Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B

Transkript

1 Řešení úloh kola 9 ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autořiúloh:MJarešová,,,5),PŠedivý3,7)aVKoubek6) a) Označme hvýškunadzemí,kdedojdekesrážcespodní kuličkadopadnenazemrychlostíovelikosti v 0 Hg aodzeměseodrazístejněvelkourychlostívtomtookamžiku začne padat volným pádem svisle dolů také druhá kuličkaobr R) Platí s m s gt, s hv 0t gt, H s + s, kde tječas,kdydojdekesrážce, měřenýodpočátku pohybuhorníkuličkysečtenímvztahůpro s a s dostaneme H v 0t Odtud t H H H v 0 Hg g H s h v0 m Obr R Podosazenídovztahupro hdostaneme h 3 H Vokamžikusrážkymárychlostkuličkyvelikost v H Hg g g Hg, H rychlostkuličkymávelikost v g g Hg v Kuličky se srazí stejně velkými rychlostmi 3body b) Zvolme vztažnou soustavu tak, že osa y je orientována vzhůru Bezprostředně před srážkoumajírychlosti v, vkuličeksouřadnice v y v, v y v Označme dále u, uindexjeprokuličku m,indexprokuličku m )rychlostiobou kuličekposrážceau, u jejichypsilonovésouřadnicepodlezákonazachování hybnosti platí m v m v m u + m u ) Užitím zákona zachování mechanické energie dostaneme mv + mv mu + mu ) Soustavurovnic)a3)můžemepřepsatnatvar m v u ) m u + v ), m v u ) m u v ) Po vydělení druhé rovnice první rovnicí dostaneme v + u u v 3)

2 Řešením soustavy rovnic),3) dostaneme m 3m u v k 3 m 3k v, u 3m v m + m +k m + m +k v Vyjdou-lisouřadnice u, u kladné,paksejednáopohybsvislevzhůru,vyjdou-li záporné,paksejednáopohybsvisledolů body c) Pro k je u 5 3 v směrsvisledolů, u v směrsvislevzhůru 3 Výškavýstupudruhékuličkyje h h+ u g h+ H H Pro k3je u 0 sekuličkazastavípakpadávolnýmpádem), u v směrsvislevzhůruvýškavýstupudruhékuličkyje h h+ u g h+h 7 H,75H Pro k0je u 7 v směrsvislevzhůru, u9v směrsvislevzhůru Výškavýstupudruhékuličkyje h h+ u g h+8 8 H30 H,5H 3body a) Je-li spínač S rozepnut, můžeme schéma zapojení kondenzátorů překreslit podle obr R Pak určíme celkovou kapacitu kondenzátorů v obvodu U C C 3 V horní větvi je celková kapacita obou kondenzátorů C dánavztahem C C Obr R C CC3 C + C 3 3 C Vdolnívětvijecelkovákapacitaoboukondenzátorů C dánavztahem C CC C + C 3 C Celková kapacita obvodu C je pak dána vztahem C C + C 5 C

3 Q C 3 0 U7,V 3body Nábojnakondenzátorechvhorní větvije Q Q C U 3 C U 3 CU, vdolnívětvi CUCelkovýnábojje QCU5CUNakondenzátorech C a C 3jetedynáboj Q C80 mc,nakondenzátorech C a C jenáboj Q C30 mc 3body Napětínakondenzátoru C je U Q 3 U 8 V,nakondenzátoru C3 C je U 3 Q Q U 6V,nakondenzátoru C jenapětí U C 3 C 3 U 6V,nakondenzátoru C jenapětí U Q C 3 U8V body b) Je-li spínač S sepnut, můžeme schéma zapojení kondenzátorů překreslit podle obr R3 Pak určíme celkovou kapacitu kondenzátorů v obvodu U C C 3 Vlevéčástije C C + C 3C,vpravéčásti je C C 3+ C 7C Celkovákapacitaje C C C C + C 0 C Celkový náboj v levé části je stejně velkýjako celkový náboj na kondenzátorech v pravé části a C C mávelikost QCU Obr R3 0 CU Napětívlevéčástije U Q C 7 0 U 6,8V,napětívpravéčástije U Dáleplatí,ženábojnakondenzátoru C je Q C U 7 CU 68 mc, 0 nakondenzátoru C jenáboj Q C U 7 CU 336 mc,nakondenzátoru 5 C 3jenáboj Q 3 C 3U 9 CU 6 mcanakondenzátoru Cjenáboj 0 Q C U 6 CU88 mc 5 body 3

4 3 a) Výsledná rychlost letadla vzhledem k zemi je vektorovým součtem jeho rychlosti vvzhledem ke vzduchu a rychlosti větru u Situace, které nastanou při prvním letu, znázorňuje obr R V úseku AB bude velikostrychlostiletadla v v+uvúseku BCbudenutnopootočitosuletounu vpravoavúseku CAvlevoostejnýúhel ϕ,kterýurčímeužitímsinovévěty: sin ϕ u v sin0 u 3 v Velikost v výslednérychlostiletadlanaúseku BCurčímeužitímkosinovévěty Platí: v u + v uv cos0 u + v + uv v + uv + u v 0 Úlozevyhovujekořen v u+ v 3u Stejnouvelikost v 3 v márychlostletadlavúseku CA,neboťvektorovýrovnoběžníkjeshodnýjakovúseku BC Situace, které nastanou při druhém letu, znázorňuje obr R5 V úseku AB budevelikostrychlostiletadla v v utakézdejsouvektorovérovnoběžníky vúsecích BCa CAshodnéVúseku BCbudenutnopootočitosuletounuvlevoa vúseku CAvpravooúhel ϕ,kterýjestejnýjakopřiprvnímletu,alenaopačnou stranu, neboť: sin ϕ u v sin60 u 3 v Velikost v v 3výslednérychlostiletadlanaúsecích BCa CAurčímeopětužitím kosinové věty Platí: v u + v uv cos60 u + v uv v uv + u v 0 Úlozevyhovujekořen v v 3 u+ v 3u b) Celkovédobyletupřiprvnímadruhémletujsouvpoměru l + l t v t v u+v + v 3u u l v + l v Označme v 3u K Pak K+3u+v t u+v)k u) t K 3u+v v u)k+ u) v u + v 3u + u v + uk+ vk+ uv)v u) v uk+ vk uv)v+ u) Obě doby letu jsou stejné K+3u+v)K+ u)v u) K 3u+v)K u)v+ u) 6bodů v+ u)k+ v)v u) v u)k+ v)v+ u) body

5 B B u v ϕ v u ϕ v v A v3 v ϕ v u 0 C A v 3 v ϕ v u 60 C Obr R Obr R5 a) Nejprveurčímeobjemy V a V zkompresníhopoměruazeznalostizdvihového objemu,tjzrovnic V z V V, ε V Řešenímtétosoustavyrovnicdostaneme V V ε ε Vz363cm3, V ε Vzcm3 Bod: p 0,0MPa, V 363cm 3, T 93K Bod:Mezibody jeadiabatickákompreseplatí V )κ p p p V ε κ 0 5 Pa, V )κ T T 699K, V V cm 3 Bod3:Mezibody 3jeizochorickéohřátíPlatí T 3 T p 3 p T ε κ p 3 p 78K, p 3 p,55,5 0 5 Pa, V 3 V cm 3 Bod:Mezibody3 nastáváadiabatickáexpanzeplatí V3 )κ V )κ p p 3 p V 3 p3 V ε κ,5 05 Pa, V V 363cm 3, T T 3 V3 V )κ T 3 V V )κ T3 ε κ 73,5K b) Hmotnost směsi připadající na jeden oběh určíme ze stavové rovnice p V m M m RT, body 5

6 zčehož m pv M RT m pv M RT r 0 3 kg mol,7 0 kg bod c) Pracovnílátkapřijmeteplopouzepřiizochorickémohřátí,tjmezibody 3a odevzdá teplo pouze při izochorickém ochlazení, tj mezi body : Q mc vt 3 T )35J, Q mc vt T )36J Prácevykonanávprůběhujednohocykluje W Q Q 89J Q Q Tepelnáúčinnostpakje η Q 0,5858% 3body Q Q d) Nejprveurčímečaspotřebnýkvykonáníjednohocyklutjotáčky) τ0,03s Motor je čtyřválcový Průměrný výkon motoru je P W 5kW τ Hodinovou spotřebu paliva určíme z tepla přivedeného všem čtyřem válcům: Q h ,03 35J56MJ Přidanévýhřevnostipalivajespotřebazahodinu m p Q h H 3,7kg body 5 a) Původní kruhová rychlost družice je dána vztahem κ Mz 0κ v k R z+ h Mz R z Označme r p,r z, r ar zvzdálenostiperigeaaapogeaeliptickétrajektorie odzemskéhostředu, v p, v avelikostirychlostidružicevperigeuaapogeupodle druhého Keplerova zákona platí r pv p r av a Ze zákona zachování energie plyne mv p κ mmz r p mv a κ mmz r a Dostalijsmesoustavudvourovnicodvouneznámých v p, v ařešenímtétosoustavy rovnic dostaneme r v p κ M a z r pr a+ r p) 00 κ M Podosazeníza r a, r pdostaneme v z p R z Při přechodu z kruhové trajektorie na eliptickou musíme zvětšit rychlost družice o ) κ Mz 00 v v p v k R z 0 600m s 5bodů 6

7 b) Dobaoběhudružicenakruhovédrázejedánavztahem T p 0 Rz 0κ M z R z p ) 3 κ Mz 0 Rz 5870s,6hod Užitím3Keplerovazákonaurčímedobuoběhudružice T naeliptickétrajektorii: zčehož T T ra+ r p r 3 p ) 3 ) 3 0 Rz ) 3, 0 Rz ) 3 T T,9T Číselně T hod 5bodů 6 Příklad naměřených hodnot a jejich zpracování programem Excel: L, >$@ 7 >V@ 7 >V@,, R >$@ ORJ,, R ORJ7 ORJ7 \ [ 5 ORJ,, 7

8 a) Průběh grafu velmi dobře odpovídá předpokládané lineární závislosti3) Tím je ověřena i platnost vztahu) b) Zrovnicetrendu y 0,5098x+0,879 určímekonstantu m 0,5098 Vztah) můžeme tedy upřesnit na tvar T kb To je v dobrém souhlasu s úplným vzorcem pro periodu malých kmitů magnetky J Tp mb, kde J je moment setrvačnosti magnetky a m její magnetický moment) c) Fyzikálnírozměrkonstanty kvsoustavěsiurčímezevztahu ktb : [k]s T s N A m ) kg A 7a) Plnýválecohmotnostimapoloměru rbymělvzhledemkrotačníosesouměrnosti jdoucí středem S moment setrvačnosti m r Nášpůlválecmátedyvzhledem kosejdoucístředem Smomentsetrvačnosti J S mr Označme J Omoment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí přímkou, ve které se půlválec dotýká vodorovné rovinyaj TmomentsetrvačnostivzhledemkrovnoběžnéosejdoucítěžištěmPodle Steinerovyvěty J S J T+ mp, J O J T+ mr p) J T+ mr mrp+mp J S+ mr rp) mr 3 3p 8 ) body b) Vykloníme-lipůlválecomalýúhel α mobrr6),zvednesejehotěžištěovýšku [ )] hp cos α m)p sin α m psin α m rα m 3p Když jej pustíme, začne harmonicky kolébat Okamžitá odchylka α z rovnovážné polohy a okamžitá úhlová rychlost Ω se mění podle vztahů αα mcos ωt, Ω Ω msin ωt, Ω m ωα m analogickýchkevztahům yy mcos ωt, v v msin ωt, v m ωy m proposuvný pohyb) Ze zákona zachování energie plyne JOΩ m 3 mr 3p 8 ) ω α m mghmgr α m 3p 8

9 Ztoho ω p T g r 3p,5 3p 8 g r,5p 8), T p r,5p 8) g Na hmotnosti půlválce nezáleží, perioda kolébání závisí jen na jeho poloměru Prodanéhodnoty T0,96s 6bodů S p T α m h Obr R6 9