Výpočet napětí malé elektrické sítě

Transkript

1 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování Výpočet napětí malé elektrické sítě Elektrická stejnosměrná soustava je zobrazená na obr.. Vypočítejte napětí v uzlech, a a uzlový proud v bilančním uzlu. Odběry v uzlech, napětí bilančního uzlu a odpory jednotlivých větví viz. obr.. Výpočet proveďte: ) metodou uzlových napětí MUN ) metodou postupného zjednodušování Obr. : Schéma zapojení soustavy. Metoda uzlových napětí MUN Nejprve jsou na základě znalosti parametrů zadaných prvků a topologie soustavy vypočteny prvky admitanční matice, a to podle následujícího principu: k I km km m I k k0 U k m0 Obr. : Model větve v soustavě Pro uzlový proud v uzlu k platí: I k I mk km 0 () - -

2 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování ^ ^ ^ I k Ikm km Uk Um km Uk km Um () mk mk mk mk odpovídá diago- Předcházející rovnice vlastně představuje násobení matic, kde (k, k) nálnímu prvku a (k, m) prvku mimo diagonálu. mk I k U k (k,k) U m (k,m) () kde ( k,k), (k,m) jsou prvky admitanční matice soustavy. Poznamenejme, že při tvorbě admitanční matice budou prvky na diagonále záporné a mimo diagonálu kladné. Protože máme uzly, bude admitanční matice typu x. První prvek vypočítáme jako záporný součet všech admitancí, které jsou do uzlu připojeny. = - ( + ) = - ( + ) = - () Druhý prvek je stejný jako a získáme ho jako součet admitancí mezi uzly a : = = (5) Další prvek je stejný jako a protože uzly a nejsou propojeny, je admitance rovna 0. Takto postupujeme dále: = - ( + + ) = - (6) = - ( + ) = - (7) = - ( + + ) = - (8) = = (9) = = (0) = = () = = () - -

3 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování Admitanční matice bude potom vypadat: 0 () 0 Nejprve provedeme obecné odvození pro zadanou síť. Napíšeme maticovou rovnici pomocí proudů, admitance a napětí. I U () Abych mohl vypočítat hodnoty napětí, bylo by třeba vynásobit předcházející rovnici inverzní maticí [] - zleva, ale to není možné, protože matice [] je singulární (det = 0). Proto provedeme rozdělení sloupcových vektorů [I], [U] a matice [] na známé a neznámé submatice: I I I I I I odb A B C D U U U U U U odb (5) (6) kde značí: [I]... neznámá hodnota proudu v uzlu [U]... známá hodnota napětí v uzlu [Iodb]... známá hodnota proudových odběrů v počítaných uzlech [Uodb]... neznámá hodnota napětí v počítaných uzlech ozměry matic v našem případě budou: x x [I], [U], [Iodb] x x [A], [B], [C] x, [Uodb] x, [D] x x - -

4 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování Nyní provedeme roznásobení jednotlivých submatic a dostaneme a po menších úpravách: [I ] = [ A ].[U ] + [ B ].[U odb ] (7) [Iodb] = [C].[U] + [D].[Uodb] /.[D] - (8) [D] -.[Iodb] = [D] -.[C].[U] + [Uodb] (9) [U odb ] = [ D ] -.[I odb ] - [ D ] -.[ C ].[U ] (0) Pomocí maticové rovnice (0) nejdříve vypočítáme neznámé hodnoty napětí v ostatních uzlech a poté pomocí maticové rovnice (7) vypočítáme hodnotu napájecího proudu, který vtéká do sítě. Výsledná napětí v uzlech, a potom jsou: U 99,75 [Uodb] = U 8,56 ( V ) U 90,65 () Napájecí proud I bude mít na základě rovnice (7) hodnotu: I = - 5 A () Záporná hodnota nám říká, že se jedná o dodávku a nikoli o odběr (pro stejnou orientaci všech uzlových proudů). Proudy mezi jednotlivými uzly vypočítáme dle vztahů: I = (U U). = 0, A () I = (U U). =,69 A () I = (U U). =,8 A (5) I = (U U). = 5,9 A (6) I = (U U). = 9,06 A (7) - -

5 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování. Metoda postupného zjednodušování Abychom mohli síť zjednodušit, je třeba odstranit mezi uzly, a a to pomocí transfigurace (D ): Obr. : Schéma sítě s transfigurací Přepočty odporů provedeme pomocí vzorců pro transfiguraci: S S. (8). (9). (0) Nyní můžeme původní síť překreslit: Obr. : Síť po transfiguraci - 5 -

6 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování Při dalším zjednodušování sítě, musíme provést odlehčení uzlů a od proudů. Odlehčení provedeme rozložením odběru do sousedních uzlů a to na základě principu proudového děliče. Proudy I a I rozložíme do uzlů S a následovně: I = IS = I = I = S S S I I I I 0 A () 90 A () 8 A () A () Výsledné uzlové proudy v uzlu S a potom budou: IS = IS + I = A (5) 7 I` = I + I + I = A (5) Obr. 5: Síť po odlehčení uzlů a Nyní můžeme síť zjednodušit a to tak, že úseky mezi uzly S a S sečteme sériově a obě paralelní větve nahradíme jejich paralelní kombinací: Sa = S + a Sb = + (6) S = S a. S a S b S b 55 = (7) 8-6 -

7 AB5EN - Výpočet úbytků napětí MUN a metodou postupného zjednodušování Proud I získáme na základě součtu všech odběrů v síti. I = I + I + I = = 5 A (8) Celá síť se nyní zjednoduší na radiální síť napájenou z jedné strany viz. obr.6. Nyní můžeme vypočítat napětí v uzlu S a. Obr. 6: Jednostranně napájená radiální síť US = U = 0-5 = 0 V (9) I.S U = U = 0 - S IS.S 7 55 = 8,56 V (9) 8 Nyní dopočítáme napětí v uzlech, a. Výpočet provedeme pro vedení napájené ze dvou stran při stejném napětí obou napáječů US (viz. obr.). Nejdříve vypočítáme proudy IS a IS pomocí momentové věty a potom na základě těchto proudů dopočítáme napětí. Obr. 7: Vedení napájené ze dvou stran IS =.I ( ).I ( S ).I = 5,9 A (0) IS = U = S.I (S ).I (S S IS.S S ).I = 9,06 A () U = 0 5,9 = 99,7 V () U = U = 0 9,06 = 90,6 V () S IS