Dělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Transkript

1 MI-AAK(Aritmetika a kódy) Dělení c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 A4. dělení úvod dělení nezáporných čísel menších než 1 dělenísnávratempřesnulu děleníbeznávratupřesnulu dělení nezáporných celých čísel (bez návratu přes nulu) dělení čísel se znaménkem přímýkód inverzní kód doplňkový kód přeskakování nul přeskakování jedniček metody SRT použití rychlých násobiček rozšiřování zlomku použití iterací MI-AAK c A. Pluháček 2011

3 úvod dělení značně problematická operace jedenoperand(dělitel)nikdynesmíbýt0 (!!!) obecnějevýsledek prakticky nezobrazitelný A/B=? B 0!!! nezáporná čísla dvojková soustava ➊ Z=1 = A <1, B <1aA/B <1 ➋ ε=1 = celáčísla A B=? celočíselnýpodíl A%B=? zbytekpodělení ➊příklad: A=0,101 2 B=0, ,101/0,110. =0,110 zbytek:0, MI-AAK A4 1 c A. Pluháček 2011

4 dělení s návratem přes nulu 0,101 : 0, : 110 = 0,110 podíl , návrat návrat 100 zbytek návrat pomocná operace obnovující původní dílčí zbytek pro následující odčítání MI-AAK A4 2 c A. Pluháček 2011

5 dělení bez návratu přes nulu návrat = přičtení jistého čísla X + X následujeodečteníčísla X 1 X/2 +X/2 101 : 110 = 0,110 podíl , návrat 100 zbytek návrat pouze v posledním kroku, je-li zbytek záporný, atojenomvpřípadě,žetřebazískattakésprávnýzbytek. MI-AAK A4 3 c A. Pluháček 2011

6 dělení bez návratu přes nulu ii α ψ 1.takt 0 1 dalšítakty 1 0 návrat 0 0 l+1(popř. l+2) taktů podíl...c zbytek...a MI-AAK A4 4 c A. Pluháček 2011

7 dělení bez návratu přes nulu iii vstup sčítačky Uvědomíme si, že obě schémata jsou ekvivalentní. MI-AAK A4 5 c A. Pluháček 2011

8 dělení nezáporných celých čísel 111 : : : : negace 1 : : horká : : 0 : : : N návrat zbytek podíl MI-AAK A4 6 c A. Pluháček 2011

9 dělení nezáporných celých čísel ii : : : negace 1 : : horká : : 0 ււււււ ? : : : + 1 ււււււ ?? : : 1 : : : : 0 ււււււ 1 1 0??? N : : návrat ? : : 0 0 1??? zbytek podíl MI-AAK A4 7 c A. Pluháček 2011

10 dělení nezáporných celých čísel iii α β ψ 1.takt dalšítakty návrat l(popř. l+1) taktů podíl...nižšířádya zbytek...vyššířádya MI-AAK A4 8 c A. Pluháček 2011

11 ➊přímýkód znaménko: dělení čísel se znaménkem XOR absolutní hodnota nezáporné číslo dělení čísel bez znaménka ➋ inverzní kód možná metodika návrhu: Pro různé kombinace znamének dělence A a dělitele B se modifikuje známý postup pro dělení nezáporných čísel A a B tak,aby byly zachovány stejné absolutní hodnoty mezivýsledků a bity podílu byly invertovány(anebo neinvertovány) podle toho,zda A/B= A / B (anebo A/B= A / B ). MI-AAK A4 9 c A. Pluháček 2011

12 děleníčíselseznaménkem ➋inverzníkód A... dělenec B... dělitel Y... výsledekdílčíoperace A 0 B >0 B <0 Y 0 Y <0 Y 0 Y <0 bit výsledku násl. operace + + A <0 B >0 B <0 Y 0 Y >0 Y 0 Y >0 bit výsledku násl. operace + + souhlas znamének bit podílu = 1 a příště odečítat Uvažte případ: znaménko a nula! MI-AAK A4 10 c A. Pluháček 2011

13 dělení čísel se znaménkem ➌ doplňkový kód ➌ doplňkový kód Postupprodělenívinverznímkódulzepoužítivpřípadě,že dělenec, děliteli a zbytek jsou v jakémkoliv kódu, pokudmábýt podíl v inverzním kódu. dělenívdoplňkovémkódu modifikacedělení v inverzním kódu určit obraz I(C) podílu C v inverzním kódu, ale všechny operace a jejich vyhodnocení provádět v doplňkovém kódu obraz I(C) { převést do doplňkového kódu: I(C), pro C >0, D(C)= I(C)+ε,pro C <0. zbytek bude v doplňkovém kódu MI-AAK A4 11 c A. Pluháček 2011

14 Dále se budeme zabývat pouze dělením čísel bez znaménka a budeme předpokládat, že dělitel B splňuje podmínku 1 2 B <1, tzn. že je tzv. normalizován. pozn.: Naprosto analogicky lze postupovat v případě, že 1 B <2. MI-AAK A4 12 c A. Pluháček 2011

15 přeskakování nul příklad dělení: 0,1000 : 0,1111 = 0, , , , , návrat , návrat , návrat MI-AAK A4 13 c A. Pluháček 2011

16 přeskakování nul ii 3nuly = zapsat2nulydopodílua dílčí zbytek posunout o tři místa 0,1000 : 0,1111 = 0, , , , , návrat 1000 lze zobecnit: knul = zapsat k 1nuldopodílua dílčízbytekposunoutokmíst MI-AAK A4 14 c A. Pluháček 2011

17 přeskakování jedniček příklad dělení: 0,1110 : 0,1111 = 0, , , , protinávrat?! , protinávrat?! , protinávrat?! , návrat 1110 MI-AAK A4 15 c A. Pluháček 2011

18 přeskakování jedniček ii 4jedničky = zapsat3jedničkydopodílua dílčí zbytek posunout o čtyři místa 0,1110 : 0,1111 = 0, , , , návrat 1110 lze zobecnit: k jedniček = zapsat k 1 jedniček do podílu a dílčízbytekposunoutokmíst MI-AAK A4 16 c A. Pluháček 2011

19 metody SRT metody SRT(Sweeney- Robertson- Tocher) Podíl se nejprve určí v soustavě s relativními číslicemi. Pak se převede do standardní soustavy. Zbytek se po každé dílčí operaci sčítání/ odčítání normalizuje přeskakovaní nul a jedniček. redundantní počet relativních číslic redundance přeskakování, co největšího počtu bitů úprava dělence i dělitele před vlastní operací redundance určení číslice podílu Stačí jenom několik bitů dílčího zbytku. použití soustav se základem z > 2 MI-AAK A4 17 c A. Pluháček 2011

20 rozšiřování zlomku rozšiřování zlomku A B = A 0 B 0 = A 1 B 1 = A 2 B 2 = A 3 B 3 =... A i+1 = A i K i B i+1 = B i K i A 0 = A B 0 = B B i 1 = A i A B B=1 δ 1 2 B <1 0 < δ 1 2 B i =1 δ i K i =1+δ i =2 B i K i = B i + ε B i+1 = B i K i =(1 δ i ) (1+δ i ) B i+1 =1 δ 2 i Je-li δ i 1získásekaždýmkrokemcca dvojnásobný počet platných číslic. MI-AAK A4 18 c A. Pluháček 2011

21 použití iterací Newtonova metoda(metoda tečen) [Newton Raphson] Pozorování: g(x) a ξ x 2 x 1 x 0 b x Předp.:Funkce g(x)nabývávintervalu a, b hodnoty0 (pro x=ξ)ajevněmspojitá,rostoucíaryzekonvexní. g (x 0 )= g(x 0) x 0 x = x 1 = x 0 g(x 0) 1 g (x 0 ) g (x 1 )= g(x 1) x 1 x = x 2 = x 1 g(x 1) 2 g (x 1 ). MI-AAK A4 19 c A. Pluháček 2011

22 použití iterací ii Tedy pro i=0,1,2,... x i+1 = x i g(x i) g (x i ) Rovnice g(x) = 0 mávintervalu a, b kořen,ato ξ= lim i x i. přesneji viz následující fólii MI-AAK A4 20 c A. Pluháček 2011

23 použití iterací iii Existuje-litakové aab > a,že funkce g(x)jevintervalu a, b spojitá a mávněm spojitouprvníderivaci g (x) a spojitoudruhouderivaci g (x), g(a) g(b) <0, ( x a, b ) g (x) g (a) >0, ( x a, b ) g (x) g (a) >0 a ( x 0 a, b ) g(x 0 ) g (x 0 ) >0, márovnice g(x)=0vintervalu a, b jedinýkořen,ato ξ= lim x i, i kde x i+1 = x i g(x i) g (x i ) pro i=0,1,2,3,.... Podmínky jsou postačující, nikoliv nutné. Rovnice g(x) = 0 můžetedymítvintervalu a, b jedinýkořen,kterýlzeurčit uvedeným postupem, i když některá z podmínek splněna není. MI-AAK A4 21 c A. Pluháček 2011

24 použití iterací iv ξ= 1 B A B = A 1 B je kořenem rovnice 1 x B=0. ξjetedykořenemrovnice g(x)=0, kde g(x)= x 1 B, g (x)= 1 x 2 a g (x)= 2 x 3. g(x) 1 B 2 B x MI-AAK A4 22 c A. Pluháček 2011

25 použití iterací v Tedy x i+1 = x i g(x i) g (x i ) = x i (2 B x i ) a vyhovuje libovolné a (0, 1 B ), libovolné b ( 1 B, )a libovolné x 0 (0, 1 B ). Pozn.:Lzepoužíttakélibovolné x 0 1 B, 2 x i+1 1 B B ) 1 B 2 B x i MI-AAK A4 23 c A. Pluháček 2011

26 použití iterací vi Výpočethodnoty 1 B x i+1 = x i (2 B x i ) 1 normalizované B: 2 B <1 = 1 < B 1 2 [ x 0 (0, 1)] x 0 ( ) 0, rychlost konvergence: x i = 1 B (1 δ) = x i+1= 1 B (1 δ2 ) δ 1 = každouiteracísezíská dvojnásobný počet platných míst Jevýhodnévolit x 0 tak,abybylo δ conejmenší. malá tabulka v paměti ROM adresovaná několik prvními bity B 1 B MI-AAK A4 24 c A. Pluháček 2011