4 Parametrické odhady
|
|
- Lenka Říhová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 Parametrické odhady Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student zná základní rozdělení pravděpodobnosti dat přežití 2. Student rozumí principu odhadu funkce přežití a rizikové funkce s využitím metody maximální věrohodnosti 3. Student je schopen sestrojit funkci věrohodnosti pro data o přežití 4. Student umí ověřit, zda data pochází z exponenciálního nebo Weibullova rozdělení pravděpodobnosti V kapitole 3 byly uvedeny hlavní neparametrické metody pro hodnocení dat o přežití, které jsou pro svou jednoduchost a obecnou aplikovatelnost široce používány. Vedle neparametrických metod však existuje i skupina metod parametrických, jejichž použití předpokládá konkrétní funkční vyjádření rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny T. Tato kapitola uvádí hlavní rozdělení pravděpodobnosti používané v analýze přežití a způsob, jak odhadovat neznámé parametry vybraného rozdělení pomocí metody maximální věrohodnosti. 4.1 Hlavní rozdělení pravděpodobnosti v analýze přežití Použití neparametrických metod výrazně zjednodušuje průběh analýzy, neboť se nemusíme zabývat problémem, z jakého rozdělení pravděpodobnosti pozorované časy přežití pochází. Předpoklad konkrétního rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny T je zvláště v analýze přežití silný a může být zrádný (pokud totiž není správný a neshoduje se s pozorovanými daty, výsledné odhady mohou být úplně mimo realitu), ale má i své výhody. Použití parametrického vyjádření distribuční funkce a potažmo funkce přežití nám v analýze přežití usnadňuje řadu kroků. Mezi hlavní výhody parametrických odhadů patří: 1. Jednodušší odhad kvantilů funkce přežití, zejména mediánu přežití a střední doby dožití, 2. Možnost vyjádření hlavních charakteristik náhodné veličiny T, tedy funkce přežití S(t), rizikové funkce h(t) a kumulativní rizikové funkce H(t) pomocí spojité funkce, 3. Přesnější odhad funkce přežití než s pomocí Kaplanova-Meierova odhadu, 4. Nižší variabilita, respektive standardní chyba, odhadů hlavních charakteristik náhodné veličiny T. V klasické statistice hraje hlavní roli normální rozdělení pravděpodobnosti, případně diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jako jsou binomické a Poissonovo. Tato rozdělení však v analýze přežití nenajdeme, diskrétní z toho důvodu, že předpokládáme spojitou náhodnou veličinu T, a normální rozdělení z důvodu, že časy přežití mají v klinických a biologických studiích kladně sešikmené rozdělení (to znamená, že většina osob má kratší či střední doby přežití a osob s delšími až extrémními časy přežití je relativně málo). Nejčastěji používaná rozdělení pravděpodobnosti v analýze přežití jsou následující: Exponenciální rozdělení, 1
2 Weibullovo rozdělení, Logaritmicko-normální rozdělení, Logaritmicko-logistické rozdělení Exponenciální rozdělení Exponenciální rozdělení (exponential distribution) je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které popisuje délky časových intervalů mezi výskyty jednotlivých událostí tzv. Poissonova procesu (Poisson process), což znamená, že popisuje délku časových intervalů mezi jednotlivými událostmi, když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle a s konstantní intenzitou. Tuto intenzitu neboli míru rizika v čase popisuje jediný parametr exponenciálního rozdělení označovaný řeckým λ. Vysoká hodnota parametru λ odráží vysoké riziko výskytu sledované události v čase a krátké přežití, zatímco malá hodnota λ naznačuje opak. Když se náhodná veličina T řídí podle exponenciálního rozdělení s parametrem λ, jsou její hustota pravděpodobnosti, riziková funkce a funkce přežití dány vztahy,,. (4.1) Exponenciální rozdělení popisuje čistě náhodný výskyt sledovaných událostí, a proto je někdy označováno jako rozdělení bez paměti. To znamená, že čas od začátku sledování neovlivňuje riziko výskytu události v čase, což je vyjádřeno právě konstantní rizikovou funkcí. Ačkoli má exponenciální rozdělení řadu aplikací v technických vědách, jeho použití v řešení klinických experimentů je právě z důvodu konstantní a tudíž neflexibilní rizikové funkce omezené Weibullovo rozdělení Weibullovo rozdělení (Weibull distribution) pravděpodobnosti je zobecněním exponenciálního rozdělení, které navrhl Weibull [1] pro popis životnosti materiálů. Na rozdíl od exponenciálního Weibullovo rozdělení nepředpokládá konstantní riziko výskytu sledované události v čase, ale uvažuje monotónní rizikovou funkci (tedy s časem monotónně rostoucí nebo klesající funkci), z čehož plyne také jeho širší uplatnění v praxi. Toto rozdělení je popsáno pomocí dvou parametrů, γ a λ, kde parametr γ určuje tvar hustoty pravděpodobnosti Weibullova rozdělení a parametr λ škálu hodnot. Spojení Weibullova rozdělení s exponenciálním je následující: Platí-li, že náhodná veličina T umocněná na γ se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem λ, pak T má Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti s parametry γ a λ, tedy lze psát T ~ W(λ, γ). Pokud se náhodná veličina T řídí podle Weibullova rozdělení s parametry γ a λ, lze hustotu pravděpodobnosti, rizikovou funkci a funkci přežití popsat vztahy (4.2) 2
3 Ze vztahu (4.2) je vidět, že tvar rizikové funkce náhodné veličiny s Weibullovým rozdělením zásadním způsobem závisí na hodnotě parametru γ, a to takto: Pro γ < 1 je riziková funkce náhodné veličiny T monotónně klesající, Pro γ = 1 je riziková funkce náhodné veličiny T konstantní a tedy h(t) = λ, Pro γ > 1 je riziková funkce náhodné veličiny T monotónně rostoucí. Rizikovou funkci Weibullova rozdělení tedy není možné specifikovat jako zároveň klesající (např. pro nízké hodnoty veličiny T) a rostoucí (např. pro vysoké hodnoty veličiny T), i tak je toto rozdělení vhodné pro medicínský výzkum, např. pro modelování přežití pacientů s onkologickým onemocněním, u něhož riziko od okamžiku diagnózy s časem monotónně klesá (např. karcinom žaludku, plic), či roste (např. karcinom prsu, prostaty) Logaritmicko-normální rozdělení O náhodné veličině T řekneme, že má logaritmicko-normální rozdělení (log-normal distribution) právě tehdy, když veličina Y, která je přirozeným logaritmem veličiny T, má normální rozdělení. A naopak, když veličina Y má normální rozdělení, pak náhodná veličina T = exp(y) má rozdělení logaritmicko-normální. Rozdělení náhodné veličiny T tedy jednoznačně souvisí s parametry normálního rozdělení, které označujeme µ a σ 2 a které mají význam střední hodnoty a rozptylu normálního rozdělení korespondující náhodné veličiny Y = ln(t). Hustota pravděpodobnosti, riziková funkce a funkce přežití veličiny T s logaritmickonormálním rozdělením jsou dány vztahy 1 2 1Φ ln, (4.3) kde Φ je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1. Z výše uvedeného je vidět, že riziková funkce a funkce přežití veličiny T nelze vyjádřit jednoduše, jako tomu bylo v případě exponenciálního a Weibullova rozdělení, což však nic nemění na jeho použitelnosti v analýze přežití. Naopak, riziková funkce logaritmickonormálního rozdělení má díky své definici specifický průběh, který není monotónní, ale zpočátku je rostoucí, následně dosahuje svého maxima a pro t klesá zpět k nule. Logaritmicko-normální rozdělení je tedy vhodné zejména v těch případech, kdy můžeme v období bezprostředně po zahájení sledování (diagnóza) očekávat nárůst rizika sledované události (např. po chirurgickém zákroku), které však po dosažení maximální hodnoty opět klesá (pacienti, kteří se zotaví ze srdečního selhání). Pomocí logaritmicko-normálního rozdělení lze však modelovat i monotónně klesající rizikovou funkci. 3
4 4.1.4 Logaritmicko-logistické rozdělení Logaritmicko-logistické rozdělení (log-logistic distribution) pravděpodobnosti lze chápat jako transformaci Weibullova rozdělení, které bylo definováno výše vztahy (4.2). Riziková funkce je rozšířena o člen 1/1 (jmenovatel), což umožňuje rizikové funkci větší flexibilitu, která na rozdíl od Weibullova rozdělení nemusí být monotónní. Funkce h(t) je tedy dána vztahem 1. (4.4) Logaritmicko-logistické rozdělení má velké uplatnění v ekonomii při modelování příjmů, ale stejně tak se uplatňuje i v modelování klinických dat, jmenovitě opět dat o přežívání onkologických pacientů. 4.2 Metoda maximální věrohodnosti Odhad neznámých parametrů uvažovaného rozdělení pravděpodobnosti, které jsou nezbytné pro odhady S(t) a h(t), je v analýze přežití založen na metodě maximální věrohodnosti (maximum likelihood estimation). Principem metody maximální věrohodnosti je najít odhad parametru θ (jmenovitě například parametru λ exponenciálního rozdělení), který maximalizuje pravděpodobnost, že pozorované hodnoty pocházejí z předpokládaného rozdělení. Jinými slovy se snažíme najít takovou hodnotu θ, pro niž je pravděpodobnost, že pozorované hodnoty pocházejí z předpokládaného rozdělení, maximální. Odhad se tedy snaží maximálně přizpůsobit pozorovaným časům přežití, což je logické, když připouštíme, že data představují jediný zdroj informací o neznámých parametrech. Sdružená hustota pravděpodobnosti odpovídající n realizacím náhodné veličiny T, tedy pozorovaným hodnotám t 1, t 2,, t n, má tvar:,,. (4.5) Hlavní myšlenkou metody maximální věrohodnosti je dívat se na sdruženou hustotu nikoliv jako na funkci t 1, t 2,, t n, ale jako na funkci vektoru parametrů θ (při pevně daných hodnotách t 1, t 2,, t n ), a vybrat ze všech možných hodnot θ takové, aby výraz (4.5) nabýval svého maxima. Pro tento účel zavádíme tzv. funkci věrohodnosti (likelihood function) ve tvaru,,,,. Je nutné si uvědomit, že na rozdíl od standardních dat má v přítomnosti cenzorování příspěvek cenzorovaných a kompletních pozorování k funkci věrohodnosti jiný tvar. Když je čas t i úplným pozorováním, pak příspěvek itého pacienta k věrohodnostní funkci lze vyjádřit jako f(t i ) = h(t i )S(t i ), což vyjadřuje pravděpodobnost, že se subjekt dožil času t i bez události a zároveň u něj v čase t i událost nastala. Když je čas t i cenzorovaný, pak příspěvek itého pacienta k věrohodnostní funkci lze zjednodušit pouze na f(t i ) = S(t i ), neboť jediné, co víme, je, že se subjekt bez události dožil času t i. Abychom mohli zohlednit při specifikaci věrohodnostní funkce cenzorování, je třeba pracovat s pozorovanými dvojicemi hodnot (t 1, d 1 ), (t 2, d 2 ),, (t n, d n ). Věrohodnostní funkce v přítomnosti cenzorování pak má tvar 4
5 ,,,,,,. (4.6) Výpočetně je pro nás však výhodnější maximalizovat logaritmus funkce věrohodnosti (přirozený logaritmus je výhodný pro zjednodušení součinu na součet). Zavádíme tedy tzv. logaritmickou věrohodnostní funkci (log-likelihood function), kterou lze pomocí elementárních úprav vyjádřit ve tvaru,,,,,, ln ln ln ln ln. (4.7) Příklad 4.1. S využitím výše uvedeného postupu sestrojíme maximálně věrohodný odhad parametru λ exponenciálního rozdělení. Věrohodnostní funkce pro exponenciální rozdělení má tvar:,,,,. (4.8) Označíme-li celkový počet sledovaných událostí, pak můžeme logaritmus funkce věrohodnosti vyjádřit jako,,,, ln ln. (4.9) Maximálně věrohodný odhad pak získáme položením derivace tohoto výrazu podle λ rovno nule, což znamená,,,, 0. (4.10) Výsledným odhadem je pak relativně intuitivní vyjádření odpovídající celkovému počtu pozorovaných událostí, který vztáhneme na celkový pozorovaný osobo-čas v riziku, tedy na celkový součet časů, po něž byly hodnocené subjekty v riziku sledované události: 5
6 . (4.11) Příklad 4.2. Vhodnost rozdělení pravděpodobnosti popsaných v kapitole 4.1 na reálná data z klinické praxe demonstrujeme na dvou souborech pacientů s maligním onemocněním. Prvním souborem jsou pacienti s metastatickým karcinomem plic z registru TULUNG, kteří byli léčeni protinádorovou terapií. Odhady funkce přežití sestrojené za předpokladu exponenciálního, Weibullova, logaritmicko-normálního a logaritmicko-logistického rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny T jsou pro tento soubor pacientů znázorněny spolu s neparametrickým Kaplanovým-Meierovým odhadem na obr Na obrázku je vidět, že logaritmicko-normální a logaritmicko-logistické rozdělení velmi pěkně vystihují pozorované hodnoty přežití s drobnými výjimkami, které však mohou být způsobeny způsobem sběru dat. Odhady pro exponenciální a Weibullovo rozdělení jsou méně přesné, neboť méně kopírují Kaplanův-Meierův odhad. Podíl žijících pacientů Kaplanův Meierův odhad Exponenciální rozdělení Weibullovo rozdělení Logaritmicko normální rozdělení Logaritmicko logistické rozdělení Čas (měsíce) Obr. 4.1 Odhady funkce přežití sestrojené za předpokladu exponenciálního, Weibullova, logaritmicko-normálního a logaritmicko-logistického rozdělení pravděpodobnosti pro soubor pacientů s metastatickým karcinomem plic, kteří byli léčeni protinádorovou terapií. 6
7 Druhým souborem jsou pacienti s chronickou myeloidní leukémií z registru CAMELIA, kteří podstoupili transplantaci krvetvorných buněk. Příslušné odhady funkce přežití jsou spolu s neparametrickým Kaplanovým-Meierovým odhadem znázorněny na obr Z výsledku vidíme, že žádné z uvažovaných rozdělení není na tato data úplně vhodné, neboť se nedokáže vypořádat s poměrně pozvolným klesáním funkce přežití, které je navíc kombinováno s náznakem asymptoty pro funkci přežití po 36. měsíci od transplantace. Funkci přežití, která po určité době od začátku sledování vykazuje asymptotu jinou než 0, je vždy lepší modelovat s pomocí tzv. modelů s podílem statisticky vyléčených pacientů, kterým se věnuje poslední kapitola těchto výukových materiálů Podíl žijících pacientů Kaplanův Meierův odhad Exponenciální rozdělení Weibullovo rozdělení Logaritmicko normální rozdělení Logaritmicko logistické rozdělení Čas (měsíce) Obr. 4.2 Odhady funkce přežití sestrojené za předpokladu exponenciálního, Weibullova, logaritmicko-normálního a logaritmicko-logistického rozdělení pravděpodobnosti pro soubor pacientů s chronickou myeloidní leukémií, kteří podstoupili transplantaci krvetvorných buněk. 4.3 Ověření předpokladu exponenciálního a Weibullova rozdělení Pro použití parametrických modelů v hodnocení přežití je klíčovým prvkem ověření zvoleného rozdělení pravděpodobnosti. Tento krok samozřejmě není jednoduchý a může být do značné míry subjektivním, zvláště srovnáváme-li např. neparametrický Kaplanův-Meierův odhad s proloženou parametrickou křivkou. V případě exponenciálního a Weibullova rozdělení však existují jednoduchá pravidla pro ověření vhodnosti těchto rozdělení, vycházející z jejich definice. Hlavní vlastností exponenciálního rozdělení je konstantní riziková funkce v čase, což znamená, že v případě exponenciální náhodné veličiny T platí h(t) = λ. Z toho dle definičních vztahů mezi klíčovými funkcemi v analýze přežití plyne, že kumulativní riziková funkce je lineární funkcí času a tedy, že můžeme psát H(t) = λt. Splňují- 7
8 li tedy pozorované hodnoty veličiny T předpoklad exponenciálního rozdělení, neparametrický Nelsonův-Aalenův odhad kumulativní rizikové funkce by měl přibližně tvořit přímku. V případě Weibullova rozdělení vycházíme pro ověření jeho vhodnosti z vyjádření funkce přežití ve tvaru, (4.12) které lze pomocí dvojité logaritmické transformace upravit na vztah lnlnlnlnln. (4.13) Logaritmus kumulativní rizikové funkce veličiny T je tedy v případě vhodnosti Weibullova modelu lineárně závislý na logaritmu času. Předpoklad Weibullova rozdělení tedy můžeme jednoduše ověřit pomocí Kaplanova-Meierova odhadu, kdy znázorníme lnln proti ln. Použitá literatura: 1. Weibull W. A statistical distribution function of wide applicability. J. Appl. Mech.-Trans. ASME, 1951; 18 (3): Doporučená literatura: 1. Marubini E, Valsecchi MG. Analysing Survival Data from Clinical Trials and Observational Studies. 1995, John Wiley & Sons, Chichester, United Kingdom. 2. Klein JP, Moeschberger ML. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. 2003, Springer, New York. 8
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
Více7 Regresní modely v analýze přežití
7 Regresní modely v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student rozumí významu regresního modelování dat o přežití 2. Student dokáže definovat pojmy poměr rizik a základní riziková funkce
Více8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
Vícejevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceKapacita jako náhodná veličina a její měření. Ing. Igor Mikolášek, Ing. Martin Bambušek Centrum dopravního výzkumu, v. v. i.
Kapacita jako náhodná veličina a její měření Ing. Igor Mikolášek, Ing. Martin Bambušek Centrum dopravního výzkumu, v. v. i. Obsah Kapacita pozemních komunikací Funkce přežití Kaplan-Meier a parametrické
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceBAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
Vícepravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly
VíceVlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz
VíceNEPARAMETRICKÉ BAYESOVSKÉ ODHADY V KOZIOLOVĚ-GREENOVĚ MODELU NÁHODNÉHO CENZOROVÁNÍ. Michal Friesl
NEPARAMETRICKÉ BAYESOVSKÉ ODHADY V KOZIOLOVĚ-GREENOVĚ MODELU NÁHODNÉHO CENZOROVÁNÍ Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Princip Příklady V K.-G. modelu
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 8 Jak analyzovat přežití pacientů.
VíceOdhad spolehlivosti kolejových obvodů z nekompletních cenzorovaných dat
Odhad spolehlivosti kolejových obvodů z nekompletních cenzorovaných dat Petr Novák, Rudolf Blažek, Martin Daňhel Katedra aplikované matematiky, Fakulta informačních technologií ČVUT 23. ledna 2018 1 /
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceProblematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít
VíceNestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada
Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceVYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
Více5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceNeparametrické odhady podmíněné rizikové funkce
Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita Finanční matematika v praxi III a Matematické modely a aplikace 3.-6. září 2013 Obsah 1 Analýza přežití Funkce přežití a riziková
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceDesign Experimentu a Statistika - AGA46E
Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceKvantily a písmenové hodnoty E E E E-02
Na úloze ukážeme postup průzkumové analýzy dat. Při výrobě calciferolu se provádí kontrola meziproduktu 3,5 DNB esteru calciferolu metodou HPLC. Sleduje se také obsah přítomného ergosterinu jako nečistoty,
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
Více