Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Markowitzův model. Optimalizace II s aplikací ve financích.

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Markowitzův model Optimalizace II s aplikací ve financích Lucia Jarešová léto 2006

Obsah 1 Zadání úlohy 3 2 Markowitzův model 4 3 Výběr titulů 5 4 Odhady vstupních parametrů modelu 9 5 Vyřešení úloh 12 6 Míry rizika 21 7 Výsledky 22 2

1 ZADÁNÍÚLOHY 1 Zadání úlohy Jste správcem akciových portfólií. Potřebujete, mimo jiné, připravit pro své klienty vhodná akciová portfolia pro investování 2 miliónů Kč na období jednoho roku. Očekáváte, že se klient bude chtít poradit v otázce složení vhodného akciového portfólia a rozhodli jste se využít Markowitzův model pro selekci. Zvolte vhodné tituly(8-10). Víte, že výběru titulů předchází globální a odvětvová analýza a proto vyberete tituly, které jsou v souladu s vaší predikcí vývoje na finančních trzích. Úkoly: a) Sestavte efektivní hranici portfólií(graficky prezentujte), vyberte některá portfólia na efektivní hranici a uveďte jejich složení(váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfóliu. b) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozitavbance)ssazbou...(naleznětesami)? c) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost výpůjček od správce porfolia až do 30% hodnoty portfólia, pro jednoduchost předpokládejte že výpůjční sazba je stejná jako depozitní, dokázali by jste zohlednit rozdílnou výpůjční a depozitní sazbu(nalezněte její sazbu sami a určete efektivní portfólia)? d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30% počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmíte navrhnout portfólia, kde některý z titulů přesáhne 15% váhu v celkovém portfóliu. Nakreslete hranici efektivních portfólií v tomto případě. Zdůvodněte jak jste získali odhady vstupních parametrů modelu, jaké jste volili tituly a proč (zejména s ohledem na rizika která model zohledňuje a velikost investované částky). Efektivní hranice počítejte numericky, stačí aproximace pro dostatečně hustý nosič. Pozor na frekvenci dat z kterých parametry odhadujete, pozor na štěpení akcií a dividendy, pozor na měnu, směnné kurzy. V případech a)-e) vyberte některé z efektivních porfólií a spočtěte VAR(95%). 3

2 MARKOWITZŮVMODEL 2 Markowitzův model Markowitzův model se týká především investic do portfolia akcií a využívá celé řady zjednodušujících předpokladů: ideální trh bez transakčních nákladů a bez arbitráže obchodování s neomezeně dělitenými dokumenty na trhu obchodují pouze malí racionální investoři, kteří využívají shodných informací, a to hodnot očekávaných výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností, investují ve stejném čase na jedno stejně dlouhé období investoři se chovají racionálně, tj. upřednostňují větší výnosy před menšími výnosy a menší riziko před větším rizikem Základní model: Uvažujeme investici do J akcií, jednotková investice do j-té z nich dává ve zvoleném období náhodnou výnosnost ρ j. Rozdělenívektoru ρ=(ρ 1,...,ρ J ) jecharakterizovánoznámýmvektoremstředníchhodnotr=eρ aznámouvariančnímaticív=var ρ=[cov(ρ i,ρ j );i,j=1,...,j]. Složeníportfoliajeurčenováhami x 1,x 2,...,x J,kterémusísplňovatpodmínku J x j =1. j=1 Tato podmínka může být případně nahrazena nebo doplněna jinými, pokud to vyžaduje situace (např. existuje-li možnost půjčky, nejsou-li povoleny krátké prodeje apod.). Očekávanývýnos portfoliasváhamix=(x 1,...,x J ) budemechápatjakostředníhodnotu jeho celkové výnosnosti J r(x)=ex ρ=x r= x j r j. j=1 Riziko portfolia budeme chápat jako hodnotou rozptylu nebo standartní odchylky jeho očekávané výnosnosti J J σ 2 (x)=var(x ρ)=x Vx= cov(ρ i,ρ j )x i x j. i=1 j=1 4

3 VÝBĚRTITULŮ 3 Výběr titulů Velmi limitujícím faktorem pro výběr titulů do našeho modelu byla dostupnost dat. Na stránkách věnujícím se akciím(např. www.patria.cz, www.kurzy.cz) se zobrazuje historie kurzů najednou maximálněpro50dníanašímcílembylosehnatconejdelšíhistoriidatprolepšíodhadyvstupních parametrů modelu. Kopírování dat z těchto stránek navíc vyžaduje další úpravy, protože data se nám uloží jako řetězec znaků s mezerami. Finanční portály nabízí placené služby, kde jsou dostupné aktuální informace a analýzy a prognózy trhu, včetně možnosti stažení historických dat vývoje kurzu akcií v excelovkém souboru. Pro akcie obchodované v zahraničí bychom potřebovali i data k vývoji kurzu měny, abychom mohli hodnoty přepočítat vzhledem k jedné měně. Měnový vývoj totiž může velmi výrazně negativně oblivnit vývoj celkové investice i v případě pozitivního vývoje kurzu akcie. Protože sehnat data k vývoji kurzuměnyjeještěobtížnějšínežsehnatdatakvývojikurzuakcie,rozhodlajsemsezaměřitnaakcie obchodované na českém trhu. Velkou nevýhodou českého trhu je malý počet obchodovatelných likvidních akcií. Ve SPADu(Systém pro Podporu trhu Akcií a Dluhopisů) se v současnosti obchoduje pouze 9 titulů(cetv, ČEZ, Erste Bank, Komerční banka, ORCO, Philip Morris, Telefónica, UnipetrolaZentiva),navícjezdemožnékupovataprodávatpouzevelkémnožstvíakcií,tzv.loty,cožje pro náš model nevyhovující vzhledem k částce, kterou chceme investovat(1 lot slojí řádově milion). Obchodovat s akciemi je dále možné v RM systému a v KOBOSu(KOntinuální Burzovní Obchodní Systém), kde je možné prodávat a kupovat menší množství akcií. Pro obchodování v KOBOSu je výhodné použít některý z investičních portálů(např. www.brokerjet.cz), které nabízí obchodování s malými objemy za poměrně nízké poplatky(ve srovnání například s RM-systémem). Některé navíc nabízí i možnost úvěru na maržové obchody, které díky pákovému efektu mohou znásobit výnos vlastního kapitálu, ale bohužel mohou i znásobit případnou ztrátu. Větší zisk je tedy doprovázen větším rizikem. Portál www.brokerjet.cz nabízí maržový úvěr v korunách se sazbou 7,5% p.a. s čtvtletním úročením(tj. efektivní úroková míra je 7,71% p.a.). Mým hlavním hlediskem pro výběr titulů byla dostatečně dlouhá historie vývoje kurzu, likvidita akcie a vzestupný trend vývoje kurzů za posledních pár let. Za dostatečně dlouhou historií jsem zvolila dobu od 1.10.2002, tedy datum, kdy na trh vstoupily akcie Erste Bank. Tímto omezením nám bohužel vypadly SPADové tituly Zentiva, CETV a ORCO, které se obchodují teprve krátkou dobu. Vývoj kurzu těchto titulů od začátku jejich obchodování je převážně rostoucí a očekává se i další pozitivní vývoj v budoucnosti, navíc SPADové tituly jsou velmi likvidní. Z těchto důvodů je určitě škoda, že jsme tyto tituly vynechali z další analýzy, ale délka jejich historie by neumožňovala dobré odhady vstupních parametrů pro Markowitzův model, protože pro odhad variančí matice výnosností jednotlivých titulů bychom museli použít stejně dlouhou historii pro všechny tituly. Program R sice umožňuje počítat varianční matici i z dat různých délek, výsledná matice ale nemusí být pozitivně semidefinitní, což by mohlo vést k následným problémům při optimalizaci(minimalizovaná kvadratická forma by pak nemusela být konvexní). Kromě velmi likvidních SPADových titulů bylo nutné vybrat i další tituly. Tady jsem se řídila hlavně grafickým znázorněním vývoje kurzů akcí(viz Obrázek 1) a velikostí vyplacených dividend (viz Tabulka 2), protože dividenda je důležitým zdrojem výnosu akcie a její vyplacení způsobí pokles hodnoty kurzu přibližně o hodnotu akcie. Zároveň jsem se snažila vybírat tituly, jejichž hodnota kurzusečastomění.kurztotižreagujenaobchodovánísdanýmstitulem,tedyakciesvíceproměnlivým grafem bývají likvidnější než akcie, jejichž graf zůstává delší dobu na stejných hodnotách. Pro další analýzu jsem nakonec vybrala tituly uvedené v Tabulce 1. 5

3 VÝBĚRTITULŮ Tabulka 1: Tituly vybrané pro další analýzu číslo název titulu označení proměnné 1 ČEZ cez 2 Erste Bank erste 3 Komerční banka kb 4 Philip Morris ČR philip 5 Telefónica telef 6 Unipetrol unipet 7 Pražská energetika prener 8 Setuza setuza 9 Stavby silnic a železnic ssz 10 Východočeská plynárenská vcplyn Grafyakciípoužitýchvmodeluaindexupx V grafech jsou zachyceny hodnoty od 1.10.2003 do 11.8.2006. Datum posledního pozorování je 11.8.2006, svislá čára v grafu vyznačuje datum před jedním rokem, tj. 11.8.2005. Pro zajímavost uvádím ještě graf vývoje akciového indexu PX(Obrázek 2). Vývoj akciového indexu bývá spojen s výnosností trhu. Báze indexu PX ale obsahuje pouze SPADové tituly, kde váha titulu je určena poměrem zastoupení titulu na trhu. Obrázek 1: akcie (a) ČEZ (b) Erste bank 6

3 VÝBĚRTITULŮ (c) Komerční banka (d) Philip Morris (e) Telefónica (f) Unipetrol (g) Pražská Energetika 7 (h) Setuza

3 VÝBĚRTITULŮ (g) SSŽ (h) Východočeská plynárenská Obrázek 2: index px 8

4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU 4 Odhady vstupních parametrů modelu Data vývoje kurzu akcií obsahují hodnoty kurzu v obchodních dnech od 1.10.2002 do 11.8.2006 pro 10 titulů, k dispozici máme celkem 972 pozorování hodnot kurzů všech akcií. Frekvence těchto dat je denní, ale ne všechny dny jsou obchodní. Z tohoto důvodu jsem vytvořila novou proměnnou čas označenou t, která udává pořadové číslo obchodního dne. Plánovaný investiční horizont je jeden rok. V době od 11.8.2005 do 11.8.2006 je 252 obchodních dní, tento počet pozorování zvolíme za období jednoho roku. Kromě hodnot kurzu je nutné při odhadu výnosností dané akcie počítat i s vyplacenými dividendami na jednu akcií. Hodnoty vyplacených dividend jsou uvedeny v Tabulce 2. V posledním sloupci této tabulky jsou uvedeny rozhodné dny pro výplatu dividend v roce 2006. Tabulka 2: Vyplacené dividendy v letech 2002-2006 j název 2002 2003 2004 2005 2006 rozhodnýden kurz11.8.2006 1 cez 2,5 4,5 8 9 15 23.5.2006 804.9 (1.86%) 2 erste 3 20 30 30 30 26.4.2006 1273 (2.36%) 3 kb 11,5 40 200 100 250 26.5.2006 3311 (7.55%) 4 philip 1240 1448 1575 1606 1112 24.4.2006 11600 (9.59%) 5 telef 0 57,5 17 0 45 25.9.2006 456.5 (9.86%) 6 unipet 0 0 0 0 0-204 (0%) 7 prener 110 168 178 188 218 19.6.2006 4230 (5.15%) 8 setuza 0 0 0 0 0-602 (0%) 9 ssz 37,4 46,75 110,5 390 480 18.5.2006 3801 (12.63%) 10 vcplyn 316 253 364 347,5 252 28.4.2006 6510 (3.87%) V posledním sloupci je v závorce uvedeno, jakou část hodnoty kurzu dne 11.8.2006 tvoří dividenda vyplacená v roce 2006. Nárok na vyplacení dividendy má pouze ten, kdo je vlastníkem dané akcie během rozhodného dne. Den následující po rozhodném dnu se zvyšuje prodej dané akcie. Převys nabídky této akcie se projeví snížením kurzu. Toto snížení kurzu se považuje za vliv vyplacené dividendy a proto právě den po rozhodném dnu v roce 2006 budeme v modelu považovat za den vyplacení dividendy. Dny vyplacení dividend v minulých letech stanovíme tak, aby u daného titulu během 252 dní došlo vždy právě kjednomuvyplacenídividendy.tedyje-li t 0 denvyplacenídividendyvroce2006,budeden t 0 252 dnem vyplacení dividendy v roce 2005, podobně v ostatních letech. Data: Dne 8.7.2004 proběhlo u akcií Erste Bank štěpení v poměru 1:4. Hodnotu kurzu před tímto datem a hodnotu dividendy v letech 2002, 2003 a 2004 jsem proto upravila vydělením čtyřmi. U ostatních akcií v uvažovaném období ke štěpení nedošlo. Následující označení už uvažuje upravené hodnoty. y j,t hodnotakurzuakcie jvčase t t=1,...,t=972 9

4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU j=1,...,j=10 d j,t vyplacenádividendaakcie jvčase t, pokudčas tneníčasemvyplácenídividendy,je d j,t =0 výnosnostakcie jvčase t r j,t Očekávaná výnosnost akcie j v čase t spočítáme podle vzorce: r j,t = y j,t y j,t 252 + t k=t 252+1 d j,k y j,t 252 100 j=1,...,10; t=253,...,972 Očekávané výnosnosti nám vyjdou v procentech, u každého titulu dostaneme 720 pozorování hodnot výnosností. Z Tabulky 2 vidíme, že u akcií Telefónicy je datum vyplacení dividendy až v září. Tato dividendajevesrovnánísminulýmidvěmaletypoměrněvelkáaispojenífiremčeskýtelecoma Eurotel v Telefónicu naznačuje další pozitivní vývoj. S touto dividendou ale v našem modelu nepočítáme, protože její vyplacení proběhne teprve v budoucnosti a parametry modelu odhadujeme na základě historických dat. V modelu tedy tato informace vůbec není zachycena. Odhadyparametrůr,Vavýnosnostítržníhoportfolia r M : Odhadyparametrůr=(r 1,...,r 10 ) av=[v i,j ;i,j=1,...,10]spočítámejakoprůměraempirickouvariančnímaticizvýnosností r j,t přesproměnnoučas t. výnos r= 106.72 42.41 25.15 23.40 31.25 82.99 39.17 45.08 77.23 35.94 cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn 40.12 27.93 18.32 26.82 14.98 43.34 12.51 25.85 43.14 18.02 = diag(v) riziko Odhad varianční matice V: cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn 0 1 cez 1609.63 erste 273.04 780.28 kb 6.09 388.95 335.6 philip 97.89 617.11 303.82 719.39 telef 355.84 38.56 31.04 157.39 224.27 unipet 984.27 422.47 262.56 42.01 309.33 1878.46 prener 55.8 83.03 8.41 132.88 45.76 232.51 156.58 setuza B313.86 92.82 19.75 121.46 31.62 73.8 152.86 668.04 C ssz @ 1310.35 195.87 44.1 230.62 477.26 1232.7 67.35 409.68 1860.95 A vcplyn 33.3 231.4 111.77 198.89 100.77 54.89 48.17 34.76 292.08 324.63 10

4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU Odmocněním prvků na diagonále varianční matice dostaneme standartní odchylky výnosností akcí, kteréjsoumíramirizikjednotlivýchakcií(vizvektor diag(v)). Dále uvádím empirickou korelační matici výnosností. Pro lepší diverzifikaci portfolia je důležité, aby některé složky portfolia byly záporně korelované. cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn 0 1 cez 1 erste 0.24 1 kb 0.01 0.76 1 philip 0.09 0.82 0.62 1 telef R= 0.59 0.09 0.11 0.39 1 unipet 0.57 0.35 0.33 0.04 0.48 1 prener 0.11 0.24 0.04 0.4 0.24 0.43 1 setuza B 0.3 0.13 0.04 0.18 0.08 0.07 0.47 1 C ssz @ 0.76 0.16 0.06 0.2 0.74 0.66 0.12 0.37 1 A vcplyn 0.05 0.46 0.34 0.41 0.37 0.07 0.21 0.07 0.38 1 11

5 VYŘEŠENÍÚLOH 5 Vyřešení úloh Eficientní portfolia Podle předpokladu dávají investoři přednost portfoliím s vyšším výnosem a menším rizikem. výnos r(x)=r x riziko σ 2 (x)=x Vx Portfoliosváhamix splňujícímipodmínky(p)nazvemeeficientnívzhledemkestředníhodnotě a rozptylu(mean-variance efficient), jestliže neexistují jiné váhy x splňujícími podmínky(p), pro kteréje r(x) r(x ) σ 2 (x) σ 2 (x )aaspoňjednaznerovnostíjeostrá.podmínky(p)jsou všechny dodatečné podmínky omezení na váhy. Eficientní portfolia můžeme hledat jako řešení optimalizačních úloh, kde množina X všech přípustnýchřešení(vah)xjeurčenapodmínkami(p). Například můžeme řešit optimalizační úlohu závislou na parametru kde λ 0jeparametrmodelujícíinvestorůvvztahkriziku. Nebo můžeme použít přístup ε-constrained max x X r x λx Vx, (1) min x X x Vx (2) za r x r p, kdeparametremjenastavenáminimálníhodnota r p přijatelné(očekávané)výnosnostiportfolia. Přístup, kde bychom maximalizovali očekávaný výnos při dané horní mezi pro rozptyl není výhodný, protože by množina přípustných řešení byla určena nelineárními podmínkami. Já jsem pro vyřešení příkladů zvolila postup(2). Kvadratické programování v MATLABu Pro vyřešení optimalizačních úloh jsem použila program MATLAB, který obsahuje Optimization Toolbox pro řešení úloh lineárního i nelineárního programování. Při řešení zadaných úloh jsem z tohoto toolboxu vystačila s funkcí quadprog(), která slouží pro hledání optimálního řešení úlohy kvadratického programování. Úloha kvadratického programování: 1 min x 2 x Hx+f x 12

5 VYŘEŠENÍÚLOH za Ax b Aeqx = beq H,A,Aeq...matice f,b,beq...vektory Tuto úlohu vyřešíme v MATLABu pomocí příkazu: x = quadprog(h,f,a,b,aeq,beq) Ve všech úlohách je množina přípustných řešení konvexní polyedr(je omezená a určená lineárními omezeními), navíc jsem omezení vždy volila tak, aby množina přípustných řešení byla neprázdná. Pokud je navíc matice H pozitivně definitní, je účelová funkce ryze konvexní a je zaručena existence a jednoznačnost minima. Navíc vzhledem k tomu, že H je regulární, algoritmus funkce quadprog() vždy zkonverguje a to právě k optimálnímu řešení. V případě, že H je singulární a pozitivně semidefinitní je pořád zaručena existence minima, ale toto minimum už nemusí být určeno jednoznačně a algoritmus funkce quadprog() nemusí konvergovat. Pokud zkonverguje, je díky konvexnosti funkce zaručeno, že řešení je optimální, ale nemusí být eficientní podle naší definice. Například by se mohlo stát, že existuje více optimálních řešení, které majírozdílnouočekávanouvýnosnost 1,aalgoritmusfunkcenašelřešení,kterémáminimálnírozptyl, ale které nedává mezi optimálními maximální očekávaný výnos. Protože mým cílem je spočítat efektivní hranici, rozhodla jsem se v příkladech se singulární maticí H nerovnostr x r p nahraditrovnostír x=r p.nejdřívejsemsispočítalaintervalmožných hodnotparametru r p apotomjsemúlohuřešilaprorovnoměrnýnosičztohotointervalu.tímto způsobem jsem pro různé nastavené možné očekávané výnosnosti minimalizovala riziko. Dále jsem využila další možnosti funkce quadprog(), a to informace jestli úloha zkonvergovala. Použijeme-li tuto funkci ve tvaru [x, fval, exitflag] = quadprog(h,f,a,b,aeq,beq), dostaneme jako výstup kromě optimálního řešení ještě proměnné f val a exitf lag. Proměnná f val obsahuje optimální hodnotu účelové funkce. Proměnná exitf lag vypovídá o ukončujících podmínkách funkce quadprog(): exitflag >0 zkonvergovalokřešeníx exitf lag = 0 maximální počet iterací byl překročen exitf lag < 0 problém je neomezený, nepřípustný nebo nekonverguje. Protože MATLAB do proměnné x uloží nějaké hodnoty i v případě, že optimální řešení nalezeno nebylo, doplnila jsem program v případě, kdy jsou možné i singulární matice, testem, jestli funkce zkonvergovala k nějakému řešení(tj. je-li exitf lag > 0) a zakreslovala jsem pouze tyto řešení. Víme-li, že bylo nalezeno nějaké řešení, víme díky konvexnosti, že je optimální a zároveň víme hodnotu jeho očekávané výnosnosti(podmínka). Pokud existuje jiné optimální řešení, je hodnota 1 Vomezenídávámepouzedolníhraniciproočekávanývýnos 13

5 VYŘEŠENÍÚLOH jeho očekávané výnosnosti stejná a výsledkem je stejný bod na efektivní hranici. Nejednoznačnost optimálního řešení v tomto případě tedy nevadí. Problémem by mohlo být, kdyby většina úloh nezkonvergovala a výsledkem by bylo málo bodů na nakreslení efektivní hranice, k tomu ale v našem případě nedošlo. Řešení úloh a)-e) Při řešení úloh jsem vždy nejdříve úvahou nebo vyřešením optimalizační úlohy určila meze pro očekávanouvýnosnost r min a r max.zvolilajsemparametr krokamezníhodnotu r p jsemvolilapostupně jako r min +i krok;i=0,...,k.vhodnouvolbouparametru krokjsemzaručila,že r min +k krok= r max.prozískanéhodnotyxjsemspočítaladvojice[σ(x),r(x)]kterétvoříefektivníhranici. Dále používám značení: I n jednotkovámaticedimenzen 1,1 n sloupcovývektorjedniček 0,0 n sloupcovývektornul 0 n,m maticenulorozměrechnam J=10 počettitulůakcií a) Sestavte efektivní hranici portfólií(graficky prezentujte), vyberte některá portfólia na efektivní hranici a uveďte jejich složení(váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfóliu. Obrázek 3: Pouze možnost investovat do akcií 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 20 efektivní hranice 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) Hodnotu r min spočítámepomocívyřešeníúlohy(minimalizujemerizikobezohledunavýnos): min x x Vx za x 0, x 1=1 optimálnířešení x G r min = r(x G )=r x G =36.6261 14

5 VYŘEŠENÍÚLOH Hodnota r max =106.7221jemaximálníhodnotavektorur. Váhy x dostaneme řešením úlohy min x x Vx za r x r p 1 x = 1 x 0 Vstupy funkce quadprog(): ( r A= I J ) H=2 V f=0 J ( ) rp b= Aeq=1 0 J beq=1 b) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozitavbance)ssazbou...(naleznětesami)? Obrázek 4: Navíc možnost ukládání peněz 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 20 efektivní hranice 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) Jako možnost investovat do bezrizikového aktiva jsem zvolila uložení peněz na termínovaný vklad s dobou uložení 1 rok. Úroková míra těchto vkladů závisí na výšce vkladu. Využila jsem srovnání termínovaných vkladů na www.mesec.cz. Nejlepší nabídku tohoto produktu z bank má v současnosti Waldviertler Sparkasse, kde se úroková míra pohybuje v rozmezí 1, 3 2, 05% p.a. podle velikosti vkládané částky(do 2 milionů Kč). Zajímavá je také nabídka družstevní záložny Fio, kde se úrokové míryvkladunarokpohybujívrozmezí3 3,6%p.a..DružstevnízáložnaFiojevsočasnostinejvětší družstevní záložna, která vznikla v roce 1996 a jako jedna z prvních splnila jednotné podmínky EU prospořitelníaúvěrnídružstva.pokolapsuzáložennakonci90letunásalepořádpřetrváváurčitá nedůvěra v ukládání peněz do družstevních záložen. Propotřebymodelujsemzvolilajakobezrizikovouúrokovoumíru r 0 hodnotu2%p.a.. 15

5 VYŘEŠENÍÚLOH Při investování očekáváme aspoň takový výnos, který bychom dostali uložením všech peněz do bezrizikovéhoaktiva,tedy r min =2. Hodnota r max =106.7221jeopětmaximálníhodnotavektorur. Kroměproměnných x j ;j=1,...,jurčujícíchváhuinvesticedotitulu j,uvažujemeještěproměnnou x 0 určujícíváhuinvesticedobezrizikovéhoaktiva.očekávanývýnosje r 0 x 0 +r xapodmínka naváhysezměnína x 0 +1 x=1.vyjádřením x 0 =1 1 xadosazenímdostanemevzorecpro očekávanývýnos r 0 +(r 1) x. Váhyxdostanemeřešenímnásledujícíúlohy,váhu x 0 dopočítámezpodmínkyprováhy min x x Vx za r 0 +(r 1) x r p 1 x 1 x 0 Vstupy funkce quadprog(): A= (r 1) 1 J I J H=2 V f=0 J (r p r 0 ) b= 1 0 J Aeq=0 beq=0 c) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost výpůjček od správce porfolia až do 30% hodnoty portfólia, pro jednoduchost předpokládejte, že výpůjční sazba je stejná jako depozitní, dokázali by jste zohlednit rozdílnou výpůjční a depozitní sazbu(nalezněte její sazbu sami a určete efektivní portfólia)? Obrázek 5: Navíc možnost ukládání a půjčování peněz 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 20 efektivní hranice 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) 16

5 VYŘEŠENÍÚLOH Možnost půjčky do 30% hodnoty portfolia nám umožní hradit ze svého pouze 70% hodnoty portfolia, tedy nám dovolí sestavit portfolio o hodnotě až 10/7 našeho současného kapitálu. Při kapitálu 2 miliony může být hodnota našeho portfolia až 2 857 142Kč. Jako výpujční sazbu jsem použila úrokovou sazbu maržového úvěru nabízenou portálem www.brokerjet.cz 7,5%p.a. s čtvrtletním úročením, tj. efektivní úroková míra je cca 7,7135%. Tyto maržové obchody jsou u investorů velmi oblíbené, protože způsobují tzv. pákový efekt, kterým se znásobí výnos z našeho vloženého kapitálu. Větší výnos je ale provázen větším rizikem, protože stejným způsobem se znásobí případná ztráta. Vzhledem k tomu, že ve skutečnosti je výpujční vždy sazba větší než depozitní, rozhodla jsem se úlohuřešitprorozdílnésazby.dále r puj =((1+0.075/4) 4 1) 100jevýpujčnísazbaar 0 =2 je opět depozitní sazba. Vzhledem k možnosti půjčky je nutné upravit podmínku na váhy. Velikost půjčkyoznačíme P.Platí0 P 3 7.Proměnná x 0určujeváhuinvesticedobezrizikovéhoaktiva. Podmínkanaváhymápotomtvar: x 0 +1 x=1+p. Vzorecproočekávanývýnosje: r 0 x 0 +r x r puj P. Opětplatí r min = r 0 =2.Očekávanývýnosnejvýnosnějšíhotitulujevětšínežvýpujčnísazba,takže maximální očekávaný výnos dostaneme, když si půjčíme maximum a vše investujeme do titulu s největšímočekávanýmvýnosem,tedy r max = 10 7 max(r) 3 7 r puj=149.1543. Hledanéproměnnéjsoutedy P, x 0 ax,kteréjsouřešenímnásledujícíúlohy.protožemámevíc proměnných než je dimenze matice V, bude matice H singulární, proto použijeme pro výnos omezení srovností. min P,x x Vx za r 0 x 0 +r x r puj P 0,x = r p P+ x 0 +1 x = 1 x 0 x 0 0 P 0 P 3 7 Vstupyfunkcequadprog():vektorproměnnýchje (P, x 0,x ) A= ( 02,2 0 H=2 2,J 0 J,2 V 1 0 0 J 0 1 0 J 0 J 0 J I J 1 0 0 J ) ( ) rpuj r Aeq= 0 r 1 1 1 J b= f=0 J+2 beq= 0 0 0 J 3/7 ( rp 1 ) d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30% počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. Povolení krátkých prodejů nahrává spekulantům na pokles kurzu akcie. Investor prodá akcie, které vlastníněkdojinýanakonciobdobíjezasekoupízpět.pokudkurzklesl,nakoupiljezpátkylevněji 17

5 VYŘEŠENÍÚLOH Obrázek 6: Navíc povoleny krátké prodeje 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 20 efektivní hranice 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) a vydělal na rozdílu cen. V Markowitzově modelu se povolení krátkých prodejů modeluje pomocí povolení záporných koeficientů vah. Váhyxdostanemeřešenímnásledujícíúlohy,kdex jevektorzápornýchčástívektorux,tj. x j = max(0, x j ).Musíplatit,žesoučetzápornýchčástívahnesmíbýtvětšínež30%. min x x Vx za r x r p 1 x = 1 1 x 0.3 Platí,že x j = x + j x j.definujmevektoryamaticim ( ) x + y= =(x + 1,...,x+ J,x 1,...,x J ) M= ( I J ) I J x Pomocínichdostanemevztahy x=my a 1 x = ( 0 J 1 J ) y. Původní úlohu tak můžeme přepsat na následující úlohu. Vzhledem k tomu, že matice v kvadratické formě je tady singulární, používám opět v omezení na výnos rovnost. Přibyla nám podmínka na nezápornost proměnných. min y y M VMy za r My = r p 1 My = 1 ( 0 1 ) y 0.3 y 0 Vstupy funkce quadprog(): H=2 M VM f=0 2J 18

5 VYŘEŠENÍÚLOH Aeq= A= ( r M 1 M ( I2J ) 0 J 1 b= J ) ( ) r = r 1 1 Optimální řešení původní úlohy získáme ze vztahu x = My. ( 02J 0.3 ) beq= ( rp 1 ) Ještějenutnéurčithodnoty r min a r max.prospočítání r min vyřešímestejnouoptimalizačníúlohu, vekterévynechámeomezeníproočekávanývýnos.maticeh,aavektoryfabbudoustejné.v matici Aeq a vektoru beq zůstane pouze spodní řádek, tj. Aeq= ( 1 M ) = ( 1 1 ) beq=1 Výsledkemje r min =r x=r My=38.3739. Maximální očekávaný výnos dostaneme, když maximální možnou částku(tj. 130%počátečního vkladu) investujeme do aktiva s největším očekávaným výnosem a 30% počátečního vkladu si půjčíme prodejemcizího aktivasnejmenšímočekávanýmvýnosem,proto r max =1.3 max(r) 0.3 min(r)= 131.7189 e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmíte navrhnout portfólia, kde některý z titulů přesáhne 15% váhu v celkovém portfóliu. Nakreslete hranici efektivních portfólií v tomto případě. Obrázek7:Maximálníváha1tituluvportfoliuje15% 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 20 efektivní hranice 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) Řešenítétoúlohyjejednoduché,stačíkpřípaduzaa)přidatpodmínku,žekaždé x j musíbýtmenší než 0.15. Váhy x tedy dostaneme řešením úlohy min x x Vx za r x r p 1 x = 1 x 0 x 0.15 1 J 19

5 VYŘEŠENÍÚLOH Vstupy funkce quadprog(): A= r I J I J H=2 V f=0 J r p b= 0 J Aeq=1 beq=1 0.15 1 J Hodnotu r min opětspočítámevyřešenímoptimalizačníúlohy,kdevynechámepodmínkunaočekávanývýnos.profunkciquadprog()sezměnípouzematiceaavektorb. ( ) ( ) IJ 0 A= b= J I J 0.15 1 J Výsledkemje r min =40.8786. Maximální očekávaný výnos dostaneme, když postupně rozložíme investice maximálně do aktiv s největším očekávaným výnosem. Tedy 15% do aktiva s největším očekávaným výnosem, dalších 15% doaktivasdruhýmnejvětšímočekávanýmvýnosematd.,vyjdenám r max =62.6339.VMATLABu jsem použila opět funkci quadprog(), kde jsem v podmínkách použila stejné matice jako při počítání r min,pouzematicihjsemnahradilaprázdnoumaticíapoložilajsemf= r,cožodpovídá maximalizaci výnosu nez ohledu na riziko. 20

6 MÍRYRIZIKA 6 Míry rizika VaR(Value at Risk) VaRjetakováhodnota,ževýnosmenšínežVaRnastanesmaloupravděpodobností1 α(většinou α=0.95,varsepakoznačujejako95%var).proportfoliosváhamixanáhodnýmivýnosnostmi ρplatí: P(ρ x <VaR α (x))=1 α data matice dat historických výnosnosti, případě možnosti půjčky nebo ukládání penězpřidámesloupeckonstant r 0 nebo r puj x vektor vah složení portfolia ret = data x vektor pozorování historických výnosností portfolia ˆµ průměr pozorování ve vektoru ret ˆσ standartní odchylka pozorování ve vektoru ret Neparametrický VaR Neparametrický VaR budeme v našem případě počítat na základě historických dat jako empirický pětiprocentní kvantil. V MATLABu použijeme následující příkaz. VaR 0.95 (x) = prctile(ret,0.05) Parametrický VaR Parametrický VaR se počítá za předpokladu, že výnosnosti jsou normálně rozdělené se střední hodnotou µarozptylem σ 2. pvar 0.95 (x)=ˆµ+ˆσ u 0.05, kde u 0.05 =Φ 1 (0.05)jepětiprocentníkvantilnormálníhorozdělení. CVaR( Conditional Value at Risk) CVaR α (x)jepodmíněnástředníhodnotavýnosnostímenšíchnežvar α (x). CVaR α (x)=e(ρ x ρ x <VaR α (x)) ZdatodhadnemeCVaR 0.95 (x)jakoprůměrvšechpozorovánímenšíchnežvar 0.95 (x). 21

7 VÝSLEDKY 7 Výsledky Obrázek 8: Efektivní hranice a)-e) 160 140 120 100 r(x) 80 60 40 a) Pouze moznost investovat do akcii 20 b) Navic moznost ukladani penez c) Navic moznost ukladani a pujcovani penez d) Navic povoleny kratke prodeje e) Max. vaha 1 titulu je 15% 0 0 10 20 30 40 50 60 σ(x) Obrázek 9: Efektivní hranice a)-e)- detail 50 45 r(x) 40 35 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 σ(x) 22

7 VÝSLEDKY a) Máme pouze možnost investovat do akcií. Parametry r(x) 36.6261 43.5370 52.4224 63.2823 74.1423 85.0022 95.8621 106.7221 σ(x) 5.4474 6.0450 8.5951 13.6907 19.4430 25.6950 32.5088 40.1202 VaR 0.95(x) 27.3207 32.8241 34.7373 36.2271 38.2279 39.7131 47.8780 51.3441 pvar 0.95 (x) 27.6659 33.5940 38.2847 40.7632 42.1613 42.7377 42.3899 40.7302 CVaR 0.95(x) 24.9645 29.3896 31.6286 33.0128 33.0979 33.1200 39.9458 46.2644 Váhy cez 0.00% 6.11% 19.20% 31.94% 45.61% 61.61% 81.78% 100.00% erste 3.72% 12.09% 16.50% 25.77% 29.72% 28.36% 16.10% 0.00% kb 10.30% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% philip 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% telef 14.37% 2.03% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% unipet 0.00% 0.00% 0.00% 5.50% 8.49% 7.69% 2.12% 0.00% prener 32.75% 38.65% 31.34% 11.58% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% setuza 12.82% 14.59% 8.86% 1.13% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% ssz 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% vcplyn 26.03% 26.53% 24.10% 24.08% 16.18% 2.34% 0.00% 0.00% Investované částky cez 0 122265 384061 638850 912259 1232191 1635511 2000000 erste 74417 241887 330096 515439 594331 567209 322070 0 kb 205918 0 0 0 0 0 0 0 philip 0 0 0 0 0 0 0 0 telef 287471 40560 0 0 0 0 0 0 unipet 0 0 0 109979 169755 153829 42419 0 prener 655058 772907 626726 231517 0 0 0 0 setuza 256469 291866 177163 22684 0 0 0 0 ssz 0 0 0 0 0 0 0 0 vcplyn 520667 530516 481955 481530 323655 46772 0 0 23

7 VÝSLEDKY b) Kromě možnosti investovat do akcií máme možnost peníze uložit do bezrizikového aktiva s úrokovou sazbou 2%. Parametry r(x) 2.0000 10.9762 21.9471 38.9021 55.8571 72.8121 89.7671 106.7221 σ(x) 0.0000 1.3055 2.9012 5.3672 10.0971 18.7054 28.5615 40.1202 VaR 0.95(x) 2.0000 8.6813 16.8473 29.4675 34.2454 38.0626 42.6955 51.3441 pvar 0.95 (x) 2.0000 8.8288 17.1750 30.0738 39.2489 42.0444 42.7875 40.7302 CVaR 0.95(x) 2.0000 7.9229 15.1619 26.3495 32.1772 33.0952 35.3500 46.2644 Váhy uložit 100.00% 78.74% 52.76% 12.60% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% cez 0.00% 1.47% 3.26% 6.03% 23.46% 43.65% 69.98% 100.00% erste 0.00% 2.64% 5.86% 10.84% 19.20% 29.88% 24.23% 0.00% kb 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% philip 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% telef 0.00% 0.07% 0.15% 0.29% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% unipet 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 1.40% 8.59% 5.79% 0.00% prener 0.00% 8.37% 18.60% 34.41% 25.63% 0.00% 0.00% 0.00% setuza 0.00% 3.10% 6.90% 12.76% 6.41% 0.00% 0.00% 0.00% ssz 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% vcplyn 0.00% 5.61% 12.47% 23.07% 23.90% 17.88% 0.00% 0.00% Investované částky uložit 2000000 1574803 1055117 251967 0 0 0 0 cez 0 29359 65242 120698 469139 873071 1399637 2000000 erste 0 52727 117171 216766 383948 597653 484523 0 kb 0 0 0 0 0 0 0 0 philip 0 0 0 0 0 0 0 0 telef 0 1394 3098 5732 0 0 0 0 unipet 0 0 0 0 27927 171706 115840 0 prener 0 167394 371987 688176 512658 0 0 0 setuza 0 62098 137996 255293 128290 0 0 0 ssz 0 0 0 0 0 0 0 0 vcplyn 0 112225 249388 461368 478037 357569 0 0 24