Studijní materiály k předmětu MK2

Studijní materiály k předmětu MK2 18. října 2012 Jan Ježek $Revision: 97 $ $LastChangedDate: 2011-03-17 10:29:28 +0100 (Čt, 17 bře 2011) $ 1

Obsah 1 Definice SRS a jejich transformací 9 1.1 Základní pojmy................................. 9 1.2 Formáty pro definování SRS a jejich transformací.............. 15 1.2.1 WKT - Well Known Text....................... 15 1.2.2 Geography Markup Language - GML................. 18 1.2.3 Formát Proj4.............................. 19 1.3 Databáze parametrů.............................. 19 1.3.1 Databáze EPSG............................. 19 1.3.2 Databáze ESRI............................. 20 2 Definice S-JTSK a ETRS89 v GIS 23 2.1 S-JTSK v EPSG................................ 23 2.2 S-JTSK v ESRI................................. 28 2.3 Rozdíly v definici S-JTSK........................... 31 2.4 Změny v definici v roce 2010.......................... 34 2.5 Definice WGS84 a ETRS89.......................... 34 3 Hlavní způsoby transforamce SRS (Souřadnicový referenční systém) 37 3.1 Podobnostní transformace ve 3D........................ 37 3.1.1 Moloděnského transformace...................... 37 3.1.2 Metoda Burša Wolf........................... 38 3.1.3 Metoda Moloděnský-Badekas..................... 40 3.1.4 Výpočet transformačních parametrů pro metodu Burša Wolf............................... 40 3.2 Transformace pomocí gridu.......................... 42 2

Obsah 3.2.1 Metoda NADCON........................... 44 3.2.2 Metoda NTv2.............................. 45 3.3 Vybrané způsoby určení transformačního gridu z identických bodů..... 46 3.3.1 Interpolace Thin Plate Spline..................... 46 3.3.2 Metoda na principu triangulace a afinní transformace........ 48 3.3.3 Metoda Inverse Distance Weigted................... 51 4 Dostupné transformační metody v současných GIS produktech 55 4.1 Produkty firmy ESRI.............................. 55 4.2 Produkty firmy Intergraph........................... 56 4.3 Řešení v Open Source knihovnách....................... 57 4.3.1 Tzv. geografické kalkulátory...................... 60 5 Současné možnosti převodu S-JTSK a ETRS89 61 5.1 Definice transformace v databázi EPSG přesnost GIS................................. 61 5.2 Ostatní způsoby transformace geodetická přesnost.............................. 62 5.3 S JTSK/05................................... 64 5.4 Změny po roce 2010.............................. 65 6 Odvození transformačního klíče lineárních 2D transformací 66 6.1 Metody vyrovnání............................... 66 6.2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací................. 69 6.3 Podobnostní transformace........................... 70 6.4 Afinní transformace............................... 71 6.4.1 Afinní transformace s podmínkami.................. 73 6.4.2 Projektivní transformace........................ 75 6.4.3 Speciální případy afinní transformace................. 76 7 Knihovna Proj 78 7.1 Základní ovládání................................ 78 7.1.1 Výběr zobrazení a jeho parametrů................... 78 3

Obsah 7.1.2 Vstup a výstup dat........................... 81 7.2 Zadávání parametrů.............................. 82 7.3 Způsob zadávání vybraných zobrazení.................... 84 Literatura 89 4

Seznam obrázků 1.1 Vztah mezi jednotlivými souřadnicovými systémy (převzato z http://en. wikipedia.org/wiki/geodetic_system).................... 11 1.2 UML (Unified Modeling Language) Rozdělení souřadnicových referenčních systémů..................................... 12 1.3 Rozdělení souřadnicových systémů....................... 14 1.4 Rozdělení datumů................................ 14 1.5 Databáze EPSG - převzato z [7]........................ 21 2.1 Aplikace pro vyhledávání SRS......................... 24 2.2 Systém ETRS89 / LAEA v programu udig.................. 36 3.1 Transformace pomocí gridu.......................... 43 3.2 Interpolace Thin Plate Spline......................... 49 3.3 Metoda Rubber Sheeting............................ 50 3.4 Interpolace Inverse Distance Weighted.................... 51 3.5 Vliv volby parametru p............................. 54 4.1 Použití knihoven Proj.4 a GeoTools...................... 58 5

Seznam tabulek 2.1 EPSG kód 4156................................. 25 2.2 EPSG kód 4818................................. 26 2.3 EPSG kód 2065................................. 27 2.4 Transformace WGS84 do S-JTSK v EPSG pro ČR.............. 28 2.5 Názvy stejných parametrů v různých projektech............... 32 4.1 Přehled typů transformací implicitně nastavených v ArcGIS a GeoMedia Professional používaných pro celé území bývalého Československa..... 57 6

List of Acronyms CZEPOS..... EPSG......... GIS........... Česká sít permanentních stanic European Petroleum Survey Group Geografický informační systém GML.......... Geography Markup Language - více viz [13]. GPS.......... Globální polohové systémy IDW.......... Inverse disntace weigthed - Interpolační algoritmus. MNČ......... OGC.......... RDBMS...... S-JTSK....... Metoda nejmenších čtverců Open Geospatial Consortium Relational database management system Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální SQL.......... Structured Query Language - Standardizovaný dotazovací jazyk. SRS........... Souřadnicový referenční systém TPS.......... Thin Plate Spline - Intepolační algoritmus. UML.......... Unified Modeling Language WFS.......... Web Feature Service - více viz [15]. WGS84....... World Geodetic System 1984 - Světový geodetický systém 1984. WKB......... Well-Known Binary 7

Seznam tabulek WKT......... Well-Known Text - Značkovací jazyk umožňující popis geometrie vektorových prvků a definici referenčního souřadnicového systému. XML.......... Extensible Markup Language - Rozšiřitelný značkovací jazyk. 8

Kapitola 1 Definice SRS a jejich transformací Předmětem následující kapitoly je shrnutí teoretických informací ohledně možností transformace mezi referenčními souřadnicovými systémy s důrazem na metody používané v GIS. Kapitola vychází převážně z teorie popsané v dostupné literatuře, přičemž některé konečné tvary vzorců byly dle této teorie odvozeny. Definice souřadnicového referenčního systému (SRS) a jeho parametrů je nutnou součástí prostorových dat. Dle [14] informace o SRS definuje spojitost souřadnic se zemským povrchem. Z pohledu GIS, kdy často musíme kombinovat data vztažená k různým SRS, je také jednoznačná definice SRS důležitým krokem k úspěšné přenositelnosti dat mezi jednotlivými softwarovými produkty. 1.1 Základní pojmy Tato část se zabývá definicí základních pojmů použitých v této práci. Jasné definování pojmů slouží k jednoznačnému chápání a užívaní odvozených a implementovaných vztahů v dalších kapitolách. Terminologie vychází z [32] a částečně z [30]. Vzhledem k faktu, že uvedené výrazy dle dané normy ISO nejsou zatím zcela vžité v běžném odborném jazyce, je často uváděn i anglický ekvivalent. Pojmem souřadnicový systém (coordinate system) se rozumí množina matematických pravidel, podle nichž jsou souřadnice přiřazovány k bodům. Souřadnicový systém obsahuje definici souřadnicových os a jednotek. Pojmem souřadnicový referenční systém (SRS) se rozumí souřadnicový systém spojený se Zemí pomocí datumu. 9

1.1. Základní pojmy Pojmem geodetické datum se rozumí parametr nebo soubor parametrů, které definují počátek, měřítko a orientaci souřadnicového referenčního systému [32]. Dle [30] je geodetickým datumem např. elipsoid, nebo geoid. Pojmem souřadnicový systém zobrazení (projected coordinate reference system) se rozumí dvojrozměrný souřadnicový systém vzešlý z kartografického zobrazení (dle [32]). Souřadnice bodů lze převádět z jednoho souřadnicového systému do jiného. Tento převod se dle národní verze normy ISO19111 nazývá operace na souřadnicích (coordinate operation). Tyto operace lze rozdělit na základní dva typy: Konverze souřadnic (coordinate conversion) tímto pojmem rozumíme operaci, ve které nedochází ke změně datumu. Vztah mezi souřadnicovými systémy je jednoznačně definován. Příkladem konverze je kartografické zobrazení nebo přepočet ze zeměpisných souřadnic na geocentrické. Transformace souřadnic (coordinate transformation) změna souřadnic z jednoho souřadnicového referenčního systému do jiného souřadnicového referenčního systému založeného na odlišném datumu, a to prostřednictvím vztahu jedna ku jedné. Transformace souřadnic používá parametry (transformační klíč), které jsou empiricky odvozeny z množiny bodů o souřadnicích známých v obou souřadnicových referenčních systémech. Pojmem transformační klíč rozumíme množinu hodnot transformačních parametrů dané metody. Pojmem lineární transformace rozumíme transformaci, v níž obrazem přímky je přímka, tzn. je zachována kolinearita. V následujícím textu je pozornost věnována především transformacím souřadnic mezi horizontálními referenčními souřadnicovými systémy používanými v České republice s důrazem na tuto problematiku v kontextu GIS. V GIS se nejčastěji setkáváme se dvěma základními druhy SRS, a to s geografickými souřadnicovými systémy nebo se systémy, které aplikují na geografické souřadnice kartografické zobrazení. Dle [12] jsou tyto systémy označovány takto: Projected Coordinate System (Souřadnicový systém zobrazení). Příklad definice viz 2.3. 10

1.1. Základní pojmy Geographic Coordinate System (Geografický souřadnicový systém). Příklad definice viz 2.2. Úplné dělení SRS dle OGC (Open Geospatial Consortium) je patrné z obrázku 1.2. Tento UML (Unified Modeling Language) diagram je znázorněním vybraných rozhraní knihovny GeoAPI, což je knihovna Java rozhraní, vytvořená dle specifikace OGC. Více o GeoAPI viz sekce?? nebo [4]. Pro výpočty je důležitý taktéž geocentrický souřadnicový systém. Vzájemný vztah ilustruje obr. 1.1. Obrázek 1.1: Vztah mezi jednotlivými souřadnicovými systémy (převzato z http://en. wikipedia.org/wiki/geodetic_system) 11

1.1. Základní pojmy Obrázek 1.2: UML Rozdělení souřadnicových referenčních systémů 12

1.1. Základní pojmy Z obrázku 1.2 je také patrné, že souřadnicový systém zobrazení (Projected Coordinte System) a geografický souřadnicový systém (Geographic Coordinate System) musí mít vždy definováno datum a také vnitřní souřadnicový systém (CS - coordinate system). Rozdělení CS je patrné z obrázku 1.3. Rozdělení datumů z obrázku 1.4. V rámci jednoho datumu (např. Besselova elipsoidu a rámce S-JTSK) lze na souřadnice nahlížet ve třech ruzných souřadnicových systémech: Rovinných x, y Geografických ϕ, λ Geocentrických X, Y, Z Převod mezi těmito systémy je exaktně definován (dle terminologie jde o konverzi souřadnic). Konverze x, y, h ϕ, λ, H el je definována použitým kartografickým zobrazením. Převod geografických sořadnic na geocentrické popisuje následující část: Převod souřadnic (ϕ, λ, H) na (X, Y, Z) V případě, že chceme převést souřadnice pomocí Helmertovy 3D transformace, musíme nejprve z ϕ, λ vypočítat geocentrické pravúhlé souřadnice X, Y, Z podle následujících vztahů: X = (N + H) cos ϕ cos λ (1.1) Y = (N + H) cos ϕ sin λ Z = ([ 1 e 2] + H ) sin ϕ. Elipsoidická výška H je rovna součtu jeho normální výšky H n a výšky ζ kvazigeoidu (geoidu) Q nad elipsoidem E. H = H n + ζ Transformace souřadnic (X, Y, Z) na (ϕ, λ, H) Geodetickou délku λ vyjádříme z prvních dvou rovnic (1.1) tan λ = Y X. Pro geodetickou šířku ϕ je odvození složitější a je nutné použít iteraci viz [?]. Výsledné iterační vzorce: 13

1.1. Základní pojmy Obrázek 1.3: Rozdělení souřadnicových systémů Obrázek 1.4: Rozdělení datumů 14

1.2. Formáty pro definování SRS a jejich transformací První přibližnou hodnotu geodetické šířky vypočteme ze vztahu: tan ϕ I = Z (1 + e 2 ) X2 + Y 2. (1.2) K hodnotě ϕ I určíme odpovídající N I : N I = a 1 e2 sin 2 ϕ I. (1.3) A dosadíme do následujícího přesného vztahu, čímž určíme druhou přibližnou hodnotu ϕ II : Pro třetí aproximaci bude platit: tan ϕ II = Z + N I e 2 sin ϕ I X2 + Y 2. (1.4) tan ϕ III = Z + N II e 2 sin ϕ II X2 + Y 2. (1.5) Z již třetí aproximace dává hledanou hodnotu ϕ = ϕ III. Ze vztahu (1.1) již snadno vypočítame výšku H: H = X cos ϕ sin λ (1.6) Následující sekce mají za cíl popsat základní metody a standardy používané v GIS v kontextu referenčních souřadnicových systémů s důrazem na definici S-JTSK. Následující části vychází z [30], [31] a zejména z [12] a [14]. 1.2 Formáty pro definování SRS a jejich transformací 1.2.1 WKT - Well Known Text Pro popis souřadnicového systému dat je v GIS patrně nejrozšířenějším způsobem formát WKT (Well-Known Text). WKT text je značkovací jazyk umožňující popis geometrie vektorových prvků a také právě definici referenčního souřadnicového systému, použitého kartografického zobrazení a případně i transformace [12]. Binární obdobou je formát Wellknown binary (WKB), který je většinou použit především pro přenos a uložení dat do databáze (např. PostGIS). Oba formáty jsou podrobně popsány konsorciem OGC (více viz [12]). 15

1.2. Formáty pro definování SRS a jejich transformací Kromě definice SRS jako takového (specifikace datumu a případně kartografické zobrazení) umožňuje WKT definovat též transformaci z jednoho SRS do jiného. Příklad definice systému S-JTSK ve formátu WKT viz ukázka 2.1. WKT také umožňuje definovat přímo souřadnicové transformace a případně je řetězit. Ukázku definice ve formátu WKT pro převod z S-JTSK (Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální) do WGS84 (World Geodetic System 1984) vygenerované pomocí knihovny GeoTools viz zdrojový kód 1.1. 16

1.2. Formáty pro definování SRS a jejich transformací Listing 1.1: Vyjádření převodu pomocí formátu WKT 1 CONCAT_ MT [ 2 INVERSE_MT [ PARAM_MT [" Krovak ", 3 PARAMETER [" semi_major ", 6377397.155], 4 PARAMETER [" semi_ minor ", 6356078. 962818189], 5 PARAMETER [" latitude_of_center ", 49.5], 6 PARAMETER [" longitude_of_center ", 42.5], 7 PARAMETER [" azimuth ", 30. 288139722222223], 8 PARAMETER [" pseudo_standard_parallel_1 ", 78.5], 9 PARAMETER [" scale_factor ", 0.9999], 10 PARAMETER [" false_easting ", 0.0], 11 PARAMETER [" false_ northing ", 0.0]]], 12 PARAM_MT [" Affine ", 13 PARAMETER [" num_row ", 3], 14 PARAMETER [" num_col ", 3], 15 PARAMETER [" elt_0_2 ", -17.666666666666668]], 16 PARAM_MT [" Ellipsoid_To_Geocentric ", 17 PARAMETER [" dim ", 2], 18 PARAMETER [" semi_major ", 6377397.155], 19 PARAMETER [" semi_minor ", 6356078.962818189]], 20 PARAM_ MT [" Position Vector 7- param. transformation ", 21 PARAMETER ["dx", 570.8], 22 PARAMETER ["dy", 85.7], 23 PARAMETER ["dz", 462.8], 24 PARAMETER ["ex", 4.998], 25 PARAMETER ["ey", 1.587], 26 PARAMETER ["ez", 5.261], 27 PARAMETER [" ppm ", 3.55999999990253]], 28 PARAM_MT [" Geocentric_To_Ellipsoid ", 29 PARAMETER [" dim ", 2], 30 PARAMETER [" semi_major ", 6378137.0], 31 PARAMETER [" semi_minor ", 6356752.314245179]]] Ukázka znázorňuje postupně všechny kroky transformace: 2. - 11. řádek - kartografické zobrazení (Křovák) z Y, X na ϕ, λ 12. - 15. řádek - afinní transformace (v tomto případě pouze posun) pro změnu nultého poledníku z Ferro na Greenwich 16. - 19. řádek - přepočet z ϕ, λ na geocentrické souřadnice 17

1.2. Formáty pro definování SRS a jejich transformací 19. - 27. řádek - sedmiprvková transformace Position Vector - tato metoda používá shodných vztahů jako Burša-Wolf. 28. - 31. řádek - přepočet z geocentrických souřadnic na ϕ, λ. Formát WKT je dnes velmi rozšířený a často používaný. Slouží např. pro definování SRS pro formát Shapefile nebo pro formáty rastrových dat (jpg, png apod). Definice SRS pomocí WKT je podporována snad ve všech GIS produktech, které umožňují práci se SRS. 1.2.2 Geography Markup Language - GML GML (Geography Markup Language) je dialekt XML (Extensible Markup Language) definovaný OGC pro vyjádření prostorových prvků. GML umožňuje modelovaní těchto prvků a jejich souvislostí a je používán především k předávání prostorových dat v prostředí internetu. Specifikace GML viz [13]. GML umožňuje i definici SRS. Pro tuto definici lze použít číselný odkaz pomocí kódu EPSG (European Petroleum Survey Group) na definici souřadnicového systému viz ukázka 1.2. Listing 1.2: Ukázka GML 1 < waterbw : the_geom > 2 <gml : MultiLineString srsname =" EPSG :31467 "> 3 < gml : linestringmember > 4 <gml : LineString > 5 <gml : coordinates > 6 3553718. 10, 5275919. 49 7 3553721. 78, 5275950. 49 8 </ gml : coordinates > 9 </ gml : LineString > 10 </ gml : linestringmember > 11 </ gml : MultiLineString > 12 </ waterbw : the_geom > GML umožňuje také kompletní popis celého SRS - viz příloha??. 18

1.3. Databáze parametrů 1.2.3 Formát Proj4 Program Proj4 je patrně nejrozšířenější open source knihovnou pro práci se SRS a kartografickými zobrazeními. Součástí knihovny Proj4 je i sada utilit (programů spustitelných pomocí příkazového řádku), které umožňují provádět přepočty. Syntaxe, pomocí které se zadávají vlastní parametry pro utility, se stala de facto standardem i pro definování SRS v GIS produktech, které tuto knihovnu využívají (např. PostGIS, Grass, QGIS) - více viz 4.3 a [6]. Ukázka definice sytému S-JTSK: Listing 1.3: Ukázka formátu Proj4 1 + proj = krovak + lat_0 =49.5 + lon_0 =42.5 + alpha =30.28813972222222 +k =0.9999 + x_0 =0 + y_0 =0 + ellps = bessel +pm= ferro + units =m + no_defs Jednotlivá zobrazení se zadávají pomocí parametru, který obsahuje jméno zobrazení, dále potom parametrů, které definují konkrétní zobrazení a nakonec parametrů elipsoidu (resp. sféry). Těmto parametrům předchází znak +. Kompletní popis formátu Proj4 viz [6], případně 1.3 Databáze parametrů 1.3.1 Databáze EPSG Samotné hodnoty parametrů jsou většinou součástí konfigurací jednotlivých GIS produktů. Tyto produkty však zpravidla neprovádějí vlastní údržbu a aktualizaci samotných hodnot, ale používají některou z autorit, která tyto hodnoty publikuje (viz dokumentace ke knihovnám Proj4 a GeoTools). Nejčastěji citovaným zdrojem definic je patrně databáze EPSG, které se podrobněji věnuje tato část. Následující informace jsou stručným shrnutím poznatků zjištěných během praktických zkušeností s prací s databází a dále vychází především z [7]. European Petroleum Survey Group (EPSG) vytvořila v roce 1985 databázi geodetických parametrů určenou pro definici referenčních souřadnicových systémů a jejich převodů. V roce 2005 se EPSG změnila na Surveying and Positioning Committee, spadající pod International Association of Oil and Gas Producers (OGP). Dnes se používá označení EPSG databáze. 19

1.3. Databáze parametrů Dle [7] je EPSG databáze parametrů určených především pro: Jednoznačné identifikování souřadnicového referenčního systému. Definování transformací a konverzí mezi jednotlivými souřadnicovými referenčními systémy. Databáze EPSG je distribuovaná jako databáze ve formátu MS Access 97 nebo jako jako sada SQL (Structured Query Language) příkazů pro RDBMS (Relational database management system) PostgreSQL, mysql nebo Oracle. Kromě samotné databáze poskytuje organizace i řadu metadat a dalších informací, včetně vzorců zobrazení a transformací. K dispozici jsou tyto dokumenty: Use of the EPSG Geodetic Parameter Dataset - viz [16] - přehled o tom, co je EPSG databáze, kdy a jak vznikla, co obsahuje, jak jsou uspořádány informace, jak se s databází EPSG dá pracovat. Coordinate Conversions and Transformations including Formulas - viz [2] - detailní popis operací na souřadnicích (coordinate operations) zahrnutých v EPSG (tato data jsou samozřejmě i v samotné databázi EPSG, zde jsou ale uvedena obecnější formou). Samotná aktualizace databáze probíhá zpravidla jednou ročně. Databáze EPSG je navržena k tomu, aby zahrnula všechny důležité informace potřebné k popisu SRS a operací na souřadnicích (coordinate operation). Vše je uspořádáno v databázové struktuře, kde jednotlivé entity, které tvoří součásti této definice, jsou v oddělených tabulkách. Schematické znázornění databázové struktury viz obr. 1.5. 1.3.2 Databáze ESRI Produkty od ESRI disponují vlastní definicí SRS. Např. v produktu ArcGIS jsou tyto definice uloženy prostřednictvím souborů s příponou prj v adresáři ArcGIS/Coordinate Systems. Definice jsou uloženy ve formátu WKT. Vedle definice SRS ArcGIS obsahuje i širokou škálu definic transformací mezi SRS, včetně podpory transformací definovaných uživatelem. Tyto transformace jsou uloženy taktéž ve formátu WKT. Ukázku definice transformace pomocí metody NADCON viz zdrojový kód 1.4. 20

1.3. Databáze parametrů Obrázek 1.5: Databáze EPSG - převzato z [7] 21

1.3. Databáze parametrů Listing 1.4: Definice transformace v ArcGIS 1 GEOGTRAN [" SJTSK2WGS ",GEOGCS [" GCS_WGS_1984 ", 2 DATUM [" D_WGS_1984 ", 3 SPHEROID [" WGS_1984 ",6378137.0,298.257223563]], 4 PRIMEM [" Greenwich ",0.0], 5 UNIT [" Degree ",0.0174532925199433]], 6 GEOGCS [" GCS_S_JTSK ",DATUM [" D_S_JTSK ", 7 SPHEROID [" Bessel_1841 ",6377397.155,299.1528128]], 8 PRIMEM [" Greenwich ",0.0], 9 UNIT [" Degree ",0.0174532925199433]], 10 METHOD [" NADCON "], 11 PARAMETER [" dataset_cz ",0.0]] 22

Kapitola 2 Definice S-JTSK a ETRS89 v GIS 2.1 S-JTSK v EPSG Jak již bylo zmíněno, pro vývoj GIS (Geografický informační systém) existuje několik organizací, které definují SRS. Vzhledem k potřebě datové interoperability je sjednocení a užívání shodné definice systému klíčové. Následující část je výpisem jednotlivých definic oficiálního národního systému S-JTSK dle konkrétních organizací. Dále jsou také popsány rozdíly a zejména úskalí, která způsobují problémy a nejasnosti při přenášení mezi softwarovými platformami. V EPSG (verze 7.6) jsou tyto definice S-JTSK se zobrazením: EPSG:2065 EPSG:5221 (po 2010) - modifikované Křovákovo zobrazení 1 EPSG:5224 (po 2010) - modifikované Křovákovo zobrazení EPSG:5225 (po 2010) - modifikované Křovákovo zobrazení Definice S-JTSK - geografický SRS EPSG:4156 EPSG:4818 1 Modifikované Křovákovo zobrazení je v zásadě Křovákovo zobrazení s dodatečnou transformaci pomocí polynomu, jež částečně odstraňuje lokální deformace S-JTSK. Více viz [26] 23

2.1. S-JTSK v EPSG Obrázek 2.1: Aplikace pro vyhledávání SRS EPSG:5228 (po 2010) - SJTSK/05 EPSG:5229 (po 2010) - SJTSK/05 Ferro Autorem definic je VUGTK, nebo Zeměměřický úřad. Jednotlivé definice lze vyhledat na adrese: http://www.epsg-registry.org/. Její ukázka viz 2.1. Tabulky 2.1, 2.2 a 2.3 znázorňují výpis z databáze EPSG týkající se sytému S-JTSK. 24

2.1. S-JTSK v EPSG CRS: S-JTSK Code: 4156 Geodetic Datum: Jednotne Trigonometricke Site Katastralni CRS kind: geographic 2D Prime Meridian: Greenwich Ellipsoid: Bessel 1841, semi-major axis (a) = 6377397,155 metre, inverse flattening (1/f) =299,1528128 Axis Name Abbr. Axis Units Orientation CS Axes: Geodetic latitude Lat degree north Geodetic longlitude Lang degree east CS remarks: Coordinates referenced to this CS are in degrees. Any degree representation (e.g. DMSH, decimal, etc.) may be used but that used must be declared for the user by the supplier of data. Used in geographic 2D coordinate reference systems Datum origin: Modification of Austrian MGI datum, code 6312. Datum remarks: S-JTSK = System of the Unified Trigonometrical Cadastral Network. Datum info. source: Research Institute for Geodesy Topography and Cartography (VUGTK); Prague. CRS scope: Geodetic survey. CRS remarks: S-JTSK is the Uniform Trigonometric Cadastral Network. It is a modification of the Austrian MGI geogcrs, code 4312. CRS info. source: Research Institute for Geodesy Topography and Cartography (VUGTK); Prague. Data source: EPSG Revision: 06-I-04 Change: 2001.260 2003.370 CRS area of use: Czech Republic; Slovakia. Tabulka 2.1: EPSG kód 4156 25

2.1. S-JTSK v EPSG CRS: S-JTSK (Ferro) Code: 4818 Geodetic Datum: S-JTSK (Ferro) Epoch: 1920 CRS kind: geographic 2D Prime Meridian: Ferro Ellipsoid: Bessel 1841, semi-major axis (a) = 6377397,155 metre, inverse flattening (1/f) =299,1528128 Axis Name Abbr. Axis Units Orientation CS Axes: Geodetic latitude Lat degree north Geodetic longlitude Lang degree east CS remarks: Coordinates referenced to this CS are in degrees. Any degree representation (e.g. DMSH, decimal, etc.) may be used but that used must be declared for the user by the supplier of data. Used in geographic 2D coordinate reference systems Datum origin: Modification of Austrian MGI datum, code 6312. Datum info. source: Research Institute for Geodesy Topography and Cartography (VUGTK); Prague. CRS scope: Geodetic survey. CRS remarks: S-JTSK is the Uniform Trigonometric Cadastral Network. It is a modification of the Austrian MGI geogcrs, code 4805. CRS info. source: Research Institute for Geodesy Topography and Cartography (VUGTK); Prague. Data source: EPSG Revision: 06-I-04 Change: 2003.370 CRS area of use: Czech Republic; Slovakia. Tabulka 2.2: EPSG kód 4818 26

2.1. S-JTSK v EPSG CRS: S-JTSK (Ferro) / Krovak Code: 2065 EuroGeograph CZ_S-JTSK Identifier: KROVAK, SK_S-JTSK, KROVAK Base GeogCRS: S-JTSK (Ferro) Geodetic Datum: S-JTSK (Ferro) CRS kind: projected Prime Meridian: Ferro (Greenwich Longitude: 17 o 40 0 W) Ellipsoid: Bessel 1841 semi-major axis (a) = 6377397,155 metre inverse flattening (1/f) =299,1528128 Axis Name Abbr. Axis Units Orientation CS Axes: Southing X metre south Weswting Y metre west Map Projection: Krovak Projection Method: Krovak Oblique Conic Conformal Parameter Name Parameter Value Unit/Orient. Latitude of projection centre 49 o 30 0 N Longitude of projection centre 42 o 30 0 E Azimuth of initial line 30 o 17 17.30300 Latitude of pseudo standard parallel 78 o 30 0 N Scale factor on pseudo standard 0.9999 unity Easting at projection centre 0 metre Northing at projection centre 0 metre Projection: Longitude is referenced to the Ferro meridian. Datum origin: Modification of Austrian MGI (Ferro) datum. CRS scope: Large and medium scale topographic mapping and engineering survey. CRS info. source: Research Institute for Geodesy Topography and Cartography (VUGTK); Prague. Data source: EPSG Revision: 07-III-00 CRS area of use: Czech Republic; Slovakia. Tabulka 2.3: EPSG kód 2065 27

2.2. S-JTSK v ESRI Transformation: S-JTSK (Ferro) to WGS 84 Code: 8642 Source: CRS code: 4156 Name: S-JTSK Target: CRS code: 4326 Name: WGS 84 Transformation Position Vector 7-param. transformation method: Transformation Value Unit of Measure Parameter Name X-axis translation 570.8 metre Y-axis translation 85.7 metre Z-axis translation 462.8 metre X-axis rotation 4.998 arc-second Y-axis rotation 1.587 arc-second Z-axis rotation 5.261 arc-second Scale difference 3.56 parts per million Data: EPSG Rev. Date: 05-VI-01 Information: EPSG Scope: For applications to an accuracy of 1 metre. Parameter values from S-JTSK to ETRS89 (12) (code 16221624). Assumes Remarks: ETRS89 and WGS 84 can be considered the same to within the accuracy of the transformation. Area of Use: Czech Republic Slovakia (Slovak Republic) Tabulka 2.4: Transformace WGS84 do S-JTSK v EPSG pro ČR 2.2 S-JTSK v ESRI Produkty firmy ESRI používají k definici SRS popis formou WKT. Některé definice ESRI pro S-JTSK bohužel nejsou zcela kompatibilní s databází EPSG (např. v názvech parametrů zobrazení - viz 2.5). Hlavním důsledkem tohoto rozdílu jsou potíže při implementování Křovákova zobrazení tak, aby bylo kompatibilní jak s definicí v knihovně Proj4 a GeoTools, tak s produkty firmy ESRI. Pro S-JTSK ESRI definuje tyto SRS: ESRI (dle verze 10) podporuje následující varianty S-JTSK. Pro S-JTSK ve fromě se zobrazením: S-JTSK_Ferro_Krovak shodné s EPSG 2065 28

2.2. S-JTSK v ESRI S-JTSK_Ferro_Krovak_East_North kód ESRI 102066 S-JTSK_Krovak kód ESRI 102065 S-JTSK_Krovak_East_North kód ESRI 102067 Obecně jednoznačně nejpoužívanější variantou je S-JTSK 102067. Listing 2.1: S-JTSK Ferro Krovak East North - ESRI 102066 1 GEOGCS [" GCS_S_JTSK_Ferro ", 2 DATUM [" D_S_JTSK ", 3 SPHEROID [" Bessel_1841 ",6377397.155,299.1528128]], 4 PRIMEM [" Ferro ", -17.66666666666667], 5 UNIT [" Degree ",0.0174532925199433]], 6 PROJECTION [" Krovak "], 7 PARAMETER [" False_Easting ",0.0], 8 PARAMETER [" False_Northing ",0.0], 9 PARAMETER [" Pseudo_Standard_Parallel_1 ",78.5], 10 PARAMETER [" Scale_Factor ",0.9999], 11 PARAMETER [" Azimuth ", 30. 28813975277778], 12 PARAMETER [" Longitude_Of_Center ",42.5], 13 PARAMETER [" Latitude_Of_Center ",49.5], 14 PARAMETER [" X_Scale ", -1.0], 15 PARAMETER [" Y_Scale ",1.0], 16 PARAMETER [" XY_Plane_Rotation ",90.0], 17 UNIT [" Meter ",1.0], 18 AUTHORITY [" ESRI ",102066]] 29

2.2. S-JTSK v ESRI Listing 2.2: S-JTSK Krovak - ESRI 102065 1 PROJCS ["S- JTSK_Krovak ", 2 GEOGCS [" GCS_S_JTSK ", 3 DATUM [" D_S_JTSK ", 4 SPHEROID [" Bessel_1841 ",6377397.155,299.1528128]], 5 PRIMEM [" Greenwich ",0.0], 6 UNIT [" Degree ",0.0174532925199433]], 7 PROJECTION [" Krovak "], 8 PARAMETER [" False_Easting ",0.0], 9 PARAMETER [" False_Northing ",0.0], 10 PARAMETER [" Pseudo_Standard_Parallel_1 ",78.5], 11 PARAMETER [" Scale_Factor ",0.9999], 12 PARAMETER [" Azimuth ", 30. 28813975277778], 13 PARAMETER [" Longitude_ Of_ Center ", 24. 83333333333333], 14 PARAMETER [" Latitude_Of_Center ",49.5], 15 PARAMETER [" X_Scale ",1.0], 16 PARAMETER [" Y_Scale ",1.0], 17 PARAMETER [" XY_Plane_Rotation ",0.0], 18 UNIT [" Meter ",1.0], 19 AUTHORITY [" ESRI ",102065]] Listing 2.3: S-JTSK Krovak East North - - ESRI 102067 1 GEOGCS [" GCS_S_JTSK ", 2 DATUM [" D_S_JTSK ", 3 SPHEROID [" Bessel_1841 ",6377397.155,299.1528128]], 4 PRIMEM [" Greenwich ",0.0], 5 UNIT [" Degree ",0.0174532925199433]], 6 PROJECTION [" Krovak "], 7 PARAMETER [" False_Easting ",0.0], 8 PARAMETER [" False_Northing ",0.0], 9 PARAMETER [" Pseudo_Standard_Parallel_1 ",78.5], 10 PARAMETER [" Scale_Factor ",0.9999], 11 PARAMETER [" Azimuth ", 30. 28813975277778], 12 PARAMETER [" Longitude_ Of_ Center ", 24. 83333333333333], 13 PARAMETER [" Latitude_Of_Center ",49.5], 14 PARAMETER [" X_Scale ", -1.0], 15 PARAMETER [" Y_Scale ",1.0], 16 PARAMETER [" XY_Plane_Rotation ",90.0], 17 UNIT [" Meter ",1.0], 30

2.3. Rozdíly v definici S-JTSK 18 AUTHORITY [" ESRI ",102067]] 2.3 Rozdíly v definici S-JTSK Z předchozí části je patrné, že i přes že pro S-JTSK v jeho fomě s kart. zobrazením existují Tato část se zabývá problémy, jež jsou způsobeny odlišnou definicí S-JTSK a Křovákova zobrazení v různých GIS produktech. Předmětem zájmu jsou: Produkt firmy ESRI -ArcGIS 9.2 Knihovna Proj4 Knihovna GeoTools 2.5 Projekt GeoTiff (více viz [29]). Text reaguje na častý dotaz uživatelů na použití S-JTSK v GIS GRASS (produkt na bázi Proj4), v produktech GeoServer a udig (produkty na bázi GeoTools) a softwaru ArcMap. Hlavním problémem, který je důsledkem popsaných definic, je problematická interoperabilita dat při přenosu mezi GIS produkty, které používají různé knihovny pro práci s SRS. Např. v případě, že data v S-JTSK vytvořená v prostředí ArcGIS uložíme do databáze PostgreSQL (s nadstavbou PostGIS) a dále je chceme poskytovat pomocí aplikace GeoServer ve formě WFS, může dojít k problémům vzhledem k různé definici S-JTSK v těchto aplikacích. Jedním z problémů je různý název parametrů Křovákova zobrazení. Tabulka 2.5 znázorňuje např. ukázku rozdílného pojmenovaní vybraných parametrů v projektu GeoTiff, OGC, EPSG a ESRI, které jsou použity v tomto zobrazení. Různé používání názvů pro jednotlivé parametry je patrné také z implementace Křovákova zobrazení v knihovně GeoTools - viz řádky 285-410 přílohy??. 31

2.3. Rozdíly v definici S-JTSK GeoTiff OGC EPSG ESRI ScaleAtCenter scale_factor Scale factor on pseudo standard parallel scale_factor AzimuthAngle azimuth Azimuth of initial line azimuth Tabulka 2.5: Názvy stejných parametrů v různých projektech Kompletní seznam názvů parametrů Křovákova zobrazení lze nalézt na adrese http: //www.remotesensing.org/geotiff/proj_list/krovak.html. Hlavní příčina problémů však spočívá v různém použití orientace souřadnicových os. Jednotlivé produkty používají rozdílné parametry k explicitnímu určení jejich směru a zároveň je také vlastní kartografické zobrazení implementováno různě. Cílem následujících odstavců je souhrnně sepsat implicitní vlastnosti implementace Křovákova zobrazení a uvést i parametry, které lze použít pro změnu orientace os. Způsoby definice orientace souřadnicových os a vlastnosti implementace Křovákova zobrazení: ESRI - Směr os samotné implementace Křovákova zobrazení 2 je implicitně ve smyslu: x = jih, y = západ. Pro otočení lze použít parametr: 1 PARAMETER [" X_Scale ",-1], 2 PARAMETER [" Y_Scale ",1], 3 PARAMETER [" XY_Plane_Rotation ",90], 4 UNIT [" Meter ",1]] Proj4 (ve verzi Proj4.4.5.0 a vyšší) - Směr os samotné implementace Křovákova zobrazení je implicitně ve smyslu: x = východ, y = sever. Pro změnu orientace os lze použít volitelný parametr +czech. Proj4 (ve verzi nižší než Proj4.4.5.0) - Směr os samotné implementace Křovákova zobrazení je implicitně ve smyslu: 2 Vlastností implementace samotného zobrazení je myšleno chování výpočtu s použitím pouze povinných parametrů. Např. ArcGIS při použití systému S-JTSK (s kódem 102067) souřadicové osy umístí ve směru x = východ, y = sever, avšak toto umístění je způsobeno použitím explicitních paramterů SRS, které osy otočí. Samotné zobrazení je tak implementováno pro směr os ve smyslu x = jih, y = západ. 32

2.3. Rozdíly v definici S-JTSK x = jih, y = východ. Změnu orientace os lze provést pouze nepřímo pomocí volby parametru UNIT["Meter",-1] GeoTools - Směr os samotné implementace Křovákova zobrazení je implicitně ve smyslu: x = východ, y = sever. Volbu směru souřadnicových os lze jednoznačně nastavit pomocí parametru AXIS 1 např.: 1 AXIS ["x", EAST ], 2 AXIS ["y", NORTH ], GeoTools (od verze 2.6) umožňují i použití definice ESRI, tedy směr os upravit pomocí parametrů: 1 PARAMETER [" X_Scale ",-1], 2 PARAMETER [" Y_Scale ",1], 3 PARAMETER [" XY_Plane_Rotation ",90], 4 UNIT [" Meter ",1]] Uvedená fakta způsobují při používaní SRS na bázi Křovákova zobrazení značný zmatek. Hlavním problémem je nejednoznačnost implicitního vyjádření orientace směru os a z toho vzniklá nejasnost smyslu následného otočení pomocí parametru XY_Plane_Rotation. Jakkoliv vypadá daná problematika triviálně, zkušenosti uživatelů patrné z diskuzních fór naznačují opak 2. Optimálním řešením se ukazuje respektování parametru AXIS, což naznačuje i diskuze v rámci vývojářské komunity knihovny Proj4. Na základě získaných znalostí jsem implementoval Křovákovo zobrazení do knihovny GeoTools (v rámci grantu Transformace mezi souřadnicovými systémy a její implementace 1 V současnosti (leden 2009) probíhá diskuze o implementaci definice směru os pomocí parametru AXIS i v knihovně Proj4. 2 viz [9] a dále http://n2.nabble.com/question-about-krovak-projection-and-esri-xy_ Plane_Rotation-parameter-td1960368.html nebo http://www.mail-archive.com/ geotools-devel@lists.sourceforge.net/msg16204.html 33

2.4. Změny v definici v roce 2010 ve webové aplikaci pomocí technologie Java server pages - IGS grant ČVUT 2006). Implementace byla v nové verzi (GeoTools 2.5.3) rozšířena o respektování parametrů používaných produkty ESRI tak, aby alespoň částečně bylo možné definici použít v obou software. 2.4 Změny v definici v roce 2010 Na přelomu roku 2010 a 2011 došlo k nové realizaci systému ETRS89 pro Českou republiku (viz např [22], nebo i denní tisk [17]. V rámci tohoto přechodu došlo i ke změně oficiální transformace souřadnic z S-JTSK do ETRS89 (tomuto problému se věnuje podrobněji část 4). Tyto změny se projevily i na vložením dalších definic do databáze EPSG (autorem je Zeměměřický úřad). Nově byly do databáze vloženy SRS odvozené od datumu S-JTSK/05 a s tím související tzv. Modifikované Křovákovo zobrazení. Tyto definice a postupy jsou důležité spíše pro transformaci do ETRS a tudíž se jimi v této části příliš zabývat nebudeme. 2.5 Definice WGS84 a ETRS89 Pro úplnost uved me i definice globálních systémů WGS84 a ETRS89, kterými se budeme zabývat v dalších kapitolách. Tyto SRS lze nalézt v databázi EPSG i v databázi ESRI. Na rozdíl od S-JTSK je používání těchto SRS zcela jednoznačné a lze jej použít jednotně ve všech GIS produktech. Pro jednoduchost uvedeme vyjádření ETRS89 a WGS84 pouze ve formátu WKT. Definice ETRS89: 1 GEOGCS [" ETRS89 ", 2 DATUM [" European_Terrestrial_Reference_System_1989 ", 3 SPHEROID [" GRS 1980 ",6378137,298.257222101, 4 AUTHORITY [" EPSG "," 7019 "]], 5 AUTHORITY [" EPSG "," 6258 "]], 6 PRIMEM [" Greenwich ",0, 7 AUTHORITY [" EPSG "," 8901 "]], 8 UNIT [" degree ",0.01745329251994328, 9 AUTHORITY [" EPSG "," 9122 "]], 10 AUTHORITY [" EPSG "," 4258 "]] Definice WGS84: 34

2.5. Definice WGS84 a ETRS89 1 GEOGCS [" WGS 84", 2 DATUM [" WGS_1984 ", 3 SPHEROID [" WGS 84",6378137,298.257223563, 4 AUTHORITY [" EPSG "," 7030 "]], 5 AUTHORITY [" EPSG "," 6326 "]], 6 PRIMEM [" Greenwich ",0, 7 AUTHORITY [" EPSG "," 8901 "]], 8 UNIT [" degree ",0.01745329251994328, 9 AUTHORITY [" EPSG "," 9122 "]], 10 AUTHORITY [" EPSG "," 4326 "]] Další důležité systémy pro data na úrovní Evropy (dle INSPIRE - viz [3] ) jsou: Geografický: ETRS89 - EPSG:4258 Se zobrazením: ETRS89 / LAEA Europe - EPSG 3035 Se zobrazením: ETRS89 / LCC Europe - EPSG 3034 Se zobrazením (UTM v poledníkových - pásech): ETRS89 / UTM zone 33 - dle INSPIRE označován ETRS89-TMzn (zn označuje zónu). Zóná 33 je pro polohu odpovídající ČR. Ukázka systému ETRS89 / LAEA v programu udig viz Z toho plynou používané zobrazení pro Evropu: Transverzální Mercatorovo zobrazení (UTM) v poledníkových pásech Lambertovo azimutální ekvivalentní zobrazení (Lambert Azimuthal Equal) Lambertovo konformní kuželové zobrazení (Lambert Conformal Conic) 35

2.5. Definice WGS84 a ETRS89 Obrázek 2.2: Systém ETRS89 / LAEA v programu udig 36

Kapitola 3 Hlavní způsoby transforamce SRS 3.1 Podobnostní transformace ve 3D Další skupinou metod, které lze využít k převodu souřadnic mezi referenčními souřadnicovými systémy, jsou transformace ve 3D. Tyto metody jsou matematicky nejvýstižnějším vyjádřením vztahů mezi jednotlivými systémy a jasně vyjadřují rozdíly mezi nimi (aniž by je deformovaly). Hlavní definicí, kterou je systém realizován na povrchu Země, jsou tzv. Laplaceovy body (body, na nichž je měřením určená i geodetická zeměpisná šířka a délka). Vzhledem ke globálním vlivům na rotaci Země (precese, nutace) jsou však tyto naměřené hodnoty v čase mírně proměnné. Z tohoto důvodu jsou systémy definované pomocí různých Laplaceových bodů v prostoru mírně posunuty, případně pootočeny. Tyto rozdíly vystihují právě transformace ve 3D. Samotný rámec souřadnicového systému (bodové pole) je však většinou ovlivněn i dalšími vlivy (měřením) způsobujícími lokální deformace souřadnicové sítě, kterou bohužel tyto metody již vystihnout nemohou. 3.1.1 Moloděnského transformace Moloděnského transformace je přímá transformace mezi geografickými souřadnicemi, bez přechodu na geocentrické pravoúhlé souřadnice. Samotný postup přepočtu má následující kroky: (X, Y ) 1 (ϕ, λ) 1 3Dtrans (ϕ, λ) 2 (X, Y ) 2. 37

3.1. Podobnostní transformace ve 3D Parametry Moloděnského metody jsou tři posuny X, Y, Z a rozdílné parametry elipsoidu a, f. Transformační rovnice mají následující tvar (dle [8]): (M + h) ϕ = sin ϕ cos λ X sin ϕ sin λ Y + + cos ϕ Z + e2 sin ϕ cos ϕ 1 e2 sin ϕ a + + sin ϕ cos ϕ(m a b + N b a ) f (N + h) cos ϕ λ = sin λ X + cos λ Y. Z transformačních rovnic určíme hodnoty diferencí ϕ, λ mezi oběma systémy. Moloděnského transformace je tedy speciální případ metody Burša Wolf, přičemž hodnoty rotací α = β = γ = 0 a zkreslení q = 0. Moloděnského metoda nachází použití především tam, kde je důležitá rychlost přepočtu. Tato metoda v mírně zjednodušené formě je také nazývaná Abridged Moloděnsky. Transformační rovnice viz [10]; 3.1.2 Metoda Burša Wolf Metoda Burša Wolf je jedním z nejužívanějších algoritmů, jež slouží pro převod souřadnicových referenčních systémů. V GIS ji lze nalézt také pod názvy Position Vector, Coordinate Frame Rotation nebo nejčastěji Bursa Wolf 1. Při použití této transformace je nutné nejprve rovinné souřadnice X,Y převést pomocí kartografického zobrazení na geografické ϕ,λ a ty následně na geocentrické X, Y, Z. Metoda Burša Wolf využívá 7 parametrů, a sice: Samotný postup přepočtu má následující kroky: (X, Y ) 1 (ϕ, λ) 1 (X, Y, Z) 1 3Dtrans (X, Y, Z) 2 (ϕ, λ) 2 (X, Y ) 2 1 V geodézii se častěji setkáváme s názvem Helmertova sedmiprvková 3D transformace. Za zmínku stojí i spojitost názvu metody Burša Wolf s významným českým geodetem prof. Milanem Buršou. 38

3.1. Podobnostní transformace ve 3D X - Posun počátku cílové soustavy ve směru osy X. Y - Posun počátku cílové soustavy ve směru osy Y. Z - Posun počátku cílové soustavy ve směru osy Z. α - Rotace cílové soustavy okolo osy X. β - Rotace cílové soustavy okolo osy Y. γ - Rotace cílové soustavy okolo osy Z. q - Měřítko (nebo též zkreslení m, kde q = 1 + m). Při převodu je nejprve nutné převést rovinné souřadnice X, Y na zeměpisné ϕ, λ a ty dále na geocentrické. Odvození těchto vztahů viz [20]. Transformaci mezi soustavami můžeme zapsat rovnicí (x, y, z v cílovém systému a x, y, z v systému výchozím): x x y = qr y z z + X Y Z vyjadřují souřadnice, (3.1) kde matice R popisuje tři zmíněné rotace a platí: 1 0 0 cos β 0 sin β R = 0 cos α sin α 0 1 0 0 sin α cos α sin β 0 cos β Zkráceně: cos γ sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1. (3.2) R = R α R β R γ. Při aplikaci této transformace v geodézii se setkáváme zpravidla s velmi malými hodnotami posunů a rotací, a proto můžeme v rovnici (3.2) goniometrické funkce linearizovat takto: cos α = cos β = cos γ =1 sin α =α, sin β =β, sin γ =γ. Po dosazení a roznásobení získáváme konečný tvar: x 1 γ β y = (1 + m) γ 1 α z β α 1 x y z + X Y Z. (3.3) 39

3.1. Podobnostní transformace ve 3D Numerické hodnoty sedmi parametrů pro transformační rovnici většinou získáváme z nadbytečného množství identických bodů vyrovnáním metodou nejmenších čtverců (MNČ). Při aplikaci této transformace v GIS programech jsou většinou hodnoty 7 parametrů pro nejužívanější převody bud předdefinované, nebo lze použít vlastní. Jeden ze zdrojů velkého množství transformačních klíčů pro nejrůznější převody lze najít na www.epsg.org. 3.1.3 Metoda Moloděnský-Badekas Metoda Moloděnský Badekas je příbuzná metoda k transformaci Burša Wolf. Rozdílem je přidání tří parametrů vyjadřujících polohu bodu, okolo kterého je provedena následná rotace. Matematický vztah vypadá takto: x X p = qr y Y p z Z p x y z + X Y Z. (3.4) Označní jednotlivých proměnných je shodné z (3.1). Metoda Molodensky Badekas navíc přidává parametry: X p Y p Z p - X souřadnice bodu, okolo kterého dochází k rotaci. - Y souřadnice bodu, okolo kterého dochází k rotaci. - Z souřadnice bodu, okolo kterého dochází k rotaci. 3.1.4 Výpočet transformačních parametrů pro metodu Burša Wolf Odvození výpočtu transformačních koeficientů pro metodu Burša Wolf z nadbytečného počtu identických bodů lze provést pomocí metody MNČ. Na základě vztahu (3.1) a (6.5) můžeme zvolit matici neznámých např. takto: 40

3.1. Podobnostní transformace ve 3D dx = d X d Y d Z dα dβ dγ dq. (3.5) Dále je nutné vyjádřit jednotlivé derivace vztahu (3.1) podle zvolených neznámých. Ze vztahu (3.2) je patrné, že pro odvození derivace podle parametrů rotace stačí derivovat vždy jen dílčí matici. Derivace dle α pak bude: dr dα = Obdobně pro β pak bude: Obdobně konečně pro γ: dr dβ = R α 0 0 0 0 sin α cos α 0 cos α sin α dr dγ = R α R β sin β 0 cos β 0 0 0 cos β 0 sin α Derivace podle délkového koeficientu q bude: dx dq R β R γ. (3.6) sin γ cos β 0 cos γ sin γ 0 0 0 0 R γ. (3.7). (3.8) = R. (3.9) Konečně derivace podle koeficientu X, Y, Y lze vyjádřit pomocí submatice: dx d X = dx d Y = dx 1 0 0 d Z = 0 1 0. (3.10) 0 0 1 41

3.2. Transformace pomocí gridu Výsledná matice A má pak tvar: 1 0 0 x 1 0 1 0 dr α y 1 0 0 1 z 1 A 3 n 7 = 1 0 0 x n 0 1 0 dr α y n 0 0 1 z n dr β dr β. x 1 y 1 z 1 x n y n z n dr γ dr γ x 1 y 1 z 1 x n y n z n dq dq x 1 y 1 z 1 x n y n z n. Zbývá ještě vyjádřit matic L: L 3 n 1 = X 1 x 1 Y 1 y 1 Z 1 z 1. X n x n Y n y n Z n z n, (3.11) přičemž hodnoty X i, Y i, Z i jsou hodnoty výsledku transformace souřadnic x i, y i, z i, pomocí přibližných hodnot transformačních koeficientů dle vzorce (3.1). Výsledné hodnoty lze získat iterativně ze vztahu (6.5), přičemž je nutné znát přibližné hodnoty neznámých parametrů. Pro účely GIS, kdy se většinou jedná o minimální posuny a rotace, lze jako přibližné většinou použít nulové hodnoty. 3.2 Transformace pomocí gridu Transformace pomocí gridu (grid based methods) jsou transformační metody, které lze využít především v případě, kdy nelze definovat matematicky přesný vztah mezi výchozím a cílovým systémem. Metoda je založena na principu známých (resp. odhadnutelných) hodnot posunů v dostatečně husté a pravidelné síti (gridu). Určení posunu konkrétního bodu lze pak vypočítat pomocí interpolace na základě známých vektorů posunů ve vrcholech buňky gridu, ve které se bod nachází (viz obr 3.1). Metody na tomto principu jsou 42

3.2. Transformace pomocí gridu poměrně rozšířené a jsou implementovány ve většině GIS produktů, ovšem samotné konfigurační soubory (obsahující grid posunů) jsou k dispozici pouze pro některé referenčními souřadnicové systémy. Obrázek 3.1: Transformace pomocí gridu Výpočet posunu konkrétního bodu má tedy tyto kroky: Určíme buňku gridu, ve kterém se nachází bod určený k transformaci (bod P ). Na základě známých vektorů posunu ve vrcholech buňky (body A, B, C, D) a známých souřadnic bodu P lze pomocí lineární interpolace ve směru X a ve směru Y získat posuny bodu P v obou směrech. Tato metoda se označuje jako bilineární interpolace. V případě volby pravoúhlého gridu je nalezení buňky, ve které se bod nachází, velice jednoduché. Samotná interpolace uvnitř buňky také není náročná. Hodnoty posunů v samotném gridu jsou určeny na základě posunů mezi identickými body. K tomuto určení lze využít některý z algoritmů interpolace, přičemž vybrané algoritmy a jejich vlastnosti jsou předmětem dalších částí. V případě plynulého rozložení odchylek a dostatečně podrobného gridu lze tuto metodu považovat za nereziduální. Tato metoda naopak selhává v případě, kdy rozložení odchylek 43

3.2. Transformace pomocí gridu má mnoho lokálních extrémů - vzhledem k lineární interpolaci, která je použita pro získání posunu uvnitř jednotlivých buněk. Z tohoto důvodu je nutné před nasazením této metody dostatečně analyzovat množinu identických bodů a rozložení jejich odchylek. Konkrétní možnosti testování jsou popsány v kap??. Mezi metody pracující na tomto principu patří v GIS zejména metody NADCON a NTv2. Těmito způsoby se podrobněji zabývají následující části. Za zmínku též stojí fakt, že velice obdobný algoritmus byl použit v padesátých letech minulého století pro transformaci Českého vojenského systému S 42 a S JTSK. Samotný výpočet byl však realizován manuálně pomocí tabulek (podrobné vysvětlení viz [20]). Jedním z důvodu nasazení této metody byla také výpočetní náročnost odvození globálního klíče sedmiprvkové transformace (metody Burša Wolf). 3.2.1 Metoda NADCON NADCON (zkratka názvu North American Datum Conversion [11]) je metoda transformace zeměpisných souřadnic (φ, λ) 1 z výchozího systému na souřadnice (φ, λ) 2 v cílovém systému. Tato metoda je používána např. v USA především pro převod mezi systémy NAD 27, Old Hawaiian, Puerto Rico, Alaska a systémem NAD 83. Metoda NADCON je také použita při transformaci mezi původním systémem NAD 83 (značený NAD 83 (1986) ) a celostátní HPGN (High Precision Geodetic Network) [11]. Pro určení posunů je použito dvou souborů s koncovkou laa a loa, přičemž první z nich specifikuje posuny zeměpisné šířky a druhý posuny zeměpisné délky. V hlavičce souboru jsou také obecné parametry gridu (postupně to je počet sloupců, počet řádek, počet hodnot pro osu Z, minimální zeměpisná délka, šířka sloupce, minimální zeměpisná šířka, šířka řádky gridu a nepoužitý volitelný parametr) [10]. Ukázka souboru je znázorněna v ukázkce 3.1. 44

3.2. Transformace pomocí gridu Listing 3.1: Ukázka části definičního souboru metody NADCON 1 NADCON EXTRACTED REGION NADGRD 2 167 198 1 12. 89116. 01000 48. 84586. 01000. 00000 3-2.843056-2.848042-2.853026-2.858007-2.862987-2.867963 4-2.872938-2.877910-2.882880-2.887848-2.892814-2.897777 5-2.902739-2.907699-2.912656-2.917612-2.922565-2.927518 6-2.932468-2.937416-2.942364-2.947309-2.952254-2.957196 7-2.962138-2.967080-2.972020-2.976961-2.981899-2.986839 8-2.991778-2.996718-3.001658-3.006598-3.011541-3.016483 9-3.021429-3.026375-3.031322-3.036274-3.041228-3.046185 10-3.051145-3.056108-3.061075-3.066046-3.071020-3.075999 11-3.080983-3.085971-3.090962-3.095960-3.100963-3.105970 Pro další použití lze také grid soubory převést do binárního tvaru pomocí utility NAD- GRD. Více viz [11]. Pro výpočet posunu bodu v konkrétní buňce je použita lineární interpolace v obou směrech souřadnicových os (tzv. bilineární interpolace). Metoda NADCON je implementována v produktech ArcGIS a GeoTools. Pro program Proj.4 je nutný přepočet gridu do mírně odlišného formátu - samotný algoritmus výpočtu posunu konkrétního bodu však zůstává stejný. 3.2.2 Metoda NTv2 Tato metoda je velmi podobná metodě NADCON, ale rozdíl je v možnosti gridu, jehož hustota se průběžně mění. Velice podrobný popis k této metodě lze nalézt např. ve zdroji [18]. Tato metoda je využívána u několika evropských systémů (např. Švýcarsko pro převod mezi systémy LV03 a LV95) viz [18]. Formát soubor definující vlastní grid je znázorněn v ukázce 3.2. 45

3.3. Vybrané způsoby určení transformačního gridu z identických bodů Listing 3.2: Ukázka části definičního souboru metody NTv2 1 SUB_ NAME MELB 2 PARENT NONE 3 CREATED 7/ 1998 4 UPDATED 7/ 1998 5 S_ LAT - 138780. 000000 6 N_ LAT - 134406. 000000 7 E_ LONG - 526104. 000000 8 W_ LONG - 519354. 000000 9 LAT_ INC 54. 000000 10 LONG_ INC 54. 000000 11 GS_ COUNT 10332 12 5. 414650-4. 727520 0. 002171 0. 000617 13 5. 413610-4. 728820 0. 001615 0. 000235 14 5. 413050-4. 729720 0. 001563 0. 000233 15 5. 413010-4. 730170 0. 002045 0. 000383 Soubor obsahuje obdobné informace jako konfigurační soubor metody NADCON. Jeho úplný popis lze nalézt v [28]. Důležitým faktem je, že oba způsoby používají k vlastnímu výpočtu posunu v konkrétním bodě metodu tzv. bilineární interpolace. Z tohoto faktu plyne, že v případě shodných parametrů získáme shodné výsledky. 3.3 Vybrané způsoby určení transformačního gridu z identických bodů V předchozí sekci byl popsán způsob výpočtu posunu bodu určeného k transformaci na základě známé pravidelné mřížky posunů (gridu). Následující text popisuje způsob, jak lze tuto mřížku odvodit na základě známých identických bodů. Budou zde popsány především algoritmy, které jsou součástí vyvinutých programových nástrojů. 3.3.1 Interpolace Thin Plate Spline Interpolace TPS (Thin Plate Spline) vychází z analogie chování tenkého kovového plátu při ohýbání. Fyzikálně si lze představit deformaci tohoto plechu ve směru z kolmo na tento plát. 46