Řešené příklady ze stavební fyziky

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyziky Šíření tepla konstrukcí, tepelná bilance prostoru a vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu Ing. Jiří Novák, Ph.D. Praha 4 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah ŠÍŘENÍ TEPLA V USTÁLENÉM STAVU ZÁKLADNÍ TEORIE... 4. VEDENÍ... 4.. Fourriérův zákon vedení tepla, D:... 4.. Rovnice vedení tepla, D, neustálený stav:... 4.. Rovnice vedení tepla, D, ustálený stav:... 4..4 Hustota tepelného toku, tepelný odpor, tepelný tok... 5. PROUDĚNÍ... 6.. Proudění vzduchu při povrchu konstrukce přirozené... 6.. Proudění vzduchu při povrchu konstrukce vynucené... 6.. Výměna vzduchu v místnosti... 7. SÁLÁNÍ DLOUHOVLNNÉ TEPELNÉ... 7.. Stefan-Bolzmannův zákon, černé těleso... 7.. Reálné povrchy, emivita, pohltivost... 7.. Dlouhovlnné sálání mezi dvěma povrchy... 8..4 Dlouhovlnné sálání mezi dvěma rovnoběžnými plochami... 8.4 SÁLÁNÍ - KRÁTKOVLNNÉ SLUNEČNÍ ZÁŘENÍ... 9.5 LITERATURA... MODELOVÉ PŘÍKLADY.... OBVODOVÁ STĚNA..... Známé veličiny:..... Neznámé veličiny:..... Další potřebné informace:.....4 Analýza problému:.....5 Předpoklady řešení:.....6 Postup řešení:.....7 Schéma problému:.....8 Výpočty:.....9 Výsledky:... 5. OBVODOVÁ STĚNA... 6.. Známé veličiny:... 6.. Neznámé veličiny:... 6.. Další potřebné informace:... 6..4 Analýza problému:... 6..5 Schéma problému:... 7..6 Předpoklady řešení:... 7..7 Postup řešení:... 8..8 Výpočty:... 8..9 Výsledky:... 9. OBVODOVÁ STĚNA..... Známé veličiny:..... Neznámé veličiny:..... Další potřebné informace:.....4 Analýza problému:.....5 Schéma problému:.....6 Předpoklady řešení:.....7 Postup řešení:.....8 Výpočty:.....9 Výsledky:... 4

PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU ŘEŠENÍ... 6. TEPELNÁ BILANCE PROSTORU... 6. VLHKOSTNÍ BILANCE PROSTORU... 7 4 PŘÍLOHA - EMISIVITA (DLOUHOVLNNÉ TEPELNÉ ZÁŘENÍ)... 8 5 PŘÍLOHA - POHLTIVOST SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ... 9

Šíření tepla v ustáleném stavu základní teorie. Vedení.. Fourriérův zákon vedení tepla, D: Hustota tepelného toku je úměrná změně teploty ve směru šíření tepla, konstantou úměrnosti je součinitel tepelné vodivosti materiálu, ve kterém k vedení dochází: d dx () je hustota tepelného toku ve W/m je součinitel tepelné vodivosti materiálu ve W/(m.K) je teplota ve C x délka v m.. Rovnice vedení tepla, D, neustálený stav: Změna hustoty tepelného toku, který protéká určitým místem, odpovídá časové změně teploty v tomto místě (rozdíl mezi vstupujícím a vystupujícím tepelným tokem spotřebuje na zvýšení teploty jedna z možných formulací zákona o zachování energie): c () x Po dosazení vztahu () do () c (a) x x c (b) x je hustota v kg/m cje měrná tepelná kapacita v J/(kg.K) je čas v s.. Rovnice vedení tepla, D, ustálený stav: V ustáleném stavu teplota v ča nemění, proto platí: d d (4) Po dosazení do vztahu (a, b): d dx (5)

T [ C] Řešení diferenciální rovnice (5): ( x) C x C (6) C a C jsou integrační konstanty odpovídající konkrétním okrajovým podmínkám. Pro jednovrstvou stěnu tloušťky d z homogenního materiálu o součiniteli tepelné vodivosti podle obr. platí tyto okrajové podmínky: = s pro x = = s pro x =d Pro tyto okrajové podmínky má řešení diferenciální rovnice (5) tvar přímky (v ustáleném stavu je průběh teploty ve vrstvě z homogenního materiálu lineární): (7) d s s ( x) x s s d s x [m] Obr. Schéma stěny (svislý řez) a průběh teploty..4 Hustota tepelného toku, tepelný odpor, tepelný tok Dosazením rovnice (7) do vztahu () je možné vypočítat hustotu tepelného toku skrz řešenou jednovrstvou stěnu: ( s s ) ( s s ) (8) d R kde: d R (9) R je tepelný odpor vrstvy v (m.k)/w Hustota tepelného toku udává tepelný tok jedním metrem čtverečným zkoumané stěny. Tepelný tok procházející celou stěnou o ploše A vypočítá takto: A Q A ( ) s s () R

. Proudění.. Proudění vzduchu při povrchu konstrukce přirozené Pohyb vzduchu je vyvolaný rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např. teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude klesat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru (obr. ). Výměnu tepla, která tímto způsobem nastane mezi povrchem a okolním vzduchem je možné vyjádřit takto (podobně jako v případě vedení): ( a ) () h c s h c je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m..K) s je teplota povrchu ve C a je teplota vzduchu ve C Samotný součinitel přestupu tepla prouděním h c závisí rovněž na rozdílu teploty povrchu a okolního vzduchu. Pro případ proudění na vnitřním povrchu stavební konstrukce je možno použít orientační vztah []: hc,5 a s () s a Obr. Přestup tepla přirozeným prouděním.. Proudění vzduchu při povrchu konstrukce vynucené Proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Výslednou hustotu tepelného toku je možné opět vyjádřit vztahem (). Součinitel přestupu tepla h c závisí především na rychlosti proudění vzduchu v. V literatuře je možné najít řadu vztahů, některé jsou uvedené níže. Pro proudění rovnoběžné s povrchem []: h c 6 4v pro v 5 m/s (),78 h c 7,4v pro v 5 m/s (4) Pro vnější povrch stavebních konstrukcí orientovaných kolmo na směr větru (o rychlosti v) je možno použít tyto orientační vztahy []: h c 5 4,5 v,4v pro návětrnou stranu a v m/s (5) h c 5, 5v pro v 8 m/s (6)

.. Výměna vzduchu v místnosti Tepelný tok souvijící s výměnou vzduchu v místnosti (např. tepelná ztráta větráním) vypočítá podle vztahu: Q V c ( ) e (7) Q je tepelný tok ve W ai V je objemový tok vzduchu v m /s je hustota vzduchu v kg/m c je měrná tepelná kapacita v J/(kg.K) ai je teplota vnitřního vzduchu ve C e je teplota venkovního vzduchu ve C. Sálání dlouhovlnné tepelné.. Stefan-Bolzmannův zákon, černé těleso Černé těleso je ideální těleso, které: je schopné při stejné teplotě vyzařovat (emitovat) více energie než ostatní tělesa je schopné pohltit (absorbovat) veškerou dopadající sálavou energii Hustota sálavého toku černého tělesa je dána vztahem (Stefan-Bolzmannův zákon): 4 E b T (8) E b je hustota sálavého toku černého tělesa (tepelného toku sdíleného sáláním) ve W/m je Stefan-Bolzmannova konstanta, = 5,67. -8 W/(m.K 4 ) T je termodynamická teplota tělesa v K (termodynamické teplotě T [K] = [ C] + 7,5).. Reálné povrchy, emivita, pohltivost Reálná, tzv. šedá tělesa jsou při stejné teplotě schopna vyzařovat menší množství energie než černé těleso. Poměr mezi hustotou sálavého toku reálného a černého tělesa udává emivita: E( T ) (9) E ( T ) b je emivita šedého tělesa, bezrozměrná E je hustota sálavého toku vyzařovaného šedým tělem při teplotě T ve W/m E b je hustota sálavého toku vyzařovaného černým tělem při teplotě T ve W/m Emivita šedých těles je vždy menší než a není závislá na teplotě. Hustota sálavého toku šedého tělesa je dána vztahem: E T 4 () Ve stavební fyzice předpokládá, že reálná tělesa jsou schopná pohltit stejné množství sálavé energie, jaké jsou schopná vyzářit. Emivita je shodná s pohltivostí: = ()

je pohltivost, bezrozměrná Pohltivost dlouhovlnného tepelného záření nemá vztah k barvě povrchu. Tuhá tělesa a kapaliny považují za nepropustné pro dlouhovlnné tepelné záření... Dlouhovlnné sálání mezi dvěma povrchy Hustotu sálavého tepelného toku mezi dvěma povrchy je možné vyjádřit vztahem: hr ( T T ) () h r je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m..K) T je termodynamická teplota prvního povrchu v K T je termodynamická teplota druhého povrchu v K Součinitel přestupu tepla sáláním je možné vyjádřit vztahem []: h r,, 4 T F A A () T, je střední termodynamická teplota sálajících povrchů v K je emivita prvního sálajícího povrchu, bezrozměrná je emivita druhého sálajícího povrchu, bezrozměrná F, je poměr vzájemného sálání povrchů a Poměr sálání vyjadřuje, jaká část radiačního toku vyzářeného povrchem dopadá přímo (bez odrazů) na povrch. Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být nanejvýše rovná. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy []. Výpočet poměru sálání pro obecné případy je velmi složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické tuace, které v praxi často opakují. Složitý vztah () je zde uveden zejména proto, aby mohlo být upozorněno na jednu velice důležitou vlastnost sálání: hustota tepelného toku sdíleného sáláním je závislá na geometrickém uspořádání, zejména na úhlu, který svírají sálající povrchy...4 Dlouhovlnné sálání mezi dvěma rovnoběžnými plochami Pro dvě rovnoběžné, nekonečně velké plochy (roviny) je poměr vzájemného sálání F, = (veškerý radiační tok vyzářený jedním povrchem musí bez odrazů dopadnout na druhý povrch). Vztah () je možné upravit do tvaru []: h r,, 4 T (4) Pro poměrnou emivitu povrchů a,, platí []:, (5) Střední termodynamická teplota sálajících povrchů vypočítá podle vztahu: T, T T (6) Vztah pro výpočet hustoty tepelného toku sáláním je zde uveden ve tvaru (), aby byla zřejmá analogie vztahy (8,, 7). Alternativně je možné vypočítat hustotu tepelného toku sáláním také takto:

4 4, F, T T (7) Označení veličin je shodné s předchozími vztahy, T a T jsou opět termodynamické teploty sálajících povrchů v Kelvinech. Pro rovnoběžné, nekonečné povrchy je F, =..4 Sálání - krátkovlnné sluneční záření Sluneční záření je formou sálavého tepelného toku. Intenzita slunečního záření ve W/m je sálavý tok slunečního záření dopadající na m povrchu. Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část může tělem procházet (obr..): I sol [W/m ] (.) r a t kde I sol je intenzita slunečního záření dopadajícího na povrch tělesa ve W/m r odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m a pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m t procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m [W/m ] (.) r I sol [W/m ] (.) a I sol [W/m ] (.4) t I sol kde je pohltivost slunečního záření, bezrozměrná odrazivost slunečního záření, bezrozměrná propustnost slunečního záření, bezrozměrná Pro pohltivost, odrazivost a propustnost slunečního záření platí: [W/m ] (.5) I sol r = sol t = sol a = sol povrch materiál těleso Obr. -: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla Stavební materiály jsou nepropustné pro sluneční záření ( = ). To znamená, že dopadající energie slunečního záření je částečně odražena a částečně pohlcena. Výjimku tvoří pouze sklo a průsvitné plasty, které jsou pro sluneční záření propustné. V případě běžných, neprůsvitných materiálů je sluneční záření pohlceno ve velmi tenké vrstvě na povrchu tělesa (detiny až tisíciny milimetru). Pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu - světlejší povrchy mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší (Příloha X). Pohlcená energie slunečního záření mění na teplo a to šíří z povrchu dále. Pohltivost slunečního záření

tedy chápe jako vlastnost povrchu. Podobně jako odrazivost, neboť k odrazu dochází rovněž na povrchu tělesa..5 Literatura [] Hagentoft, C.-E.: Introduction to building phycs, Studentlitteratur [] Hens, H.: Building phycs heat, air and moisture transport, Erns & Sohn Verlag, 7 [] Halahyja, M. a kol.: Stavebná tepelná technika Tepelná ochrana budov, Jaga, Bratislava 998 [4] EN ISO 6946: Building components and building elements Thermal restance and thermal transmittance Calculation method

Modelové příklady. Obvodová stěna Zadání Uvažujte obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru): železobetonová stěna tl. mm, tepelná vodivost,6 W/m K tepelná izolace tl. 5 mm, tepelná vodivost,5 W/m K pohledové zdivo z plných cihel tl. 5 mm, tepelná vodivost W/m K Teplota vnitřního vzduchu je C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je noc, obloha je zatažená. Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení.. Známé veličiny: tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d až d součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy l až l teplota vnitřního vzduchu i = C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s.. Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m].. Další potřebné informace: nejsou..4 Analýza problému: Teplo šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí teplo šíří na povrch konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, teplo šíří vedením. Z vnějšího povrchu teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby: prouděním (vítr) sáláním proti obloze (oblohu představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblačnosti) sáláním proti povrchu země (terénu) sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že slunečním zářením počítat nebudeme.

Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sálajících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr sálání Fij dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání...5 Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace l =,5 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R =, ( ) přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R =,4 ( ) (tato hodnota byla stanovena pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4 v a budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy) teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplota vnějšího vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a jasnou oblohou viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou) povrchovou teplotou r = e. Problém zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů vzájemným poměrem sálání F = (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu (vnější stěna) dopadá přímo, bez odrazů na povrch ( náhradní povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto náhradního povrchu A a jejich vzájemný poměr A/A můžeme považovat za rovný nule. tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet především proto, že nebudeme mut stanovovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních těles a povrchu země. pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhadnout jeho teplotu budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná teplotě vnějšího vzduchu = e..6 Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu pro vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a směrem z tohoto místa musí být rovný nule získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,, a, správnost výsledku zkontrolujeme vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce

vykreslíme průběh teploty protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární..7 Schéma problému: zatažená obloha re r = e i,, re r = e okolní povrchy ce e re povrch země r = e h ce R R R R i,, h re e..8 Výpočty: Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: rozhraní vrstev, : rozhraní vrstev, : vnější povrch: ce re ce Hustoty tepelných toků: ( i ) h R ( ) (. ) K ( R i, (,, ) K (, R ( R ) K ( ), ) ),, ce h ce re h re ( e) ( ) e re

Soustava rovnic (neznámé jsou,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( i ) K (, ) K (, ) K (,, ) K (,, ) K (, ) K (, ) hce ( e ) hre ( e ) Po roznásobení: h h i K K, K K, K, K, K K, K, K, K, K hce hcee hre hree Po úpravách: ( h K ) K, h i K ( K K), K, K, ( K K), K K K h h ) ( h h ), Vyčíslení: ( ce re re e Výpočet tepelných odporů a tepelných propustností jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky: Vrstva i [ - ] Materiál Tloušťka di [m] Tepelná vodivost l i [W/(m K)] Tepelný odpor Ri = di/li [(m K)/W] Tepelná vodivost Ki = /Ri železobeton,,6,5 8 tepelná izolace,5,5, zdivo z plných cihel,5,5,667 Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi,75,5 h 7,69W/(m K) R, Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz Předpoklady řešení): h ce 4 4v 4 4 4 W/(m K) Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy: h re,, 4 T A F A Protože uvažujeme F, = a A/A =, zjednoduší vztah takto (indexem značí vnější povrch stěny, indexem souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e viz Předpoklady výpočtu):

h re,, 4 T 4 T 4 T Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že = e (viz Předpoklady řešení) a r = e: T T T (, 7,5) ( r 7,5) ( 5 7,5) ( 5 7,5), Po dosazení do vztahu pro hre: h re 8 4 T, 45,67,9 68,5,94 W/(m K) Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: 5,69 8, 5,846 8 8,,,,,, 7, 6,667,667,,6 9,678 68,5K Jedná o soustavu lineárních rovnic, kterou je možné vyřešit např. postupem podle Přílohy X...9 Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9, C, = 8, C, = -,6 C = -4,7 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( i ) h R ( ) 7,69 ( 9,) i 7,5 W/m (. ) K (, ) 8 (9, 8,) 7,5 W/m R (,, ) K (,, ), (8,,6) 7,5 W/m R (, ) K (, ) 6,667 (,6 4,7) 7,5 W/m R R ( ) h e ( ) 5 ( 4,7 5) e 7,57 W/m Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce : R R R ( ) (9, 4,7) 7,5 W/m,75 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7, W/m.

Průběh teploty je vynen do grafu:. Obvodová stěna Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení.. Známé veličiny: tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R až R, tepelné propustnosti K až K (z předchozího příkladu) teplota vnitřního vzduchu i = C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s.. Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m].. Další potřebné informace: emivita vnějšího povrchu obvodové stěny Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emivity e =,9 (viz Přílohu X)...4 Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způsoby:

prouděním (vítr) sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu) sáláním proti povrchu země (terénu) sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)..5 Schéma problému: jasná obloha re r = sky i,, re r = sky okolní povrchy ce e re povrch země r = sky h ce i R R R R,, h re e sky..6 Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace l =,5 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R =, ( ) přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R =,4 ( ), neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkladu teplotu jasné oblohy sky [ C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [ C] takto (platí pro případ svislého povrchu stěny): sky, 5, ( 5) 5,5 C e součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky).

Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu...7 Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozího příkladu jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,, a, správnost výsledku zkontrolujeme z hodnot a vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci, určíme směr tepelného toku a určíme, zda jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí vykreslíme průběh teploty protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární..8 Výpočty: Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: rozhraní vrstev, : rozhraní vrstev, : vnější povrch: ce re ce Hustoty tepelných toků: re Pro výpočet hustot tepelných toků a až platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hustoty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí: ce h ce ( e) re h re ( sky ) V hustotě tepelného toku re je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěmy proti obloze, okolním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení) Soustava rovnic (neznámé jsou,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( i ) K (, ) K (, ) K (,, ) K (,, ) K (, ) K (, ) hce ( e) hre ( sky ) Po roznásobení: h h i K K, K K, K, K, K, K, K, K

K, K hce hce e hre hre sky Po úpravách: ( h K ) K, K h ( K K), K, K, ( K K), K K K h h ), Vyčíslení: ( ce re i h ce h e re sky Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávjí i hodnoty součinitelů přestupu tepla h a hce. Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy viz předchozí příklad): h re 4 T, Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že = e a sky = -,5 C (viz Předpoklady řešení): T T T ( 7,5) ( 7,5) ( 5 7,5) (,5 7,5) sky, Po dosazení do vztahu pro hre: h re 8 4 T, 4 5,67,9 65,4,8 W/(m K) Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: 5,69 8, 5,846 8 8,,,,,, 7, 6,667,667,,48 4,66 65,4 Jedná o soustavu lineárních rovnic, kterou je možné vyřešit např. postupem podle Přílohy X. K..9 Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9 C, = 8, C, = -4,4 C = -5,6 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( i ) h R ( ) 7,69 ( 9) i 7,58 W/m

(. ) K (, ) 8 (9 8,) 7,58 W/m R (,, ) K (,, ), (8, 4,4) 7,58 W/m R (, ) K (, ) 6,667 (4,4 5,6) 7,58 W/m R ce re h ce ( ) h ( ) * ( 5,6 5),86* ( 5,6,5) 7,58 W/m e re sky Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce: R R R ( ) (9 5,6) 7,58 W/m,75 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m. Průběh teploty je vynen do grafu:. Obvodová stěna Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 4 W/m (vztaženo na m povrchu stěny). Vypočítejte teplotu na vnějším povrchu konstrukce, na vnitřním povrchu konstrukce a tepelnou ztrátu obvodovou stěnou. Řešení.. Známé veličiny: tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R až R, tepelné propustnosti K až K (z předchozích příkladů) teplota vnitřního vzduchu i = C teplota venkovního vzduchu e = -5 C emivita vnějšího povrchu obvodové stěny e =,9 (z předchozího příkladu) teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě nevkovního vzduchu -5 C sky = -,5 C (z předchozího příkladu)

celková intenzita slunečního záření vztažená na m povrchu stěny Isol = 4 W.. Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m].. Další potřebné informace: pohltivost slunečního záření pro vnější povrch a [ - ] Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu a =,75 (viz Přílohu X)..4 Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna slunečním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena přemění na teplo. Povrch stěny ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Dochází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí: prouděním (vítr) dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou) Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme postupovat obdobně. Teplota vnějšího povrchu bude závit na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního povrchu ( > ), bude teplo z vnějšího povrchu šířit směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud bude ( < ), bude teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu podobně jako v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme předpokládat, že <.

..5 Schéma problému: sluneční záření sol re r sky jasná obloha i,, re r = sky okolní povrchy ce e re povrch země r = sky sol R R R R h ce i,, h re e sky..6 Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace l =,5 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R =, ( ) přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R =,4 ( ), neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv slunečního záření pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního záření součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s) součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu. Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů shoduje s teplotou jasné oblohy je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě venkovního vzduchu. Naše volbou opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát významněji, než v předchozím příkladu.

..7 Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozích příkladů jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,, a, správnost výsledku zkontrolujeme z hodnot a vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci, určíme směr tepelného toku a určíme, zda jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí vykreslíme průběh teploty..8 Výpočty: Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: rozhraní vrstev, : rozhraní vrstev, : vnější povrch: sol ce re Hustoty tepelných toků: sol ce re Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků, až, ce a re a jejich hodnoty jsou shodné jako v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření vypočítá takto: sol I sol Soustava rovnic (neznámé jsou,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( i ) K (, ) K (, ) K (,, ) K (,, ) K (, ) K (, ) Isol hce ( e) hre ( sky ) Po roznásobení: h h i K K, K K, K, K, K K, K, K, K, Isol K hce hce e hre hre sky Po úpravách: ( h K ) K, K h ( K K), K, K, ( K K), K i

K K h h ), Vyčíslení: ( ce re I sol h ce h e re Tepelné odpory R a tepelné propustnosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním povrchu h a na vnějším povrchu hce a hre. Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: 5,69 8, 5,846 8 8,,,,,, 7, 6,667,667,,48 59,94 Jedná o soustavu lineárních rovnic, kterou je možné vyřešit např. postupem podle Přílohy X. sky..9 Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9,5 C, = 9, C, = 7,5 C = 6,9 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( i ) h R ( ) 7,69(9,5),854 W/m i (. ) K (, ) 8 (9,5 9),854 W/m R (,, ) K (,, ),(9 7,5),854 W/m R (, ) K (, ) 6,667(7,5 6,9),854 W/m R Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce: R R R ( ) (9,5 6,9),854 W/m,75 Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší ovšem hodnota hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí: ce re h ce ( ) h ( ) * (6,9 5),86* (6,9,5),854 W/m e re sky Rozdíl hustoty tepelného toku a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně W/m = sol = a Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována: sol ce re sol,854,854 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je,9 W/m.

Průběh teploty je vynen do grafu:

Příklady k samostatnému řešení. Tepelná bilance prostoru Majitel garáže zapomněl při odchodu zhasnout. Tuto chybu zjistil, když do garáže po čtyřiceti hodinách vrátil. Vypočítejte, kolik peněz jej tato chyba stála. Světlo po celou dobu jeho nepřítomnosti svítilo. Rozměry garáže jsou uvedeny na obrázku. Garáž je nevytápěná a nevětraná. Jednou delší stěnou soudí s rodinným domem. Součinitele prostupu tepla obalových konstrukcí garáže jsou uvedeny v tabulce. konstrukce orientace souč. prostupu tepla U [W/(m.K)] garážová vrata do vnějšího prostředí 5, obvodová stěna garáže do vnějšího prostředí,5 střecha garáže do vnějšího prostředí,5 podlaha garáže do vnějšího prostředí,5 stěna mezi garáží a rodinným domem do vnitřního prostředí, Teplota v garáži byla po celou dobu nepřítomnosti majitele C, venkovní teplota C a vnitřní teplota v soudním rodinném domě C. Tyto podmínky po dobu nepřítomnosti neměnily. Teplotu pod podlahou garáže uvažujte stejnou, jako venkovní teplotu. Tyto podmínky po dobu nepřítomnosti neměnily (ustálený stav). Garáž je osvětlená běžnou žárovkou. Můžete tedy zjednodušeně předpokládat, že veškerá elektrická energie spotřebovaná žárovkou přemění na teplo. Za jednu kilowatthodinu elektrické energie platí majitel garáže 4 Kč. Postup řešení: nakreslete schéma problému vyznačte v něm teploty a tepelné toky vyznačte známé a neznámé veličiny stavte v obecném tvaru bilanční rovnici vyjádřete z ní neznámé veličinu dosaďte čílné hodnoty známých vstupních veličin vypočítejte neznámou hodnotu napište odpověď na otázku postup řešení stručně okomentujte

. Vlhkostní bilance prostoru Majitel bazénové haly ptá: Kolik mám větrat, aby relativní vlhkost uvnitř haly byla 75%? Větrací zařízení přivádí do haly vzduch o teplotě 5 C a relativní vlhkosti %. Hala vytápí na C. Poraďte mu, svoji odpověď založte na výpočtu. Vodní hladina bazénu má plochu 4 m. Z hladiny bazénu odpařuje vodní pára rychlostí,99 kg/(m.h). Jiné zdroje vnitřní vlhkosti neuvažujte. Postup řešení: nakreslete schéma problému vyznačte v něm parametry vzduchu a vlhkostní toky vyznačte známé a neznámé veličiny stavte v obecném tvaru bilanční rovnici vyjádřete z ní neznámé veličinu dosaďte čílné hodnoty známých vstupních veličin vypočítejte neznámou hodnotu napište odpověď na otázku postup řešení stručně okomentujte

4 Příloha - emivita (dlouhovlnné tepelné záření) povrch emivita zdroj emivita zdroj povrch [ - ] [ - ] zlato leštěné. [] hliník leštěný.5 [] stříbro leštěné. [] hliník drsný.7 [] měď leštěná. [] hliník oxidovaný. -. [] měď oxidovaná.78 [] litina opracovaná.6 -.7 [] hliník leštěný.5 [] litina oxidovaná.9 [] hliník oxidovaný. [] chrom - lesklý povrch. [] ocel válcovaná.77 [] zlato - pozlacený povrch. [] ocel zkorodovaná.6 [] plech pocínovaný.9 [] ocel pozinkovaná.6 [] plech pozinkovaný. [] ocel leštěná.7 [] plech oxidovaný.8 [] olovo oxidované.8 [] ocel jemně opracovaná.4 [] sklo.9 [] ocel válcovaná.77 [] porcelán.9 [] ocel oxidovaná.8 [] cihla, omítka.9 [] ocel zkorodovaná.85 [] dřevo.9 [] azbestocementové desky.96 [] nátěr - černý lak.97 [] beton.89 [] nátěr - olejová barva.94 [] břidlice.66 [] nátěr - bílá barva.85 [] čedič.68 [] mramor leštěný.55 [] pálené cihly.9 [] papír.9 [] šamotové cihly.85 [] voda.95 [] vápenec.58 [] led, C.97 [] dřevo.9 [] guma měkká.86 [] guma tvrdá.9 [] střešní lepenka.9 [] mramor.9 [] žula.4 [] vápenná omítka.9 [] papír.9 [] textilní tapety.8 -.9 [] sklo.9 [] Literatura [] Hagentoft, C.-E. Introduction to building phycs Studentlitteratur [] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 998

5 Příloha - pohltivost slunečního záření materiál pohltivost sl. záření zdroj materiál pohltivost sl. záření zdroj [ - ] [ - ] sníh.5 [] černé nekovové povrchy.9 [] bílý nátěr.5 [] červená cihla, střešní taška, kámen.7 [] nabílený povrch. [] žlutá a leštěná cihla, kámen.6 [] světlé barvy. -.5 [] okenní sklo.5 [] leštěný hliník. -.6 [] matné sklo.5 [] cihla žlutá.55 [] leštěný hliník. [] cihla červená.75 [] ocel.5 [] beton.6 -.7 [] bílá barva. [] listy, tráva.75 [] světlé povrchy podlah.6 -.7 [] tmavé povrchy podlah, koberce.8 -.9 [] vlhká zemina.9 [] břidlice tmavě šedá.9 [] bitumen.9 [] Literatura [] Hagentoft, C.-E. Introduction to building phycs Studentlitteratur [] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 998