PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY"

Květa Kovářová
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRHÉHO ŘÁD ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY A) Časová oblast integro-diferenciální rovnice K obvodu na obrázku je v čase t 0 napětí u b (t). t 0 připojen zdroj napětí u(t). Vypočtěte časový průběh R u a C2 u b C R2 u b (t) Počet obvodových rovnic je stejný jak při použití metody uzlových napětí, tak smyčkových proudů. Je-li úkolem vypočítat napětí u b (t), bude metoda uzlových napětí výhodnější. Obvodové rovnice: u a (t) u(t) du a (t) d + C + C 2 u a (t) u b (t) 0 () R d C 2 u b (t) u a (t) + u b(t) 0 (2) Protože chceme vypočítat napětí u b (t), musíme eliminovat proměnnou u a (t) a její derivace. Derivaci napětí u a (t) můžeme vyjádřit z rovnice (2). du a (t) du b(t) + u b(t) C 2 (3) V rovnici () je napětí u a (t) a jeho derivace. Musíme proto derivovat rovnici (), tak že bude obsahovat první a druhou derivaci u a (t) a dále derivovat rovnici (3), abychom vyjádřili druhou derivaci u a (t). d 2 u a (t) 2 d2 u b (t) + du b (t) 2 C 2 (4) R (C + C 2 ) d2 u a (t) 2 + du a(t) d 2 u b (t) R C 2 2 du(t) (5) Pavel Máša, X3EO2 strana

2 Po dosazení rovnic (3) a (4) do (5), dostaneme: d 2 u b (t) R C C 2 2 +[R C + R C 2 + C 2 ] du b(t) du(t) +u b (t) C 2 (6) Charakteristická rovnice bude R C C 2 2 +[R C +R C 2 + C 2 ] +0 (7) Kvadratická rovnice má dva záporné kořeny. Pro zjednodušení, nechť R R a C C 2 C. Pak se rovnice (7) zjednoduší na tvar C (8) a (8) má kořeny: s Ã ; (2) 2 () 2 r! ( 0:382 2:68 (9) Obecné řešení rovnice je u b (t) K e 0:382 t + K 2 e 2:68 t (0) Partikulární řešení v obvodu závisí na charakteru napájecího zdroje. Pokud je napájecí zdroj stejnosměrný, u(t), bude u p u b () 0 () Čas položíme rovný 0, t 0, z rovnice (0) dostaneme u b (0) K +K 2 (2) V tomto okamžiku máme jednu rovnici a dvě neznámé konstanty K a K 2. Musíme derivovat rovnici (0), abychom získali druhou rovnici k vyjádření integračních konstant: u 0 b(t) 0:382 K e 0:382 t 2:68 K 2e 2:68 t (3) u 0 b(0 + ) 0:382 K 2:68 K 2 (4) V rovnici (2) se nejedná o energetickou, ale matematickou počáteční podmínku, kterou musíme z energetických vypočítat. Před připojením napájecího zdroje byly oba kapacitory bez náboje Pavel Máša, X3EO2 strana 2

3 u C (0 )u C (0 + )0 (5) u C2 (0 )u C2 (0 + )0 (6) S použitím metody smyčkových proudů dostaneme takže u b (0 + ) u C2 (0 + )+u C (0 + )0 (7) u b (0 + )u C2 (0 + ) u C (0 + )0 (8) Abychom nalezli druhou matematickou podmínku, kterou potřebujeme v rovnici (4) se musíme vrátit zpět k rovnicím () a (2). Položením t 0 a dosazením energetických počátečních podmínek dostaneme soustavu rovnic, ze které nusíme eliminovat u 0 a(0): u a (0 + ) +2u 0 a (0 +) u 0 b (0 +)0 (9) u 0 b(0 + )u 0 a(0 + ) u b(0 + ) Protože u a (0 + )u C (0 + )0 a u b (0 + )u C (0 + ) u C2 (0 + )0 Bude řešením soustavy rovnic (9) a (20) u 0 b (0 +) (20) (2) Dosazením (8) do (2) a (2) do (4) vypočítáme K a K 2. K 2, K a u b (t) e 0:382 t e 2:68 t A máme řešení. Pavel Máša, X3EO2 strana 3

4 B) Laplaceova transformace a. Obvodové rovnice Laplaceova transformace bude mnohem jednodušší: Můžeme použít různé metody, počínaje elementárními metodami analýzy (metoda postupného zjednodušování, Theveninův teorém, atd.). Obvodové rovnice: a (p) (p) +pc a (p)+pc 2 ( a (p) b (p)) 0 (22) R pc 2 ( b (p) a (p))+ b(p) 0 (23) Přepsáno do maticové formy: " R +pc + pc 2 pc 2 #" # a (p) " (p) # pc 2 pc 2 + b (p) R 0 (24) (maticový tvar (24) může být napsán přímo, nezávisle na rovnicích (22) a (23)). Pro řešení soustavy rovnic můžeme použít např. Cramerovo pravidlo: (p) R +pc + pc 2 R pc 2 0 b (p) R +pc + pc 2 pc 2 pc 2 pc 2 + (p) R ( pc 2 ) ( R + pc + pc 2 )(pc 2 + ) ( pc 2 )( pc 2 ) (25) (p)pc 2 pc p 2 R C C 2 R + pc p 2 C 2 R 2R + pc 2 +»»»» (p)p C 2 P 2 R C C 2 + pr C + p C 2 + pr C 2 + p 2 C 2»»»» Pokud R R, C C 2 C a napájecí zdroj je stejnosměrný, u(t), b (p) p p (p) 2 +3p + p 2 +3p + A + B p p () 2 p p 2 (26) Pavel Máša, X3EO2 strana 4

5 Kořeny polynomu jsou s Ã p ; (2) 2 () 2 r! ( 0:382 2:68 Konstanty A a B v parciálních zlomcích můžeme vypočítat pomocí zakrývacího pravidla p 0:382 A ( 0: :382 )( 0:382 +2:68 ) p 2 2:68 B ( 2:68 + 0:382 ) ( 2:68 +2:68 ) Řešením je: u b (t) e 0:382 t e 2:68 t A máme hotovo. b. Theveninův náhradní obvod: i (p) Z i (p) u b (t) Z pohledu svorek rezistoru, jsou parametry Theveninova náhradního zdroje: pc i (p) R + pc (p) (27) +pr C Z i (p) R pc R + + pc pc 2 R + +pr C (28) pc 2 Pavel Máša, X3EO2 strana 5

6 Obraz výstupního napětí u b (t) dostaneme s použitím rovnice pro dělič napětí: b (p) i (p) Z i (p)+ (p) +pr C R +pr C + pc 2 + (p) R + +pr C pc pr C p C 2 (p) pc 2 R ++pr C + p C 2 + p 2 R C C 2 p R C (p) p 2 + p R C + C 2 +C 2 R R C C 2 + R C C 2 (29) Pokud R R, C C 2 C a napájecí zdroj je stejnosměrný, u(t) ; pak (29) se zjednoduší na b (p) p 2 + p 3 +( (30) )2 To je stejná rovnice jako (26), takže postup výpočtu zpětné transformace je identický. A máme hotovo. Pavel Máša, X3EO2 strana 6

Podobné dokumenty

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak