Geometrické transformace pomocí matic
|
|
- Růžena Procházková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010
2 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D
3 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D
4 Úvod časté a důležité operace v počítačové grafice: geometrické transformace aplikované na objekty ve 2D, resp. 3D invariance objektů (úseček, křivek) vzhledem k transformacím: stačí transformovat řídící body (vektory) Transformace posunutí (translace) rotace změna měřítka (škálování) zkosení složené transformace - např. promítání
5 Úmluva původní bod P má souřadnice P = (x, y) T ve 2D, resp. P = (x, y, z) T ve 3D transformovaný bod P má souřadnice P = (x, y ) T ve 2D, resp. P = (x, y, z ) T ve 3D
6 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D
7 Translace x = x + d x, y = y + d y vektor posunutí d = (d x, d y ) T P = P + d
8 Změna měřítka změna měřítka ve směru osy x, resp. y dána faktory s x, s y škálování vzhledem k počátku souř. soustavy x = s x x, y = s y y ( ) sx 0 matice škálování S =, P = SP 0 s y
9 Rotace 1/2 rotace kolem počátku souřadné soustavy o úhel θ proti směru hodinových ručiček y P původní bod P má souřadnice P T = (x, y) = (r cos φ, r sin φ) θ φ P x po rotaci dostaneme P T = (r cos (φ + θ), r sin (φ + θ)) = (r cos φ cos θ r sin φ sin θ, r sin φ cos θ + r cos φ sin θ) = (x cos θ y sin θ, y cos θ + x sin θ).
10 Rotace 2/2 matice rotace ( cos θ sin θ R = sin θ cos θ ) maticový tvar transformace P = RP
11 Maticová reprezentace 2D transformací Motivace potřeba jednotného zápisu transformací jednoduché skládání transformací efektivní implementace rotace, škálování - lineární transformace, násobení maticí translace - má jiný tvar sjednocení popisu transformací: přechod do homogenních souřadnic potom každá afinní transformace = maticové násobení
12 Homogenní souřadnice 1/3 přidáme třetí souřadnici W bod P = (x, y) T má homogenní souřadnice P [xw, yw, W ] T = [X, Y, W ] T W 0. každý bod P R 2 je tedy reprezentován přímkou v prostoru (X, Y, W ) dvě trojice homogenních souřadnic [X 1, Y 1, W 1 ], [X 2, Y 2, W 2 ] reprezentují stejný bod, právě když [X 1, Y 1, W 1 ] = [αx 2, αy 2, αw 2 ] α 0 bod [0, 0, 0] není povolen body kde W = 0 se nazývají body v nekonečnu
13 Homogenní souřadnice 2/3 homogenizovaný bod (pro bod [X, Y, W ], W 0) je bod o souřadnicích [ X W, Y ] W, 1 = [x, y, 1], jeho první 2 složky jsou kartézské souřadnice homogenizované body tvoří rovinu v prostoru (X, Y, W )
14 Homogenní souřadnice 3/3 sčítání bodů zadaných v homogenních souřadnicích [X 1, Y 1, W 1 ] + [X 2, Y 2, W 2 ] = [X 1 W 2 + X 2 W 1, Y 1 W 2 + Y 2 W 1, W 1 W 2 ] násobení skalárem α [X, Y, W ] = [αx, αy, W ] (a nikoliv [αx, αy, αw ], což je jen jiný zápis pro původní bod [X, Y, W ])
15 Translace v homogenních souřadnicích 1/2 pro posunutí o d = (d x, d y ) T násobíme bod P = [x, y, 1] T maticí 1 0 d x D = 0 1 d y dostaneme P = DP = 1 0 d x 0 1 d y x y 1 = x + d x y + d y 1 = x y 1.
16 Translace v homogenních souřadnicích 2/2 pro obecný bod P = [xw, yw, W ] T, W / {0, 1} máme 1 0 d x xw xw + d x W 0 1 d y yw = yw + d y W = W W DP = takže dostáváme opět správný výsledek. úkol: ověřte aditivitu posunutí, tj. 1 0 d 1 x 1 0 d dy 1 x 0 1 d 2 y } {{ } posunutí o d 1 } {{ } posunutí o d 2 = 1 0 dx 1 + dx dy 1 + dy (x + d x ) W (y + d y ) W W. } {{ } posunutí o d 1 +d 2,
17 Změna měřítka v homogenních souřadnicích změna měřítka s x -krát, resp. s y -krát ve směru osy x, resp. y je dána maticí s x 0 0 S = 0 s y pro homogenizovaný bod dostaneme s x 0 0 x P = SP = 0 s y 0 y = s x x s y y 1 = x y 1. úkol: ověřte multiplikativnost škálování, tj. s 1 x 0 0 s 2 0 sy 1 x 0 0 sxs sy 2 x = 0 sys 1 y
18 Rotace v homogenních souřadnicích rotace bodu P podle počátku souř. soustavy o úhel θ proti směru hodinových ručiček je dána maticí R = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ pro homogenizovaný bod dostaneme x cos θ y sin θ P = RP = y cos θ + x sin θ = 1 úkol: ověřte aditivitu rotace, tj. x y 1. cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos γ sin γ 0 sin γ cos γ = cos (θ + γ) sin (θ + γ) 0 sin (θ + γ) cos (θ + γ)
19 Afinní transformace a transformace tuhého tělesa afinní transformace zachovává rovnoběžnost přímek, obecně nezachovává délky ani úhly obecně ve 2D je dána vztahem P = AP + d, kde A R 2 je lib. matice, v homogenních souřadnicích je dána lib. maticí ve tvaru T = a 11 a 12 d x a 21 a 22 d y lib. složení rotací, translací a škálování je afinní pokud je matice ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 ortogonální, transformace zachovává úhly i délky a nazývá se také transformace tuhého tělesa (rigid body trasformation). Vznikne složením rotací a posunutí.
20 Afinní transformace a obecné afinní zobrazení afinní prostor E obsahuje body, rozdíl dvou bodů je vektor zobrazení f : E E je afinní, když existuje lin. zobrazení F tak, že f (P) f (Q) = F (P Q) P, Q E. zobrazení ve tvaru f (P) = AP + d afinní je, zde F = A. afinní zobrazení zachovává rovnoběžnost: úsečka PQ CD pokud Q P = α (D C) potom ale f (Q) f (P) = F (Q P) = F (α (D C)) takže f (P) f (Q) f (C) f (D). = αf (D C) = α (f (D) f (C)),
21 Zkosení angl. shear transformation zkosení podél osy x (x lineárně závisí na y) přísluší transformační matice H x = 1 a podobně pro zkosení podél osy y (y závisí na x) máme H y = b
22 Skládání transformací Rotace kolem obecného bodu složitější transformace lze snadno získat složením základních transformací např. rotace kolem daného bodu P 0 1 posunutí, aby P 0 byl v počátku 2 rotace kolem počátku souř. soustavy 3 posunutí zpět
23 Rotace kolem obecného bodu Matice transformace předpokládejme P 0 = (x 0, y 0 ) T = [x 0, y 0, 1] T R P0 (θ) = = 1 x 0 1 y 0 1 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos θ sin θ x 0 (1 cos θ) + y 0 sin θ sin θ cos θ y 0 (1 cos θ) x 0 sin θ x 0 1 y 0 1
24 Zrcadlení další jednoduchá afinní transformace zrcadlení podle osy x zrcadlení podle osy y zrcadlení podle počátku souřadnicové soustavy zrcadlení podle přímky y = x úkol: sestavte příslušné matice transformací
25 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D
26 Transformace ve 3D homogenní souřadnice analogicky jako ve 2D, nyní máme P = (x, y, z) T = [X, Y, Z, W ] T levotočivý, resp. pravotočivý souřadný systém: při pohledu z kladného směru osy z do počátku je rotace od kladné poloosy x ke kladné poloose y po, resp. proti směru hodinových ručiček
27 Matice transformací v homogenních souřadnicích 1/3 posunutí změna měřítka D = S = d x d y d z s x s y s z
28 Matice transformací v homogenních souřadnicích 2/3 rotace kolem osy z R z = rotace kolem osy x R x = rotace kolem osy y R y = cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ cos θ 0 sin θ sin θ 0 cos θ
29 Matice transformací v homogenních souřadnicích 3/3 škálování např. podél osy z s úhlem α vzhledem k souřadnici x a úhlem β vzhledem k souřadnici y H z = 1 0 tan α tan β
30 Afinní transformace ve 3D podobně jako ve 2D je každá transformace tvaru a 11 a 12 a 13 d x ( T = a 21 a 22 a 23 d y A d a 31 a 32 a 33 d z = 0 T ) afinní. Pokud je navíc matice A ortogonální, transformace zachovává úhly a délky
31 Změna souřadného systému každá transformace (s regulární maticí - což jsou zde všechny) je vlastně změna souřadného systému naopak, každou změnu souřadného systému lze vyjádřit maticí (přechodu) transformace složitá v jednom souř. systému může být primitivní v jiném rotace kolem obecné osy l (se směrovým vektorem l) - složená transformace 1 přechod ze standardní báze (e 1, e 2, e 3 ) do báze (l, v 1, v 2 ), kde v 1, v 2 leží v rovině kolmé na l 2 rotace podle souřadnicové osy l 3 přechod zpět do standardní báze
32 Transformace normál rovina zadána normálovým vektorem n = [A, B, C, D] T bod P = [x, y, z, 1] T leží v dané rovině (ne nutně procházející počátkem), právě když n P = Ax + By + Cz }{{} +D = 0 posunutí po transformaci maticí T získáme body P = T P ležící v rovině s normálovým vektorem n = jak získat n? předpokládejme, že n = Qn, kde Q je neznámá matice. Musí platit 0 = n P = n T P = n T Q T T P. ( to bude splněno, pokud Q T T = I, tj. Q = T 1) T.
33 Literatura J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice, Addison Wesley, L. Vrána: Matematická analýza III - diferenciální počet (skripta FJFI). Vydavatelství ČVUT, Žára, Beneš, Sochor, Felkel: Moderní počítačová grafika. Computer Press, 2005.
Lineární transformace
Lineární transformace 1995-2015 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.c http://cgg.mff.cuni.c/~pepca/ 1 / 28 Požadavk běžně používané transformace posunutí, otočení, většení/menšení, kosení,..
Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA
Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
7 Transformace 2D. 7.1 Transformace objektů obecně. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem
7 Transformace 2D Studijní cíl Tento blok je věnován základním principům transformací v rovinné grafice. V následujícím textu bude vysvětlen rozdíl v přístupu k transformacím u vektorového a rastrového
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr
Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,
Úvod Typy promítání Matematický popis promítání Implementace promítání Literatura. Promítání. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze
Promítání Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 30. března 2011 Obsah 1 Úvod 2 Typy promítání 3 Matematický popis promítání 4 Implementace promítání Obsah 1 Úvod 2 Typy promítání 3 Matematický popis promítání
Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr
Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt
Výpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Počítačová grafika 2 (POGR2)
Počítačová grafika 2 (POGR2) Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 19. února 2015 Kontakt Ing. Pavel Strachota, Ph.D. Katedra matematiky Trojanova 13, místnost 033a E-mail: pavel.strachota@fjfi.cvut.cz WWW:
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Výpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík
2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.
Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FTM hlavní souřadnicové soustavy systém snímkových souřadnic systém modelových
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Počítačová grafika 1 (POGR 1)
Počítačová grafika 1 (POGR 1) Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 8. října 2015 Kontakt Ing. Pavel Strachota, Ph.D. Katedra matematiky Trojanova 13, místnost 033a E-mail: WWW: pavel.strachota@fjfi.cvut.cz
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Obsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
9 Prostorová grafika a modelování těles
9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Ing. Jan Buriánek. Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Jan Buriánek, 2010
Ing. Jan Buriánek (ČVUT FIT) Reprezentace bodu a zobrazení BI-MGA, 2010, Přednáška 2 1/33 Ing. Jan Buriánek Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Úlohy nad rastrovými daty Daniela
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Reprezentace bodu, zobrazení
Reprezentace bodu, zobrazení Ing. Jan Buriánek VOŠ a SŠSE P9 Jan.Burianek@gmail.com Obsah Témata Základní dělení grafických elementů Rastrový vs. vektorový obraz Rozlišení Interpolace Aliasing, moiré Zdroje
18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
Mechanika
Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí
Síla Základní pojmy Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí vzájemné působení těles, které mění jejich pohybový stav nebo tvar zobrazuje se graficky jako úsečka se šipkou ve zvoleném měřítku m f je vektor,
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text - díl II František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 7. února 2006 verze 2.0 Obsah 7 Obalové
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Transformace (v OpenGL) příklady a knihovna GLM
Transforace (v OpenGL) příklady a knihovna GLM Petr Felkel, Jaroslav Sloup Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL ístnost KN:E-413 (Karlovo náěstí, budova E) E-ail: felkel@fel.cvut.cz Poslední
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu
Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Brno, 017 Předmluva Text pokrývá látku, která je přednášena v učitelském studiu matematiky v předmětu M5510 "Teorie kuželoseček a kvadrik".
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
3 Projektivní rozšíření Ēn prostoru E n
3 Projektivní rozšíření Ēn prostoru E n Projektivním rozšířením eukleidovského prostoru E n rozumíme jeho doplnění o nevlastní body. Výsledný prostor značíme Ēn. Takovéto rozšíření eukleidovského prostoru
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Další plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
2. Vyplňování. Transformace.
2. Vplňování, transformace Cíl Po prostudování této kapitol budete umět vplňovat a šrafovat ohraničenou oblast zobrazovat objekt 3D do rovin odvodit vztah pro zobrazení 3D objektů do rovin Výklad 2.. Algoritm
ELIMINACE VLIVU DRUHÉ ROTACE PŘI AFINNĚ INVARIANTNÍM 2D ROZPOZNÁVÁNÍ
ELIMINACE VLIVU DRUHÉ ROTACE PŘI AFINNĚ INVARIANTNÍM 2D ROZPOZNÁVÁNÍ K. Nováková 1, J. Kukal 1,2 1 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, ČVUT v Praze 2 Ústav počítačové a řídicí techniky, VŠCHT Praha
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Potenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
Deformace rastrových obrázků
Deformace rastrových obrázků 1997-2011 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Warping 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 22 Deformace obrázků
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Základní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
Transformace dat mezi různými datovými zdroji
Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
Transformace (v OpenGL)
Transformace (v OpenGL) Petr Felkel Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 (Karlovo náměstí, budova E) E-mail: felkel@fel.cvut.cz Podle knihy SJ Gortlera: Foundations of Computer
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
Počítačová grafika RHINOCEROS
Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá
transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.
finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární