PŘEDMĚT KONSTRUKCE A DOPRAVNÍ STAVBY

PŘEDMĚT KONSTRUKCE A DOPRAVNÍ STAVBY JMÉNO Ing. Milan Pilgr ŠKOLA Fakulta stavební VUT v Brně TŘÍDA. ročník ROK 006

Bibliografická citace: PILGR, M. Konstrukce a dopravní stavby. Pracovní verze příkladů do cvičení rozpracovaných podle národních norem ČSN [online]. Brno: 006, 76 s. Dostupné na <www.fce.vutbr.cz/kdk/pilgr.m/vyuka-bo01.htm> Poděkování: Deo gratias Ing. Milan Pilgr, 006

OBSAH ORGANIZAČNÍ A STUDIJNÍ ZÁLEŽITOSTI... 5 Podmínky pro uznání části Konstrukce... 5 Pomůcky pro práci ve cvičeních... 5 Studijní literatura... 5 ÚVOD... 5 Charakteristika oboru... 5 Konstrukční materiály... 6 Technické normy... 7 Normy pro zatížení konstrukcí a jejich odezvu... 7 Normy pro navrhování konstrukcí... 7 Normy pro provádění konstrukcí... 7 Rozsah procvičované problematiky... 7 MATERIÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY... 8 Hlavní materiálové charakteristiky... 8 Pro beton... 8 Pro ocel... 9 Příklad... 10 Některé další materiálové charakteristiky... 1 Pevnostní veličiny... 1 Deformační veličiny... 1 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY... 13 Obecné souřadnicové soustavy... 14 Kartézské souřadnice... 14 Výsečové souřadnice... 14 Základní statické veličiny průřezu. Definice... 15 Hlavní vztažná soustava... 16 Hlavní body a hlavní osy roviny průřezu. Určení polohy... 18 Těžiště... 18 Hlavní osy setrvačnosti... 18 Střed smyku... 19 Hlavní nulový bod... 0 K axiálním veličinám... 1 Příklad... 1 K výsečovým souřadnicím... 5 Dva jednoduché případy čtení výsečových souřadnic... 6 Příklad... 7 K výsečovým veličinám... 30 Příklad... 30 Odpověď na častou otázku K čemu je to dobré?... 35 Statické veličiny průřezu... 35 Hlavní vztažná soustava... 35 3

ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ... 37 Definice a základní pojmy... 37 Klasifikace a příklady zatížení... 38 Hodnoty zatížení z hlediska spolehlivosti... 39 Charakteristiky zatížení... 39 Diferenciace výpočtových hodnot podle sledovaného mezního stavu... 40 Některé druhy zatížení... 41 Tíha konstrukcí... 41 Užitná zatížení stropů a střech... 41 Příklad... 43 Některá klimatická zatížení... 46 Zatížení sněhem... 46 Zatížení větrem... 48 Kombinace zatížení... 50 Základní kombinace zatížení... 51 Problém protisměrného působení stálého a nahodilého zatížení v kombinaci... 51 Příklad... 51 ZATÍŽENÍ PODLE EUROKÓDU... 55 Klasifikace zatížení... 55 Hodnoty zatížení z hlediska spolehlivosti... 55 Izolovaný zatěžovací stav... 55 Zatěžovací stav v kombinaci s jinými. Kombinace zatížení... 56 Tíha konstrukcí... 57 Užitná zatížení stropů a střech... 58 Zatížení sněhem... 58 Zatížení větrem... 60 KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB... 63 Klasifikace konstrukčních prvků... 63 Pruty... 63 Plošné prvky... 64 K modelu vnějších a vnitřních vazeb... 66 Konstrukční systémy patrových budov... 67 Přenos svislého zatížení... 67 Přenos vodorovného zatížení... 69 Konstrukční systémy jednopodlažních hal... 7 Betonové haly... 7 Ocelové haly... 74 ZÁPOČET... 76 4

1. cvičení ORGANIZAČNÍ A STUDIJNÍ ZÁLEŽITOSTI Podmínky pro uznání části Konstrukce aktivní účast ve cvičeních, předložení výpočtu zadaných příkladů. Pomůcky pro práci ve cvičeních psací potřeby a kalkulačka. Studijní literatura [1] JÍLEK, A., GRENČÍK, Ľ., NOVÁK, V. Betonové konstrukce, I. a II. díl Praha: SNTL / Alfa, 1984, 1985 [] FERJENČÍK, P., LEDERER, F., SCHUN, J., MELCHER, J., VOŘÍŠEK, V., CHLADNÝ, E. Navrhovanie oceľových konštrukcií, 1. a. časť Bratislava: Alfa / SNTL, 1986 ÚVOD Charakteristika oboru Teorie konstrukcí je nauka o navrhování nosných stavebních konstrukcí z hlediska zajištění jejich funkčnosti a bezpečnosti během provozu i výstavby. Nezbytnou bázi k řešení této problematiky tvoří tři vědní disciplíny: Stavební mechanika nauka o výpočtech stavebních konstrukcí; Teorie spolehlivosti, která studuje statistické nejistoty modelu podmínek působení konstrukce; Nauka o materiálech (o konstrukčních materiálech je dále uvedena stručná zmínka). 5

Úkoly teorie konstrukcí lze rozdělit do několika po sobě jdoucích činností: stanovit geometrický tvar konstrukce (na základě architektonického návrhu), určit rozměry jednotlivých prvků, vyřešit jejich spojení v celek a navrhnout způsob podepření, definovat statický model konstrukce, definovat charakteristiky použitých materiálů, určit zatížení a jejich kombinace, provést výpočet konstrukce, prokázat spolehlivost konstrukce, jejich prvků, spojů i podpor, vypracovat projektovou dokumentaci stavby, na základě které lze provést stavební dílo. Teoretické základy těchto činností jsou předmětem vědeckého bádání, jehož praktické závěry jsou obsaženy v technických normách (o normách je dále uvedena stručná zmínka). Konstrukční materiály Materiály pro nosné stavební konstrukce lze v zásadě rozlišovat následovně: a) progresivní materiály: beton (prostý, železový, předpjatý), ocel; b) tradiční materiály: zdivo, dřevo; c) doplňkové materiály: hliník, plasty, sklo a jiné. Témata tohoto kurzu budou zaměřena především na beton a ocel. Beton je umělý slepenec vytvořený z plniva, pojiva a vody, příp. přísad a příměsí. Pro konstrukční betony se jako plnivo používá kamenivo (přírodní těžené či drcené), jako pojivo se používá cement (portlandský či směsný) hovoříme též o cementovém betonu. Ocel je slitina železa s uhlíkem a slitinovými prvky (mangan, křemík, atd.), kde množství uhlíku nepřesahuje max. hodnotu rozpustnosti v austenitu. Konstrukční oceli obsahují 0,1 0, % uhlíku. 6

Technické normy Technické normy jsou dokumenty sloužící k dorozumění partnerů v oblasti techniky, vycházející v naprosté většině z konsenzu zainteresovaných stran. Představují jednak soubor ustanovení předepisující jednotnou formu uplatňování odborných znalostí, ale také užitečnou pomůcku poskytující informativní údaje a návody pro efektivní hledání inženýrských řešení. Jejich tvorba, jakož i používání podléhá platným právním předpisům (zák. č. /1997 Sb., zák. č. 71/000 Sb., n.v. č. 163/00 Sb.). Dnešní stav normalizace v teorii konstrukcí představuje současnou platnost jak stávajících norem národních (označených zkratkou ČSN), tak nově zaváděných eurokódů (označených rovněž zkratkou EN), viz následující výčet. Normy pro zatížení konstrukcí a jejich odezvu ČSN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí ČSN P ENV 1991- Zásady navrhování a zatížení konstrukcí Normy pro navrhování konstrukcí ČSN 73 101 Navrhování betonových konstrukcí ČSN P ENV 199-1 Navrhování betonových konstrukcí ČSN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí ČSN P ENV 1993-1 Navrhování ocelových konstrukcí Normy pro provádění konstrukcí ČSN 73 400 Provádění a kontrola betonových konstrukcí ČSN P ENV 13670-1 Provádění betonových konstrukcí ČSN 73 601 Provádění ocelových konstrukcí ČSN P ENV 1090-1 Provádění ocelových konstrukcí Rozsah procvičované problematiky Ve cvičeních tohoto kurzu se probírají úvodní poznámky k následujícím tématům: materiálové charakteristiky, průřezové charakteristiky, zatížení konstrukcí, konstrukční systémy. 7

MATERIÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY Materiálové charakteristiky jsou veličiny popisující fyzikálně-mechanické parametry konstrukčního materiálu. V dalším uvádíme materiálové charakteristiky u nás běžně používaných konstrukčních betonů i ocelí. Hlavní materiálové charakteristiky Pevnost (obecně f) minimální hodnota mechanického napětí, při kterém nastávají definované nevratné změny struktury materiálu; pevnost má stejný rozměr jako napětí, tj. MPa. Youngův modul E (modul pružnosti v tahu, tlaku) podíl normálového napětí a poměrné délkové deformace, tímto napětím způsobené; rozměr Youngova modulu je rovněž MPa. Hustota ρ podíl hmotnosti tělesa a jeho objemu; rozměr hustoty je kg/m 3. Pro beton V následující tabulce uvádíme: a) charakteristickou pevnost v tlaku f ck k tomu poznamenáme, že při praktickém výpočtu se používá návrhová pevnost podle vztahu fck fcd = αcc, γ C kde γ C...dílčí součinitel spolehlivosti materiálu, který je dán hodnotou γ C = 1,50, α cc...součinitel vyjadřující vliv působení vnějšího prostředí na chování materiálu, běžná hodnota je α cc = 0,85; b) sečnový modul pružnosti E cm k tomu poznamenáme, že při praktickém výpočtu se používá hodnota podle vztahu Ecm E c =, 1 + κ ϕ kde κ, ϕ jsou součinitele smršťování a dotvarování; běžná hodnota sečnového modulu pružnosti je Ecm E c = ; c) normovou objemovou hmotnost ρ, jež platí pro beton s netuhou výztuží k tomu opět poznamenáme, že při praktickém výpočtu se používá tzv. výpočtová hodnota, blíže o tom ve 4. a 5. cvičení. 8

Tab. Konstrukční betony Pevnostní třída Charakteristická pevnost v tlaku f ck (MPa) Sečnový modul pružnosti E cm (MPa) C 16/0 16 9 000 C 0/5 0 30 000 C 30/37 30 3 000 C 40/50 40 35 000 C 50/60 50 37 000 Objemová hmotnost ρ (kg/m 3 ) 500 600 Pro ocel V následující tabulce uvádíme: a) mez kluzu f y k tomu poznamenáme, že při praktickém výpočtu se používá návrhová mez kluzu podle vztahu f y f yd =, γ M 0 kde γ M0 je dílčí součinitel spolehlivosti materiálu, který je dán hodnotou γ M0 = 1,15; b) modul pružnosti v tahu, tlaku E tuto hodnotu při praktickém výpočtu již nepřepočítáváme; c) normovou objemovou hmotnost ρ k tomu opět poznamenáme, že při praktickém výpočtu se používá tzv. výpočtová hodnota, blíže o tom ve 4. a 5. cvičení. Tab. Konstrukční oceli Pevnostní třída Mez kluzu f y (MPa) S 35 35 S 355 355 Modul pružnosti v tahu, tlaku E (MPa) Objemová hmotnost ρ (kg/m 3 ) 10 000 7850 9

Příklad Zadání. Uvažujme dvě zkušební tělesa tvaru pravoúhlého kvádru o jmenovitých rozměrech a = b = 80 mm, l = 150 mm. Prvé těleso je vyrobeno z betonu C 0/5, druhé těleso je z oceli S 35. A) Určete hmotnosti zkušebních těles. B) Tělesa jsou namáhána tlakovou silou od styčných ploch zkušebního lisu F = = 50 kn; určete velikost jejich zkrácení. C) Určete maximální tlakovou sílu, při které zůstane materiál neporušen. Použijte charakteristické (normové), tj. tabulkové hodnoty. Řešení A) Z fyziky známe vztah pro hmotnost tělesa m = ρ V, kde ρ...hustota látky, V...objem tělesa, který v našem případě činí V = a b l = 0,08 0,08 0,15 = 960 10 6 m 3. Takže hmotnost vzorku betonu m 500 960 10 6 c = =,40 kg a hmotnost vzorku oceli m = 7850 960 10 6 = 7,54 kg. a B) Z pružnosti známe pojem napětí F σ =, A kde F...tlaková síla, A...průřezová plocha; 10

a dále Hookeův zákon σ = E ε, kde E...Youngův modul, ε...poměrná délková deformace, definovaná jako l ε =, l kde l...velikost zkrácení (resp. prodloužení) namáhaného prvku, l...původní délka nedeformovaného prvku. Z posledně uvedeného vzorce vyjádříme vztah pro velikost zkrácení l = ε l, do něhož dosadíme poměrné přetvoření, vyjádřené z Hookeova zákona σ ε =. E Dosazením normálového napětí F σ = A dostáváme výsledný vztah pro velikost zkrácení F l l =. EA Stanovíme průřezovou plochu zkušebních těles A = a b = 80 80 = 6400 mm, potom zkrácení vzorku betonu 3 50 10 150 l c = = 0,039 mm 30 000 6400 a vzorku oceli 3 50 10 150 l a = = 0,006 mm. 10 000 6400 C) Připomeňme si opět pojem napětí F σ =, A kde F...(hledaná) tlaková síla, A...průřezová plocha (v našem případě A = 6400 mm ). Vyjádříme závislost tlakové síly na působícím napětí F = A σ, přičemž dosazením příslušné pevnosti f za napětí σ dostáváme maximální tlakovou sílu: 11

pro beton F max,c = A fck = 6400 0 = 18 kn, pro ocel F max,a = A f y = 6400 35 = 1504 kn. Poznámka Síla 18 kn odpovídá tíze tělesa o hmotnosti 1,8 tun, podobně sílu 1504 kn si lze představit jako hmotnost 150,4 tun. Některé další materiálové charakteristiky Pevnostní veličiny Pro výpočet prvků betonových konstrukcí je vedle pevnosti v tlaku f ck rovněž důležitá pevnost v tahu a soudržnosti f tk, pevnost v otlačení f ok apod., viz navazující kurzy betonových konstrukcí. Pro výpočet prvků ocelových konstrukcí je vedle meze kluzu f y rovněž důležitá mez pevnosti f u, pevnost v soustředěném tlaku f H apod., viz navazující kurzy ocelových konstrukcí. Deformační veličiny Poissonův součinitel ν poměr příčné a podélné deformovatelnosti (při namáhání tahem tj. podíl příčné poměrné kontrakce ku podélnému poměrnému prodloužení), je to bezrozměrná veličina, která obecně nabývá hodnot 1 0 <ν <, přičemž pro beton se bere ν = 0,, pro ocel se bere ν = 0,3. Modul pružnosti ve smyku G podíl smykového napětí a úhlové deformace, tímto napětím způsobené. Pro izotropní látky (mezi které se beton i ocel řadí) platí E G =. ( 1 +ν ) Rozměr modulu pružnosti ve smyku je MPa; platí omezení hodnot E E < G <. 3 Pro beton platí G = 0,4 E, pro ocel platí G = 81 000 MPa. Délková teplotní roztažnost α podíl poměrného prodloužení a teplotního rozdílu; pro beton se bere α = 10 10 6 ( C) 1, pro ocel se bere α = 1 10 6 ( C) 1. 1

. cvičení PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu, přičemž průřezovými charakteristikami rozumíme veličiny popisující jeho uspořádání a mechanické parametry. Podle uspořádání (viz obr.) rozeznáváme průřezy: masivní (plné), které se skládají z jednoduchých geometrických obrazců (kruh, trojúhelník, obdélník apod.), jejichž jednotlivé rozměry se řádově neliší; tenkostěnné, které sestávají z dílčích částí (obdélník, výseč mezikruží) tzv. stěn jejich tloušťka je řádově menší než jejich šířka. Tenkostěnný průřez lze schematicky znázornit pomocí střednice čáry půlící tloušťky stěn. Rozlišujeme tenkostěnné průřezy: uzavřené (duté), u nichž tvoří střednice uzavřenou křivku, otevřené, u nichž střednice netvoří uzavřenou křivku. Obr. Průřezy Poznámka Masivních průřezů se užívá převážně v betonových konstrukcích, tenkostěnné průřezy se vyskytují především v ocelových konstrukcích. 13

Obecné souřadnicové soustavy V rovině průřezu obvykle zavádíme soustavy: kartézských souřadnic uplatňují se u všech druhů průřezu; výsečových souřadnic uplatňují se především u otevřených průřezů. Kartézské souřadnice Kartézské souřadnice jsou definovány dvojicí navzájem kolmých orientovaných přímek souřadných os y, z. Osa y vede obvykle vodorovně, s kladným smyslem zprava doleva; osa z potom vede svisle, s kladným smyslem odshora dolů. Průsečík os označujeme jako počátek soustavy O. Obr. Kartézské souřadnice Libovolnému bodu M průřezu přiřazujeme dvojici souřadnic z a y z-ová souřadnice představuje orientovanou vzdálenost bodu M od osy y, y-ová souřadnice je pak orientovaná vzdálenost bodu M od osy z (viz obr.): z = ym ( ± mm). y = zm Kladný smysl z-ové, resp. y-ové souřadnice je totožný se smyslem osy z, resp. y. Výsečové souřadnice Výsečové souřadnice jsou definovány pólem B (ležícím obecně kdekoliv v rovině průřezu) a výsečovým počátkem M 0 ležícím na střednici průřezu. 14

Obr. Výsečová souřadnice Libovolnému bodu M střednice průřezu přiřazujeme výsečovou souřadnici ω dvojnásobek orientované plochy výseče omezené úsekem střednice M 0 M a dvojicí průvodičů BM 0 a BM (viz obr.): M ( ± mm ) ω = r ds, M0 kde r...absolutní vzdálenost pólu B od tečny ke střednici, ds...diferenciál délky střednice měřené od bodu M 0. Výsečová souřadnice je kladná, jestliže ji čteme od počátečního průvodiče BM 0 proti smyslu chodu hodinových ručiček. Základní statické veličiny průřezu. Definice Uvádíme statické veličiny technické teorie prutů tažených (tlačených), ohýbaných a kroucených, jež jsou dány následujícími definičními vztahy: plocha A = d A mm, A ( ) (axiální) statický moment S y = z da A 3 ( ± mm ), S z = y da A (axiální) deviační moment 4 D yz = z y d A ( ± mm ), A 15

(axiální) moment setrvačnosti I d y = z A A 4 ( mm ), I z = y da A výsečový statický moment 4 Sω = ω d A ( ± mm ), A výsečový deviační moment Dωy = ω z da A 5 ( ± mm ), Dωz = ω y da A výsečový moment setrvačnosti 6 Iω = ω da ( mm ), A kde da...diferenciál plošného obsahu průřezu, z, y...kartézské souřadnice elementu da, ω...výsečová souřadnice elementu da. K analýze prutu se z uvedených veličin sestavuje matice tuhosti A S y S z Sω S = y I y Dyz Dωy K E, S z Dyz I z Dωz Sω Dωy Dωz Iω (kde E je Youngův modul), která je však pro praktické účely nešikovná, neboť je plná, takže představuje značnou pracnost výpočtu. Výrazného zjednodušení se dosáhne použitím hlavní vztažné soustavy. Hlavní vztažná soustava V rámci hlavní vztažné soustavy zavádíme v rovině průřezu (viz obr.): hlavní kartézské souřadnice, jejichž počátek leží v těžišti C g, souřadné osy jsou totožné s hlavními osami setrvačnosti y, z; hlavní výsečové souřadnice, jejichž pól leží ve středu smyku C s, výsečový počátek je totožný s hlavním nulovým bodem M 0. 16

Obr. Hlavní vztažná soustava Těžiště C g je jediný bod v rovině průřezu, pro který platí S y = S z = 0, kde S y, S z jsou statické momenty stanovené v kartézských souřadnicích s počátkem v těžišti. Hlavní (centrální) osy setrvačnosti y, z jsou (v obecném případě) jediná dvojice navzájem kolmých přímek v rovině průřezu (s průsečíkem v těžišti), pro které platí D yz = 0, kde D yz je deviační moment stanovený v hlavních kartézských souřadnicích. Střed smyku C s je jediný bod v rovině otevřeného průřezu, pro který platí D ωy = D ωz = 0, kde D ωy, D ωz jsou výsečové deviační momenty stanovené v hlavních kartézských souřadnicích a ve výsečových souřadnicích s pólem ve středu smyku. Hlavní nulový bod M 0 je bod na střednici otevřeného průřezu, pro který platí S ω = 0, kde S ω je výsečový statický moment stanovený v hlavních výsečových souřadnicích. Matice tuhosti prutu v hlavní vztažné soustavě A 0 0 0 0 I y 0 0 K = E 0 0 I z 0 0 0 0 I ω je tedy diagonální umožňuje řešit jednotlivé případy namáhání odděleně (viz teorii pružnosti). 17

Poznámka Plochu A a momenty setrvačnosti I y, I z, I ω používáme k analýze prutu; statické momenty S y, S z, S ω a deviační momenty D yz, D ωy, D ωz používáme k definování hlavní vztažné soustavy. Hlavní body a hlavní osy roviny průřezu. Určení polohy Těžiště C g V rovině průřezu zavedeme soustavu pomocných kartézských souřadnic definovanou libovolně zvoleným počátkem O 1 a souřadnými osami y 1, z 1 (viz obr.). Obr. Těžiště Těžiště má (v této soustavě) souřadnice S y c = 1, A S z d = 1, A kde S y 1, S z 1... statické momenty (stanovené v zavedených souřadnicích), A... průřezová plocha. Hlavní osy setrvačnosti y, z V rovině průřezu zavedeme další soustavu pomocných kartézských souřadnic definovanou počátkem v těžišti C g a libovolně zvolenými souřadnými osami y, z (viz obr.). 18

Obr. Hlavní osy setrvačnosti Hlavní setrvačné osy (jež procházejí těžištěm) svírají s osami y, z úhel 1 Dyz α = arctg, I z I y kde I y, I z... momenty setrvačnosti, D y z... deviační moment, vše stanoveno v zavedených pomocných souřadnicích. Poznámka Úhel α je orientovaný, tzn. kladné hodnoty představují otočení opačné ke smyslu chodu hodinových ručiček. Střed smyku C s V rovině otevřeného průřezu zavedeme soustavu hlavních kartézských souřadnic, a dále soustavu pomocných výsečových souřadnic definovanou libovolně zvoleným pólem B 1, jakož i výsečovým počátkem M 0,1 (viz obr.). Obr. Střed smyku 19

Střed smyku je dán (kartézskými) souřadnicemi Dω 1z zs = zb, 1 I z Dω 1y ys = yb +, 1 I y kde Dω 1 z, Dω 1 y... výsečové deviační momenty, I z, I y... (axiální) momenty setrvačnosti, z B 1, y B 1... (kartézské) souřadnice pólu B 1, vše stanoveno v příslušných zavedených souřadnicích. Hlavní nulový bod M 0 V rovině otevřeného průřezu zavedeme další soustavu pomocných výsečových souřadnic definovanou pólem ve středu smyku C s a libovolně zvoleným výsečovým počátkem M 0, (viz obr.). Obr. Hlavní nulový bod Hlavní nulový bod má (v této soustavě) výsečovou souřadnici Sω e =, A kde S ω...výsečový statický moment (stanovený v zavedených souřadnicích), A...průřezová plocha. 0

K axiálním veličinám Poznámka V číselném příkladu použijeme vztahy upravené pro tenkostěnný průřez složený z přímých úseků konstantní tloušťky, převzaté z ČSN 73 140; (norma byla v r. 000 zrušena, vzorečky však mají obecnou platnost). Příklad Zadání. Stanovte průřezové charakteristiky tenkostěnného jednoose symetrického U profilu podle obr. Řešení Úlohu rozdělíme do několika po sobě jdoucích kroků 1) stanovíme průřezovou plochu A, ) určíme polohu těžiště C g, 3) ověříme polohu centrálních os setrvačnosti y, z, 4) stanovíme hlavní momenty setrvačnosti I y, I z. S ohledem na systematičnost výpočtu dílčí části průřezu očíslujeme tak např. č. 1 horní vodorovná stěna, č. svislá stěna, č. 3 dolní vodorovná stěna. 1) Průřezovou plochu stanovíme pomocí diskrétního vztahu A = Ai = siti, kde A i...plocha i-té stěny, s i...délka střednice i-té stěny, t i...tloušťka i-té stěny. 1

Tedy A = 100 6 + 00 6 + 100 6 =,40 10 3 mm. Poznámka V dalším potřebujeme rovněž plochy dílčích částí A i, takže A 1 = A 3 = = 600 mm, A = 100 mm. ) Polohu těžiště C g určíme pomocí statického momentu zavedeme tudíž pomocné kartézské souřadnice. Souřadné osy proložíme osou symetrie (označme y) a střednicí svislé stěny (označme z 1 ), viz obr. Vzhledem k symetrii úlohy zřejmě těžiště leží na ose symetrie, takže hledáme jen jeho vodorovnou souřadnici S z d = 1, A kde A...průřezová plocha, S z 1...statický moment k ose z 1. Dále platí, že osa symetrie je současně hlavní osou setrvačnosti. Statický moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu S z = Ai y 1 c, i, kde A i...plocha i-té stěny, y c,i...y-ová souřadnice středu i-té stěny. Tedy = 600 50 + 100 0 + 600 50 = 6,00 10 4 mm. S z 1 ( ) ( ) 3

Souřadnice těžiště 4 6,00 10 d = = 5,0 mm. 3,40 10 Poznámka Záporná hodnota značí vzdálenost od osy z 1 vynášenou proti smyslu osy y. 3) Centrální osy setrvačnosti jsou dány následovně: osa y je totožná s osou symetrie, osa z je k ní kolmá a prochází těžištěm C g. Z pedagogických důvodů jejich polohu ověříme, a to pomocí deviačního momentu zavedeme tudíž hlavní kartézské souřadnice (tzn. osám y, z dáme orientaci), viz obr. Deviační moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( zb, i za, i )( yb, i ya, i ) D yz = Ai + zc, i yc, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, z c,i, y c,i... souřadnice středu i-té stěny, z a,i, y a,i... souřadnice (zvoleného) počátku střednice i-té stěny, z b,i, y b,i... souřadnice (zbývajícího) konce střednice i-té stěny. 3

Tedy D yz ( 100 + 100)( 5 + 75) = 600 + 5 1 ( 100 + 100)( 5 5) + 100 + 0 5 + 1 ( 100 100)( 75 5) + 600 + 100 ( 5) = 0 1. ( 100)( ) + 4) Momenty setrvačnosti stanovíme pomocí diskrétních vztahů ( z ) b, i za, i I y = Ai + zc, i, 1 ( y ) b, i ya, i I z = Ai + yc, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, z a,i, z b,i, z c,i... z-ové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny, y a,i, y b,i, y c,i... y-ové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny. Tedy ( 100 + 100) ( ) ( 100 + 100) I y = 600 + 100 + 100 + 0 + 1 1 ( 100 100) 7 4 + 600 + 100 = 1,60 10 mm, 1 ( 5 + 75) ( ) ( 5 5) I z = 600 + 5 + 100 + 5 + 1 1 ( 75 5) 6 4 + 600 + ( 5) =,50 10 mm. 1 4

3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové souřadnice v bodě M je definována výrazem M ω = r ds, M0 kde r...absolutní vzdálenost pólu B od tečny ke střednici, ds...diferenciál délky střednice měřené od bodu M 0. Geometrický význam lze chápat jako dvojnásobek orientované plochy výseče omezené úsekem střednice M 0 M a dvojicí průvodičů BM 0 a BM (viz obr.), přičemž kladný smysl je takový, když výsečovou souřadnici čteme od počátečního průvodiče BM 0 proti smyslu chodu hodinových ručiček. Obr. Výsečová souřadnice Úlohu lze snadno diskretizovat pro průřez složený z přímých stěn, a to užitím výrazu ω = r i si, kde s i...délka střednice i-tého přímého úseku, r i...rameno konstantní pro všechny body střednice příslušného úseku. Je třeba si uvědomit, že pro součiny r i s i platí přijatá znaménková konvence, kterou dále rozebereme. 5

Dva jednoduché případy čtení výsečových souřadnic A) Máme část průřezu složenou ze přímých úseků (viz obr.), hledáme výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení se shodným znaménkem Počátek čtení je v bodě M 0 v něm je výsečová souřadnice nulová. Nejprve čteme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy kladné znaménko. Pokračujeme čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má tedy opět kladné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 + r s. Hodnoty výsečových souřadnic vynášíme podél střednice průřezu, viz obr. Lze snadno ověřit, že na přímých úsecích je jejich průběh lineární. 6

B) Máme jiný případ části průřezu složené rovněž ze přímých úseků (viz obr.), hledáme opět výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení s měnícím se znaménkem Počátek čtení je nadále v bodě M 0. Čtení opět zahájíme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy (obdobně jako v předchozím případě) kladné znaménko. Pokračujeme opět čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde tentokrát po smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má potom záporné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 r s. Hodnoty výsečových souřadnic opět vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. Příklad Zadání. Určete výsečové souřadnice nesymetrického průřezu vztažené k definovanému pólu a výsečovému počátku podle obr. 7

Řešení Průřez rozložíme na dílčí přímé úseky, jež dále očíslujeme; délky střednic s i, jakož i jejich ramena r i stanovíme podle kót v obr. Čtení výsečových souřadnic začíná ve výsečovém počátku M 0 v něm ω = 0. 8

Nejprve vyšetříme úseky č. 1 a. Čtení po obou úsecích provádíme po smyslu chodu hodinových ručiček, tedy v záporném smyslu přijaté konvence. Na konci úseku č. 1 ω = r 1 s 1 = 100 50 = 5000 mm, na konci úseku č. ω = 5000 r s = 5000 50 40 = 7000 mm. Dále vyšetříme úseky č. 3 a 4. Po úseku č. 3 čteme proti smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v kladném smyslu), po úseku č. 4 je smysl čtení opačný, tj. čteme po smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v záporném smyslu). Na konci úseku č. 3 ω = + r 3 s 3 = + 100 70 = + 7000 mm, na konci úseku č. 4 ω = + 7000 r 4 s 4 = + 7000 70 40 = + 400 mm. Nakonec vyšetříme úseky č. 5 a 6. Zřejmě vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 5 je nulová, tedy ω = r 5 s 5 = 0 100 = 0. Rovněž vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 6 je nulová, takže i na jeho konci ω = 0 + r 6 s 6 = 0 + 0 30 = 0. Hodnoty výsečových souřadnic vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. 9

K výsečovým veličinám Příklad Zadání. Stanovte výsečové charakteristiky průřezu tvaru U z minulého cvičení. Z předchozího výpočtu přebíráme hodnoty průřezových veličin A =,40 10 3 mm, 7 mm 4 I =1,60 10, y 6 mm 4 I z =,50 10. Rovněž zachováme číslování dílčích částí, tj. č. 1 horní vodorovná stěna, č. svislá stěna, č. 3 dolní vodorovná stěna. Řešení Úlohu rozdělíme do několika po sobě jdoucích kroků 1) určíme polohu středu smyku C s, ) ověříme polohu hlavního nulového bodu M 0, 3) stanovíme výsečový moment setrvačnosti I ω. 1) Polohu středu smyku C s určíme pomocí výsečového deviačního momentu zavedeme tudíž pomocné výsečové souřadnice. Pól B 1 volíme na konci stěny č. 3, výsečový počátek M 0,1 volíme na počátku stěny č. 1, viz obr. 30

Hodnoty výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. 1 (tj. ve výsečovém počátku) ω = 0, na konci stěny č. 1 ω = + r1 s1 = 00 100 = 0 000 mm, na konci stěny č. ω = 0 000 + r s = 0 000 + 100 00 = 40 000 mm, na konci stěny č. 3 ω = 40 000 + r3 s3 = 40 000 + 0 100 = 40 000 mm, a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č. 1 0 000 ω = = 10 000 mm, uprostřed stěny č. 0 000 + 40 000 ω = = 30 000 mm, uprostřed stěny č. 3 ω = 40 000 mm. 31

Vzhledem k symetrii úlohy zřejmě střed smyku leží na ose symetrie, takže hledáme jen jeho vodorovnou souřadnici Dω 1y ys = yb +, 1 I y kde y = 75 mm... y-ová souřadnice pólu B 1, B 1 7 mm 4 I y =1,60 10... moment setrvačnosti k ose y, Dω 1 y... výsečový deviační moment k ose y a k pólu B 1. Výsečový deviační moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ωb, i ωa, i )( zb, i za, i ) D ω y = Ai + ωc, i z 1 c, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω c,i, z c,i... výsečová a z-ová souřadnice středu i-té stěny, ω a,i, z a,i... výsečová a z-ová souřadnice (zvoleného) počátku střednice i-té stěny, ω b,i, z b,i... výsečová a z-ová souřadnice (zbývajícího) konce střednice i-té stěny. Tedy ( 0 000 0)( 100 + 100) D ω = 600 + 10 000 ( 100) + 1y 1 ( 40 000 0 000)( 100 + 100) + 100 + 30 000 0 + 1 ( 40 000 40 000)( 100 100) 5 + 600 + 40 000 100 = +,0 10 9 mm 1. 3

Souřadnice středu smyku 9,0 10 y s = 75 + = + 6,5 mm. 7 1,60 10 Poznámka Kladná hodnota značí vzdálenost od osy z vynášenou po smyslu osy y. ) Hlavní nulový bod zřejmě také leží na ose symetrie protože se jedná o bod na střednici průřezu, jeho poloha je dána průsečíkem střednice s osou symetrie. Polohu hlavního nulového bodu ověříme, a to pomocí výsečového statického momentu zavedeme tudíž hlavní výsečové souřadnice, viz obr. Hodnoty hlavních výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. ω = + r sa = 37,5 100 = 3750 mm, v počátku stěny č. 1 ω = 3750 r1 s1 = 3750 100 100 = 650 mm, na konci stěny č. ω = r sb = 37,5 100 = 3750 mm, na konci stěny č. 3 ω = 3750 + r3 s3 = 3750 + 100 100 = 650 mm, 33

a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č. 1 3750 650 ω = = 150 mm, uprostřed stěny č. (tj. v hlavním nulovém bodě) ω = 0, uprostřed stěny č. 3 3750 + 650 ω = = + 150 mm. Výsečový statický moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu S ω = A i ωc, i, kde A i...plocha i-té stěny, ω c,i...výsečová souřadnice středu i-té stěny. Tedy S 600 150 + 100 0 + 600 150 =. = ω ( ) 0 3) Výsečový moment setrvačnosti stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ω ) b, i ωa, i Iω = A i + ωc, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω a,i, ω b,i, ω c,i... výsečové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny. Tedy ( 3750 + 650) ( ) ( 3750 3750) I ω = 600 + 150 + 100 + 0 + 1 1 ( 650 + 3750) 10 6 + 600 + 150 = 1,75 10 mm. 1 Doplňující poznámka K vyčíslení výsečových veličin lze použít rovněž vztahy představující aplikaci Vereščaginova pravidla pro násobení lineárních obrazců (tj. určitý integrál součinu dvou funkcí, z nichž alespoň jedna je lineární, je dán součinem plochy jednoho z obrazců (je-li jeden nelineární, pak tohoto) a pořadnice druhého obrazce v místě, kde má předešlý své těžiště). Tedy t i A S ω = ω, i, D ω y = ti Aω, i zcω, i, D ω z = ti Aω, i ycω, i, I ω = t i Aω, i ω cω, i, 34

kde t i... tloušťka stěny v i-tém dílčím úseku průřezu, A ω,i... plocha obrazce výsečové souřadnice v i-tém úseku, z cω,i, y cω,i... souřadnice průmětu těžiště výsečové plochy A ω,i do střednice průřezu v i-tém úseku, ω cω,i... výsečová souřadnice v místě těžiště výsečové plochy A ω,i i-tého úseku. Odpověď na častou otázku K čemu je to dobré? Statické veličiny průřezu Plochu A používáme v technické teorii prutů tažených (tlačených). Slouží jednak ke stanovení trakční tuhosti EA (kde E je Youngův modul), a dále k určení velikosti normálových napětí v průřezu N σ x =, A kde N je normálová síla. Momenty setrvačnosti I y, I z používáme v technické teorii prutů ohýbaných. Slouží jednak ke stanovení ohybové tuhosti EI, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu M y M z σ x = z, resp. σ x = y, I y I z kde M y, M z... ohybový moment k ose y, resp. z, z, y... z-ová, resp. y-ová souřadnice vyšetřovaného bodu průřezu. Výsečový moment setrvačnosti I ω používáme v technické teorii prutů kroucených. Slouží jednak ke stanovení výsečové tuhosti EI ω, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu B σ = ω I x, ω kde B...bimoment, ω...výsečová souřadnice vyšetřovaného bodu na střednici průřezu. Hlavní vztažná soustava K těžišti C g vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání ohybem, musí výslednice vnějších sil procházet právě těžištěm. 35

K hlavním setrvačným osám y, z vztahujeme paprsek vnějších sil na prutu ohýbaném. Má-li nastat pouze rovinný ohyb (tj. nemá-li dojít k prostorovému ohybu), musí být výslednice vnějších sil rovnoběžná s některou z hlavních os setrvačnosti. Ke středu smyku C s vztahujeme působiště vnějších sil na prutu ohýbaném. Nemáli nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí výslednice vnějších sil procházet právě středem smyku. K hlavnímu nulovému bodu M 0 vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí vnější síly procházet právě hlavním nulovým bodem. 36

ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ 4. cvičení Problematika je vyložena ve smyslu normy ČSN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí. Definice a základní pojmy Zatížení je jakýkoliv jev, který vyvolává změnu stavu napjatosti konstrukce. V technické praxi se setkáváme s následujícími zatěžovacími jevy (viz obr.): působení sil na konstrukci (bude procvičeno), změna teploty konstrukce nebo její části, vynucené přemístění části konstrukce. Obr. Zdroje zatížení Silové účinky a vynucená přemístění se dále podle charakteru odezvy konstrukce rozlišují jako statické zatížení, které nevyvolává významná zrychlení konstrukce (bude procvičeno), dynamické zatížení, které vyvolává významná zrychlení konstrukce, tzn. je třeba počítat s vlivem setrvačných sil. Vnější síly se dále podle idealizované dimenze rozlišují jako objemové síly q 3D (kn/m 3 ), plošné síly q D (kn/m ), liniové síly q 1D (kn/m'), osamělé síly F (kn). Podle potřeby je možné mezi nimi provádět přepočet (viz obr.): q D = q 3D t, q 1D = q D b, F = q 1D l, kde t...zatěžovací tloušťka, b...zatěžovací šířka, l...zatěžovací délka. 37

Obr. Spojité a osamělé síly Klasifikace a příklady zatížení Podle proměnnosti v čase se rozeznávají: a) stálá zatížení G, která působí po celou dobu trvání konstrukce, jejich velikost, poloha i směr se v čase nemění, b) nahodilá zatížení Q, která nepůsobí po celou dobu trvání konstrukce, jejich velikost, poloha i směr se mohou v čase měnit, c) mimořádná zatížení A, která se vyskytují jen ve výjimečných případech, obvykle v důsledku katastrofálních událostí. Příklady zatížení konstrukcí pozemních staveb: a) stálá: vlastní tíhou konstrukce (bude procvičeno), zemním a horninovým tlakem, předpětím, b) nahodilá: užitná: provozem a vybavením (bude procvičeno), stroji a zařízením, skladovaným materiálem, vysokozdvižnými vozíky, jeřáby, silničními (motorovými) vozidly, 38

klimatická: sněhem (bude procvičeno), větrem (bude procvičeno), námrazou, klimatickými teplotami, vynuceným přetvořením: od provozních teplot, smršťováním a dotvarováním betonu, poddolováním a poklesem podpor, c) mimořádná: zemětřesením, výbuchem, havarijním narušením technologického procesu, havarijním přetvořením základů. Hodnoty zatížení z hlediska spolehlivosti Úplný popis zatížení je dán čtyřmi základními vlastnostmi: výskytem, intenzitou (velikostí), dobou trvání a opakováním zatížení. Tyto vlastnosti jsou náhodné veličiny, které lze popsat pravděpodobnostními metodami zatížení má tedy stochastický charakter. Charakteristiky zatížení K praktickému výpočtu se používá metoda dílčích součinitelů, která je upravena tak, že má deterministický tvar. Zavádějí se následující charakteristiky zatížení: normová hodnota zatížení (normové zatížení) F n hodnota, kterou můžeme v průběhu užívání konstrukce skutečně očekávat, součinitel zatížení γ f vyjadřuje náhodné odchylky zatížení od normových hodnot, výpočtová hodnota zatížení (výpočtové zatížení) F d hodnota, která může být překročena jen s definovanou minimální pravděpodobností; stanoví se z výrazu F d = γ f F n. Při výpočtu konstrukce se používá výpočtové zatížení. 39

Pro ilustraci uveďme elementární případ nosníku zatíženého jednou osobou (např. lávka viz obr.). Obr. Zatížení osobou Zatížení osobou je dáno její hmotností, která, jak víme, je proměnlivá 100 kg se bere jako běžně se vyskytující maximum, které determinuje právě normovou hodnotu zatížení (F n = 1 kn). Zřejmě se však v ojedinělých případech setkáváme i s osobou vážící přes 100 kg takové odchylky jsou zahrnuty právě v součiniteli zatížení, např. γ f = 1,. Diferenciace výpočtových hodnot podle sledovaného mezního stavu 1. skupina mezních stavů (mezní stavy únosnosti) představuje zřícení konstrukce v důsledku vyčerpání pevnosti materiálu, ztráty stability polohy apod. Tzn. pokud nenastane mezní stav únosnosti, tak je zajištěna samotná existence konstrukce. Při výpočtu podle 1. skupiny mezních stavů se používá extrémní výpočtové zatížení, jež je dáno vztahem F du = γ fu F n. Pravděpodobnost vzniku mezního stavu únosnosti je řádově v tisícinách procenta; součinitel zatížení v mnoha případech γ fu > 1,0 (podrobnosti jsou v normě pro zatížení).. skupina mezních stavů (mezní stavy použitelnosti) představuje ohrožení provozuschopnosti (funkčnosti) konstrukce v důsledku nadměrných deformací. Tzn. pokud nenastane mezní stav použitelnosti, tak je zajištěn nerušený provoz konstrukce. Při výpočtu podle. skupiny mezních stavů se používá provozní výpočtové zatížení, jež je dáno vztahem F ds = γ fs F n. Pravděpodobnost vzniku mezního stavu použitelnosti je řádově v procentech; součinitel zatížení ve většině případů γ fs = 1,0 (podrobnosti jsou v normách pro navrhování). 40

Poznámka Často se při zpracování statických výpočtů setkáváme se zjednodušením pojmů a značek. Uvádí se (ne zcela přesně), že pro výpočet mezního stavu použitelnosti bereme zatížení normové F n (tzn. charakteristiky F ds a γ fs vypouštíme) a pro výpočet mezního stavu únosnosti bereme zatížení výpočtové F d = γ f F n (tzn. vypouštíme adjektivum extrémní a u symbolů F du a γ fu vynecháváme index u). Tohoto zjednodušení budeme užívat i v dalším výkladu. Některé druhy zatížení Tíha konstrukcí (z třídy stálých zatížení) Tíha konstrukcí se skládá z vlastní tíhy nosné konstrukce a tíhy nenosných prvků. Normová tíha konstrukcí se stanoví podle geometrických a konstrukčních parametrů uvedených v projektu a podle hodnot objemové hmotnosti použitých materiálů. Objemová hmotnost ρ (kg/m 3 ) se převádí na objemovou tíhu γ (kn/m 3 ) pomocí tíhového zrychlení g = 0,01 kn/kg. Součinitel zatížení se obvykle bere γ f = 1,1 pro nosné konstrukce, γ f = 1, pro konstrukce a výrobky nenosné, zhotovené v dílnách, γ f = 1,3 pro konstrukce a výrobky nenosné, zhotovené na staveništi. Poznámka Objemové hmotnosti celé řady staviv a stavebních výrobků jsou obsaženy v rozsáhlé příloze k normě pro zatížení. Užitná zatížení stropů a střech (z třídy nahodilých zatížení) Užitná zatížení stropů a střech (také schodišť, teras a balkónů) představují zatížení od lidí, zvířat, zařízení, výrobků, materiálů, dopravních prostředků, technologických zařízení a jiných částí objektu, jejichž poloha se může v čase měnit. Skutečné působení užitných zatížení lze nahradit rovnoměrným zatížením normová hodnota závisí na způsobu užívání (viz přiložený arch) a nabývá hodnot pro stropy 1,5 kn/m v n 5,0 kn/m, pro střechy 0,75 kn/m v n 4,0 kn/m. Součinitel zatížení nabývá hodnot 1, γ f 1,4 (rovněž viz přiložený arch). 41

Poznámka Vedle toho je také třeba uvažovat soustředěné zatížení působící samostatně na čtvercové ploše o straně 100 mm, které nabývá hodnot od 0,5 do,0 kn; součinitel zatížení pro užitné soustředěné zatížení se bere γ f = 1,. Příklad Zadání. Stanovte normové a výpočtové zatížení železobetonové stropní desky v chodbě administrativní budovy. Skladbu stropu uvažujte podle obr., zatížení vypočtěte pro pruh jednotkové šířky. Řešení Zatížení předpokládáme spojité rovnoměrné, jeho výpočet je přehledně uveden v následující tab. Zatížení stálé teracová dlažba 3 0,0 1,0 cementová malta 1 0,0 1,0 vyrovnávací beton 3 0,04 1,0 vlastní tíha desky 5 0,15 1,0 vápenná omítka 18 0,015 1,0 normové (kn/m') 0,46 0,4 0,9 3,75 0,7 γ f výpočtové (kn/m') nahodilé užitné v n = 3,0 1,0 3,0 1,3 3,9 1, 1,3 1,3 1,1 1,3 0,55 0,55 1,0 4,13 0,35 celkem 8,8 10,68 43

K výpočtu uvádíme následující komentář. Stálé zatížení (tíhou konstrukce) stanovíme pomocí objemových hmotností použitých materiálů a jejich rozměrů viz obr. v zadání. Objemovou hmotnost ρ převedeme na objemovou tíhu γ pomocí tíhového zrychlení g. Tak např. pro nášlapnou vrstvu (teracovou dlažbu) dostáváme γ = ρ g = 300 0,01 = 3 kn/m 3. Tím jsme získali objemovou sílu q 3D ( γ), kterou převedeme na plošnou sílu q D pomocí zatěžovací tloušťky t. Takže dostaneme (opět pro teracovou dlažbu) q D = q 3D t = 3 0,0 = 0,46 kn/m. Tuto plošnou sílu dále převedeme na liniovou sílu q 1D pomocí zatěžovací šířky (v našem případě jednotkové šířky) b = 1,0 m, viz obr. Tedy (znovu pro teracovou dlažbu) q 1D = q D b = 0,46 1,0 = 0,46 kn/m'. Stejným způsobem stanovíme hodnoty spojitého zatížení ostatními vrstvami, které považujeme za zatížení normové q n. Výpočtové zatížení q d získáme vynásobením normového zatížení q n součinitelem zatížení γ f. Hodnotu γ f = 1,1 uvažujeme pro prvky nosné, tedy pro železobetonovou desku; hodnotu γ f = 1, bereme pro nenosné prvky zhotovené v dílnách, čili pro teracovou dlažbu; konečně hodnotu γ f = 1,3 bereme pro nenosné prvky zhotovené na staveništi, tzn. pro maltové lože, vyrovnávací beton a omítku. Nahodilé zatížení užitné stanovíme podle účelu místnosti (viz přiložený arch, tab. 3, poř. č. 3) tedy chodbě v administrativní budově odpovídá plošné normové zatížení v n = 3,0 kn/m. Liniové zatížení opět získáme vynásobením zatěžovací šířkou b = 1,0 m. Součinitel zatížení (pro stanovení výpočtového zatížení) bereme γ f = 1,3 (viz přiložený arch, tab. 4, poř. č. ). 44

Prostým součtem jednotlivých položek dostáváme výsledné zatížení normové q n = 8,8 kn/m', výpočtové q d = 10,68 kn/m'. Doplňující poznámka Normové zatížení se použije pro ověření mezního stavu použitelnosti, takže průhyb v případě prostého nosníku 4 5 qnl w = w lim, 384 EI kde L je rozpětí, EI ohybová tuhost a w lim mezní průhyb (pro stropy obvykle w lim = = L/50). Výpočtové zatížení se použije pro ověření mezního stavu únosnosti, takže ohybový moment v případě prostého nosníku 1 M = qd L M Rd, 8 kde L je rozpětí, M Rd ohybový moment únosnosti (viz navazující kurzy betonových konstrukcí). 45

Některá klimatická zatížení 5. cvičení Klimatické zatížení je nahodilé zatížení vyvolané meteorologickými jevy. Stanoví se podle nejnepříznivějších hodnot mnohaletých měření, odpovídajících určitému zvolenému období, ve kterém se tyto hodnoty opakují. Zatížení sněhem Zatížení sněhem závisí na klimatických poměrech v dané lokalitě, tvaru zastřešení. Obr. Zatížení sněhem Normové zatížení sněhem s n (kn/m ) působící na půdorysnou plochu zastřešení (viz obr.) se stanoví podle vztahu s n = s 0 µ s κ, kde s 0...základní tíha sněhu charakterizující klimatické poměry, µ s...tvarový součinitel udávající účinnost zatížení sněhem v závislosti na tvaru zastřešení, κ...součinitel závislý na tíze zastřešení. Součinitel zatížení se bere γ f = 1,4. Základní tíha sněhu se uvažuje hodnotami: s 0 = 0,5 kn/m pro I. sněhovou oblast, s 0 = 0,7 kn/m pro II. sněhovou oblast, s 0 = 1,0 kn/m pro III. sněhovou oblast, s 0 = 1,5 kn/m pro IV. sněhovou oblast, s 0 > 1,5 kn/m pro V. sněhovou oblast, viz mapu sněhových oblastí. Tvarový součinitel závisí na sklonu střešních rovin α, u jednoduchých tvarů zastřešení se bere µ s = 1,0 pro α 5, µ s = 0 pro α 60, mezilehlé hodnoty se stanoví interpolací podle přímky. 46

Součinitel κ závisí na normové plošné tíze zastřešení q n (krytina, vaznice, světlíky, podhled aj.): κ = 1, pro q n 0,5 kn/m, κ = 1,0 pro q n 1,0 kn/m, mezilehlé hodnoty se stanoví interpolací podle přímky. Zatížení větrem V obvyklých případech se předpokládá, že vítr na konstrukci působí ve vodorovném směru. Zatížení větrem se projevuje složkou statickou, která se projevuje jako tlak nebo sání (bude procvičeno viz obr.), dynamickou, která se projevuje kmitáním konstrukce. Zatížení větrem závisí na klimatických poměrech v dané lokalitě, výšce nad terénem, drsnosti zemského povrchu, tvaru objektu. Obr. Zatížení větrem Normové zatížení větrem w n (kn/m ) působící kolmo na povrchovou plochu objektu se stanoví podle vztahu w n = w 0 κ w C w, kde w 0...základní tlak větru charakterizující klimatické poměry, κ w...součinitel výšky vyjadřující výšku nad terénem a drsnost zemského povrchu, C w...tvarový součinitel udávající účinnost a rozložení zatížení větrem po povrchu objektu ve vzdušném proudu (v závislosti na tvaru objektu). Součinitel zatížení se obvykle bere γ f = 1,. 48

Základní tlak větru se uvažuje hodnotami: w 0 = 0,45 kn/m pro III. větrovou oblast, w 0 = 0,55 kn/m pro IV. větrovou oblast, w 0 = 0,70 kn/m pro V. větrovou oblast, w 0 = 0,85 kn/m pro VI. větrovou oblast, viz mapu větrových oblastí. Součinitel výšky se stanoví pro výšku nad terénem z (m) podle vztahů: 0,6 10 κ = z w, s omezením κ w 1,0, pro terén typu A, 0,36 z κ w = 0,65, s omezením κ w 0,65, pro terén typu B, 10 přičemž terén typu A otevřený terén (např. planiny, plošiny, pobřeží jezer a vodních nádrží apod.), terén typu B chráněný terén, tj. terén rovnoměrně pokrytý překážkami převyšujícími 10 m (např. města, lesní masivy apod.). Hodnoty tvarového součinitele C w jsou pro různé tvary objektu tabelovány v normě pro zatížení. Jeden příklad za všechny pro samostatné, volně stojící stěny C w = +0,8 na straně návětrné, C w = 0,6 na straně závětrné. Obecně kladným hodnotám odpovídá tlak větru a záporným hodnotám sání. Kombinace zatížení Kombinace zatížení je souhrn několika současně působících zatížení. Výpočet konstrukcí se provádí s uvážením všech nepříznivých kombinací. Tyto kombinace je třeba stanovit s ohledem na skutečnou možnost současného působení jednotlivých druhů zatížení. Mezi jednotlivými druhy zatížení jsou existenční vztahy: zatížení jsou na sobě nezávislá (např. vítr a skladovaný materiál), některá zatížení jsou pozitivně závislá na existenci jiných (např. vodorovné účinky jeřábů a svislé účinky jeřábů), některá zatížení jsou negativně závislá na existenci jiných (např. sníh a účinek vysokých teplot). 50

Základní kombinace zatížení Základní kombinace se sestavují ze zatížení stálých a nahodilých podle vztahu F d = Σ γ f,i G n,i + ψ c Σ γ f,i Q n,i, kde γ f G n...výpočtová hodnota stálého zatížení, γ f Q n...výpočtová hodnota nahodilého zatížení, ψ c...součinitel kombinace, kterým se vyjadřuje zmenšená pravděpodobnost současného působení jednotlivých zatížení v jejich výpočtových hodnotách ve srovnání s pravděpodobností působení těchto zatížení ve výpočtových hodnotách jednotlivě, nezávisle na sobě. Součinitel kombinace se uvažuje hodnotami: ψ c = 1,0, pokud kombinace zahrnuje 1 nahodilé zatížení, ψ c = 0,9, pokud kombinace zahrnuje nebo 3 nahodilá zatížení, ψ c = 0,8, pokud kombinace zahrnuje 4 nebo více nahodilých zatížení. Poznámka Vedle toho se v jistých případech sestavují kombinace mimořádné, které zahrnují také 1 mimořádné zatížení. Problém protisměrného působení stálého a nahodilého zatížení v kombinaci Připomeňme, že výpočtovou hodnotu stálého zatížení γ f G n stanovujeme s ohledem na nalezení nejnepříznivějšího stavu konstrukce, přičemž součinitelem zatížení γ f jsou vyjádřeny možné náhodné odchylky od normové hodnoty G n. Ovšem tyto odchylky mohou znamenat nejen zvětšení intenzity zatížení (jak jsme předpokládali doposud), ale také její zmenšení. Proto v případech, kdy stálé zatížení zvyšuje spolehlivost konstrukce (např. když má opačný smysl než zatížení nahodilé) uvažujeme součinitel zatížení γ f < 1,0 konkrétně pro tíhu konstrukcí bereme γ f = = 0,9. Příklad Zadání. Stanovte výpočtová zatížení ocelového střešního nosníku, sestavte jejich kombinace a najděte tu, která vykazuje maximální a minimální intenzitu zatížení. Skladbu střechy uvažujte podle obr.; sklon střešní roviny α = 5, výška nad terénem z = 15 m, okolní terén je otevřený, klimatické charakteristiky uvažujte pro město Brno, tvarový součinitel (pro vítr) berte C w = 1,0. 51

Řešení Zatížení rozčleníme do několika tzv. zatěžovacích stavů. V každém zatěžovacím stavu předpokládáme spojité rovnoměrné zatížení, jež působí na zatěžovací šířce odpovídající osové vzdálenosti nosníků b = 1,3 m. Výpočet všech zatěžovacích stavů (zkráceně ZS) je přehledně uveden v následující tab. Zatížení ZS1 stálé trapézový plech 0,111 1,3 vlastní tíha nosníku normové (kn/m') 0,157 0,19 γ f 1,1 1,1 výpočtové (kn/m') 0,173 0,14 stálé zatížení celkem g = 0,315 ZS stálé trapézový plech 0,111 1,3 vlastní tíha nosníku 0,157 0,19 0,9 0,9 0,141 0,116 stálé zatížení celkem g = 0,57 ZS3 nahodilé sníh s n = s 0 µ s κ b = 0,5 1,0 1, 1,3 0,780 1,4 1,09 ZS4 nahodilé vítr w n = w 0 κ w C w b = 0,55 1,11 ( 1,0) 1,3 0,794 1, 0,953 5

K výpočtu uvádíme následující komentář. Stálé zatížení (tíhou konstrukce) uvažujeme ve dvou zatěžovacích stavech v ZS1 bereme součinitel zatížení γ f > 1,0, a to pro případ stejnosměrného (nepříznivého) působení vůči zatížení nahodilému; v ZS bereme součinitel zatížení γ f < 1,0, a to pro případ protisměrného (příznivého) působení vůči nahodilému zatížení. Normovou hodnotu počítáme na základě hmotností převzatých ze statických tabulek (viz obr. v zadání), přepočtených na tíhy a násobených odpovídající zatěžovací šířkou, viz obr. Zatížení sněhem ZS3 závisí na sněhové oblasti, jež odečteme ze sněhové mapy s použitím příslušné legendy (viz obr.), tzn. město Brno náleží oblasti č. I, takže základní tíha sněhu s 0 = 0,5 kn/m ; tvarový součinitel bereme µ s = 1,0 pro sklon střešní roviny α = 5 5 ; součinitel κ uvažujeme hodnotou 1, pro normovou tíhu zastřešení q n = 0,111 kn/m 0,5 kn/m. Zatížení větrem ZS4 závisí na větrové oblasti, jež odečteme z větrové mapy s použitím příslušné legendy (viz obr.), tzn. město Brno náleží oblasti č. IV, takže základní tlak větru w 0 = 0,55 kn/m ; součinitel výšky počítáme pro terén typu A (otevřený) a pro výšku z = 15 m, tedy 0,6 0,6 15 κ = z w = = 1,11; 10 10 tvarový součinitel (dle zadání) uvažujeme C w = 1,0, takže vítr se na konstrukci projeví jako sání. 53

Dalším krokem je sestavení kombinací (zkráceně K). Heslovitě můžeme označit jako: K1 stálé & sníh, K stálé & vítr, K3 stálé & sníh & vítr. Je třeba si uvědomit, že: v kombinaci č. 1 působí stálé zatížení stejným směrem jako zatížení nahodilé (tj. směrem dolů), bereme tedy výpočtovou hodnotu ZS1 K1 = ZS1 + ZS3, v kombinaci č. působí stálé zatížení opačným směrem než zatížení nahodilé (vítr působí vlivem sání směrem vzhůru), bereme tedy výpočtovou hodnotu ZS K = ZS + ZS4, v kombinaci č. 3 působí současně nahodilá zatížení (sníh a vítr), jejich výpočtové hodnoty tedy násobíme součinitelem kombinace ψ c = 0,9 K3 = ZS1 + 0,9 (ZS3 + ZS4). Výsledné silové účinky potom nabývají hodnot: K1: q d = g d + s d = 0,315 + 1,09 = 1,407 kn/m' maximální intenzita, K: q d = g d + w d = 0,57 0,953 = 0,696 kn/m' minimální intenzita (resp. maximální v opačném směru), K3: q d = g d + ψ c (s d + w d ) = 0,315 + 0,9 (1,09 0,953) = 0,440 kn/m' intenzita, jež v daném případě nerozhoduje. Doplňující poznámka Zřejmě ve střešním nosníku vzniká od kombinace č. 1 kladný ohybový moment, zatímco od kombinace č. ohybový moment záporný. Posluchač se v navazujících kurzech ocelových (ale i betonových) konstrukcí dozví, že momentová únosnost prvku je obecně různá pro kladné a záporné momenty, a nelze tedy vyloučit, že kombinace se záporným momentem (ač v absolutní hodnotě menším) může být pro dimenzování rozhodující. 54