Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 1 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Proces náhodné procházky Random Walk Process Proces Y t = Y t 1 + ɛ t je označuje jako proces náhodné procházky. Pomocí operátoru zpětného posunutí lze vyjádřit jako (1 L)Y t = ɛ t. ACF tohoto procesu klesá pomalu, PACF hodnotu φ 11 = 1, ostatní hodnoty jsou nulové. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 2 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Proces náhodné procházky Random Walk Process Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 3 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Procesy ARIMA Diferenci Y t = Y t Y t 1 lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako Y t = Y t Y t 1 = Y t LY t = (1 L)Y t. Pro diferenci 2. řádu 2 Y t = (Y t Y t 1) = Y t Y t 1 = Y t Y t 1 (Y t 1 Y t 2) = Y t 2Y t 1 + Y t 2 lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako 2 Y t = (1 L) 2 Y t. Diferencování časové řady v R-ku provedeme funkcí diff. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 4 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Procesy ARIMA Pro některý procesy platí, že po transformaci pomocí diference řádu d, je lze popsat jako proces ARMA(p, q). Takový model označujeme jako model ARIMA(p, d, q) (1 φ 1L φ pl p ) d Y t = (1 + θ 1L + + θ ql q )ɛ t, (1 φ 1L φ pl p )(1 L) d Y t = (1 + θ 1L + + θ ql q )ɛ t. K ověřování nestacionarity procesu slouží tzv. testy jednotkových kořenů unit root tests. Mezi nejznámější patří Dickey-Fullerovy testy (ADF testy). Odhady parametrů ARIMA modelů získáme v R-ku pomocí funkce arima, základní diagnostiku vhodnosti modelu dává funkce tsdiag, předpovědi určíme s využitím funkce predict. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 5 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Procesy ARIMA Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 6 / 19

Nestacionární procesy Modely ARIMA Procesy ARIMA Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 7 / 19

Nestacionární procesy Transformace Logaritmování Mimo diferencování existují i jiné transformace, pomocí nichž lze dosáhnou stacionarity. Asi nejpoužívanější transformací je logaritmování. Předpokládejme, že Y t > 0 pro Všechna t a že E(Y t) = µ t a D(Yt) = µ tσ. Předpoklad popisuje situaci, kdy se rozptyl mění v závislosti na střední hodnotě. Potom Tyto závěry vyplývají z Taylorova rozvoje E(ln Y t) ln µ t a D(ln Y t) σ 2. ln Y t ln µ t + Yt µt µ t. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 8 / 19

Nestacionární procesy Transformace Box-Coxova transformace Pro danou hodnotu parametru λ je transformace definována následovně { x λ 1 pro λ 0, g(x) = λ ln x pro λ = 0. Hodnota parametru λ může být odhadnuta v R-ku pomocí funkce BoxCox.ar. Požití ukážeme na časové řadě popisující množství elektrické energie vyrobené v USA v období 01/1973 12/2005 - měsíční data. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 9 / 19

Nestacionární procesy Transformace Box-Coxova transformace Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 10 / 19

Procesy se sezónností Procesy se sezónností Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 11 / 19

Procesy se sezónností Uvažujme nejprve stacionární modely. Označme s sezónní periodu (pro měsíční časové řady s = 12, pro čtvrtletní s = 4). Mějme proces Všimněme si, že ale Y t = ɛ t + Θɛ t 12. C(Y t, Y t 1) = C(ɛ t + Θɛ t 12, ɛ t 1 + Θɛ t 13) = 0, C(Y t, Y t 12) = C(ɛ t + Θɛ t 12, ɛ t 12 + Θɛ t 24) = Θσ 2 ɛ. Tento proces je stacionární a má nenulové autokorelace pouze pro zpoždění 12. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 12 / 19

Procesy se sezónností Definujme sezónní MA(Q) proces s periodou s následovně Y t = ɛ t + Θ 1ɛ t s + Θ 2ɛ t 2s +... Θ Q ɛ t Qs. Charakteristický polynom má tvar Θ(z) = 1 + Θ 1z s + Θ 2z 2 s + + Θ Q z Qs. Analogicky definujeme sezónní AR(P) proces s periodou s Y t = Φ 1Y t s + Φ 2Y t 2s + + Φ P Y t 2s s charakteristickým polynomem Φ(z) = 1 Φ 1z s Φ 2z 2 s +... Φ P z Ps. Sezónní ARMA model vznikne spojením modelů AR(P) a MA(Q) Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 13 / 19

Procesy se sezónností Sezónní ARMA(p, q)(p, Q) model s periodou s jen model s AR charakteristickým polynomem φ(z)φz a s MA charakteristickým polynomem θ(z)θ(z), kde φ(z) = 1 φ 1z φ 2z 2 +... φ pz p, Φ(z) = 1 Φ 1z s Φ 2z 2 s +... Φ P z Ps, θ(z) = 1 + θ 1z + θ 2z 2 + + θ qz q, Θ(z) = 1 + Θ 1z s + Θ 2z 2 s + + Θ Q z Qs. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 14 / 19

Procesy se sezónností U ARIMA procesů se stacionarity dosáhlo pomocí diferencování ( Y t = Y t Y t 1). U nestacionárních sezónních procesů definujeme sezónní diferenci sy t = Y t Y t s. Lze definovat obecný nestacionární proces SARIMA(p, d, q)(p, D, Q), kde d značí D řád sezónní diference. φ(l)φ(l s ) d D s = θ(l)θ(l s )ɛ t Např. SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) 12 má tvar nebo ekvivalentně (1 L)(1 L 12 )Y t = (1 + θ 1L)(1 + Θ 1L)ɛ t, Y t Y t 1 Y t 12 + Y t 13 = ɛ t + θ 1ɛ t 1 + Θ 1ɛ t 12 + θ 1Θ 1ɛ t 13. Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 15 / 19

Procesy se sezónností CO 2 Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 16 / 19

Procesy se sezónností CO 2 Call: arima(x = co2, order = c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12)) Coefficients: ma1 sma1-0.5792-0.8206 s.e. 0.0791 0.1137 sigma^2 estimated as 0.5446: log likelihood = -139.54, aic = 283.08 Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární časové řady 17 / 19