Markowitzův model. Josef Orel, Pavel Sůva. 22. června Markowitzův model Stáhnutí a úprava dat Vstupní data a odhad parametrů 10

Transkript

1 Markowitzův model Optimalizace II s aplikací ve financích zápočtová úloha Josef Orel, Pavel Sůva 22. června 2010 Obsah 1 Zadání 2 2 Markowitzův model Formulace základní úlohy a značení Výběr akcií Stáhnutí a úprava dat Dividendy a štěpení akcií Přepočet na Kč Úrokové sazby Vstupní data a odhad parametrů Výpočet ročních výnosů Očekávaný výnos a varianční matice Řešení úloh Úloha a Úloha b Úloha c Úloha d Úloha e Závěr 22 Zdroje 25

2 1 Zadání Zadání: Jste správcem akciových portfólií. Potřebujete, mimo jiné, připravit pro své klienty vhodná akciová portfolia pro investování 25 mil. Kč na období jednoho roku. Očekáváte, že se klient bude chtít poradit v otázce složení vhodného akciového portfólia a rozhodli jste se využít Markowitzův model pro selekci. Zvolte vhodné tituly (8-10). Víte, že výběru titulů předchází globální a odvětvová analýza a proto vyberete tituly, které jsou v souladu s vaší predikcí vývoje na finančních trzích. Úkoly: a) Na trhu nejsou povoleny krátké prodeje. Sestavte efektivní hranici portfólií (graficky prezentujte). Vyberte některá portfólia na efektivní hranici a uved te jejich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfóliu. b) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozita v bance; aktuální sazbou nalezněte sami). c) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost výpůjček od správce portfólia až do 30 % hodnoty portfólia. Pro jednoduchost předpokládejte že výpůjční sazba je stejná jako depozitní. Dokázali byste zohlednit rozdílnou výpůjční a depozitní sazbu (nalezněte její sazbu sami a určete efektivní portfólia)? d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30 % počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmí žádný z titulů portfólia přesáhnout 15% váhu v celkovém portfóliu. Nakreslete hranici efektivních portfólií při tomto omezení. Zdůvodněte jak jste získali odhady vstupních parametrů modelu, jaké jste volili tituly a proč (zejména s ohledem na rizika, která model zohledňuje a velikost investované částky). Efektivní hranice počítejte numericky, stačí aproximace pro dostatečně hustý nosič. V případech a)-e) vyberte některé z efektivních portfólií a spočtěte VaR(95%). 2

3 2 Markowitzův model Vhodné akciové portfolio budeme hledat pomocí tzv. Markowitzova modelu (viz [1]). Ten využívá několika zjednodušujících předpokladů: pohybujeme se na ideálním trhu bez transakčních nákladů a arbitráže, obchodujeme s neomezeně dělitelnými dokumenty, na trhu obchodují pouze malí racionální investoři, kteří upřednostňují větší výnosy před menšími výnosy a menší riziko před větším rizikem, investoři využívají shodných informací, a to hodnot očekávaných výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností, všichni hráči na trhu investují ve stejném čase na jedno stejně dlouhé období. 2.1 Formulace základní úlohy a značení Zaved me si následující značení: J počet akcií, do kterých budeme investovat ρ j náhodný výnos j-té akcie ve zvoleném období x j váha j-té akcie v našem portfoliu očekávaný výnos j-té akcie ve zvoleném období r j Vektor vah označme jako x = (x 1, x 2,...,x J ), vektor náhodných výnosů jako ρ = (ρ 1, ρ 2,..., ρ J ) a vektor očekávaných výnosů jako r = (r 1, r 2,...,r J ). Pro rozdělení náhodného vektoru ρ platí a E(ρ) = r var(ρ) = V = [cov(ρ i, ρ j )] J i,, kde V je známá varianční matice. Výnos portfolia s vahami x budeme chápat jako střední hodnotu celkové výnosnosti r(x) = x j r j = x r. Riziko portfolia je dáno směrodatnou odchylkou nebo rozptylem jeho očekávané výsnonosti σ 2 (x) = var(x ρ) = x V x = x i x j cov(ρ i, ρ j ). i=1 3

4 Důležitým je pojem eficientního portfolia, což je portfolio s vahami x takovými, že neexistují jiné váhy x tak, že x j = 1 a r(x) r(x ) a současně σ 2 (x) σ 2 (x ) a alespoň jedna z nerovností je ostrá. Eficientní portfolia je možné hledat řešením úlohy nelineárního programování ve tvaru max x X λr x 1 2 x V x, kde parametr λ 0 udává investorův vztah k riziku, nebo úlohy za podmínek min x X x V x r x r p, kde r p je nastavená minimální hodnota očekávané výnosnosti portfolia. Množina X je definována požadavkem x j = 1 a případně dalšími požadavky na složení portfolia. Budeme hledat tzv. efektivní (eficientní) hranici, což je množina řešení předchozí úlohy pro různě nastavené hodnoty r p r min, kde r min je řešení úlohy min x X x V x. 4

5 3 Výběr akcií Prvním rozhodnutím při výběru vhodných akcií byla volba mezi domácími a zahraničními tituly. Na domácím trhu se obchoduje omezený počet akcií, které jsou navíc méně likvidní. Proto jsme se rozhodli vybírat primárně z akcií zahraničních i přes určité problémy s převody akciových kurzů na koruny. Při výběru akcií jsme se inspirovali zejména tipy pro vhodné investice z Bloomberg BusinessWeek (viz [3]) a vlastním úsudkem. Společnosti jsme vybírali z různých odvětví průmyslu tak, abychom zvýšili pravděpodobnost diverzifikace rizika. Po zralé úvaze jsme nakonec dospěli k výběru osmi velkých a zavedených společností se solidními výsledky v minulém roce a dobrými vyhlídkami do budoucnosti a jednoho titulu z rozvíjejícího se trhu: Internet a komunikace Telefonica SA (TEF) Apple Inc. (AAPL) Google Inc. (GOOG) Dopravní průmysl Tata Motors Ltd. (TTM) Lockheed Martin Corporation (LMT) Energetika a ropný průmysl E.ON N (EOAN.F) Hess Corporation (HES) Stavebnictví Orion Marine Group, Inc (ORN) Potravinářství Anheuser-Busch InBev (BUD) 5

6 3.1 Stáhnutí a úprava dat Nejprve bylo nutné zvolit vhodnou frekvenci dat a délku časové řady. Investiční horizont je jeden rok, abychom dosáhli potřebného počtu údajů, rozhodli jsme se pracovat s denními daty a jako jednotlivé scénáře brát roční výnosy titulů vypočtené pomocí ročního okénka. Podle [2] je vhodné vzít do úvahu vývoj akcií přes období, kdy na akciových trzích nedošlo k výrazným změnám v charakteru trhů a kdy bylo obchodování v jistém smyslu homogenní a po celé období srovnatelné. Z tohoto důvodu není zřejmě možné uvažovat data před i po krizi. Bude nás proto zajímat pouze vývoj akciových trhů od začátku finanční krize v roce 2008 do současnosti. Rozhodli jsme se tedy brát v úvahu denní data vývoje akciových kurzů od 15. září 2008 (začátek finanční krize - největší propad newyorské burzy) do 28. dubna Údaje o vývoji cen akcií jsme získávali z internetového portálu yahoo.com ([4]). Údaje jsou přístupné v dobře formátovaných tabulkách pro zvolené období, kromě uzavíracích (close) cen akcií pro jednotlivé obchodní dny jsme stáhli také data o vyplacených dividendách, které budeme potřebovat pro výpočet ročních výnosů. Takto získaná data jsme do potřebné podoby pro další práci upravili v tabulkovém editoru MS Excel ([8]). Titul EOAN.F se obchoduje na frankfurtské burze, zatímco ostatní tituly na burzách amerických, které mají jiné obchodní dny. Tento problém jsme vyřešili tak, že údaje ze dnů, kdy se obchodovalo pouze na některých burzách, jsme jednoduše z dat odstranili. To se týkalo celkem devíti dnů u EOAN.F a osmi dnů u ostatních akcií: EOAN.F Ostatní Po této úpravě jsme ke každému z devíti titulů dostali historická data vývoje tržních cen po 400 obchodních dnů. Ta jsou znázorněna na grafech na obrázku 1. 6

7 Obrázek 1: Vývoj akciových kurzů vybraných titulů. 7

8 3.2 Dividendy a štěpení akcií Zisk držitele akcií se neskládá jen z nárůstu tržní ceny akcie, ale i z tzv. dividend. Ty společnost vyplácí držitelům akcií, zpravidla jednou za rok. Výše vyplacených dividend námi preferovaných firem je zobrazena v následující tabulce (v závorce za zkratkou titulu je uvedena měna, v které je dividenda vyplácena): ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EOAN.F BUD (USD) (USD) (USD) (USD) (USD) (USD) (USD) (EUR) (USD) ,87 11,05 37, ,11 12,61 39,57 2,31 39, ,9 11,01 38, ,72 10, ,82 11, ,87 12, Jak vidíme, společnosti Orion Marine, Apple, Google a Anheuser Busch ve sledovaném období žádné dividendy nevyplácely. Ke štěpení akcií u žádné z firem nedošlo. 3.3 Přepočet na Kč Vzhledem k tomu, že máme vybrat vhodné portfolio pro investici, která je v českých korunách, je nutné převést akciové kurzy a hodnoty vyplacených dividend do této měny. Akcie firmy EON se obchoduje v eurech, ostatní tituly potom v amerických dolarech. Historické měnové kurzy EUR/CZK a USD/CZK jsme stáhli ze serveru kurzy.cz ([5]). Pokud nebyl pro některý obchodní den měnový kurz k dispozici, použili jsme nejbližší minulý dostupný kurz. Vývoj těchto kurzů je zobrazen na obrázku 2. Obrázek 2: Vývoj měnového kurzu USD/CZK a EUR/CZK. 8

9 3.4 Úrokové sazby Kromě výnosů z jednotlivých akcií jsme také potřebovali najít bezrizikovou úrokovou míru a výpůjční úrokovou sazbu. Za bezrizikovou úrokovou míru jsme zvolili úrokovou míru v současnosti vydávaných ročních státních pokladničních poukázek, kterou jsme našli na stránkách České národní banky ([6]). Další možností, jak vložit peníze do bezrizikového aktiva, by bylo uložit si je v bance na termínovaný účet, nicméně tento vklad stále považujeme za rizikovější, než investici do státních pokladničních poukázek. Zvolená úroková míra je r 0 = 1,3 % p.a. Za výpůjční úrokovou míru jsme zvolili úrokovou míru 8,5 % p.a., kterou pro obchodování v českých korunách nabízí společnost Brokerjet, otevřeme-li si u ní tzv. maržový účet. Maržový účet je účet, z něhož klient čerpá peníze na obchodování s cennými papíry a za půjčené peníze přitom ručí právě těmito cennými papíry. Společnost nicméně nenabízí možnost obchodovat na libovolné burze libovolné cenné papíry přesnou politiku zacházení s maržovým účtem lze nalézt na brokerjet.cz ([7]). Pro jednoduchost jsme se těmito pravidly nezabývali, předpokládali jsme, že podobné úvěry z jiných zdrojů budou mít úrokovou míru podobnou, a zvolili jsme výpůjční úrokovou míru r v = 8,5 % p.a. 9

10 4 Vstupní data a odhad parametrů 4.1 Výpočet ročních výnosů K výpočtu vstupních parametr pro Markowitzův model potřebujeme spočítat roční výnosy akcií. Použijeme metodu klouzavého ročního okna, kdy roční výnos akcie je roven rozdílu tržních cen z obchodních dnů vzdálených od sebe jeden rok. Takto získané hodnoty budou zřejmě navzájem korelované, což by mohl být problém, avšak jiným rozumným způsobem není možné získat dostatečné množství ročních scénářů. Proto setrváme u této metody a budeme předpokládat nezávislost napočítaných výnosů. Na burzách se neobchoduje všechny dny v roce a délka ročního okna tedy není kalendářních 365 dnů. Od prvního obchodního dne ( ) je korespondující den v následujícím roce ( ) v našich datech vzdálen celkem 248 pozorování, proto zvolíme délku okna D = 248. Označme si T počet pozorování (v našem případě T = 400) výnosnost j-té akcie v čase t vyplacená dividenda j-té akcie v čase t tržní cena j-té akcie v čase t ρ j,t d j,t y j,t Výnosnost j-té akcie v čase t pak spočteme podle vzorce ρ j,t = y j,t y j,t t k=t d j,k y j,t 248 j = 1,..., 9 t = 249,..., 400 Pro každou akcii jsme takto získali celkem 152 pozorování ročních výnosů. 4.2 Očekávaný výnos a varianční matice S pomocí vypočtených ročních výnosů odhadneme pro jednotlivé akciové tituly jejich střední výnosy r = (r 1, r 2,..., r J ) a varianční matici V = [V ij ] J i, jejich výnosů. Jako odhady použijeme výběrový průměr respektive výběrovou varianční matici napočítané podle vzorců r j = 1 T ρ i,t, j = 1,..., J, T t=1 V ij = 1 T 1 T (ρ i,t r i ) (ρ j,t r i ), i, j = 1,...,J, t=1 kde ρ j,t značí pozorovaný výnos j-tého titulu v čase t. K výpočtům jsme použili program R ([9]). 10

11 Výsledný vektor odhadnutých výnosů akcií potom bude r = ( ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD 1,147 0,025 0,064 0,909 0,505 0,259 1,996 0,112 0,590 ). Z něj je jasně vidět, že nejvýnosnějším titulem je Tata Motors Ltd. tyto akcie přinesou svému majiteli během jednoho roku v průměru 200 % své původní hodnoty. Mezi vybranými tituly jsou ale i dva ztrátové: Hess Corp. a Lockheed Martin Corp. Odhadnutá varianční matice bude V = ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD ORN 0, 542 0, 009 0, 052 0, 016 0, 039 0, 072 0, 225 0, 047 0, 107 HES 0, 009 0, 022 0, 008 0, 019 0, 021 0, 003 0, 045 0, 010 0, 050 LMT 0, 052 0, 008 0, 022 0, 017 0, 009 0, 005 0, 079 0, 019 0, 029 AAPL 0, 016 0, 019 0, 017 0, 046 0, 031 0, 001 0, 112 0, 016 0, 051 GOOG 0, 039 0, 021 0, 009 0, 031 0, 047 0, 007 0, 077 0, 008 0, 081. TEF 0, 072 0, 003 0, 005 0, 001 0, 007 0, 012 0, 024 0, 004 0, 011 TTM 0, 225 0, 045 0, 079 0, 112 0, 077 0, 024 0, 642 0, 078 0, 248 EON 0, 047 0, 010 0, 019 0, 016 0, 008 0, 004 0, 078 0, 019 0, 032 BUD 0, 107 0, 050 0, 029 0, 051 0, 081 0, 011 0, 248 0, 032 0, 281 Dále zde ještě uvedeme odhadnutou korelační matici C = ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD ORN 1, 000 0, 087 0, 474 0, 104 0, 243 0, 880 0, 381 0, 458 0, 273 HES 0, 087 1, 000 0, 347 0, 585 0, 643 0, 175 0, 379 0, 474 0, 641 LMT 0, 474 0, 347 1, 000 0, 547 0, 284 0, 305 0, 661 0, 893 0, 365 AAPL 0, 104 0, 585 0, 547 1, 000 0, 662 0, 039 0, 648 0, 528 0, 452 GOOG 0, 243 0, 643 0, 284 0, 662 1, 000 0, 280 0, 443 0, 262 0, 708, TEF 0, 880 0, 175 0, 305 0, 039 0, 280 1, 000 0, 269 0, 260 0, 191 TTM 0, 381 0, 379 0, 661 0, 648 0, 443 0, 269 1, 000 0, 702 0, 584 EON 0, 458 0, 474 0, 893 0, 528 0, 262 0, 260 0, 702 1, 000 0, 428 BUD 0, 273 0, 641 0, 365 0, 452 0, 708 0, 191 0, 584 0, 428 1, 000 jejíž složky C ij napočítáme jako C ij = V ij Vii Vjj, i, j = 1,...,J a z níž vidíme, jakým způsobem jsou výnosy jednotlivých titulů vzájemně korelované. Přitom je potřeba mít na paměti, že je vhodné mít v portfoliu zastoupeny vzájemně záporně korelované akcie z důvodu jeho diverzifikace. Poslední důležitou charakteristikou jsou směrodatné odchylky výnosů s j, j = 1,...,J, jimiž kvantifikujeme riziko jednotlivých titulů. Jejich odhady spočítáme z diagonálních prvků odhadnuté varianční matice V jako s j = V jj, j = 1,..., J. 11

12 Vektor odhadnutých směrodatných odchylek je s = ( ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD 0,736 0,147 0,149 0,215 0,217 0,112 0,801 0,139 0,530 ). Na závěr této části ještě na obrázku 3 uvádíme grafické znázornění středních výnosů jednotlivých titulů v závislosti na jejich riziku (tj. jejich polohu v mean-risk rovině). Akcie v mean risk rovině Očekávaný výnos AAPL GOOG TEF EON HES LMT BUD ORN TTM Směrodatná odchylka Obrázek 3: Jednotlivé akciové tituly v mean-risk rovině. 12

13 5 Řešení úloh Poté, co jsme si připravili vstupní data, jsme už mohli přistoupit k samotné optimalizaci. K tomu jsme jako softwarový nástroj zvolili GAMS ([10]) a s ním dodávaný solver CONOPT, který dokáže řešit úlohy nelineárního programování. Po vyřešení jednotlivých úloh jsme výsledky exportovali zpět do softwarového prostředí R a v něm jsme k jednotlivým portfolií dopočítali hodnoty 95% Value-at-Risk a 95% parametrického Value-at-Risk. Za Value-at-Risk (VaR) se spolehlivostí α přitom považujeme hodnotu, kterou ztráta daného portfolia za dané období (v tomto případě 1 rok) překročí pouze s pravděpodobností 1 α. Za ztrátu přitom považujeme výnos s opačným znaménkem, tedy ztráta l = ρ. Nemáme-li žádné informace o pravděpodobnostním rozdělení ztráty portfolia, počítáme neparametrický VaR jako empirický kvantil z pozorovaných ztrát. Tato pozorování v našem případě získáme jednoduše pozorované ztráty portfolia napočítáme z historických dat o ztrátách (výnosech) jednotlivých titulů jako vážený průměr ztrát jednotlivých titulů (váhy x jsou přitom dány složením daného portfolia), tedy l t (x) = x j ρ j,t, kde l t (x) značí ztrátu portfolia daného vahami x v čase t. Z těchto hodnot potom spočítáme empirický α-kvantil, kde v našem případě α = 0,95. Předpokládáme-li, že ztráta portfolia má nějaké pravděpodobnostní rozdělení určené parametry polohy a variability, lze spočítat parametrický VaR. My budeme předpokládat, že ztráty jednotlivých titulů mají sdružené normální rozdělení s vektorem středních hodnot r a varianční maticí V, které jsme již dříve odhadli. Potom ( l(x) ( x r) P (l(x) > VaR α (x)) = P > VaR ) α(x) ( x r) x V x x V x ( ) VaRα (x) + x r = 1 Φ = 1 α, x V x kde l(x) značí ztrátu porftolia daného vahami x a Φ značí distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Z toho po úpravě plyne, že VaR α (x) = x r + Φ 1 α x V x, kde Φ 1 α je α-kvantil normovaného normálního rozdělení. Opět volíme α = 0,95. 13

14 5.1 Úloha a Markowitzův model se na problém optimalizace portfolia dívá jako na problém vícekriteriální optimalizace: naším úkolem je maximalizovat střední výnos portfolia, tedy max x x j r j, a zároveň minimalizovat riziko vyjádřené pomocí rozptylu (nebo směrodatné odchylky), tedy min x i x j V ij. x i=1 Jak víme, při řešení úloh vícekriteriální optimalizace lze k nalezení množiny eficientních řešení (v tomto případě nazývaných eficientní portfolia) použít několika rozdílných přístupů. My použijeme tzv. ɛ-omezený přístup ze dvou požadavků zvolíme jeden do účelové funkce a druhý zařadíme do omezení. Konkrétně budeme požadovat minimalizaci rizika za podmínky, že očekávaný výnos dosáhne alespoň nějaké zvolené hladiny r p. Dalšími omezeními budou, že váhy jednotlivých složek portfolia se musí vysčítat na jedničku a že všechny musí být kladné (to odpovídá požadavku, že nejsou povoleny krátké prodeje). Matematicky pak celou úlohu vyjádříme jako min x s.t. x i x j V ij (1) i=1 x j r j r p, x j = 1, x j 0, j = 1,...,J. Pro samotné řešení je vhodné nejprve zjistit, pro jaké hodnoty r p má cenu úlohu řešit. Je jasné, že nelze dosáhnout většího očekávaného výnosu, než kterého dosáhneme vyřešením úlohy maximalizující očekávaný výnos bez ohledu na riziko, tedy úlohy max x s.t. x j r j, (2) x j = 1, x j 0, j = 1,..., J. 14

15 Její optimální hodnota r max tedy bude horní hranicí pro hodnoty omezení r p v úloze 1 (při volbě vyšší hodnoty r p by množina přípustných řešení úlohy 1 byla prázdná). Naopak nemá cenu omezovat požadovaný očekávaný výnos hodnotami nižšími, než očekávaným výnosem portfolia, které získáme při řešení úlohy samotné minimalizace rizika, tedy úlohy min x s.t. x i x j V ij (3) i=1 x j = 1, x j 0, j = 1,...,J. Očekávaný výnos r min portfolia, které dostaneme jako optimální řešení úlohy 3 bude tedy dolní hranicí pro hodnoty omezení r p v úloze 1. Nejprve jsme tedy vyřešili pomocné úlohy 2 a 3 a získali tak hodnoty r min = 0,157 a r max = 1,996. Následně jsme řešili úlohu 1, přičemž za r p jsme postupně volili hodnoty z intervalu [0,157; 1,996] s krokem 0, 025. Tak jsme dostali dostatečně hustou množinu eficientních portfolií, abychom mohli vykreslit eficientní hranici v mean-risk rovině viz obrázek 4. V tabulce 1 je pak složení, očekávaný výnos, riziko (směrodatná odchylka) a parametrický i neparametrický VaR několika vybraných portfolií. Značíme přitom r(x) = x r, σ(x) = x V x a pvar parametrický VaR (pro odlišení od neparametrického, který značíme pouze VaR). V tabulce si můžeme povšimnout že nám u všech vybraných portfolií vyšly záporné hodnoty VaR a pvar (což znamená, že s pravděpodobností více než 95 % vůbec nedojde ke ztrátě) a navíc jejich hodnoty jsou nevyšší u portfolií, která jsou ve smyslu Markowitzova modelu nejméně riskantní. Podrobněji budeme tyto výsledky diskutovat v závěrečné části. portfolio r(x) σ(x) pvar 0,95 (x) VaR 0,95 (x) poznámka a1 0,157 0,074-0,036-0,039 nejnižší riziko a2 0,507 0,105-0,335-0,306 a3 1,007 0,214-0,656-0,570 a4 1,632 0,446-0,898-0,774 nejnižší VaR 0,95 a5 1,996 0,801-0,678-0,564 nejvyšší výnos ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD a1 0,00% 1,26% 21,75% 0,00% 0,00% 58,26% 0,00% 18,74% 0,00% a2 0,00% 0,00% 0,00% 34,80% 0,00% 61,68% 1,45% 2,06% 0,00% a3 14,57% 0,00% 0,00% 78,44% 0,00% 0,73% 6,26% 0,00% 0,00% a4 42,79% 0,00% 0,00% 0,08% 0,00% 0,00% 57,13% 0,00% 0,00% a5 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100,00% 0,00% 0,00% Tabulka 1: Vybraná eficientní portfolia pro úlohu a. 15

16 Eficientní hranice Očekávaný výnos Směrodatná odchylka Obrázek 4: Eficientní hranice pro úlohu a v mean-risk rovině. 5.2 Úloha b V této úloze nám oproti úloze a přibyla možnost investovat vedle ostatních (obecně rizikových) instrumentů do bezrizikového aktiva. Jeho (nenáhodný) výnos je r 0 = 0,013. Váhu této investice označíme x 0. Matematicky úlohu b vyjádříme jako min x 0,x i=1 x i x j V ij (4) s.t. x 0 r 0 + x 0 + x j r j r p, x j = 1, x j 0, j = 0,...,J. Hranice r min a r max pro r p získáme řešením úloh odvozených z úlohy 4 analogicky k úlohám 2 a 3 formulace zde již neuvádíme. Bude tak r p [0,013; 1,996]. Opět analogicky k předchozímu získáme množinu eficientních portfolií. Příslušnou eficientní hranici vidíme na obrázku 5 a několik vybraných eficientních portfolií uvádíme v tabulce 2. 16

17 portfolio r(x) σ(x) pvar 0,95 (x) VaR 0,95 (x) poznámka b1 0,163 0,031-0,112-0,100 b2 0,363 0,073-0,244-0,215 x 0 ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD b1 73,28% 0,00% 0,00% 0,00% 11,54% 0,00% 14,64% 0,53% 0,00% 0,00% b2 37,66% 0,00% 0,00% 0,00% 26,93% 0,00% 34,16% 1,25% 0,00% 0,00% Tabulka 2: Vybraná eficientní portfolia pro úlohu b. Eficientní hranice Očekávaný výnos Směrodatná odchylka Obrázek 5: Eficientní hranice pro úlohu b v mean-risk rovině. 5.3 Úloha c Další možnost, kterou oproti předchozí úloze nyní získáme, bude možnost vypůjčit si finanční prostředky až do výše 30 % hodnoty portfolia. Výpůjční úroková míra přitom je r v = 0,085. Velikost výpůjčky označíme x v. Tato proměnná bude nabývat hodnot z intervalu [0; 0,3]. Celkově tedy budeme mít k dispozici k investování (1 + x v )-násobné množství původních prostředků. Od celkového výnosu portfolia ale samozřejmě musíme 17

18 odečíst splácený úrok z výpůjčky. Matematicky tyto faktory zohledníme následovně: min x 0,x v,x i=1 x i x j V ij (5) s.t. x 0 r 0 + x 0 + x j r j x v r v r p, x j = 1 + x v, x j 0, j = 0,..., J, x v 0, x v 0,3. Úlohu řešíme analogicky k předchozím. Volíme r p [0,013; 2,570] (tyto hranice opět získáme vyřešením pomocných úloh). Příslušná eficientní hranice je zakreslena na obrázku 6 a několik vybraných eficientních portfolií uvádíme v tabulce 3. Dodáváme, že dle zadání se mělo pro jednoduchost počítat s r p = r 0, nicméně zohlednit rozdílné úrokové sazby pro nás nepředstavovalo větší problém, a z tohoto důvodu jsme tedy počítali úlohu rovnou se sazbami rozdílnými (což více odpovídá skutečnosti). portfolio r(x) σ(x) pvar 0,95 (x) VaR 0,95 (x) poznámka c1 1,013 0,215-0,660-0,572 c2 2,088 0,576-1,140-0,978 nejnižší VaR 0,95 x v x 0 ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD c1 7,63% 0,00% 13,49% 0,00% 0,00% 79,18% 0,00% 8,85% 6,10% 0,00% 0,00% c2 30,00% 0,00% 55,25% 0,00% 0,00% 1,18% 0,00% 0,00% 73,57% 0,00% 0,00% Tabulka 3: Vybraná eficientní portfolia pro úlohu c. 18

19 Eficientní hranice Očekávaný výnos Směrodatná odchylka Obrázek 6: Eficientní hranice pro úlohu c v mean-risk rovině. 5.4 Úloha d V této úloze již nemáme možnost půjčovat si peněžní prostředky ani investovat do bezrizikového aktiva. Novou možností jsou ale krátké prodeje až do hodnoty 30 % původního vkladu. Znamená to pro nás, že váhy x j mohou být i záporné, ale součet jejich záporných částí nesmí přeáhnout 0,3. Matematický model pak bude vypadat takto: min x +,x s.t. i=1 ( )( ) x + i x i x + j x j Vij (6) ( x + j ) x j rj r p, ( x + j ) x j = 1, x j 0,3. x + j 0, x j 0, j = 0,..., J, Výsledné váhy pak spočteme jako x j = x + j x j. Úlohu řešíme stejným způsobem, jako všechny předchozí. Bude r p [0,081; 2,615]. Výslednou eficientní hranici vidíme na obrázku 7 a vybraná portfolia jsou uvedena v tabulce 4. 19

20 portfolio r(x) σ(x) pvar 0,95 (x) VaR 0,95 (x) poznámka d1 0,081 0,057 0,012 0,000 nejnižší riziko d2 0,756 0,129-0,543-0,547 d3 1,506 0,308-0,999-0,922 d4 2,156 0,572-1,215-1,080 nejnižší VaR 0,95 ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD d1-11,59% 4,95% 10,66% 3,96% 1,94% 90,37% -2,87% 3,31% -0,74% d2 0,00% -30,00% 0,00% 56,61% 0,00% 69,99% 2,29% 0,00% 1,11% d3 26,81% -30,00% 0,00% 80,00% 0,00% 0,00% 23,20% 0,00% 0,00% d4 53,48% -4,27% -25,73% 0,32% 0,00% 0,00% 76,20% 0,00% 0,00% Tabulka 4: Vybraná eficientní portfolia pro úlohu d. Eficientní hranice Očekávaný výnos Směrodatná odchylka Obrázek 7: Eficientní hranice pro úlohu d v mean-risk rovině. 5.5 Úloha e Poslední úloha se řeší za stejných podmínek jako úloha a, nicméně nám přibývá nové omezení: nesmíme do žádného aktiva investovat více než 15 % z celkového vkladu, tj. pro 20

21 všechny váhy musí platit x j 0,15. Matematicky úlohu zapíšeme jako min x s.t. x i x j V ij (7) i=1 x j r j r p, x j = 1, x j 0, x j 0,15, j = 1,...,J. Úlohu řešíme stejným způsobem, jako předchozí úlohy. Bude r p [0,357; 0,822]. Výsledná eficientní hranice je zakreslena obrázku 8 a vybraná portfolia jsou uvedena v tabulce 5. portfolio r(x) σ(x) pvar 0,95 (x) VaR 0,95 (x) poznámka e1 0,352 0,124-0,148-0,094 nejnižší riziko e2 0,577 0,160-0,314-0,258 e3 0,822 0,230-0,443-0,329 nejvyšší výnos ORN HES LMT AAPL GOOG TEF TTM EON BUD e1 7,02% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 0,00% 15,00% 2,98% e2 12,91% 3,47% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 8,62% 15,00% 0,00% e3 15,00% 0,00% 0,00% 15,00% 15,00% 15,00% 15,00% 10,00% 15,00% Tabulka 5: Vybraná eficientní portfolia pro úlohu e. Eficientní hranice Očekávaný výnos Směrodatná odchylka Obrázek 8: Eficientní hranice pro úlohu e v mean-risk rovině. 21

22 6 Závěr Na závěr se pokusíme prodiskutovat získané výsledky. Mnohého si lze všimnout z názorného obrázku 9, kde vidíme v mean-risk rovině zakreslené všechny eficientní hranice najednou. Vedle toho jsou ještě jednou zakresleny jednotlivé tituly. Akcie a eficientní hranice Očekávaný výnos TEF EON HES LMT AAPL GOOG BUD ORN TTM Úloha a Úloha b Úloha c Úloha d Úloha e Směrodatná odchylka Obrázek 9: Akciové tituly a eficientní hranice v mean-risk rovině. Ze zastoupení jednotlivých titulů v eficientních portfoliích úlohy a (viz tabulka 1) vidíme, že konzervativní investor bude dávat přednost zejména titulu Telefonica, méně konzervativní investor bude mít ve svém portfoliu nejvíce zastoupen titul Apple, a investor orientující se na zisk dá přednost titulům Orion Marine a zejména Tata Motors. To je v souladu s tím, že tituly Telefonica, Apple a Tata Motors leží (nebo téměř leží) na různých částech eficientní hranice úlohy a (viz obrázek 9) a patří tedy mezi v jistém smyslu nejkvalitnější tituly. Naopak tituly Hess Corp., Google a Anheuser-Busch jsou v eficientních portfoliích úlohy a zastoupeny velmi málo nebo vůbec. Vezměme si například titul Google: má (zhruba) stejný rozptyl výnosů jako Apple, přitom ale nižší očekávaný výnos, a navíc, jak je vidět z korelační matice v části 4.2, je se všemi ostatními tituly pozitivně korelovaný (tudíž 22

23 pravděpodobně při zařazení do portfolia nepřinese žádnou výhodu v podobě kladných výnosů, když jiný zařazený titul bude mít výnosy záporné). Díky těmto okolnostem se v portfoliích neobjevuje. Podobně to platí i pro oba další zmíněné tituly. V úloze b je vidět, že příslušná eficientní hranice je z velké části shodná s eficientní hranicí úlohy a, pouze na začátku se odlišuje. To odpovídá tomu, že zpočátku jsou eficientní portfolia tvořena zejména bezrizikovým aktivem, posléze (když výnosy bezrizikového aktiva nemohou pokrýt požadovaný výnos) jsou eficientní portfolia úlohy b shodná s eficientní portfolii úlohy a. Eficientní hranice úlohy c je naopak s eficientní hranicí úlohy b shodná ve svém počátku. To odpovídá tomu, že pro menší požadované výnosy není třeba půjčovat si finanční prostředky jednotlivé eficientní hranice se od sebe oddělí až ve chvíli, kdy se v řešení úlohy c objeví nenulová výpůjčka. Díky možnosti půjčky (a tím pádem větším možným investicím) je v této úloze i vyšší maximální možný očekávaný výnos. V úloze d jsme povolili krátké prodeje. Ze složení jednotlivých portfolií (viz tabulka 4) vidíme, že na krátko prodáváme zejména tituly Hess Corp. a Lockheed Martin Corp. Důvod je jednoduchý mají záporné očekávané výnosy a jejich krátkým prodejem spekulujeme na jejich pokles (ztrátu). Příslušná eficientní hranice leží v celém svém průběhu nad eficientní hranicí úloh a, b a c je tedy vidět, že krátké prodeje nám pomohou k lepšímu (ve smyslu mean-variance polohy) portfoliu. Eficientní hranice úlohy e je o poznání kratší, než ostatní eficientní hranice. To je způsobeno tím, že omezení na skladbu portfolia nám velmi zredukovala možnosti, jaká portfolia vystavět: Máme totiž k dispozici 9 různých titulů a do jednoho z nich lze investovat maximálně 15 % našich prostředků to ale znamená, že v jednotlivých portfoliích bude zastoupeno vždy aspoň 7 z celkových 9 titulů. V tabulkách 1 až 5 si lze všimnout neobvyklé věci: hodnoty Value-at-Risk jsou vždy (až na jednu výjimku) záporné. Záporný VaR 0,95 znamená, že nejhorší ztráta, k níž s pravděpodobností 95 % dojde, bude záporná. S pravděpodobností alespoň 95 % (ale patrně ještě větší) tedy k žádné skutečné ztrátě nedojde stále půjde o kladný zisk! Tento výsledek je patrně způsobem použitými daty tím, že jsme použili data o výnosech po 15. září V tento den totiž zejména americké burzy, na nichž se většina použitých titulů obchoduje, zažily velký pád velké množství titulů pokleslo o desítky až stovky procent. Od té doby až do nynějška se burzy postupně zotavují, a kurzy námi použitých titulů tak postupně stoupají směrem k původním hodnotám (před finanční krizí). To vede k tomu, že i přes případné krátkodobé poklesy kurzy jednotlivých titulů meziročně stoupají. Navíc vzhledem k malé délce období, z něhož naše data pochází, hraje v našich výnosech roli téměř výhradně tento trend. Vzhledem k těmto okolnostem je snad zřejmé, že v optimalizovaných portfoliích se stěží najde nějaké, u něhož by s nezanedbatelnou pravděpodobností došlo ke ztrátě. Stejně se dají vysvětlit obrovské očekávané zisky některých portfolií přes 250 % u těch, kde je majoritně zastoupen titul Tata Motors, ale také stále okolo 100 % u více diverzifikovaných portfolií. Další neobvyklou věcí je, že portfolia, která jsou dle Markowitzova modelu nejméně riziková, patří mezi nejrizikovější s ohledem na VaR. Naopak VaR je nejnižší u portfolií, jejichž směrodatná odchylka je, v rámci dané eficientní hranice, zhruba uprostřed 23

24 mezi směrodatnou odchylkou nejrizikovějšího (v Markowitzově smyslu) portfolia a nejvýnosnějšího portfolia. To je pravděpodobně opět způsobeno neobvyklou strukturou dat v daném období téměř nedocházelo k poklesům, a tak i když je ve výnosech nejziskovějších titulů velký rozptyl, jejich 5 % nejnižších meziročních výnosů bude pořád dost vysokých. Naopak tituly s menším rozptylem mají zpravidla i menší výnosy a v našem případě tedy větší VaR. Předpokládáme, že pokud bychom použili data za delší období (data i před recesí, která jsme ale, jak jsme již zmínili, nepoužili kvůli konzistenci dat), k těmto neobvyklým jevům by nedošlo. U většiny vybraných portfolií si lze povšimnout, že pro ně platí pvar 0,95 (x) < VaR 0,95 (x), což by se dalo vysvětlit tím, že skutečné rozdělení ztrát má těžší chvosty, než normální rozdělení. Závěrem lze tedy říci, že výsledky, ke kterým jsme dospěli, odpovídají tomu, co bychom vzhledem k našim znalostem Markowitzova modelu a vzhledem ke struktuře použitých dat očekávali. 24

25 Zdroje [1] Dupačová J. Markowitzův model optimální volby portfólia: předpoklady, data, alternativy. Studijní materiál. [2] Musílek P. (2002). Trhy cenných papírů. Ekopress, Praha. [3] Bloomberg Businessweek. [4] Yahoo! Finance. [5] Kurzy.cz. [6] Česká národní banka. [7] Brokerjet.cz. [8] Microsoft Office [9] R [10] GAMS