Impedanční děliče - příklady

Transkript

1 Impedanční děliče - příklady Postup řešení: Vyznačení impedancí, tvořících dělič Z Z : podélná impedance, mezi svorkami a Z : příčná impedance, mezi svorkami a ' ' Z ' Obecné vyjádření impedancí nebo admitancí komplexním číslem. (Při seriovém spojení sčítáme impedance, při paralelním spojení sčítáme admitance.) Výpočet přenosové funkce dosazením do vzorce pro napěťový přenos nezatíženého děliče: A Z Z + Z Jestliže vychází jednodušší výraz pro admitanci Y / Z, je možné před dosazením vzorec upravit: A + Z Y Úpravy: pomocí známých úprav zlomků převedeme výraz na tvar: A M K ( jω ) ( jω ) kde výraz M(jω) nebo (jω) představuje některou z elementárních funkcí, případně součin těchto funkcí. Výsledkem je komplexní číslo, které můžeme vyjádřit v exponenciálním tvaru. A A e jϕ K M e j( ϕ ϕ M ) M yní můžeme odděleně vyjádřit absolutní hodnotu (modul) komplexního čísla a příslušnou fázi v závislosti na proměnné ω, případně na frekvenci f ω / π. Pro znázornění frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích je výhodné přejít na vyjádření přenosu napětí v logaritmické míře (v decibelech): a log A log K + log M log Amplitudovou (modulovou charakteristiku nyní můžeme kreslit jako součet průběhů elementárních funkcí. Stejně můžeme sčítat průběhy fáze elementárních funkcí a získat výslednou fázovou charakteristiku. Pro získání přibližného průběhu postačí zakreslit asymptoty jednotlivých průběhů. Přenosové funkce a asymptotické průběhy jsou uvedeny v následující tabulce.

2 přenos modul fáze K K a ϕ (K < ) jωτ ωτ 9 a ϕ 9 ω m τ - 3 / (jωτ) ωτ a -9 ϕ -9 ω m τ jωτ + ωτ arctg (ωτ) ( ) a ω m τ - ω m τ - ϕ 9 5 / ( + jωτ) + ( ωτ ) a -arctg (ωτ) ω m τ - ϕ -9 ω m τ - Příklad : Integrační článek Z Z / jω A + Z Y + jω ' ' kde elementární funkce jsou: K, M(jω) (jω) + jωτ Úpravy provádíme tak, aby výrazy v čitateli a jmenovateli měly vždy reálnou část rovnu jedné. Imaginární část má pak tvar / jωτ, kde τ, v obvodu s indukčností τ /. Správnost odvozeného vzorce ověříme předběžně výpočtem přenosu pro ω a ω dosazením příslušných hodnot. Kontrolujeme porovnáním s upraveným zapojením, ve kterém pro ω nahradíme indukčnosti zkratem a kapacity odpojením a pro ω odpojíme indukčnosti a kapacity zkratujeme. Úpravy provádíme tak, aby výrazy v čitateli a jmenovateli měly vždy reálnou část rovnu jedné. Imaginární část má pak tvar / jωτ, kde τ, v obvodu s indukčností τ /.

3 Výsledný průběh modulové charakteristiky v logaritmické míře bude určen vzorcem: a.log K +.log M. log Pro ω se tento průběh blíží asymptotě db, pro ω se blíží asymptotě se směrnicí - db/dek. (směrnice v decibelech na dekádu, desetinásobek frekvence), nebo také -6 db/okt. (směrnice v decibelech na oktávu, dvojnásobek frekvence). Správnost odvozeného vzorce ověříme předběžně výpočtem přenosu pro ω a ω dosazením příslušných hodnot. Získáme hodnoty A () a () db A ( ) a () - db ϕ () ϕ ( ) -9 Kontrolu můžeme provést porovnáním s upraveným zapojením, ve kterém pro ω nahradíme indukčnosti zkratem a kapacity odpojením a pro ω odpojíme indukčnosti a kapacity zkratujeme. Obě asymptoty se protínají v bodě, v němž je imaginární část přenosu rovna reálné části. Tato frekvence se označuje jako mezní kruhová frekvence ω m. Protože reálná část je rovna jedné, bude platit ω m τ ω m / τ z toho f m ω m /π / π τ Význam mezní frekvence: Pro frekvence menší než f m převažuje reálná část, pro frekvence vyšší převažuje část imaginární. Přenos na mezní frekvenci vychází: ( ω ) log + log db A ( f m ) log + mτ 3 a skutečný průběh asymptota db f m -3 db log f asymptota - db/dek. Jestliže do logaritmických souřadnic zakreslíme pouze asymptoty, je mezní frekvence vyznačena jejich průsečíkem. V úseku nízkých frekvencí je průběh určen asymptotou db, na vysokých frekvencích asymptotou se sklonem - db/dek., která protíná asymptotu v bodě f m. Výsledná charakteristika je složena z těchto částí asymptot a jejich průsečík je bodem zlomu asymptotického průběhu. Poznámka: Mezní frekvence se nazývá také frekvence zlomu, anglicky corner frequency, německy Eckfrequenz. Tento způsob konstrukce charakteristik se nazývá také Bodeho metoda (angl. Bode plot). -9 asymptota f m /5 skutečný průběh f m 5 f m -45 log f asymptota -9 Fázová charakteristika Průběh fáze může být nahrazen asymptotami podle sousedního obrázku. Asymptoty nahrazují průběh pro f < f m / 5 a pro f > 5.f m. Úsek mezi nimi je nahrazen tečnou na frekvenci f m. Při této aproximaci fázové charakteristiky jsou odchylky od skutečného průběhu významnější než u modulové charakteristiky, proto je její požití omezené.

4 dále uvedených příkladů odvoďte přenosovou funkci, modul přenosu a fázi pro ω a ω, časové konstanty. rčete mezní frekvence a nakreslete asymptotické charakteristiky. Vypočítané průběhy můžete ověřit pomocí simulačního programu. Příklad 5 Ω µf ' ' Příklad Ω, H ' ' Příklad 3 kω nf ' ' Příklad 4 5 Ω 5 mh '

5 Příklad 5 8 kω kω 5 nf ' ' Příklad 6 ' ' kω kω 5 µh Příklad 7 4 kω kω nf ' ' Příklad 8 kω kω 4 mh ' '

6 Příklad 9 kω 5 Ω pf ' ' Příklad kω kω 5 µh ' ' Příklad 5 kω Ω 5 pf ' ' Příklad Ω Ω 8 µh ' '

7 Výsledky: A () A ( ) A () A ( ) 3 A () A ( ) 4 A () A ( ) 5 A (), A ( ) 6 A () A ( ),5 7 A (), A ( ) 8 A () A ( ),43 9 A () A ( ),4 A (),5 A ( ) A () A ( ),38 A (),93 A ( ) τ 5 µs f m 38 Hz a () db τ ms f m 59 Hz a ( ) db τ 4 µs f m 3,979 khz a ( ) db τ 3,5 µs f m 5,93 Hz a () db τ 9 µs f m,768 khz a () - db τ 5 ns f m 636,6 khz a ( ) -6 db τ 5 ns f m 38,3 khz τ 4 µs f m 398 Hz a () -4 db τ 8 µs f m,989 khz a ( ) db τ 333 µs f m 477 khz a () db τ,333 µs f m 68 khz a ( ) -6,9 db τ ns f m,59 MHz a () db τ, µs f m 75,788 khz a ( ) -6,4 db τ 5 ns f m 637 khz a () -6 db τ 5 ns f m,73 MHz a ( ) db τ ns f m,59 MHz a ( ) -8,3 db τ,6 µs f m 6, khz τ 6,5 µs f m 5,86 khz a () -,695 db