8.6 Dynamika kmitavého pohybu, pružinový oscilátor a) dynamika zkoumá příčiny pohybu b) velikost síly vyvolávající harmonický kmitavý pohyb F = ma = mω 2 y pohybová rovnice (II. N. z. a = ω 2 y m sin ωt = ω 2 y) u každého oscilátoru nutné zjistit souvislost úhlové frekvence ω s jeho konkrétními vlastnostmi, s tzv. parametry oscilátoru (my pro pružinový oscilátor a kyvadlo) c) pružinový oscilátor těleso zavěšené na pružině (harmonicky kmitající) parametry: hmotnost tělesa m, tuhost pružiny k tuhost pružiny k: vlastnost pružiny projevující se při její deformaci (prodloužení, stlačení), závisí na materiálu, délce pružiny síla, která se snaží deformaci zabránit tzv. síla pružnosti F p je přímo úměrná prodloužení (zkrácení) l (podle Hookova zákona) F p = k l k konst. úměrnosti, tuhost k = F p l silové působení po zavěšení tělesa se pružina prodlouží působením tíhové síly F G o l l = l 0 + l po ustálení v rovnovážné poloze výslednice sil nulová, tedy F p = F G, tj. k l = mg po rozkmitání se mění síla pružnosti F p mění se okamžité prodloužení l = l + y ( l = l y), ale F G zůstává stálá [k] = N m 1 výsledná síla F = ky [F = F G F p = mg k( l + y) = mg k l ky = ky] 0 je příčinou harmonického pohybu, její velikost je přímo úměrná okamžité výchylce, má opačný směr než výchylka (zn. ), směřuje vždy do rovnovážné polohy vztah pro úhlovou frekvenci: porovnáním s pohybovou rovnicí získáme F = mω 2 y F = ky mω 2 y = ky mω 2 = k ω 2 = k m ω = k m = ω 0 úhlová frekvence tzv. vlastního kmitání (bez působení vnějších sil) závisí jen na parametrech oscilátoru (k, m) vztahy pro frekvenci f 0 a periodu T 0 ω 0 = k m (ω = 2πf = 2π T f = 1 T ) [pamatuji pro T 0 písmena podle abecedy od konce pro f 0 převrácený výraz] 2πf 0 = k m f 0 = 1 2π k m 2π T 0 = k m T 0 2π = m k T 0 = 2π m k
f) příklady 1 Pružinový oscilátor vznikl zavěšením tělesa o hmotnosti 10 kg na pružinu, která se prodloužila o 15 cm. Určete periodu (g = 10 m s 2 ) [0,78 s] 2 Těleso zavěšené na pružině o tuhosti 50 N m 1 vykoná 50 kmitů za 64 s. Určete hmotnost tělesa. [2,1 kg] 3 Mechanický oscilátor tvořený tělesem o hmotnosti 200 g zavěšeným na pružině o tuhosti 32 N m 1 kmitá s amplitudou výchylky 4 cm. Určete rychlost tělesa v rovnovážné poloze a největší sílu, která na těleso v průběhu periody působí. [0,51 m s 1 ; 1,3 N]
4 Mechanický oscilátor je tvořen měděnou kuličkou zavěšenou na pružině. Jak se změní frekvence kmitání oscilátoru, jestliže kuličku zaměníme kuličkou hliníkovou o stejném průměru? (ρ Cu = 8 930 kg m 3, ρ Al = 2 700 kg m 3 ) [1,8krát větší] 5 Těleso o hmotnosti 0,5 kg je zavěšeno na pružině o tuhosti 50 N m 1. Při kmitání tohoto oscilátoru byla měřením zjištěna perioda vlastního kmitání 0,67 s. Určete periodu výpočtem a uvažte, co může být příčinou zjištěného rozdílu. Jakou hmotnost by muselo mít těleso oscilátoru, aby teoretická hodnota periody odpovídala naměřené? [T 0t 0,63 s; asi 0,57 kg] 6 Těleso o hmotnosti 200 g zavěšené na pružině kmitá harmonicky s frekvencí 1,6 Hz. Určete dobu, za kterou těleso vykoná 30 kmitů, tuhost pružiny a frekvenci kmitání, jestliže se tuhost pružiny při stejné hmotnosti zvětší na dvojnásobek. [19 s; 20,2 N m 1 ; 2,25 Hz]
8.7 Kyvadlo a) kyvadlo těleso zavěšené nad těžištěm, může se vlně otáčet kolem vodorovné osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání kmitání vyvolává pohybová složka tíhové síly F G b) matematické kyvadlo model, hmotný bod zavěšený na pevném vlákně zanedbatelné hmotnosti l délka závěsu B rovnovážná poloha y výchylka z rovnovážné polohy pro α < 5 lze oblouk AB považovat za úsečku y ~y (harmonický pohyb jsme zavedli jako přímočarý) F pohybová složka tíhové síly F G způsobující kmitavý pohyb, vzniká vychýlením tělesa z rovnovážné polohy vztahy pro úhlovou frekvenci, frekvenci a periodu z pohybové rovnice F = ma = mω 2 y a F = ky k konst. úměr. (odp. tuhosti u pruž.) ω 0 = g l mω 2 = k mω 2 = mg l k = F y k = mgy ly = mg l úhlová frekvence vlastního kmitání z ω = 2πf f 0 = ω 0 2π = 1 2π g l z ω = 2πf = 2π T T 0 = 2π ω 0 = 2π l g f 0 = 1 2π g l frekvence T 0 = 2π l g perioda úhlová frekvence ω, frekvence f 0 a perioda T 0 vlastního kmitání závisí jen na délce závěsu l, nezávisí na hmotnosti ani výchylce z rovnovážné polohy (do 5 ) [tíhové zrychlení je na daném místě Země konst. ] c) kyv průchod mezi 2 po sobě jdoucími rovnovážnými polohami, popř. z jedné krajní polohy odpovídající max. výchylce do druhé doba kyvu: τ = T 2 d) fyzické kyvadlo skutečné kyvadlo, viz def. kyvadla užití: regulátor kyvadlových hodin (změnou délky kyvadla regulace T) kyvadlové hodiny (kyvadlo tyč se závažím svým pohybem řídí pozvolné otáčení soustavy ozubených kol spojených s hodinovými ručičkami konstruk. fyz. Huygens) k měření tíhového zrychlení (tzv. reverzním kyvadlem má 2 osy se stejnou dobou kmitů, které jsou od sebe vzdáleny o tzv. redukovanou délku) redukovaná délka fyzického kyvadla l : délka matematického kyvadla, které má stejnou dobu kyvu jako dané fyzické kyvadlo
e) příklady 1 V kyvadlových hodinách se používalo tzv. sekundové kyvadlo, které při každém průchodu rovnovážnou polohou umožňovalo pootočení mechanizmu hodin o 1 dílek odpovídající 1 s. Určete délku sekundového kyvadla. [asi 1 m] š 2 Jak se změní perioda kmitání houpačky, jestliže dítě bude při houpání nejdříve sedět a potom se postaví? Jaký to bude mít vliv na houpání, když se budou místo jednoho dítěte houpat 2 děti současně? [T menší, T se nezmění] 3 Kyvadlové hodiny mají kyvadlo v podobě tyče se závažím na konci. proč není závaží s tyčí spojeno pevně, ale může se posouvat nahoru a dolů? Jaký vliv to má na chod hodin? Jak ovlivní chod hodin teplota v místnosti? 4 Kyvadlo je tvořeno nití, na jejímž konci je zavěšena kulička. Jak musíme změnit délku niti, aby perioda vzrostla na dvojnásobek? [na čtyřnásobek]
5 Kyvadlo s délkou závěsu 40 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso zavěšené na pružině o tuhosti 20 N m 1. Určete hmotnost tělesa. [820 g] 6 Sekundové kyvadlo na povrchu Země má délku přibližně 1 m. Jakou délku by muselo mít na Měsíci? Velikost tíhového zrychlení na Měsíci je g = g. [asi 17 cm] 6 7 Mechanické oscilátory umístíme na Měsíci. Budou kmitat se stejnou periodou? [kyvadlo zvětší se asi 2,5krát, pružinový oscilátor nezmění se]
8.8 Přeměny energie v mechanickém oscilároru a) při harmonickém kmitavém pohybu mechanického oscilátoru se periodicky mění jeho potenciální energie v energii kinetickou a naopak pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly celková energie kmitání E je konstantní E = E p + E k = konst. b) vychýlením oscilátoru z rovnovážné polohy vykoná vnější síla práci W, o kterou se zvětší mechanická energie oscilátoru při vychýlení o amplitudu y m je vykonaná práce rovna potenciální energii pružnosti oscilátoru E p = 1 2 ky m 2 působící síla při vychylování je proměnná (zvětšuje se z nulové hodnoty na F m = ky m velikost průměrné síly F = 1 2 ky m (viz obr.) vykonaná práce W je číselně rovna obsahu vyšrafovaného E p = W = Fs = Fy m = 1 2 ky m y m = 1 2 ky m 2 c) přeměny energie v mechanickém oscilátoru max. výchylka rovnov. poloha libov. poloha podle zákona zachování energie E = E p + E k = 1 2 ky2 + 1 2 mv2 = 1 2 ky m 2 = 1 2 mv m 2 = konst. celková energie kmitání je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky, příp. druhé mocnině amplitudy rychlosti vlastního kmitání graf závislosti přeměn energie perioda změny E p, příp. E k je poloviční než perioda T vlastního kmitání T E = T 2
d) vlastní kmitání oscilátoru může být netlumené: oscilátor kmitá volně, tj. v průběhu kmitání na něj nepůsobí žádné vnější síly (dosud jsme uvažovali) amplituda výchylky y m se nemění, kmital by neomezeně dlouho ideální případ (ve skutečnosti neexistuje., lze např. považ. pro krátkou dobu ve vzduchu) tlumené: u reálných oscilátorů část energie se mění v jiné formy energie (vnitřní en. okolí, oscilátoru, ) působením odporových sil ztráty, nelze jim zabránit amplituda výchylky se postupně zmenšuje (podle exponenciální funkce) volné kmitání postupně zaniká tlumené má vliv i na periodu (tlumený oscilátor kmitá pomaleji než netlumený se stejnými parametry) T tlum. osc. > T netlum. osc. e) význam kmitání často nežádoucí odstranit příčiny (např. aby nedocházelo k dlouhodobému kmitání částí či celých strojů opotřebení), zvětšit tlumení (pérování náprav aut doplněno tlumiči) pokud chceme malé tlumení kmitavého pohybu odstranit příčiny, popř. dodávat energii, kterou oscilátor v průběhu periody ztratil (nucené kmitání další článek) f) příklady 1 Pružina se po zavěšení tělesa o hmotnosti 20 g prodloužila o 7 mm. Určete celkovou energii tohoto oscilátoru při amplitudě výchylky 21 cm. 2 Dvě tělesa o hmotnostech m a 2m jsou zavěšena na pružiny o stejné tuhosti a kmitají se stejnou amplitudou. Jak se liší jejich energie kmitání?
8.9 Nucené kmitání mechanického oscilátoru, rezonance a) netlumené kmitání (amplituda výchylky konstantní) lze dosáhnout vnějším působením na oscilátor (např. na houpačku pravidelnými nárazy nebo pravidelnými změnami těžiště) mezi oscilátorem a jeho okolím existuje tzv. vazba, kterou se do oscilátoru přivádí energie na krytí ztrát (které vznikly v průběhu periody tlumením vlastní kmitání vždy tlumené) dodáváme-li energii v průběhu periody v krátkém časovém okamžiku působením síly vznikne netlumené kmitání, které není harmonické nepřetržitě působením síly, která se s časem mění harmonicky (tj. F = F m sin ωt) vznikne netlumené harmonické kmitání b) nucené kmitání netlumené kmitání vzniká působením periodické síly, která nutí oscilátor kmitat se stejnou frekvencí jako má ona oscilátor kmitá vždy s frekvencí síly vnějšího působení ω (F = F m sin ωt), která může být odlišná od frekvence ω 0 vlastního kmitání frekvence nuceného kmitání ω závisí na frekvenci působící síly, ale nezávisí na vlastnostech oscilátoru (kmitajícího tělesa) nuceně lze rozkmitat i objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají (např. těleso i bez použití pružiny, pružinu bez zavěšeného tělesa, ) c) rezonance mech. oscilátoru nastává, pokud frekvence nucených kmitů ω je (téměř) shodná s frekvencí vlastních kmitů oscilátoru ω 0 (ω 0 ω) při tzv. rezonanční frekvenci dosáhne amplituda výchylky maximální hodnoty (při jiných frekvencích je y m menší) nastává tzv. rezonanční zesílení nucených kmitů rezonanční křivka: graf závislosti amplitudy výchylky y m na úhlové frekvenci ω 1 oscilátor s malým tlumením (výrazné maximum) 2 oscilátor s velkým tlumením (menší y m, ale širší rezonanční pásmo) (u ideálních oscil. bez tlumení by y m ve skuteč. neexist.) tvar křivky ovlivněn tlumením malou periodicky působící silou tedy lze v oscil. vyvolat kmitání o značné amplitudě výchylky, pokud frekvence vnějšího působení je shodná a frekvencí vlastního kmitání ω 0 (např. houpačka udržíme pohyb, příp. zvětšujeme výchylku, pokud budeme periodicky působit malou silou, jejíž frekvence odpovídá frekvenci vlastního kmitání houpačky) rezonanci lze považovat za vzájemné působení 2 oscilátorů jeden zdrojem nuceného kmitání oscilátor O druhý se působením zdroje nuceně rozkmitá rezonátor R např. spřažená kyvadla
d) spřažená kyvadla 2 stejná kyvadla spojená navzájem pružinami (případně vláknem se závažím Z) vazba umožňuje přenos energie při rozkmitání oscilátoru O se jeho amplituda výchylky postupně zmenšuje, oscilátor R naopak začíná kmitat amplituda výchylky oscilátoru R je největší v okamžiku, kdy kmitání oscilátoru O ustalo děj se periodicky opakuje, kmitání má podobu rázů nastává výměna energie mezi O a R rychlost přenosu energie závisí na těsnosti vazby: volná vazba: vzájemné působené malé, přenos energie trvá delší dobu těsná vazba: vzájemné působení silné, přenos energie z O na R v krátké době e) význam rezonance v praxi užití rezonančního zesílení: např. hudební nástroje (chvění struny sotva slyšitelné přenos na těleso kytary, jejíž dřevěné části (dutina) způsobí značné rezonanční zesílení tónů u elektrických kmitů v zařízeních pro bezdrátovou komunikaci (později viz III. ročník) nežádoucí rezonanční zvětšení amplitudy výchylky: zvláště u strojů v technické praxi se k potlačení rezonančních kmitů užívají 3 způsoby: změna vlastní frekvence mechanizmu (u strojů, jejichž části se otáčejí period. síly se totiž přenášejí i na okolí (podlahu) doplnění tlumičem kmitání (u mechanizmů obsahující pružné prvky např. pérování aut doplněno tlumičem pérování) zvětšení tření mechanizmu f) příklady 1 Jestliže houpáme dítě na houpačce, musíme nejprve vychýlit houpačku poměrně velkou silou, kdežto houpání udržíme jen malým periodickým silovým působením. Vysvětlete. Na počátku musíme vykonat práci odpovídající celkové energii oscilátoru, kdežto v průběhu kmitání pouze nahrazujeme ztráty vznikající tlumením. 2 Domácí ždímačky (i pračky) jsou postaveny na nožkách z měkké pryže. Vysvětlete. Měkká pryž má malou tuhost (proto perioda vlastního kmitání je velká), navíc při její deformaci vznikají značné tlumicí síly (amplituda kmitání se rychle zmenšuje). 3 Když projíždí po silnici auto nebo když přelétá vrtulník, začnou drnčet okna. Vysvětlete. Frekvence periodických změn tlaku vzduchu způsobených převážně výfukem motoru automobilu mohou být v rezonanci s vlastní frekvencí okenní tabule.