ELEKTRONICKY PŘELADITELNÉ FRAKTÁLNÍ DVOJBRANY ELECTRONICALLY ADJUSTABLE FRACTAL TWO-PORTS

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF ELEKTRONICKY PŘELADITELNÉ FRAKTÁLNÍ DVOJBRANY ELECTRONICALLY ADJUSTABLE FRACTAL TWO-PORTS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR JAROSLAV UHER dc. Ing. JIŘÍ PETRŽELA, Ph.D. BRNO 25

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrtechniky a kmunikačních technlgií Ústav radielektrniky Bakalářská ráce bakalářský studijní br Elektrnika a sdělvací technika Student: Jarslav Uher ID: 448 Rčník: 3 Akademický rk: 24/25 NÁZEV TÉMATU: Elektrnicky řeladitelné fraktální dvjbrany POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Seznamte se se základními vlastnstmi fraktálních dvjbranů a mžnstmi jejich imlementace v analgvých elektrnických bvdech. Vytvřte knceci fraktálníh dvjbranu a zamyslete se nad mžnstmi řízení fázvéh suvu mcí externíh zdrje stejnsměrnéh naětí. Navržené zařízení věřte v bvdvém simulátru. Zaměřte se na maximalizaci kmitčtvéh rzsahu. Vytvřenu knceci fraktálníh dvjbranu rakticky realizujte a věřte labratrním měřením. Diskutujte kmitčtvu šířku latnsti arximace fázvéh suvu a řesnst arximace v tét blasti. DOPORUČENÁ LITERATURA: [] HILFER, R. Alicatin f fractinal calculus in hysics, Wrld Scientific Publishing, 2. [2] PETRZELA, J., SLEZAK, J. Arximace fraktalnich dvjlu v kmitctvé blasti, Elektrrevue, vl. 5,. 9, 2. Termín zadání: 9.2.25 Termín devzdání: 28.5.25 Veducí ráce: dc. Ing. Jiří Petržela, Ph.D. Knzultanti bakalářské ráce: UPOZORNĚNÍ: dc. Ing. Tmáš Kratchvíl, Ph.D. Předseda brvé rady Autr bakalářské ráce nesmí ři vytváření bakalářské ráce rušit autrská ráva třetích sb, zejména nesmí zasahvat nedvleným zůsbem d cizích autrských ráv sbnstních a musí si být lně vědm následků rušení ustanvení a následujících autrskéh zákna č. 2/2 Sb., včetně mžných trestněrávních důsledků vylývajících z ustanvení části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestníh zákníku č.4/29 Sb.

ABSTRAKT Tent dkument isuje vlastnsti fraktálních dvjbranů a zabývá se mžnstí jejich imlementace v analgvých elektrnických systémech. Dále isuje mžnsti mdifikace a timalizace bvdvých rvků vnitřníh zajení r maximalizaci kmitčtvéh rzsahu. KLÍČOVÁ SLOVA Fraktální dvjbran, Oerační transknduktanční zesilvač, Arximace, Mdulvá a fázvá frekvenční charakteristika, Nulvý bd, Pól ABSTRACT This aer describes behavir f fractal tw-rt netwrk and discusses its imlementatin ssibilities in analg electrnic systems. Further it describes mdificatin and timalizatin ssibilities f internal circuit elements fr frequency bandwidth maximizatin. KEYWORDS Fraktal tw-rt netwrk, Oeratinal transcnductance amlifier, Arximatin, Mdule and hase frequency characteristic, Zer, Ple

UHER, J. Elektrnicky řeladitelné fraktální dvjbrany. Brn: Vyské učení technické v Brně, Fakulta elektrtechniky a kmunikačních technlgií, 24. 47 s. Veducí bakalářské ráce dc. Ing. Jiří Petržela, Ph.D.

Prhlášení Prhlašuji, že svji bakalářsku ráci na téma: Elektrnicky řeladitelné fraktální dvjhrany jsem vyracval samstatně d vedením veducíh bakalářské ráce a s užitím dbrné literatury a dalších infrmačních zdrjů, které jsu všechny citvány v ráci a uvedeny v seznamu literatury na knci ráce. Jak autr uvedené bakalářské ráce dále rhlašuji, že v suvislsti s vytvřením tét bakalářské ráce jsem nerušil autrská ráva třetích sb, zejména jsem nezasáhl nedvleným zůsbem d cizích autrských ráv sbnstních a jsem si lně vědm následků rušení ustanvení a následujících autrskéh zákna č. 2/2 Sb., včetně mžných trestněrávních důsledků vylývajících z ustanvení 52 trestníh zákna č. 4/96 Sb. V Brně dne...... dis autra Pděkvání Děkuji veducímu bakalářské ráce dc. Ing. Jiřímu Petrželvi, Ph.D. za účinnu metdicku, edaggicku a dbrnu mc a další cenné rady ři zracvání mé bakalářské ráce. V Brně dne...... dis autra

OBSAH Úvd... 7. Fraktální čet... 8 2. Arximace... 9 2.. Výčet kmitčtvých charakteristik r ět kaskádně zajených rvků... 9 3. zajení r věření v simulátru... 4 3.. Bilineární filtry... 4 3.2. Oerační zesilvač AD844... 4 3.3. Paralelní RC člen... 5 4. Simulace navrženéh bvdu... 6 4.. Simulace bvdu s kaskádu ěti rvků r arximaci q=,5... 6 4.2. Simulace bvdu s kaskádu ěti rvků r arximaci q=,3... 9 5. Přeladění externím zdrjem... 23 5.. Ideální zdrj rudu řízený naětím... 23 5.2. Náhrada tranzistrem... 24 5.3. Náhrada eračním transknduktančním zesilvačem... 24 5.3.. Diamantvý tranzistr s značením Oa66... 25 6. Zvýšení kmitčtvéh rzsahu řidáním blků d kaskády a timalizace hdnt... 3 7. Reálný bvd navržený r věření fraktální dynamiky... 33 7.. Nastavení a změření charakteristik užitéh bvdu... 34 8. Závěr... 35 Seznam užitých veličin, symblů a zkratek... 36 Seznam užité literatury... 37 Přílha A vstuní a výstuní bvd... 39 Přílha B stueň kaskády... 43 Přílha C kmletní zajení... 47 6

ÚVOD Elektrnické bvdy s fraktální dynamiku jsu stále více využívány v technice a elektrnice díky svým unikátním vlastnstem. T však vyžaduje unikátní bvdvé řešení rerezentující takvýt bvd. V rvní části ráce je naznačen teretický základ fraktální dynamiky a základní ředklady funkce fraktálních dvjbranů. Druhá část isuje řechd z matematických funkcí určujících teretické růběhy k frekvenčním charakteristikám naznačujícím mžnsti realizace. Další část ak racuje s knkrétními bvdvými rvky a jejím výstuem jsu simulace výsledných dvjbranů vycházejících z růběhů teretických funkcí. V následujících kaitlách jsu naznačeny další mžnsti realizace a také timalizace fraktálních dvjbranů. Pslední kaitla se věnuje raktické realizaci a věření reálnéh užití danéh bvdu. 7

. FRAKTÁLNÍ POČET Fraktální čet je známý již měrně dluhu dbu. Fraktální gemetrie je užívána k isu slžitě strukturvaných řírdních neb matematických útvarů, které nemhu být jednduše sány klasickými metdami. Diferenciální rvnice fraktálníh řádu tyt bjekty isují jedndušeji a řesněji. Ve fraktálních systémech je zaveden nvý erátr nazvaný diferintegrál, který je sjením derivace a integrace vyjádřený jediným vztahem. V slední dbě fraktální dvjóly zaznamenaly nárůst užití v technice, hlavně v blastech: behaviralníh mdelvání, analgvých filtrů, zětnvazebních smyček regulátrů, harmnických scilátrů, atd. Obecný vztah r fraktální integrál je funkcí arametru q, který má r hdnty <q< a kauzální funkci f(t) následující tvar [] D q f t = Γ(q) t (t τ)q f τ dτ. (.) Pr výraz fraktální derivace a necelé hdnty arametru q v uvedeném rzsahu dstáváme [] D q f t = Γ( q) d dt t (t τ) q f τ dτ. (.2) Z hlediska alikace v raxi je klíčvé využití diferintegrálu ve sjení s Lalacevu transfrmací (LT). LT fraktálníh integrálu bdržíme [] l D q f t = s q F s (.3) a analgicky r LT fraktální derivace [] l D q f t = s q F s [D q f(t)] t=. (.4) Tt matematické vyjádření lze vyjádřit mcí fraktálních dvjbranů s řesnstí danu řádem bvdu. Mdul naěťvéh řensu té dvídá mdulu tét funkce a fázvý suv argumentu. Díky snadné zrvatelnsti výstuů systému je té mžné dále stuvat řešením analgvéh elektrnickéh bvdu namíst užití matematických vzrců. 8

2. APROXIMACE Rezistr suvá fázi mezi naětím a rudem 9 a kaacitr 9. Fraktální dvjbrany mají necelistvu hdntu řádu q (;) a tedy fázvý suv mezi vstuním a výstuním naětím je ±q 9. Mdul řensu ak klesá neb rste se směrnicí q 2dB na dekádu. Již z rinciu vylývá, že v jednduchých ólech se mdulvá kmitčtvá charakteristika láme se směrnicí -2dB na dekádu a nulvé bdy tent kles ětvně kmenzují. Je zřejmé, že r dstatečně řesnu arximaci stačí, budu-li nulvé bdy a óly imitance ležet na reálné se kmlexní rviny a střídat se. Každý ól suvá fázi -9 a nulvý bd 9, takže ět dchází k určité kmenzaci fázvé charakteristiky. Pr zadaný růběh tedy stačí stanvit knkrétní kmitčty nulvých bdů a ólů imitance, jedná se tedy rblém timalizační. Jak vhdná kriteriální funkce z hlediska rychlsti a řesnsti výčtu se jeví metda nejmenších čtverců, jejíž imlementace je v matematickém rstředí Mathcadu neb Matlabu velmi snadná. Celý rgram se redukuje na jeden hlavní cyklus, řed jehž suštěním je třeba secifikvat kmitčtvý rzsah a krk, v němž bude dchylka ideálníh a arximvanéh růběhu kmitčtvých charakteristik minimalizvána. Výčet zastavíme, jakmile bě kmitčtvé charakteristiky budu ležet uvnitř tlerančníh kanálu danéh určitu chybu. Výstuem rcedury bude čet a lha nul a ólů hledané imitance v kmlexní rvině []. 2.. VÝPOČET KMITOČTOVÝCH CHARAKTERISTIK PRO PĚT KASKÁDNĚ ZAPOJENÝCH PRVKŮ Přens rvků v kaskádě je dán lhu nulvých bdů a ólů jedntlivých rvků. Tat závislst je vysvětlena v kaitle 4. Přens jednh rvku [2] K i s = K i sω Ni sω Pi (2.) 9

Přens kaskády [2] K s = K s q = K n i= m i= (sω Ni ) (sω Pi ) (2.2) Kaskádní zajení ěti rvků K s = K (s) K 2 (s) K 3 (s) K 4 (s) K 5 (s) (2.3) Plynm racinálně lmené funkce [] K s = K N(s) P(s) (2.4) Racinální lmená funkce řensu r q=,5 [] K5 s = 5,97s 4 593,2s 3 8s 2 35,4s s 5 34,3s 4 72s 3 543,4s 2 2,s,259 (2.5) Teretický růběh funkce K5t(s) = s,5 (2.6) Z dstuných rvnic byl vytvřen v rgramu Mathcad graf vykreslující teretické růběhy řensvé funkce (2.6), které jsu znázrněny lnými čarami, a arximvané růběhy vylývající z lynmu (2.5), znázrněny tečkvaně. Červené růběhy dvídají mdulu řensu, zelené fázvému suvu mezi výstuním a vstuním naětím.

2 K5t( i) K5( i) arg( K5t( i) ) 8 4 arg( K5( i) ) 8 6 8... Obr. 2.: Arximace fraktálníh dvjbranu q=,5 Dále byly z lynmu (2.5) určeny hdnty úhlvé frekvence nulvých bdů a ólů, abslutní hdnta jejich lhy je vynesena v grafu Obr. 2.2. Půvdní vyčtené hdnty leží v levé lrvině kmlexní rviny, tudíž jsu zárné a nebyl by mžné s nimi dále čítat. Vyjádření nulvých bdů nalezením křenů řensvé funkce (2.5) nuly5 lyrts 35.4 8 593.2 5.97 nuly5 35.232.778.27 7.878 3 Vyjádření ólů z řensvé funkce (2.5) ly5 lyrts.259 2. 543.4 72 34 ly5 25.492 7.967.5.32 7.942 3

Grafické znázrnění nulvých bdů a ólů:.5 Im( nuly5) Im( ly5).5 3.. 3 Re( nuly5) Re( ly5) Obr. 2.2: Rzlžení abslutní hdnty nulvých bdů a ólů r arximaci fraktálníh dvjbranu q=,5 Pr sunutí frekvenčníh ásma na hdnty d jedntek Hz byly tyt frekvence dnrmvány knstantu 2π Nulvé bdy nuly5nrm Póly ly5nrm 2 nuly5 2 ly5 5.67 4 2.83 3 2.945 2.539.997 5.268 4 797.77 5.34 2.64 2

Nulvé bdy a óly sunuté d vyššíh kmitčtvéh ásma dané abslutní hdntu vyčtených: N = 2,539 rad/s N2 = 2,945 rad/s N3 = 283 rad/s N4 = 567 rad/s P = 2,64 rad/s P2 = 5,34 rad/s P3 = 797,77 rad/s P4 = 268 rad/s P5 = 997 rad/s 3

3. ZAPOJENÍ PRO OVĚŘENÍ V SIMULÁTORU 3.. BILINEÁRNÍ FILTRY Pr svu jednduchst a schnst ddělit jedntlivé stuně filtru je dle [] vhdný r syntézu fraktálníh dvjbranu bilineární filtr. řádu s eračním zesilvačem AD844. Plha nuly a ólu je nastavena nezávisle hdntami jedntlivých RC členů. AD844 c R Z C Z C P R P Obr. 3.: Bilineární filtr. řádu s OZ AD844 s aralelním zajením RC článku AD844 c R Z R P C Z C P Obr. 3.2: Bilineární filtr. řádu s OZ AD844 se sérivým zajením RC článku 3... OPERAČNÍ ZESILOVAČ AD844 Oerační zesilvač s rudvu zětnu vazbu a výstuním naěťvým bufferem, který racuje ve velkém kmitčtvém rzsahu. Není vlivňván klními rvky, cž vyhvuje žadavku r kaskádně zajený fraktální dvjbran. 4

V- 4 V N N2 7 8 Obr. 3.3: Vnitřní zajení OZ AD844 [3] 3..2. PARALELNÍ RC ČLEN Mezní frekvence RC členu řijenéh na zárný vstu OZ AD844 určuje hdntu nulvéh bdu stuně, mezní frekvence RC členu řijenéh na výstu značený C ak určuje lhu ólu tht stuně. Přens každéh rvku v kaskádě je dán měrem jeh výstuníh naětí ku vstunímu. Tent řens ak klesá s rstucí frekvencí, cž je dán snižující se imedancí kaacitru na jeh výstuu (výstu C). Tent kles je kmenzván klesající imedancí kaacitru řijenéh na jeh zárném vstuu (vstu -) VCC Uin 3 2 - AD844/AD VEE 6 OUT C 5 Uut Cn Rn C R Obr. 3.4: Zajení jednh stuně kaskády v rgramu OrCAD 5

4. SIMULACE NAVRŽENÉHO OBVODU Veškeré simulace byly rváděny v bvdvém simulátru OrCAD PSice, který skytuje veškeré třebné knihvny užitých bvdvých rvků. Dále umžňuje užití krčilých analýz, jak je timalizace bvdvých rvků, která autmatizvaně mění určené bvdvé rvky a umžňuje tak nalézt lée vyhvující hdnty. 4.. SIMULACE OBVODU S KASKÁDOU PĚTI PRVKŮ PRO APROXIMACI Q=,5 Hdnty rezistrů a kaacitrů r realizaci jsu dány vztahem ω = R C. (4.) Pr udržení hdnt rezistrů, říadně dále vdivstí, v rzmezí hdnt, které je mžné snadn realizvat, jsu užity hdnty kndenzátrů snižující se s rstucím kmitčtem. C = µf; C2 = nf; C3 = nf; C4 = nf; C5 = F Výčet hdnt rezistrů r hdnty nulvých bdů a ólů z jejich kmitčtu a zvlené kaacity: Rn Rn2 Rn3 Rn4 ( c2.539) ( c22.945 ) ( c3283) ( c4567) 7.975 4 4.952 4 3.534 4.783 4 R R2 R3 R4 ( c2.64) ( c25.34) ( c3797.77) ( c4268) R5 ( c5997 ) 7.9 4.986 5.253 5 7.886 4 5.8 4 Obvdvé zajení základníh bvdu r věření srávnsti arximace funkce (2.5) s vyčítanými rezistry a zvlenými kaacitry r ět stuňů v kaskádě. 6

V- V- 4 4 N2 N V N2 N V V- V- V- 4 4 4 V N N2 V N N2 V N N2 7 8 8 7 7 8 8 7 7 8 5Vdc VCC V VEE V2 5Vdc V3 Vac Vdc U in 3 2 - VCC AD844/AD R VEE C OUT 6 C 5 R2 C2 VCC U2 3 OUT 6 2 - C 5 AD844/AD R3 VEE R4 C4 C3 VCC U3 3 OUT 6 2 - C 5 AD844/AD R5 VEE C5 R6 C6 79.75k u 79.k ut u C 49.52k n VCC U5 3 6 OUT 5 C R 2 - AD844/AD VEE R9 98.6k n C8 35.34k n 25.3k VCC U4 3 6 OUT 5 C R8 2 - AD844/AD VEE R7 C7 n 5.8k 5k n 78.86k n 7.83k Obr. 4.: Simulvaný bvd r q=,5 Graf zbrazující naěťvý řens (zeleně) a fázvý suv výstuníh naětí ku vstunímu (červeně), dále je zde zbrazen ideální růběh fázvéh suvu -45 (mdře). N a ě ť v ý ř e n s 4 2 - - -5 F á z v ý s u v - -2-5 -4-6 -2 >> -8-25 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz DB(V(ut)/V(in)) 2 P(V(ut)/V(in)) -45 Frequency Obr. 4.2: Graf arximací r q=,5 7

Při simulaci bvdu realizvanéh s hdntami vyčtenými z lynmu (2.5) výsledné charakteristiky nedvídaly arximvaným. Z fázvé charakteristiky byl atrné, že její kles, zůsbený rvním ólem, byl sunutý na vyšší frekvenci. Rzmítáním hdnty dru určujícíh rvní ól byla nalezena hdnta tht dru, ři které se výstuní charakteristiky simulace shdvaly s arximvanými. Krekční hdnta dru určujícíh rvní ól Rkr = 3 5 Ω. Plha rvníh ólu Pkr = 3,333 rad/s. Krekce rzmístění nulvých bdů a ólů. ly5nkr.997 5.268 4 797.77 5.34 3.333 Na br. 4.3 je uravené rzmístění nulvých bdů a ólů, kde lze vidět, že rvní nulvý bd a ól se již neřekrývají a lée slňují dmínku střídání nul a ólů..5 Im( nuly5nrm) Im( ly5nkr).5 3 4 5 6 Re( nuly5nrm) Re( ly5nkr) Obr. 4.3: Oravené rzlžení nulvých bdů a ólů 8

Charakteristiky simulvanéh bvdu té dvídali vyčtené arximaci. N a 4 - F 2-5 - - -2-5 -4-6 -2 >> -8-25 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz DB(V(ut)/V(in)) 2 P(V(ut)/V(in)) -45 Frequency Obr. 4.4: Graf arximací r q=,5 ravený 4.2. SIMULACE OBVODU S KASKÁDOU PĚTI PRVKŮ PRO APROXIMACI Q=,3 Vyčtený lynm r necelčíselný řád q=,3 mcí rgramu MathCad. K5 s = 23,76s 4 224,9s 3 29,s 2 4,733s,52 s 5 64,5s 4 252,2s 3 63,6s 2,4s,2267 (4.2) 9

.5 Im( nuly3nrm) Im( ly3nrm).5 3 4 5 6 Re( nuly3nrm) Re( ly3nrm) Obr. 4.7:Rzlžení abslutní hdnty nulvých bdů a ólů r q=,3 2 Z3t ( i) Z3( i) arg( Z3t ( i) ) 8 4 arg( Z3( i) ) 8 6 8... Obr. 4.8: Arximace q=,3 2

V- V- 4 4 N2 N V N2 N V V- V- V- 4 4 4 V N N2 V N N2 V N N2 7 8 8 7 7 8 8 7 7 8 Vac Vdc V in VCC U 3 OUT 6 2 - C 5 AD844/AD VEE VCC U2 3 OUT 6 2 - C 5 AD844/AD VEE VCC U3 3 OUT 6 2 - C 5 AD844/AD VEE G - G 3.782u C n C2 n G2 - G GAIN =.2559u G3 - G C3 n GAIN = 5.856u G4 - C4 G n GAIN = 2.577u C5 n G5 - G GAIN = 9.3u C6 n G6 - G GAIN = 3.994u ut VCC U7 3 6 OUT 5 C - 2 AD844/AD VEE VCC U5 3 6 OUT 5 C - 2 AD844/AD VEE G9 - G C GAIN = 9.65u R k G8 - G C9 n GAIN = 6.94u G7 - G GAIN = 4.9u C7 n Obr. 4.9: Obvdvé zajení r arximaci q=,3 Pr srávnu arximaci byl ět třeba uravit lhu rvníh ólu N a ě ť - v ý ř -2 e n s -3 - -5 F á z v ý s u v -4 - -5-6 -5-7 >> -8-2 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz DB(V(ut)/V(in)) 2 P(V(ut)/V(in)) -27 Frequency Obr. 4.: Graf arximací r q=,3 Obdbně ak lze realizvat jakýkliv necelistvý řád q (;). Jedntlivé výsledné arximace lze zlešit timalizací bvdvých rvků mcí timalizéru OrCAD PSice. Rzmítáním hdnt sučástek můžeme dstat uravenu lhu nul a ólů, která lée dvídá teretickým růběhům. 2

N a ě ť v ý -6-8 ř e n s - - -4-8 F á z v ý s u v -2-2 -4-6 >> -6-2 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz DB(V(ut)/V(in)) 2 P(V(ut)/V(in)) R("-27") Frequency Obr. 4.: Otimalizace fázvé charakteristiky q=,3 Přesnst arximace je dána řádem lynmu a tudíž čtem blků realizujících fraktální dvjbran. Otimalizací jedntlivých rvků lze tedy částečně zlešit řesnst arximace, ale tt zlešení je mezen čtem nul a ólů v daném frekvenčním rzsahu. Z th vylývá, že řesná arximace by vyžadvala tereticky neknečně mnh nulvých bdů a ólů určujících růběh funkce. Při návrhu bvdu je tedy třeba zvlit kmrmis mezi slžitstí bvdu a řesnstí arximace res. šířku ásma latnsti arximace. 22

V- 4 V N N2 7 8 5. PŘELADĚNÍ EXTERNÍM ZDROJEM Při návrhu bvdů s fraktální dynamiku a následném řelaďvání frekvencí nul a ólů určujících výsledný charakter funkce dstáváme necelčíselné hdnty jedntlivých sučástí. Reálné bvdvé rvky ak dále vnášejí chybu danu tlerancí sučástky, arazitními vlastnstmi, a další. Pr knkrétní realizaci ak musíme d bvdu zařadit sučástky z výrbních řad, které se liší d navržených hdnt. Z th vylývá nutnst zařazení rměnných bvdvých sučástek určujících jedntlivé frekvence nul a ólů. Vhdným zvlením alesň jedné určující sučástky je ak mžné vzniklé dchylky d navržených hdnt kmenzvat. Pr většinu zajení se ak jeví nejlée vybrat jak asivní sučástku kndenzátr s nejbližší hdntu z řady a jak řeladitelný rvek zařadit drvý trimer res. aktivní rvek s řiditelnu transknduktancí. Dstatečný rzsah hdnt rměnných rvků také umžňuje řeladění fraktálníh dvjbranu na jiný necelistvý řád. 5.. IDEÁLNÍ ZDROJ PROUDU ŘÍZENÝ NAPĚTÍM (ZPŘN) Ideální ZPŘN značvaný v OrCAD PSice jak G nahrazuje v dalších zajeních rezistry určující nulvé bdy a óly stuňů a simuluje tak rměnnu vdivst gm. Hdnta gm řím dvídá vnitřnímu arametru rvku GAIN, jehž změnu je řízen fázvý suv. VCC Uin 3 2 - AD844/AD VEE 6 OUT C 5 Uut Cn Gn - G C G - G GAIN = /Rn GAIN = /R Obr. 5.: Nahrazení rezistrů rměnnými vdivstmi 23

Nejjedndušším rměnným rvkem je drvý trimer. Odrvé trimery mhu být v rvedení d stvek Ω až jedntky MΩ. Velký rzsah hdnt zajišťuje vysku řeladitelnst jedntlivých nul a ólů, s tím však suvisí rblém citlivsti naladění řesných hdnt. Nesrnu výhdu je mžnst řeladění bvdu bez zavádění dalších bvdvých rvků a veličin a tudíž zachvání maximální jednduchsti bvdu. 5.2. NÁHRADA TRANZISTOREM Namíst rměnné vdivsti lze zajit tranzistr, jehž vnitřní arametr transknduktance gm je mžné řídit externím naětím. Naříklad u tranzistru MOS v blasti silné inverze je transknduktance gm závislá na vstuním naětí UGS a tut závislst lze važvat za lineární. Velikst a rzsah změny transknduktance ak závisí na zvleném tyu tranzistru a výrbní technlgii a je nutné vyčítat racvní bd každéh takvéh tranzistru a určit mezní hdnty užití. Obr. 5.2: Pracvní blasti tranzistru MOS v závislsti na naětí UGS 5.3. NÁHRADA OPERAČNÍM TRANSKONDUKTANČNÍM ZESILOVAČEM Pr využití rměnné transknduktance se nabízí užití transknduktančních zesilvačů OTA (Oeratinal Transcnductance Amlifier). Pr věření v OrCAD PSice je mžné využít mdely kmerčně užívaných OTA, naříklad: MAX436, LT228, LM37 aj. Tyt OTA se vyznačují šířku ásma 24

v řádech MHz a mžnstí řízení strmsti gm mcí externíh zdrje naětí res. rudu. V zajení blku s AD844 mhu nahradit ZPŘN a ět tak simulvat rměnný dr. S využitím OTA je však také mžné využít zajení knfigurvatelných filtrů rvníh řádu dle [8]. Jedntlivá zajení vycházejí z admitančních matic, řičemž nejjedndušší zajení vycházející z matice 2x2 s řensvu funkcí (5.) vede k určení jedntlivé nuly a ólu. K s = sg m gm 2 C s g m C (5.) Vyjdeme-li z (5.), můžeme stuně dčítat jedntlivé rvky r vybranu arximaci fraktálníh dvjbranu zvlením vhdné kaacity C vzhledem k frekvenci jedntlivých nul a ólů a také rzsahu hdnt gm vybranéh OTA. gm = ꙍ P C (5.2) gm2 = gm ꙍ Z C (5.3) C gm U vst U vyst gm 2 Obr. 5.3: Obvdvá rerezentace stuně 5.3.. DIAMANTOVÝ TRANZISTOR S OZNAČENÍM OPA66 Nejslibnějším blkem r rakticku alikaci se zdá být takzvaný diamantvý (ideální) tranzistr dstuný d značku OPA65, OPA66 neb nejnvější verze OPA86.[8] 25

Výst R deg - Obr. 5.4: OPA66 jak dvuvstuvý OTA Pr užití mdelu OPA66 jak dvuvstuvý OTA byl využit buffer jak vstu IN- s vysku imedancí řivedený řes degradační dr na emitr tranzistru, degradační dr je mžné využít k úravě hdnt gm. Jak neinvertujicí vstu IN služí báze tranzistru s vysku imedancí, výstu je ak vyveden z rudvéh výstuu (klektru). Obr. 5.5: Závislst transknduktance gm[ms] na řídícím rudu IQ[mA] [4] 26

Ze závislsti transknduktance na klidvém řídícím rudu je mžné dečítat rud třebný r nastavení transknduktance jedntlivých OTA. Kaacitu C r jedntlivé stuně je třeba zvlit tak, aby hdnta gm i gm2 ležela ideálně v klí středu rzmezí hdnt nastavitelných r dané zajení, cž zajistí maximální mžnst řeladění. Při hrubém dečítání hdnt z grafu ak užijeme v OrCAD PSice timalizér, říadně rzmítání řídících rudů r krekci výsledných růběhů. Obr. 5.6: Zajení s OPA66 r simulaci v OrCAD PSice Řídící rud IQ je také mžné nastavit řes rměnný dr řijený na zárné naájecí naětí (-5V). Prud IQ je ak rven -5/RSET v rzsahu -(-2) ma. 27

N a ě ť v - ý ř e n -2 s - -2 F á z v ý s u v -3-3 -4-5 -4 >> -6-5 Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz 3KHz.MHz 3.MHz MHz 3MHz MHz DB(V(ut5)/V(in5)) 2 P(V(ut5)/V(in5)) -45 Frekvence Obr. 5.7: Řád,5 s OPA66 Za užití stejné bvdvé knfigurace je mžné řeladit bvd na jiný necelistvý řád změnu řídících rudů IQ. N a ě ť v ý ř e n s -4-8 -2-4 -8-2 F á z v ý s u v -6-6 -2-2 -24-24 >> -28-28 Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz 3KHz.MHz 3.MHz MHz 3MHz MHz DB(V(ut278)/V(in278)) 2 P(V(ut278)/V(in278)) -25 Frekvence Obr. 5.8: Řád,278 s OPA66 28

N a ě ť v - ý ř e n -2 s - -2 F á z v ý s u v -3-3 -4-5 -4 >> -6-5 Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz 3KHz.MHz 3.MHz MHz 3MHz MHz DB(V(ut5)/V(in5)) DB(V(ut278)/V(in278)) DB(V(utre)/V(inre)) 2 P(V(ut5)/V(in5)) -45 P(V(ut278)/V(in278)) P(V(utre)/V(inre)) -25 Frekvence Obr. 5.9: Částečné řeladění z řádu,278 na,5 Přechd mezi jedntlivými řády je mžný i částečně, nebť se vzájemně vlivňují uze susedící nuly a óly. Takt lze také užít více arximací v jednm bvdu. 29

6. ZVÝŠENÍ KMITOČTOVÉHO ROZSAHU PŘIDÁNÍM BLOKŮ DO KASKÁDY A OPTIMALIZACE HODNOT Aby byl mžné zvýšit kmitčtvý rzsah, a zachvat c nejmenší dchylku d ideálních charakteristik je třeba zařadit d zajení více blků určujících nulvé bdy a óly v daném kmitčtvém rzsahu. Půvdní charakteristika z br. 4.4 měla frekvenční rzsah tři dekády a t d Hz d khz. Jak další krk byl zatřebí zvednut tent rzsah alesň jednu dekádu. Pr timalizaci fázvéh suvu byl vytvřen referenční subr s křivku - 45 v rzsahu frekvencí Hz až khz, který byl užit v timalizéru OrCAD Psice. Jak výchzí byl užit bvd na Obr. 4.. Rzmítány byly hdnty jedntlivých drů určující nuly a óly. Pstuným snižváním tlerančníh ásma timalizace byly nalezeny hdnty těcht arametrů, které určvaly fázvu charakteristiku s chybu d 3 ři udržení klesu naěťvéh řensu se směrnicí db na dekádu. Výsledné charakteristiky s užitím timalizvaných hdnt s smi a deseti stuni zajenými v kaskádě: - N a ě ť v ý -2 ř e n s -3 - -2 F á z v ý s u v -3-4 -4-5 -5-6 -6 >> -7-7 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz DB(V(ut2)/V(in2)) 2 P(V(ut2)/V(in2)) -45 Frequency Obr. 6.: Kmitčtvé ásm Hz až 3kHz s užitím smi stuňů 3

N a ě ť v ý ř e n s -6-7 -8-9 - -2-4 F á z v ý s u v -6 - -8 - -2 - -3-2 >> -4-4 mhz 3mHz.Hz 3.Hz Hz 3Hz Hz 3Hz.KHz 3.KHz KHz 3KHz KHz 3KHz.MHz DB(V(ut3)/V(in3)) 2 P(V(ut3)/V(in3)) -45 Frequency Obr. 6.2: Kmitčtvé ásm Hz až khz s užitím deseti stuňů Tut metdu je mžné nalézt arximace dvídající hledanému řádu, ale je nutné ředkládat rzmezí lh vyšších nul a ólů, rtže výsledku je mžné dsáhnut více knfiguracemi. Při nechání velkéh rzsahu rzmítání hdnt určujících nuly a óly může djít k rhzení některých nul a ólů a není ddržen jejich ravidelné střídání. Takvýt výsledek ak nelze jednduše nadbit a dále s ním racvat..5 Im( nuly) Im( ly).5 3 4 5 6 7 8 Re( nuly) Re( ly) Obr. 6.3: Rzlžení nul a ólů arximace na br. 6.2 3

Pužitím dbré arximace je ak kmitčtvý rzsah takřka libvlný, říadně je mžné změnit frekvenční rzsah dnrmváním užité arximace r jiný rzsah frekvencí viz. kaitla 3. Pr frekvenční rzsahy blížící se Hz neb naak řádvě GHz a vyšším je třeba brát v úvahu vztahy r určení nul a ólů, ve kterých figuruje kaacita a dr res. transknduktance. Je tedy třeba vlit kmbinaci sučástek, které mhu být reálně užity v bvdu. Aktivní rvky je ak třeba vlit s dstatečnu šířku ásma r zvlené frekvence. Také je třeba znát žadvané hdnty vstuní veličiny a frekvenční závislst všech rvků r vybrané vstuní hdnty. Návrh reálnéh bvdu dle simulvané ředlhy je tedy nutné řizůsbit dstuným sučástkám a jejich frekvenčním závislstem. 32

7. REÁLNÝ OBVOD NAVRŽENÝ PRO OVĚŘENÍ FRAKTÁLNÍ DYNAMIKY Navržený bvd vychází ze struktury sané v kaitle 3 a r ladění lhy nul a ólů využívá drvé trimery. Zajení byl mdifikván r užití kmerčně velmi snadn dstunéh OZ TL8, užitéh v zajení invertujícíh zesilvače. TL8 C P R P C Z R Z Obr. 7.: Zajení navrženéh bvdu s OZ TL8 Z řensvé funkce (7.) určíme vztahy r nuly a óly. Admitance Y2 je dána drem RZ a kndenzátrem CZ, admitance Y ak RP a CP. K U = Y 2 Y Z = R Z C Z P = R P C P (7.) (7.2) (7.3) Jedntlivé nuly a óly každéh blku jsu určeny mezní frekvencí RC článků a jejich změna je řízena rměnným drem. Každý blk ak z důvdu invertujícíh zajení táčí fázi 8 a je tedy vhdné užít sudý čet blků, aby výsledný fázvý suv řím dvídal zvlené arximaci. Vstuní a výstuní blk tvří ět invertující zesilvač s nastavitelným zesílením, který je zařazen kvůli imedančnímu řizůsbení bvdu. Frekvenční rzsah užitéh bvdu je dán frekvenční závislstí invertujícíh zesilvače a hybuje se tedy v závislsti na nastavení bvdu řádvě v desítkách khz. 33

7.. NASTAVENÍ A ZMĚŘENÍ CHARAKTERISTIK POUŽITÉHO OBVODU Pr měření byl vybrán řád,5, kterému dvídá knstantní fázvý suv - 45 a změna řensu se směrnicí db na dekádu. Vyladění danéh bvdu i r malý frekvenční rzsah může trvat měrně dluh, kvůli nutnsti nastavení vzájemné lhy jedntlivých nul a ólů. P jemném dstavení hdnt a sledváním změny charakteristik na sektrálním analyzátru byla dchylka d fázvé charakteristiky v ásmu d 2Hz d 2kHz menší než jeden stueň. Rzdíl řensu na mezi 2Hz a 2kHz byl 9,5dB. Tyt hdnty řibližně dvídají arximaci zvlenéh řádu,5. Obr.7.2: Výstu sektrálníh analyzátru Prvedeným měřením byla věřena funkce reálnéh bvdu rkazujícíh fraktální dynamiku v mezeném frekvenčním rzsahu. 34

8. ZÁVĚR V tét ráci byl z teretických znatků dvzen řešení fraktálních dvjbranů mcí analgvých elektrnických bvdů. Při řešení bvdů můžeme vycházet ze známých arximací, kdy využíváme známých lh nulvých bdů a ólů. Byly navrženy struktury r interretaci těcht mezních frekvencí, které byly dále mdifikvány. Zavedením řeladitelných struktur je mžné dále zlešit v rámci nastavených arametrů vybrané arximace. Můžeme také měnit necelčíselný řád filtru řeladěním určujících hdnt. Kmitčtvý rzsah je mezen hdntami reálných sučástek a žadavky na řesnst arximace a řád bvdu. Měřením byla ak věřena funkce reálnéh bvdu jak fraktálníh dvjbranu v mezeném frekvenčním rzsahu. 35

SEZNAM POUŽITÝCH VELIČIN, SYMBOLŮ A ZKRATEK q necelčíselný řád [-] K(s) řensvá funkce ꙍ úhlvá frekvence [rad*s - ] ꙍz úhlvá frekvence mulvéh bdu [rad*s - ] ꙍp úhlvá frekvence ólu [rad*s - ] RZ RP CZ CP G gm OZ OTA Rdeg IQ dr určující nulvý bd [Ω] dr určující ól [Ω] kndenzátr určující nulvý bd [F] kndenzátr určující ól [F] vdivst [S] transknduktance [S] erační zesilvač erační transknduktanční zesilvač (eratinal transcductance amlifier) degradační dr [Ω] řídící rud [A] 36

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] PETRŽELA, J., SLEZÁK, J. Arximace fraktálních dvjólů v kmitčtvé blasti. [nline], slední úravy 25..2, ISSN 23-539 [cit. 8.4.25] URL: <htt://www.elektrrevue.cz/cz/clanky/analgva-technika--vzajemnya-d-revd/5/arximace-fraktalnich-dvjlu-v-kmitctve-blasti/> [2] PETRŽELA, J. Analg Cntinuus-Time Filtering Extended t Fractinal-Order Netwrk Elements [nline], slední úravy 4.7.23 [cit. 8.4.25] URL: <htt://ieeexlre.ieee.rg/stam/stam.js?t=&arnumber=663965> [3] AD844 6 MHz 2 V/μs Mnlithic O Am, datasheet, ANALOG DEVICES URL: <htt://www.analg.cm/static/imrted-files/data_sheets/ad844.df> [4] OPA66 Wide bandwidth OPERATIONAL TRANSCONDUCTANCE AMPLIFIER AND BUFFER; datasheet; BURR-BROWN URL: <htt://www.ti.cm/lit/ds/symlink/a66.df> [5] TL8xx JFET-Inut Oeratinal Amlifiers; datasheet; TEXAS INSTRUMENTS URL: <htt://www.ti.cm/lit/ds/sls8h/sls8h.df> [6] HILFER, R. Alicatin f fractinal calculus in hysics, Wrld Scientific Publishing, 2. [7] VRBA, K. Analgvá technika: Vyské učení technické v Brně, 22, ISBN: 978-8-24-4458-4. 37

[8] PETRŽELA, J., ŠOTNER, R. Systematic Design Prcedure Twards Recnfigurable First-Order Filters. [nline], datum knference 5.-6. dubna 24, [cit. 5.3.25] URL: <htt://ieeexlre.ieee.rg/stam/stam.js?t=&arnumber=6828462> [9]J. Valsa, J. Vlach, RC mdels f a cnstant hase element, Internatinal Jurnal f Circuit Thery and Alicatins, 2, vl. 4, n.,. 59 67. 38

PŘÍLOHA A VSTUPNÍ A VÝSTUPNÍ OBVOD Seznam užitých sučástek a návrh desky 5V C OZ -5V C 2 R R 2 Seznam sučástek: C = nf C26 C2 = nf C26 R = kω M26 R2 = kω RTRIM365W OZ = TL8 SO8 Obr. A.: Obvd na vstuu a výstuu 39

Obr. A.2: Návrh desky lšných sjů (cesty) hled ze shra Obr. A.3: Návrh desky lšných sjů (cesty) hled ze zdla 4

Obr. A.4: Návrh desky lšných sjů (sučástky) Obr. A.5: Ftgrafie desky hled ze shra 4

Obr. A.6: Ftgrafie desky hled ze zdla 42

PŘÍLOHA B STUPEŇ KASKÁDY Seznam užitých sučástek a návrh desky 5V C OZ -5V C 2 C P R P C Z R Z Seznam sučástek: C = nf C26 C2 = nf C26 CZ = uf C26 CP = uf C26 RP = kω RTRIM365W RZ = kω RTRIM365W OZ = TL8 SO8 Obr. B.: Stueň kaskády Hdnty r Cz a C jsu r každý další stueň desetkrát menší. 43

Obr. B.2: Návrh desky lšných sjů (cesty) hled ze shra Obr. B.3: Návrh desky lšných sjů (cesty) hled ze zdla 44

Obr. B.4: Návrh desky lšných sjů (sučástky) Obr. B.5: Ftgrafie desky hled ze shra 45

Obr. B.6: Ftgrafie desky hled ze zdla 46

PŘÍLOHA C KOMPLETNÍ ZAPOJENÍ Obr. C.: Ftgrafie kmletníh zajení ze shra Obr. C.2: Ftgrafie kmletníh zajení ze zdla 47