť je na počátku každého období ukládána částka a při úrokové sazbě i % (která se nemění) odpovídající délce období po dobu n období a a a a n -1 n

15 Úložka číslo Doba uložení Budoucí hodnota úložky 1 n a.(1 + i) n 2 n - 1 a.(1 + i) n n - 2 a.(1 + i) n - 2 n 1 a.(1 + i) 1

16 Celková naspořená částka S n za n období je: S n = a.(1 + i) n + a.(1 + i) n -1 + a.(1 + i) n a.(1 + i) 1 = a.(1 + i).[(1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 + (1 + i) n ] Protože [(1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 + (1 + i) n ] je geometrická řada s a 1 = a(1 + i) a kvocientem q = 1 + i, jejich součet je (1 + i) n - 1 S = 1 + i - 1

17 A S n = a.(1 + i). (1 + i) n - 1 i (1 + i) Poznámka: člen s n = (1 + i). n - 1 nazývá střadatel předlhůtní a i udává, kolik se naspoří za n období při úrokové sazbě i, pokud se na počátku každého období ukládá částka 1 Kč se

18 Příklad: Kolik naspoří klient za 8 let, když počátkem každého roku ukládá Kč na svůj spořící účet při úrokové sazbě 5,5% p.a.? Řešení: S 8 = (1 + 0,055).[(1 + 0,055) 8-1]/ /0,055 = ,90 Kč

19 Příklad: Jaká částka se musí ukládat počátkem každého roku při úrokové sazbě 6% p.a., aby za 10 byla na účtu částka Kč? Řešení: = x.(1 + 0,06).[(1 + 0,06) 10-1] /0,06 x = 7157,35 Kč

20 Dlouhodobé spoření polhůtní Nechť je na konci každého období ukládána částka a při úrokové sazbě i % odpovídající délce období po dobu n období a a a a n -1 n

21 Úložka číslo Doba uložení Budoucí hodnota úložky 1 n - 1 a.(1 + i) n -1 2 n - 2 a.(1 + i) n n - 3 a.(1 + i) n - 3 n 0 a.

22 Celková naspořená částka S n za n období je: S n = a.(1 + i) n a.(1 + i) n -2 + a.(1 + i) n a = a.[(1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 + (1 + i) n ] Protože [(1 + i) n-1 + (1 + i) n-2 + (1 + i) n ] je geometrická řada s a 1 = a, kvocientem q = 1 + i, jejich součet je S = (1 + i) n i - 1

23 A S n = a. Poznámka: člen s n = střadatel polhůtní a se nazývá udává, kolik se naspoří za n období při úrokové sazbě i, pokud se na konci každého období ukládá částka 1 Kč Ze dvou vzorců pro střadatele je zřejmé, že musí platit: (1 + i) n - 1 s n = (1 + i). s n i (1 + i) n - 1 i

24 Příklad: Kolik naspoří klient za 8 let, když koncem každého roku ukládá Kč na svůj spořící účet při úrokové sazbě 5,5% p.a.? Řešení: S 8 = [(1 + 0,055) 8-1]/ 0,055 = ,60 Kč

25 Příklad: Za kolik let uspoříme částku Kč při ročním polhůtním ukládání Kč při neměnné úrokové sazbě 4% p.a.? Předpokládáme roční připisování úroků. Řešení: n = n = 13 let ln(1 + i.s/a) ln(1 + i)

26 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření Nechť bude spořit n období a během jednoho období se bude ukládat m-krát částka x při úrokové sazbě i dle okamžiku uložení v jedné m-tině jednoho období se dělí na: předlhůtní a polhůtní

27 Kombinace s předlhůtním ukládáním m-1 S 1 m S 1 S 1 S n - 1 n Nechť bude spořit n období a během jednoho období se bude ukládat m-krát částka x na počátku každé m-tiny období

28 Na konci každého období bude naspořena částka S 1 (s využitím vzorce pro krátkodobé spoření předlhůtní) (m + 1) S 1 = m.x.(1 +. i) 2.m Částka naspořená na konci n-tého období bude S n rovna budoucí hodnotě ze spoření, kdy se ukládá na konci každého období částka S 1 po dobu n období při sazbě i, tj. S n = S 1.(1 + i) n - 1 = m.x.(1 + (m + 1)i (1 + i) ). n - 1 i 2m i

29 Příklad: Kolik se uspoří za 5 let, spoří-li začátkem každého měsíce 2500 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 4,2%? Předpokládá se pololetní připisování úroků. Řešení: S 10 = ( ,021/12).(1, )/0,021 = ,95 Kč

30 Příklad: Kolik se musí spořit počátkem každého druhého měsíce, aby se za deset let uspořilo Kč při neměnné roční úrokové sazbě 4,5 % a pololetním připisování úroků? Řešení: = 3.x.[1 + ((3 + 1)/(2.3)).(0,045/2)]..[(1 + 0,045/2) 20-1]/(0,045/2) x = 2844,38 Kč

31 Kombinace s polhůtním ukládáním Nechť se bude spořit n období a během jednoho období se bude ukládat m-krát částka x na konci každé m-tiny období při úrokové sazbě i 1 2 m - 1 S 1 S m 1 S 1 S n - 1 n

32 Na konci každého období bude naspořena částka S 1 (s využitím vzorce pro krátkodobé spoření polhůtní) (m - 1) S 1 = m.x.(1 +. i) 2.m Částka naspořená na konci n-tého období bude S n rovna budoucí hodnotě ze spoření, kdy se ukládá na konci každého období částka S 1 po dobu n období při sazbě i, tj. S n = S ( i) n - 1 = m.x.(1 + (m - 1)i ). (1 + i) n - 1 i 2m i

33 Příklad: Jaká částka se musí ukládat koncem každého čtvrtletí, aby se za osmnáct let uspořilo Kč při neměnné roční úrokové sazbě 3,5 % a ročním připisování úroků? Řešení: = 4.x. [1 + ((4-1)/(2.4)).(0,035)]..[(1 + 0,035) 18-1]/(0,035) x = 10072,00 Kč

34 Příklad: Kolik budeme mít k dispozici na účtu na konci roku, jestliže jsme na počátku roku uložili částku Kč a koncem každého měsíce spoříme na tento účet 1000 Kč? Úroková sazba je 2,5 % p.a. s pololetním připisováním úroků. Výsledek: , ,89 = ,45 Kč

35 Zdanění úroků u spoření Krátkodobé spoření: Nechť tax je daňová sazba Budoucí hodnota beze zdanění je: (m 1).i S = m.x.(1 + ) 2.m Daň z úroků je (m 1).i D = tax. 2.m Čistá budoucí hodnota (m 1) S č = S - D = m.x.(1 + (1 - tax).i. ) 2.m

36 Dlouhodobé spoření se zdanění: Čistá budoucí hodnota je: [1 + (1 tax).i] n - 1 S n = a.( ) i.(1 tax) Kombinace dvou typů spoření se zdanění: Čistá budoucí hodnota je: (m 1) S n = mx(1 + 2.m [1 + (1 tax).i] n - 1 (1 tax).i) i.(1 tax)

37 Příklad: Jaká částka se naspoří za 10 let, pokud se ukládá počátkem každého čtvrtletí Kč při úrokové míře 4,2 % p.a. s ročním úročením. Úroky jsou zdaněny srážkovou daní ve výši 15%. Řešení: S = (1 + 5/8.0,85.0,042)..[(1 + 0,85.0,042) 10-1]/(0,042.0,85) = ,20 Kč

38 Příklad: Jaká částka byla uložena před 10 lety na účet, když dnes je na účtu Kč a přitom byla během těchto 10 let koncem každého měsíce ukládána částka 500 Kč. Účet je úročen úrokovou sazbou 4,8 % p.a. s pololetním připisováním úroků, které byly daněny 15-ti procentní srážkovou daní. Řešení: = x(1+ 0,85.0,024) /(0,85.0,024)..(1 + (5/12).0,85.0,024).[(1 + 0,85.0,024) 20-1] x = ,39 Kč (S = ,20 Kč)

39 Stavební spoření Cíle stavebního spoření: Výhodně zhodnotit úspory Získat výhodný úvěr na bytové potřeby Fáze stavebního spoření: Fáze spoření Fáze poskytnutí a splacení úvěru Účastníkem stavebního spoření Fyzická osoba Právnická osoba

40 spoří se na tzv. cílovou částku, která zahrnuje vklady včetně připsaných úroků z nich; státní podporu a úroky z ní; hodnotu poskytnutého úvěru ze spoření, Cílová částka se volí dle: výše požadovaného úvěru výše státní podpory finanční situace účastníka

41 Státní podpora: poskytuje se ze státního rozpočtu pokud jsou splněny zákonné podmínky. státní podpora činí 15 % ročně uspořené částky včetně úroků, maximálně 3000 Kč, což je podpora z částky Kč. částka přesahující Kč se pro přiznání podpory převádí do následujícího roku.

42 Úvěr ze stavebního spoření je účelový úvěr na řešení bytových potřeb a je poskytován stavební spořitelnou po ukončení doby spoření za zvýhodněnou úrokovou sazbu. Úroková sazba z vkladů je obvykle 2 % p.a. lze si zvolit nižší úrokovou sazbu z vkladů a poté i z úvěru. Úroková sazba z úvěru v rámci stavebního spoření je obvykle o 3 % vyšší než ve fázi spořící, tedy kolem 5 % p.a., a je neměnná během doby splácení úvěru.

43 Bytové potřeby jsou stanoveny zákonem. Jedná se zejména o: získání bytu; výstavbu nebo koupi stavby na bydlení; získání stavebního pozemku; změnu, modernizaci a údržbu bytu nebo stavby pro bydlení; stavební úpravu nebytového prostoru na byt.

44 Příklad: Klient bude spořit pravidelně koncem každého měsíce Kč při roční úrokové sazbě 2,5 % p.a.. Jaký je stav účtu klienta na konci roku, bereme-li v úvahu státní podporu, na kterou má nárok a byla připsána na účet klienta 30.4.? Abstrahujeme od poplatků za vedení účtu. Řešení: