1 Teorie čísel. Základní informace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Teorie čísel. Základní informace"

Transkript

1 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí s modulární aritmetikou, číselnými soustavami o různých základech a se způsobem uložení čísel ve tvaru dvojkového doplňku. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět najít největšího společného dělitele čísel, největší společný násobek, bude umět počítat se zbytkovými třídami, a bude umět převádět mezi číselnými soustavami a různém základu a provádět s nimi základní operace. 1.1 Motivace Možná Vám pojednání o číslech bude připadat jako velmi elementární, ale v informatice a algoritmizaci se hojně využívá množin čísel a s čísly se také pomocí základních aritmetických operací manipuluje. Z teorie čísel vyplývá i notace hojně používaná v informatice. Důležité je také pochopit, jak jsou čísla v počítačích reprezentována a jaká z toho plynou omezení při výpočtech. 1.2 Celá čísla Budeme předpokládat, že jsme seznámeni s pojmem přirozeného čísla (1,2,3,4,...,101,102,...,n,...). Zjednodušeně můžeme říci, že přirozená čísla jsou čísla, která používáme k běžnému počítání objektů z reálného světa. K těmto celým číslům nyní přidáme číslo nula (0), které můžeme definovat následujícím způsobem (n je libovolné přirozené číslo): 0 + n = n + 0 = n. Nakonec k této množině můžeme přidat také záporná čísla (-n) které můžeme definovat následujícím způsobem: n + (-n) = (-n) + n = 0. Zápis n + (-n) = 0 můžeme zjednodušeně psát n - n = 0. Množinu přirozených čísel, záporných čísel a nuly souhrnně nazýváme celá čísla. Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, podle Zahlen (německy čísla). V informatice se pro množinu celých čísel používá termín integers, pro přirozená čísla termín positive integers případně negative integers pro záporná čísla. Množina celých čísel je uzavřená na operaci sčítání a násobení, což znamená že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je množina celých čísel uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2). Poznámka: Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice rozumí kladné celé číslo (1, 2, 3, ). V oborech jako matematická logika, teorie množin a informatika se mezi přirozená čísla počítá i nula, což však v teorii čísel může vést k potížím. Pokud by mohlo dojít k nejasnostem, budeme množinu celých kladných čísel včetně nuly značit Z 0, a pro kladná celá čísla budeme používat označení Z +. Definice: To že je množina M uzavřená na nějakou operaci * se v teorii čísel vyskytuje velmi často a znamená to, že když tuto operaci aplikujeme na libovolné prvky z množiny M, tak výsledek bude také náležet do množiny M. Zapíšeme to následujícím způsobem:, Následující seznam představuje základní vlastnosti pro libovolná celá čísla: 1. a + b = b + a - komutativní zákon 2. a * b = b * a - komutativní zákon 3. a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - asociativní zákon 1

2 4. a * ( b * c ) = ( a * b ) * c - asociativní zákon 5. a + 0 = a - existence neutrálního prvku 6. a * 1 = a - existence neutrálního prvku 7. a + (-a) = 0 - existence inverzního prvku 8. a * ( b + c ) = ( a * b ) + ( a * c ) - distributivní zákon 9. Pro ušetření místa budeme psát a k jako zkratku pro vynásobení čísla a samo sebou k-krát. Bude tedy platit, že 3 4 = 3*3*3*3 a 2 10 = a n * a m = a n+m 11. n 0 = Faktorizace a prvočísla Jako faktorizace se v teorii čísel označuje problém rozložení čísla na součin menších čísel, v nejčastější podobě pak rozklad celého čísla na součin prvočísel. Například číslo 15 lze napsat jako součin 3 * 5. Obecněji lze rozkládat i jiné algebraické objekty, např. polynom druhého řádu x² 4 lze vyjádřit jako součin dvou polynomů prvního řádu (x 2)(x + 2). Rozklad celého čísla na prvočinitele je považován za velmi těžkou úlohu a na její nezvládnutelnosti pro velká čísla jsou založeny některé kryptografické metody, např. algoritmus RSA pro šifrování s veřejným klíčem. 1 Ne všechna celá čísla lze rozdělit na prvočinitele. Ty, které nelze, jako např. 3, 5, 7, 11, 13,..., jsou právě prvočísla. Prvočísla jsou jak pro informatiky, tak i pro matematiky velmi fascinujícími objekty. Existují i vědní obory, které hledají nová prvočísla a snaží se najít nové či vylepšit stávající postupy pro rychlejší faktorizaci velkých čísel Dělitelnost Dělitelnost je vlastnost celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p), jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že p = k*q. Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 * 3. Číslo q se nazývá dělitel čísla p, zapisujeme p q. Alternativně můžeme říci, že je p dělitelné q, jestliže zbytek po dělení p q je nula. Následující seznam představuje další známé pojmy a fakta: 1. Jako triviální dělitele a Z označujeme čísla 1 a číslo a samotné 2. Celé číslo c je společným dělitelem celých čísel a a b jestliže c a a zároveň c b 3. Prvočíslo je číslo 2, které nemá jiné dělitele než triviální 4. Číslo, které není prvočíslem, nazýváme číslem složeným 5. Každé celé číslo 2 je buď prvočíslo, nebo se dá zapsat jako součin prvočísel Definice: Jestliže a,b Z a b 1, pak dělení čísla a číslem b dává čísla q (podíl) a r (zbytek) taková, že a = q*b + r, kde 0 r < b. Čísla q a r jsou jednoznačná. Zbytek po dělení budeme značit také a (mod b). Definice: Každé celé číslo n 2 se dá zapsat jednoznačně (až na pořadí) v kanonickém tvaru n = p 1 a1 * p 2 a2 *...* p k ak, kde p 1, p 2,..., p k jsou navzájem různá prvočísla a a 1, a 2,..., a k jsou celá kladná čísla. Příklad: Vyjádřete v kanonickém tvaru číslo Řešení: /2 = číslem 2 již nelze dělit, zkusíme dále dělení číslem /3 = /3 = číslem 3 již nelze dělit, číslem 5 také ne, zkusíme dělení číslem /7 = 19 - číslo 19 je již prvočíslo, výsledek tedy bude 2394 = 2*3*3*7*19 1 Podle základní věty aritmetiky lze libovolné celé číslo jednoznačně rozložit na součin prvočísel. Pro takovou úlohu s velkými čísly však není znám žádný efektivní algoritmus a předpokládá se, že ani neexistuje. V současné době není známa přesná klasifikace této úlohy do tříd složitosti, je však známo, že (přesněji rozhodovací verze faktorizace má číslo N nějakého činitele menšího než M? ) patří do NP i co-np (odpovědi ANO i NE lze ověřit v polynomiálním čase). Předpokládá se, že padá mimo třídy P, NP-complete a co-np-complete. Zajímavé je, že zdánlivě podobná úloha je N číslo složené (či ekvivalentně: je N prvočíslo ) je zřejmě mnohem jednodušší: bylo dokázáno, že ji lze vyřešit v polynomiálním čase. [Zdroj: wikipedia.org] 2 2

3 Příklady na procvičení: 3600 = 2 4 * 3 2 * = 2 8 * = 2 * 7 * 13 * 19 Definice: Kladné celé číslo d je největším společným dělitelem (dále jen NSD, anglicky GCD - greatest common divisor) celých čísel a a b, když platí: 1. d je společný dělitel celých čísel a a b. 2. Jestliže nějaké celé číslo d 1 dělí obě čísla a a b, pak d 1 dělí také d. Euklidův algoritmus slouží k nalezení NSD dvou čísel. function nsd(a, b) { } var c; while (b!= 0) { } c = b; b = a mod b; a = c; return a; Příklad: Ukázka výpočtu Euklidova algoritmu pro čísla 72 a 246: = 3 * (246 mod 72 = 30) = 2 * (72 mod 30 = 12) = 2 * (30 mod 12 = 6) = 2 * NSD(72, 246) = 6 Příklad: Společní dělitelé čísel 12 a 18 jsou {1,2,3,6}. NSD(12,18) = 6 Definice: Kladné celé číslo d je nejmenším společným násobkem (dále jen NSN, anglicky LCM - least common multiple) celých čísel a a b když platí: 1. a d a zároveň b d. 2. Jestliže a d 1 a b d 1, pak d d 1 pro nějaké celé číslo d 1. Příklad: Jestliže a a b jsou kladná celá čísla, pak NSN(a,b) = a*b / NSD(a,b). Např.: NSN(12,18) = 12*18/NSD(12,18) = 12*3 = 36. Příklad: Je snadné nalézt NSD a NSN dvou celých čísel 2, pokud je vyjádříme v kanonockém tvaru: 300 = 2 2 * 3 1 * = 2 1 * 3 2 NSD(300,18) = 2 1 * 3 1 * 5 0 = 6 NSN(300,18) = 2 2 * 3 2 * 5 2 = 900 Definice: Dvě celá čísla jsou nesoudělná (relatively prime), když jejich NSD je 1 Domácí cvičení: Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti vybraných celých čísel v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. 3 q kritérium příklad 2 je-li na místě jednotek sudé číslo 128, je-li ciferný součet dělitelný (2+2+8 = 12, 1+2 = 3) 3 Kompletní tabulku lze nalézt na adrese 3

4 4 je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4 612, je-li na místě jednotek 5 nebo 0 35, je-li číslo dělitelné 2 a 3 924, je-li poslední trojčíslí dělitelné je-li ciferný součet dělitelný ( = 18) 10 je-li na místě jednotek , je-li číslo dělitelné 3 a 4 zároveň, je dělitelné i ( = 18 dělitelné třemi OK); (12/4 = 3 OK) 13 je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti ( = 26) 14 je-li číslo dělitelné 2 a 7 868, je-li číslo dělitelné 3 a 5 930, je-li číslo dělitelné 9 a , je-li číslo dělitelné 5 a 4, je-li poslední dvojčíslí dělitelné , je-li poslední dvojčíslí dělitelné , je-li číslo dělitelné 3 a , je-li poslední trojčíslí dělitelné , Modulární aritmetika Obecnější a zajímavější než zkoumat dělitelnost čísel, je zajímavé zkoumat zbytek při dělení. Na rozdíl od běžné aritmetiky je modulární aritmetika definována na konečné množině Z n. Ta vznikne ze Z tak, že jsou ztotožněna čísla se stejným zbytkem po dělení číslem n. Někdy se této aritmetice říká aritmetika zbytkových tříd. Definice: Uvažujme celá čísla a a b a přirozené číslo n (a,b Z, n N) a označme symbolem "a mob n" zbytek při dělení čísla a číslem n. Příklad: V programovacích jazycích se pro výpočet zbytku po dělení používá právě operace mod. Například: 25 mod 4 = 1 - protože 25 / 4 = 6 a zbytek je 1 19 mod 5 = 4 - protože 19 = 3 * mod 5 = 4 Definice: Řekneme, že a je kongruentní s b modulo n, pokud a mod n = b mod n. Jinými slovy, zbytek při dělení a n a b n je tentýž. Píšeme pak a b (mod n). Dále pak platí že: a b (mod n) n dělí (a-b) Příklad: 53 mod 7 = (mod 7) Příklad: Všem známé užití modulární aritmetiky je například ve 12-hodinovém určování času. Den je rozdělen na dva 12-ti hodinové úseky. Jestliže je nyní čas 7:00, pak o 8 hodin později to bude 3:00. Obvyklým sčítáním by nám ale vyšlo že by mělo být = 15 hodin. Vzhledem ale k tomu že je k dispozici pouze 12 hodinových úseků, tak se čas vždy ve 12 hodin začne počítat od začátku. Vzhledem k tomu, že se hodiny začnou počítat od začátku vždy ve 12 hodin, tak v tomto případě můžeme mluvit o aritmetice modulo 12. Díky tomu se můžete u modulární aritmetiky setkat s označením Clock arithmetic. Příklad: Jaké další příklady modulárních aritmetik z běžného života znáte? hodiny, týdny, roky (mod 12), (mod 365) Níže následuje seznam základních vlastností kongurence. Pro všechna a, b, a 1, b 1, c Z platí: 1. a b (mod n) právě tehny, když zbytek po dělení čísel a i b číslem n je stejný 2. a a (mod n) pro a Z - reflexivita 3. Jestliže a b (mod n) b a (mod n) - symetrie 4. Jestliže a b (mod n) a b c (mod n), potom a c (mod n) - tranzitivita 4

5 5. Jestliže a a 1 (mod n) a b b 1 (mod n), potom a + b a 1 + b 1 (mod n) Z předchozího vidíme, že relace kongruence je ekvivalencí, protože je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Třída ekvivalence celých čísel a je množina všech celých čísel kongruentních s a modulo n. Vidíme, že pro dané n relace kongruence a modulo n dělí množinu Z na třídy ekvivalence, na tzv. zbytkové třídy modulo n. Definice: Nechť je dáno n > 0. Pro každé celé číslo a definujeme [a] n = {x x a (mod n)} jako množinu celých čísel kongruentních a modulo n a nazveme ji množinou zbytkových tříd modulo n - značíme Z n. Příklad: Každé číslo ze Z n reprezentuje zbytkovou třídu. Nechť n = 7, zbytkové třídy modulo 7 označme jako [0] 7, [1] 7,..., [6] 7, pak [2] 7 = {..., -12, -5, 2, 9, 16,...}. Definice: Nechť a Z n. Multiplikativní inverzní prvek k prvku a mod n je číslo x Z n takové, že a*x 1 (mod n). Pokud takové x existuje, pak je jednoznačné. Inverzní prvek k a mod n označujeme a -1. Definice: Nechť a Z n. Dělení čísla a číslem b modulo n je definováno jako součin a * b -1 definováno jen tehdy, je-li b invertovatelné mod n. modulo n je Definice: Nechť a Z n. Aditivní opačný prvek k prvku a modulo n je číslo x Z n takové, že a + x 0 (mod n). Pokud takové x existuje, je jednoznačné. Opačný prvek k a modulo n budeme označovat x. Pro určení toho, zda k danému a Z n existuje inverzní prvek využijeme faktu, že číslo a je invertovatelné právě tehdy když NSD(a,n) = 1. Příklad: Nechť n = 9, Z n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Určete invertovatelné prvky. Řešení: Invertovatelné jsou prvky 1, 2, 4, 5, 7, 8, např. 5 1 = 2, protože (mod 9) Příklad: Kolik je 3 8 (mod 7)? Řešení: a) * 3 4 (81 (mod 7)) * (81 (mod 7)) 4*4 = 16 2 (mod 7) b) 3 8 = (mod 7) protože 6561 = 937 * Příklady: 1. Určete všechny zbytkové třídy modulo Určete aditivní opačný prvek ke každému prvku ze Z Určete multiplikativní inverzní prvek ke každému prvku ze Z 8 (existuje-li). 4. Určete multiplikativní inverzní prvek ke každému prvku ze Z 11 (existuje-li). 5. Spočtěte (mod 53). 6. Spočtěte 5 9 (mod 42). 1.6 Racionální a reálná čísla Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tj. podíl dvou celých čísel, většinou zapsaný ve tvaru nebo a/b, kde b není nula. Číslo a označujeme jako čitatel a číslo b jako jmenovatel. Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky (např. 1/2 = 2/4 = 3/6...). Nejjednodužší je tvar, kde jsou čísla a a b nesoudělná a b je kladné. Každé racionální číslo má tento základní tvar dán jednoznačně. Množinu všech racionálních čísel značíme Q. Reálná čísla jsou taková čísla, kterým můžeme jednoznačně přiřadit body nekonečné přímky (číselné osy) tak, aby tato čísla popisovala vzdálenost od nějakého vybraného bodu (nuly) na takové přímce. Tato nula pak přirozeně dělí reálná čísla na kladná a záporná. Množinu všech reálných čísel označujeme R. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo. Iracionální čísla jsou např. 2 nebo π. 5

6 1.7 Číselné soustavy Pravidla pro zápis čísla pomocí číslic nazýváme číselnou soustavou. Z běžného života známe například soustavu desítkovou, šedesátinnou (čas) či římskou. Obecně můžeme vyjádřit pravidlo zápisu čísla v soustavě mnohočlenem (polynomem): x m * g m + x m-1 * g m x 1 * g 1 + x 0 * g 0 + x -1 * g x -n * g -n Např.: 3542,395 (10) = 3* * * * * * *10-3 Každá číselná soustava, která zobrazuje čísla pomocí mnohočlenu (polynomu), se nazývá polyadická (polynomická) číselná soustava o základu g (desítková soustava má základ 10). Počítače mají však logické obvody, které pracují se dvěma logickými stavy (zapnuto = 1, vypnutu = 0), a proto je základem dnešních počítačů technologie založená na soustavě dvojkové. 4 Dvojková (binární) soustava je polyadická číselná soustava o základu g = 2. Dvojková soustava používá pouze dvě číslice, nulu a jedničku, ale i tak lze zobrazit ve dvojkové soustavě jakékoliv číslo (i když někdy nepřesně). Těmito prostými číslicemi zvanými bity (z anglického výrazu pro dvojkovou číslici BInary digit) lze vyjádřit jakékoli číslo tím, že ho rozložíme na součet postupných mocnin se základem 2, tj. na čísla: 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, atd. Pokud se při tomto rozkladu příslušná mocnina v daném řádu vyskytuje, zapisujeme ji jako 1, chybí-li píšeme 0. Pro lepší představu přepisu prvních deseti čísel z desítkové do dvojkové soustavy poslouží následující tabulka: Desítkové číslo Rozklad na posloupnost mocnin Zápis ve dvojkové soustavé * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Osmičková (oktalová) soustava je polyadická číselná soustava o základu g = 8. Používá osm číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Desítková (dekadická) soustava je polyadická číselná soustava o základu g = 10. Používá číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šestnáctková (hexadecimální) soustava je polyadická číselná soustava o základu g = 16. Používá šestnáct číslic (znaků): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (místo 10, 11, 12, 13, 14, 15). Šestnáctková soustava se používá například pro zápis barvy v HTML kódu. Je to v podstatě zkrácená forma zápisu dvojkové soustavy. 1.8 Převody mezi číselnými soustavami Převod z desítkové do dvojkové soustavy: mějme číslo 70, které budeme nyní chtít převést do dvojkové, binární soustavy. Číslo které chceme převést dělíme neustále dvojkou, až dojdeme k nule, přičemž si zapisujeme zbytky po celočíselném dělení. Pokud chceme převést číslo do jiné soustavy, například do šestnáctkové, budeme dělit šestnáctkou. Pokud do šestkové, dělíme šestkou. Takže v praxi bude výpočet vypadat takto: 70 / 2 = 35 0 (zbytek po dělení) 35 / 2 = / 2 = Dvojkovou soustavu již let př. n. l. objevil čínský císař Fou-Hi, za novodobého průkopníka dvojkové soustavy považujeme Gottfrieda Wilhelma Leibnitze ( ). 6

7 8 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = 0 1 Výsledné číslo ve dvojkové soustavě udávají zbytky po dělení. Čísla čteme od spodu nahoru. Takže číslo 70 v binární soustavě je Převod z dvojkové do desítkové soustavy: mějme binární číslo a převeďme ho do desítkové soustavy. Stačí vypočítat tento součet: = 1* * * * * * *2 0 Číslo má sedm číslic, takže mocniny u čísla dva budou postupně 6, 5,, 1, 0. Po umocnění a vynásobení získáme výraz: = = Převod desetinných čísel: Binární desetinná čísla se do desítkové soustavy převádí stejný způsobem, například číslo můžeme zapsat jako = = Pozor při převodu čísel mezi soustavami, může totiž nastat situace, kdy nám při převodu vznikne cyklus a číslo tak v požadované soustavě nepůjde přesně zapsat. Například pří převodu čísla do dvojkové soustavy: 0.4 / 2 = (zbytek po dělení) 0.8 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = zde se již začíná výpočet opakovat výsledkem tedy bude periodické číslo = Převod do jiných soustav: postup na převod z desítkové do binární soustavy je natolik univerzální, že lze použít i na jiné soustavy. Pokud chceme převést číslo 185 do šestnáctkové soustavy, jen dělíme 16: 185 / 16 = 11 9 (zbytek po dělení) 11 / 16 = 0 11 Číslo 185 by v 16 soustavě mělo tvar (11, 9). Místo číslic nad 9 se používají písmena, takže 10 = A, 11 = B, 12 = C, Můžeme tak napsat, že číslo 185 má v 16 soustavě tvar B9. Podobně můžeme převést číslo B9 z 16 soustavy do desítkové: B9 16 = 11 * * 16 0 = 11 * = Příklady: Převeďte následující binární čísla do desítkové soustavy: , , , Převeďte následující desítková čísla do binární soustavy: 50 10, 70 10, 64 10, Aritmetické operace s binárními čísly Sčítání binárních čísel: binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, je-li výsledkem součtu dvou čísel pod sebou hodnota větší nebo rovna Ne náhodou je číslo ciferně shodné s číslem dekadickým. Musíte si však uvědomit, že 10 2 =2 10. Postup začneme v příkladu tak, že v pravém sloupci: = 1, v prostředním sloupci je opět = 1 a ve sloupci levém je = Zde dojde k přenosu jedničky, zapíšeme tedy nulu a do nejvyššího řádu připíšeme jedničku. Binárně Dekadicky

8 Odčítání binárních čísel: budeme postupovat obdobným způsobem. V příkladu nejprve odečteme 1 1 = 0 v pravém sloupci tak, jak jsme zvyklí, a v následujícím sloupci 1 0 = 1. Ve třetím sloupci zprava pak počítáme rozdíl 0 1 (odečítáme větší číslo od menšího). U desítkových čísel si v takovém případě vypomáháme přidáním jedničky ve vyšším řádu menšence (číslo, od kterého odčítáme). Tu vykompenzujeme tím, že ji odečteme v následujícím sloupci vlevo (dojde tedy k přenosu 1). Např. rozdíl 5 8 spočítáme jako 15 8=7, zapíšeme sedm a v následujícím vyšším řádu odečteme jedničku. Stejným způsobem budeme postupovat i zde. Místo 0 1 tedy budeme počítat 10 1 = 1 a do výsledku zapíšeme 1. V dalším řádu (v levém sloupci) odečteme jedničku, kterou jsme si vypůjčili, tedy 1 1 = 0, přičemž nulu již do výsledku nezapisujeme. Binárně Dekadicky Násobení binárních čísel: Způsob násobení binárních čísel se nijak neliší od způsobu, jakým násobíme čísla desítková. Při samotném násobení vlastně ani nijak nepocítíme, že se jedná o binární čísla. Rozdíl nastane až při sčítání mezivýsledků, kdy budeme postupovat způsobem popsaným výše. Všimněte si, že v podstatě neděláme nic jiného, než že horní číslo buď opisujeme v nezměněné podobě, pokud násobíme jedničkou, nebo píšeme samé nuly. Bez zajímavosti není také násobení dvěma. Můžete si vyzkoušet vynásobit jakékoliv binární číslo dvěma. Dvojka je v binární soustavě reprezentována číslem Efekt bude stejný jako kdybyste v desítkové soustavě násobili deseti. Budeme v podstatě jen přidávat nuly zprava. Násobení (i dělení) binárního čísla mocninami dvojky se tak stává velice snadnou záležitostí. Binárně Dekadicky * * Příklady: Spočítejte součet následujících čísel: , , Spočítejte součin následujících čísel: * 11 2, * 101 2, * Dvojkový doplněk Ukázali jsme si, jak lze zapsat čísla stejných hodnot v různých číselných soustavách. Celou problematiku jsme trochu zjednodušili tím, že jsme pracovali pouze s celými kladnými čísly. Čísla záporná bychom mohli vyjádřit s použitím znaménka, jak jsme tomu zvyklí z desítkové soustavy. Jeden bit pak musíme vyhradit pro uložení informace o znaménku. Na samotném převodu by se v takovém případě nic nezměnilo. Ve výpočetní technice se však často využívá výhodnějšího způsobu vyjádření záporného čísla ve tvaru tzv. dvojkového doplňku. Způsob jeho vytvoření je patrný na následujícím obrázku: 8

9 Dvojkový doplněk představuje způsob kódování záporných čísel v binární soustavě a usnadňuje výpočetním systémům operaci odčítání a aritmetické operace se zápornými čísly obecně. Chceme-li totiž vypočítat rozdíl dvou čísel vyjádřených v binární číselné soustavě, můžeme jednoduše číslo, které chceme odečíst, převést na dvojkový doplněk provedením negace a následným přičtením jedničky a poté obě čísla jednoduše sečíst. Povšimněte si, že dvojkový doplněk čísla vždy závisí na počtu bitů, kterými čísla reprezentujeme. Počítače obvykle reprezentují čísla pomocí 8, 16, 32 nebo 64 bitů. V závislosti na reprezentaci je pak při tvorbě dvojkového doplňku nutné příslušným způsobem zarovnat počet bitů daného čísla (tj. doplnit číslo zleva nulami). Příklad: Vytvořte dvojkový doplněk čísla , pracujeme-li s osmibitovým vyjádřením čísla. Řešení: Zarovnáme počet bitů čísla na osm: Provedeme negaci: Přičteme jedničku: Výsledkem je tedy číslo: Příklady k procvičení TODO 9

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Principy počítačů. Prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD.

Principy počítačů. Prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD. Principy počítačů Prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD. Číselné soustavy Obsah přednášky: Přednáška 3 Číselné soustavy a převody mezi nimi Kódy, přímý, inverzní a doplňkový kód Znakové sady Úvod Člověk se

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

Číselné soustavy. Ve světě počítačů se využívají tři základní soustavy:

Číselné soustavy. Ve světě počítačů se využívají tři základní soustavy: Číselné soustavy Ve světě počítačů se využívají tři základní soustavy: dekadická binární hexadecimální patří mezi soustavy poziční, tj. desítková hodnota každé číslice (znaku) závisí na její pozici vzhledem

Více

Y36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody.

Y36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody. Y36SAP Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Tomáš Brabec, Miroslav Skrbek - X36SKD-cvičení. Úpravy pro SAP Hana Kubátová Osnova Poziční číselné soustavy a převody Dvojková soust., převod

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Fz =a z + a z +...+a z +a z =

Fz =a z + a z +...+a z +a z = Polyadické číselné soustavy - převody M-místná skupina prvků se z-stavovou abecedou umožňuje zobrazit z m čísel. Zjistíme, že stačí vhodně zvolit číslo m, abychom mohli zobrazit libovolné číslo menší než

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná

2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná .8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

Mikroprocesorová technika (BMPT)

Mikroprocesorová technika (BMPT) Mikroprocesorová technika (BMPT) Přednáška č. 10 Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. Obsah přednášky Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Dekadická, binární, hexadecimální

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

Algoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19

Algoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19 Algoritmy I Číselné soustavy přečíst!!! Číselné soustavy Každé číslo lze zapsat v poziční číselné soustavě ve tvaru: a n *z n +a n-1 *z n-1 +. +a 1 *z 1 +a 0 *z 0 +a -1 *z n-1 +a -2 *z -2 +.. V dekadické

Více

Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions

Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions 2014 Veronika Balcárková Ráda bych na tomto místě poděkovala

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-03

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum

Více

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. MATA Př 3 Číselné soustavy Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách, jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční.

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace Kódováni dat Před zpracováním dat například v počítači je třeba znaky převést do tvaru, kterému počítač rozumí, tj. přiřadit jim určité kombinace bitů. Tomuto převodu se říká kódování. Kód je předpis pro

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Číselné soustavy. Jedná se o způsob reprezentace čísel.

Číselné soustavy. Jedná se o způsob reprezentace čísel. Číselné soustavy Číselné soustavy Jedná se o způsob reprezentace čísel. Dvě hlavní skupiny: Nepoziční (hodnota číslice není dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic) Poziční (hodnota každé číslice dána

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

4 Počítání modulo polynom

4 Počítání modulo polynom 8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Převody mezi číselnými soustavami

Převody mezi číselnými soustavami Převody mezi číselnými soustavami 1. Převod čísla do dekadické soustavy,kde Z je celé číslo, pro které platí a Řešením je převod pomocí Hornerova schématu Příklad: Převeďte číslo F 3 = 2101 do soustavy

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY PŘEVODY

ČÍSELNÉ SOUSTAVY PŘEVODY ČÍSELNÉ SOUSTAVY V každodenním životě je soustava desítková (decimální, dekadická) o základu Z=10. Tato soustava používá číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, není však vhodná pro počítače nebo číslicové

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Úvod do programování 7. hodina

Úvod do programování 7. hodina Úvod do programování 7. hodina RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015 Umíme z minulé hodiny Syntax Znaky Vlastní implementace

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

PJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných

PJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných PJC Cvičení #2 Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných Číselné soustavy Desítková (decimální) kdo nezná, tak...!!! Dvojková (binární) - nejjednodušší Šestnáctková (hexadecimální) - nejpoužívanější

Více

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické

Více

Číslo materiálu. Datum tvorby Srpen 2012

Číslo materiálu. Datum tvorby Srpen 2012 Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_03_Převod čísel mezi jednotlivými číselnými soustavami Střední odborná škola a Střední

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Prvočísla, dělitelnost

Prvočísla, dělitelnost Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více