ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS VI. Odpor a lktrický proud Obsah 6 ODPOR A ELEKTRICKÝ PROUD 6.1 ELEKTRICKÝ PROUD 6.1.1 HUSTOTA PROUDU 3 6. OHMŮV ZÁKON 4 6.3 ELEKTRICKÁ ENERGIE A VÝKON 6 6.4 SHRNUTÍ 7 6.5 ŘEŠENÉ ÚLOHY 8 6.6 TÉMATICKÉ OTÁZKY 11 6.7 NEŘEŠENÉ ÚLOHY 1

6 Odpor a lktrický proud 6.1 Elktrický proud Elktrický proud j tok lktrického náboj. Vzměm si skupinu nábojů, ktré s pohybují kolmo k ploš o obsahu A, jak ukazuj obrázk 6.1.1. Obr. 6.1.1: Náboj, pohybující s průřzm A. Elktrický proud j dfinován jako clková vlikost náboj, ktrý daným průřzm protč za jdnotku času. Jstliž clkový náboj Q projd průřzm za čas t, pak j průměrná hodnota lktrického proudu I avg rovna Q Iavg =. (6.1.1) t Jdnotkou lktrického proudu v soustavě SI j jdn ampér (A), kd 1 A = 1 coululomb / s. Vlikosti lktrického proudu v přírodě s pohybují od nanoampérů, ktré tčou našimi nrvy, po mgaampéry, ktré protékají blskovými kanály. V limitním přchodu t 0 můž být okamžitý proud I dfinován jako dq I =. (6.1.) dt Směr lktrického proudu byl implicitně stanovn jako směr pohybu kladných nábojů. Nositli lktrického náboj uvnitř vodičů jsou ovšm záporně nabité volné lktrony, ktré s tdy dl konvnc pohybují proti směru lktrického proudu. Elktrický proud můž protékat pvnými látkami (kovy, polovodiči), kapalinami (lktrolyty) a ionizovanými plyny. Látky, ktré nvdou lktrický proud, nazývám nvodiči, izolanty Obr. 6.1.: Náboj, pohybující s vodičm.

6.1.1 Hustota proudu Abychom pochopili vztah makroskopického proudu k pohybu mikroskopických nabitých částic, podívjm s na obrázk 6.1., ktrý ukazuj vodič o průřzu A. Clkový proud protékající vodičm můžm vyjádřit jako I = J da, (6.1.3) kd J j hustota proudu (jjí jdnotkou v soustavě SI j A/m ). Jstliž náboj každého nosič j q a n jjich počt v jdnotkovém objmu, j clkové množství náboj v daném objmu vodič rovno Q= q( na x). Pokud s nosič náboj pohybují rychlostí v d, j jjich posun v čas t rovn x = v t, odkud vyplývá d I avg Q = = nqvd A. (6.1.4) t Rychlost v d, s jakou s nosič náboj pohybují, j tzv. driftová rychlost. Fyzikálně j v d průměrná rychlost nosičů náboj uvnitř vodič, ktrý j vložn do vnějšího lktrického pol. V skutčnosti s al lktron v vodiči npohybuj po přímc, jho pohyb j chaotický, jak ukazuj obrázk 6.1.3. Obr. 6.1.3: Pohyb lktronu v vodiči. Z výš uvdných rovnic vyplývá, ž hustota proudu J můž být vyjádřna jako J = nqv. (6.1.5) Vidím, ž vktory J a v d míří stjným směrm v případě pohybu kladných nábojů a opačným směrm při pohybu záporných nábojů. Abychom nalzli driftovou rychlost lktronů, všimněm si njdřív, ž na lktron v vodiči působí lktrická síla F = E, ktrá mu uděluj zrychlní F E a = =. (6.1.6) m m Nchť j rychlost lktronu těsně po srážc s jiným lktronm v i. Rychlost lktronu bzprostřdně přd další srážkou bud d vf = vi + at = v i E t, (6.1.7) m kd t j doba mzi srážkami. Průměr rychlosti v f v všch časových intrvalch j 3

vf = v i E m t, (6.1.8) což odpovídá driftové rychlosti v d. Bz přítomnosti lktrického pol j rychlost lktronu čistě náhodná, odkud vyplývá, ž v i = 0. J-li střdní doba mzi dvěma srážkami τ = t, dostávám pro driftovou rychlost Hustota proudu, vyjádřná v rovnici (6.1.5), přchází na tvar vd = v f = E m τ. (6.1.9) E n τ J = nvd = n τ = E. (6.1.10) m m Všimnět si, ž vktory J a E míří stjným směrm nzávisl na tom, zda s jdná o pohyb kladných či záporných nábojů. 6. Ohmův zákon V mnoha látkách j hustota proudu linárně závislá na intnzitě vnějšího lktrického pol E. Tuto závislost j obvykl možné vyjádřit vztahm J = σ E, (6..1) kd vličina σ j měrná lktrická vodivost (konduktivita) látky. Výš uvdná rovnic j známa jako Ohmův zákon (v difrnciálním tvaru). Matriály, ktré splňují tnto zákon, nazývám ohmické. Srovnáním vztahů (6..1) a (6.1.10) zjistím, ž vodivost můž být vyjádřna jako n τ σ =. (6..) m Abychom obdržli tradiční a prakticky použitlnější formu Ohmova zákona, uvažujm část vodič válcového tvaru délky l a průřzu A, jak ukazuj obrázk 6..1. Obr. 6..1: Homognní vodič délky l s potnciálovým rozdílm V = V b V a. Přdpokládjm, ž mzi konci vodič j rozdíl potnciálů b a V V V =, ktrý vytváří lktrické pol E a proud I. Za přdpokladu, ž j pol homognní, dostanm 4

V = Vb Va = E d s = El. (6..3) a Hustotu proudu můžm přpsat jako V J = σe = σ l. (6..4) S uvážním J = I / A můžm potnciálový rozdíl zapsat jako l l V = J = I = RI, (6..5) σ σa kd V l R = = (6..6) I σ A j odpor (rzistanc) vodič. Rovnic V = IR (6..7) j intgrální vrzí Ohmova zákona. Jdnotkou odporu R v soustavě SI j jdn ohm (Ω), kd 1V 1 Ω. (6..8) 1A Zopakujm, ž matriály splňující podmínky Ohmova zákona nazývám ohmické, matriály, ktré Ohmův zákon nsplňují, nazývám nohmické. Většina kovů, ktré jsou dobrými vodiči proudu s malým odporm, jsou ohmické matriály. Právě na ně s přdvším zaměřím. b Obr. 6..: Ohmické a nohmické chování. Měrný odpor matriálu (rzistivita) ρ j dfinována jako přvrácná hodnota měrné vodivosti, 1 m ρ = =. (6..9) σ n τ Z výš uvdných rovnic vyplývá násldující vztah mzi měrným odporm ρ a odporm R matriálu E V / l RA ρ = = =, J I / A l nboli 5

ρ l R =. (6..10) A Měrná vodivost matriálu v skutčnosti závisí na jho tplotě T. Pro kovy j tato závislost v vlkém rozsahu tplot linární: [ 1 ( T T )] ρ = ρ + α, (6..11) 0 0 kd α j tplotní součinitl měrného odporu. Typické hodnoty vličin ρ, σ a α (při 0 C) pro různé druhy matriálů uvádí násldující tabulka. Matriál Měrný odpor ρ (Ω.m) Měrná vodivost σ (Ω.m) 1 Tplotní součinitl α ( C) 1 Prvky Stříbro 1,59 10 8 6,9 10 7 0,0038 Měď 1,7 10 8 5,81 10 7 0,0039 Hliník,8 10 8 3,55 10 7 0,0039 Wolfram 5,6 10 8 1,8 10 7 0,0045 Žlzo 10,0 10 8 1,0 10 7 0,0050 Platina 10,6 10 8 1,0 10 7 0,0039 Slitiny Mosaz 7 10 8 1,4 10 7 0,00 Manganin 44 10 8 0,3 10 7 1,0 10 5 Nichrom 100 10 8 0,1 10 7 0,0004 Polovodič Uhlík (grafit) 3,5 10 5,9 10 4 0,0005 Grmanium (čisté) 0,46, 0,048 Křmík (čistý) 640 1,6 10 3 0,075 Izolanty Sklo 10 10 10 14 10 14 10 10 Síra 10 15 10 15 Křmn (tavný) 75 10 16 1,33 10 18 6.3 Elktrická nrgi a výkon Uvažujm obvod, skládající s z batri a odporu R (obrázk 6.3.1). Nchť potnciálový rozdíl mzi dvěma body a a b j V = Vb Va > 0. Při přmístění q náboj mzi těmito body s jho potnciální lktrická nrgi zvětší o U = q V. Na druhé straně s nrgi nositlů náboj sníží při kolizích s atomy odporu. Pokud zandbám vnitřní odpor batri a propojovacích drátů, po příchodu do bodu a zůstan potnciální nrgi náboj q nzměněna. 6

Obr. 6.3.1: Obvod z batri a odporu o vlikosti R. Clková ztráta nrgi při průchodu odporm j tdy U q P= = V = I V. (6.3.1) t t To j také přsné množství výkonu, poskytovaného batrií. Dosazním V = IRmůžm přdchozí rovnici přpsat do tvaru 6.4 Shrnutí Elktrický proud j dfinován jako I = dq / dt. ( V ) P= I R=. (6.3.) R Průměrná hodnota proudu v vodiči j I avg = nqv d A, kd n j koncntrac nositlů náboj, q j průměrný náboj jdné částic, v d j driftová rychlost a A j průřz vodič. Hustota proudu J tkoucího daným průřzm vodič j J = nqv d Difrnciální forma Ohmova zákona: hustota proudu j přímo úměrná intnzitě lktrického pol, konstantou úměrnosti j měrná lktrická vodivost σ: J = σ E. Přvrácná hodnota měrné vodivosti σ j měrný odpor ρ = 1/ σ. Intgrální tvar Ohmova zákona: Odpor vodič R j poměr mzi potnciálovým rozdílm V mzi dvěma konci vodič a proudm I: R = V / I. Vztah odporu a měrného odporu j dán vztahm R = ρ l/ A, kd l j délka a A j průřz vodič. Driftová rychlost lktronu v vodiči j v d = E τ / m, kd m j hmotnost lktronu a τ průměrná doba mzi dvěma srážkami. Vztah doby τ k měrnému odporu j u kovů dán vztahm ρ = 1/ σ = m / n τ. Změna měrného odporu s tplotou vodič j ρ ρ [ 1 α( T T )] součinitl měrného odporu. 0 0 = +, kd a tplotní Výkon, nbo množství nrgi dodávané odporu za jdnotku času, j = ( V) / R. P= I V = I R= 7

6.5 Řšné úlohy 6.5.1 Odpor kablu Kabl o délc 3 000 km s skládá z sdmi měděných drátů, každého o průměru 0,73 mm, svinutých dohromady a obalných izolátorm. Vypočítjt odpor kablu. Pro měrný odpor mědi uvažujt hodnotu 3 10 6 Ω.cm. Řšní: Odpor R vodič souvisí s měrným odporm vztahm R = ρ l/a, kd l a A jsou délka vodič a jho průřz. Protož s kabl skládá z N = 7 měděných drátů, j jho clkový průřz π d A= Nπ r = 7. 4 Pro odpor kablu pak dostávám ρl 4 R = = 3,1 10 Ω. A 6.5. Náboj na rozhraní dvou vodičů Ukažt, ž clkové množství náboj na rozhraní spoj dvou matriálů na obrázku 6.5.1 j 1 1 ( ) ε I σ σ 0 1 matriálů., kd I j proud procházjící spojm a σ 1 a σ jsou měrné vodivosti obou Obr. 6.5.1: Náboj na rozhraní dvou vodičů. Řšní: Při ustálné hodnotě lktrického proudu musí být normálová složka hustoty proudu J stjná na obou stranách spoj. Protož J = σ E, j takéσ 1 E 1 = σ E nbo E σ 1 = E1 σ Označím-li náboj na rozhraní q in, dostanm z Gaussova zákona:. tj. q d A ( E E1) A in ε 0 E = =, q E in E1 =. Aε 0 8

Dosazním za E násldně dostávám: σ1 1 1 qin = ε0ae1 1 = ε0aσ1 E1. σ σ σ1 Protož proud j I = JA = ( σ1e1) A, j clkové množství náboj na rozhraní q 1 1 = ε I. σ σ1 in 0 6.5.3 Driftová rychlost Měrný odpor mořské vody j přibližně 5 Ω.cm. Nositli náboj jsou zjména ionty Na + a Cl, jjichž koncntrac j přibližně 3 10 0 cm 3. Jstliž naplním plastovou hadici o délc mtry mořskou vodou a na lktrody na jjích koncích připojím zdroj napětí 1 V, jaká bud průměrná driftová rychlost iontů v cm/s? Řšní: Proud v vodiči o průřzu A j úměrný driftové rychlosti nositlů náboj podl vztahu I = nav d, kd n j počt nosičů náboj v jdnotkovém objmu. Ohmův zákon můžm přpsat v tvaru odkud vyplývá Po dosazní číslných hodnot mám ρl V = IR = ( navd) = nvdρl, A v d V =. nρl Vcm vd =,5 10 =,5 10 C Ω Při přvodu jdnotk jsm využili vztahu 5 5 V V 1 A = = =s Ω C Ω C C 1. cm. s 6.5.4 Odpor komolého kužl J dán komolý kužl o výšc h a poloměrch a a b (obrázk 6.5.), vyrobný z matriálu o měrném odporu ρ. 9

Obr. 6.5.: Komolý kužl. Jaký j odpor mzi dvěma konci kužl, pokud budm přdpokládat, ž j rozložní proudu v průřzch rovnoměrné? Řšní: Přdstavm si tnký disk o poloměru r, ktrý s nachází v vzdálnosti x od lvého konc. Z obrázku napravo vidím, ž nboli b r b a =, x h r = ( a b) x + b. h Protož odpor R souvisí s měrným odporm ρ vztahm R = ρ la /, kd l j délka vodič a A jho průměr, j příspěvk odporu disku o tloušťc dy k clkovému odporu ρdx ρdx dr = = πr π[ b+ ( a b) x/ h] Přímou násldnou intgrací dostávám h ρdx ρh R = 0 π[ b ( a b) x/ h] =, + π ab kd jsm využili platnosti vztahu du 1 =. ( αu + β) α( αu + β) Všimnět si, ž pro případ a = b dostanm rovnici (6..9). 6.5.5 Odpor dutého válc J dán dutý válc o délc L, vnitřním průměru a a vnějším průměru b, zakrslný na obrázku 6.5.3, vyrobný z matriálu o měrném odporu ρ.. 10

Obr. 6.5.3: Dutý válc. (a) Přdpokládjt, ž mzi konci válc působí potnciálový rozdíl, ktrý způsobí tok proudu v směru rovnoběžném s osou válc. Jaký u něj naměřím odpor? (b) Jaký naměřím odpor v případě, ž bud rozdíl potnciálů mzi vnitřním a vnějším povrchm válc, a proud potč v radiálně směrm vn? Řšní: (a) Pokud j rozdíl potnciálů mzi konci válc, tč proud v směru rovnoběžném s osou válc. V tomto případě j plocha průřzu A = π ( b a ) a odpor j pak dán vztahm ρl ρl R = =. A π ( b a ) (b) Uvažujm difrnciální lmnt v tvaru tnkého válc o vnitřním průměru r a vnějším průměru r + dr a délc L. Jho příspěvk k clkovému odporu bud ρdl ρdr dr = =, A π rl kd A= π rlj vlikost plochy kolmé na směr lktrického proudu. Clkový odpor válc j proto 6.6 Tématické otázky b ρdr ρ b R = = ln a πrl πl a. 1. Dva dráty A a B kruhového průřzu jsou vyrobny z stjného kovu a mají stjnou délku. Odpor drátu A j čtyřikrát větší, nž odpor drátu B. Najdět poměr ploch jjich průřzů.. Vysvětlt z hldiska atomové tori, proč vlikost odporu látky s tplotou rost. 3. Dva vodič A a B stjné délky a s totožným průměrm jsou zapojny do míst s stjným rozdílm potnciálu. Odpor vodič A j dvakrát větší nž odpor vodič B. Ktrému vodiči j dodáván větší příkon? 11

6.7 Nřšné úlohy 6.7.1 Proud a hustota proudu Koul o poloměru 10 mm j nabita nábojm 8 nc = 8 10 9 C obíhá po kruhové dráz na konci nvodivého závěsu. Rotační frkvnc j 100 π rad/s. (a) Jaká j základní dfinic proudu vzhldm k náboji? (b) Jaký průměrný proud přdstavuj tato rotující nabitá kulička? (c) Jaká j průměrná hustota proudu v oblasti, ktrou kulička prochází? 6.7. Výkonové ztráty a Ohmův zákon Topidlo o výkonu 1 500 W j konstruováno na provoz při napětí 115 V. (a) Jaká proud bud protékat topidlm? [~10 A] (b) Jaký j odpor topné spirály? [~10 Ω] (c) Jakou nrgii vyzáří topidlo za jdnu hodinu provozu? 6.7.3 Odpor kužl Měděné tělso s měrným odporm ρ má tvar válc o poloměru b a délc L 1, na ktrý j napojn komolý kužl o počátčním poloměru b, koncovém poloměru a a délc L, viz obrázk 6.7.1. Obr. 6.7.1. (a) Jaký j odpor válcové části tělsa? (b) Jaký j odpor clého tělsa? (Návod: U zúžné části j nutné vyjádřit přírůstk odporu dr tnkého řzu dx v daném bodě x a poté tyto přírůstky sčíst intgrací. Pokud j zúžní kužl malé, j možné pokládat hustotu proudu v libovolném průřzu za stjnou). (c) Ukažt, jak s řšní zrdukuj pro případ, kdy a = b. (d) Jaký j odpor v případě, ž L 1 = 100 mm, L = 50 mm, a = 0,5 mm, b = 1,0 mm? 6.7.4 Hustota proudu a driftová rychlost (a) Soustava nábojů, každý o vlikosti q, s pohybuj rychlostí v. Počt částic v jdnotc objmu j n. Jaká j vlikost a směr hustoty proudu J těchto nábojů? Dbjt na to, aby odpověď byla v správných jdnotkách A/m. (b) Chcm spočítat, jak dlouho trvá lktronu, nž s dostan z batri automobilu do jho startéru poté, co j spnuto zapalování. Přdpokládjt, ž tkoucí proud má vlikost 115 A a ž lktrony s pohybují měděným drátm o průřzu 31, mm a délc 85,5 cm. 1

Koncntrac volných lktronů v mědi j 8,49 10 8 /m 3. Pokud znám tuto koncntraci a hustotu proudu, jaká j driftová rychlost lktronů? Jak dlouho trvá lktronu, nž s dostan z batri do startéru? [3,69 10 6 A/m,,71 10 4 m/s, 5,5 min] 6.7.5 Proudová vrstva Proudovou vrstvou rozumím rovinu, v jjímž jdnom směru dochází k toku lktrického proudu. Jdním z způsobů, jak zkonstruovat proudovou vrstvu, j sřadit do roviny množství vodičů. Na obrázku 6.7. (nalvo) jsou umístěny do roviny yz. Každým z těchto vodičů protéká v směru z papíru, tj. v směru j ˆ, proud I. Na jdnotku délky v směru osy z připadá n vodičů, viz obrázk 6.7. (napravo). Proud připadající na jdnotku délky osy z j tdy ni. Tnto proud, připadající na délkovou jdnotku, označím ni = K. Obr. 6.7.: Proudová vrstva. Jinou cstou, jak zkonstruovat proudovou vrstvu, j s pomocí nvodivé vrstvy nabité s konstantní plošnou hustotou náboj s, a pohybovat s ní v směru, jaký má mít lktrický proud. Například obrázk nalvo ukazuj plošný náboj, pohybující s v směru do papíru rychlostí v. V stjném směru míří i lktrický proud. (a) Ukažt, ž vlikost proudu na jdnotku délky v směru osy z, K, j σv. Ověřt, ž má tato vličina rozměr A / m. V skutčnosti s jdná o vktorovou rovnici K() t = σv () t, protož směr proudu j stjný jako směr rychlosti kladných nábojů. (b) Pás o šířc 50 cm přnáší náboj na vysokopotnciálovou vnitřní část Van d Graaffova urychlovač rychlostí,83 mc/s. Pás s pohybuj rychlostí 30 m/s. Jaká j povrchová hustota náboj na pásu? [189 µc/m ] 6.7.6 Odpor a měrný odpor Drát o odporu 6,0 Ω j v člistch natažn na trojnásobk své původní délky. Jaký j nyní jho odpor za přdpokladu, ž s běhm natahování nzměnil měrný odpor a hustota matriálu? [54 Ω] 6.7.7 Výkon, napětí a proud 100-W žárovka j zapojna na zdroj napětí 30 V. (a) Kolik bud stát měsíční npřtržitý provoz žárovky (31 dní)? Přdpokládjt, ž cna lktřiny j 3 Kč za 1 kwh. (b) Jaký j odpor žárovky? (c) Jaký proud tč žárovkou? [(a) 3 Kč, (b) 59 Ω, (c) 434 ma]. 13

6.7.8 Akumulac náboj na přchodové vrstvě Na obrázku 6.7.3 j zakrslna trojvrstvý odpor, ktrý j vyrobn z dvou různých odporových matriálů o měrné vodivosti ρ 1 a ρ. V pořadí zlva do prava s njprv nachází vrstva s měrným odporm ρ 1 o tloušťc d/3, za ktrou s nachází vrstva z matriálu o měrném odporu ρ, také o tloušťc d/3, násldovaná opět vrstvou o měrném odporu ρ 1 s tloušťkou d/3. Obr. 6.7.3: Akumulac náboj na přchodové vrstvě. Plocha průřzu všch matriálů j A. Odpor j na obou koncích opatřn kovovými vodiči (črné oblasti). S pomocí batri (nzakrslna) udržujm mzi kovovými kontakty potnciálový rozdíl V. Lvý konc odporu j v oblasti vyššího potnciálu (tzn., ž vktor intnzity lktrického pol míří v směru zlva doprava). V clém systému s vyskytují čtyři různé přchody mzi různými matriály a vodiči, ktré označím a až d, tak, jak j to provdno na obrázku. Zlva doprava protéká soustavou stálý proud I, ktrému odpovídá proudová hustota J = I / A. (a) Jaké jsou intnzity lktrického pol E 1 a E v dvou nvodivých matriálch? Při výpočtu pokládjt hustotu proudu v každém průřzu za konstantní. Proč tomu tak musí být? [Všchny intnzity míří směrm doprava, E 1 = ρ 1 I / A, E = ρ I / A; pokud by v ustálném stavu nbyly hustoty proudu stjné, docházlo by k nustálému nárůstu náboj na přchodových vrstvách až k nkončnu.] (b) Jaký j clkový odpor R systému? Ukažt, jak s zjdnoduší odpověď pro případ ρ1= ρ = ρ. [ R = d( ρ1+ ρ)/3a, pokud ρ1= ρ = ρ, dostávám přdpokládaný výsldk R = dρ / A.] (c) Jak s směrm zprava dolva mění průběh potnciálu? Jaký j potnciál v jdnotlivých vrstvách? [ Vρ1/( ρ1+ ρ), V ρ/( ρ1+ ρ), Vρ1/( ρ1+ ρ), clkový součt j podl podmínky rovn V.] (d) Jaké jsou plošné hustoty náboj σ a až σ d na jdnotlivých přchodových vrstvách? Použijt Gaussův zákon a přdpokládjt, ž lktrické pol na vodivých kontaktch j nulové. [ σa = σd = 3 ε0vρ1/ d( ρ1+ ρ), σb = σc = 3 ε0v( ρ ρ1)/ d( ρ1+ ρ).] () Jak s změní přdchozí výsldk v případě, ž budm přdpokládat, ž ρ ρ1? 14