Univerzita Palackého v Olomouci , Ostrava

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Palackého v Olomouci , Ostrava"

Transkript

1 Časové řady II Ondřej Vencálek Univerzita Palackého v Olomouci ondrej.vencalek@upol.cz seminář pro VŠB-TUO , Ostrava

2 Nové kreativní týmy v prioritách vědeckého bádání CZ.1.07/2.3.00/ Tento projekt je spolufinancován z ESF a státního rozpočtu ČR.

3 Co nás čeká V první části modelování sezónnosti model konstantní sezónnosti a model proporcionální sezónnosti Holt-Wintersova metoda model skrytých period Ve druhé části úvod do Box-Jenkinsonovy metodologie stacionarita, autokorelační a parciální autokorelační funkce procesy MA, AR, ARMA procesy ARIMA, SARIMA

4 Připomenutí: rozklad č.ř. na jednotlivé složky Trendova slozka Sezonni slozka Tr Se t t Nahodna slozka E y Trendova + Sezonni + Nahodna slozka t t Aditivní dekompozice časové řady: y(t) = Tr(t)+Se(t)+E(t)

5 Týdenní periodicita počtu zobrazení jisté stránky wikipedie pocet zobrazeni stranky

6 Model konstantní sezónnosti indexy Indexování času: (i, j), kde i je číslo sezóny j je číslo pozorování v rámci i-té sezóny Např. při týdenní periodicitě je pozorování s číslem 11 číslováno dvojicí (2,4), nebot 11 = (jeden celý týden uběhl, nyní je 4. den 2. týdne.

7 Model konstantní sezónnosti y (i,j) = Tr (i,j) +Sz (i,j) +E (i,j) Sz (i,j) = β j tj. efekt sezónnosti je stejný (konstantní) ve všech sezónách. Trend může být konstantní, lineární, kvadratický,...

8 Model konstantní sezónnosti (s konstantním trendem) pocet zobrazeni stranky Model: y i,j = α+β j +E (i,j)

9 Identifikovatelnost Představme si délku periody 4. Následující situace jsou nerozlišitelné : α = 10 β 1 = 1,β 2 = 3,β 3 = 1,β 4 = 1 α = 10,5 β 1 = 0,5,β 2 = 2,5,β 3 = 1,5,β 4 = 1,5 α = 11 β 1 = 0,β 2 = 2,β 3 = 2,β 4 = 2... Musíme si vybrat. Běžně se používá jedna z podmínek identifikovatelnosti: β 1 = 0 (default v R-ku) β j = 0

10 Model konstantní sezónnosti (s konstantním trendem) odhady parametrů MNČ R-ko: lm(navstevnost as.factor(denvtydnu)) parametr odhad p-value α 482,8 < 0, 001 β 2 7,2 0,662 β 3-13,6 0,411 β 4-21,4 0,200 β 5-69,8 < 0,001 β < 0,001 β < 0,001

11 Ne vždy je situace tak jednoduchá Tatáž časová řada v delším horizontu (od začátku roku 2015 do současnosti). Návštěvnost stránky pocet zobrazeni stranky

12 Odlehlá pozorování Co je cílem analýzy? Pokud je to odhad efektu dne (v běžné situaci), pak nám outliery komplikují situaci, protože vychylují odhad pro některé dny. pocet zobrazeni stranky po ut st ct pa so ne Nějaká vysvětlení outlierů?

13 Odlehlá pozorování Co je cílem analýzy? Pokud je to odhad efektu dne (v běžné situaci), pak nám outliery komplikují situaci, protože vychylují odhad pro některé dny. pocet zobrazeni stranky po ut st ct pa so ne Nějaká vysvětlení outlierů?

14 Výsledné proložení pocet zobrazeni stranky bylo získáno odhadem efektů jednotlivých dnů na datech, z nichž byly vyloučeny tři odlehlé hodnoty (tři po sobě jdoucí dny).

15 Anna Atkins Anna Atkins (16. března června 1871) anglická botanička a fotografka; je často považována za první osobu, která vydala knihu ilustrovanou fotografickými obrázky (1843: Photographs of British Algae: Cyanotype Impressions)

16 Efekt doodlu

17 Model proporcionální sezónnosti y (i,j) = Tr (i,j) +Sz (i,j) +E (i,j) Sz (i,j) = c j Tr (i,j) y (i,j) = (1+c j )Tr (i,j) +E (i,j) tj. efekt sezónnosti je multiplikativní tj. jeho velikost je úměrná velikosti trendu. Trend může být konstantní, lineární, kvadratický,... c j = 0 j

18 Holt-Winters (HW) adaptivní přístup k trednové složce ukážeme HW pro lokálně lineární trend přidána složka sezónní multiplikativní a aditivní verze HW podstata HW: dvojí optika

19 Holt-Winters y t = Tr t +Sz t +E t (aditivní HW) y t = Tr t Sz t E t (multiplikativní HW) Tr t = β 0 +β 1 t

20 Holt-Winters: rekurentní vztahy pro odhady Tr t a Sz t Situace: Pro všechny časy minulé, tj. τ = 1,...,t 1 máme Tr(τ) tedy β 0 (τ) a β 1 (τ), a Ŝz(τ). Chceme odhad jednotlivých složek (Tr t,sz t,β 1 ) pro současnost, tj. pro čas t, v němž máme nové pozorování y t.

21 Dvojí optika: trend y t Tr t +Sz t Tr t y t Sz t (pohled využívající novou informaci y t ) Tr t = β 0 +β 1 t = β 0 +β 1 (t 1)+β 1 Tr t = Tr t 1 +b 1 (pohled využívající starých informací) Využití: Tr(t) = α ] ] [y t Ŝz(t L) +(1 α)[ Tr(t 1)+ β1 (t 1)

22 Dvojí optika: směrnice trendu Tr t = β 0 +β 1 t = β 0 +β 1 (t 1)+β 1 = Tr t 1 +β 1 β 1 = Tr t Tr t 1 (pohled využívající novou informaci) trend je lokálně lineární, tedy (β 1 v čase t) (β 1 v čase t 1) (pohled využívající starých informací) Využití: ] β 1 (t) = ξ [ Tr(t) Tr(t 1) +(1 ξ) β 1 (t 1)

23 Dvojí optika: sezónní složka y t Tr t +Sz t Sz t y t Tr t (pohled využívající novou informaci y t ) při délce sezóny L Sz t Sz t L (pohled využívající starých informací) Využití: [ ] Ŝz(t) = γ y t Tr(t) +(1 γ)ŝz(t L)

24 Váhy α,ξ,γ hodnoty v intervalu (0,1) jakou váhu přikládáme novým informacím a jakou starým minulé odhady v sobě nesou informace z delší minulosti, váhy tedy určují, jak rychle zapomínáme minulost můžeme nastavit tak, abychm minimalizovali chybu predikcí (viz minule)

25 Počáteční odhady Pořebujeme Tr0 (0) = β 0 (0), β1 (0) Ŝz(1 L),Ŝz(2 L),...,Ŝz(L L) Jak si je opatřit? Třeba odhadem parametrů modelu konstantní sezónnosti s lineárním trendem na počátečním úseku č.ř.

26 Predikce pomocí HW ŷ t+τ (t) = Tr(t)+ β 1 (t) τ +Ŝz(t +τ L) Pokud τ > L, použijeme místo Ŝz(t +τ L) nejaktuálnější odhad sezónní složky odpovídající sezónnosti v čase t +τ, např. Ŝz(t +τ 2L), Ŝz(t +τ 3L),...

27 Model skrytých period y t y t = 0,5 sin(3t)+0,25 sin(10t)

28 Terminologie A... amplituda T... perioda 1 T 2π T... frekvence... úhlová frekvence ϕ... fázový posun t... čas ( ) 2π f(t) = Asin T t +ϕ

29 Báze prostoru funkcí s periodou T { sin ( j 2π T t ),cos ( j 2π T t )} j N 0

30 Model skrytých period y t = a 0 + w j = 2π n j H H a j sin(w j t)+ b j cos(w j t) j=1 j=1 H = (n 1)/2 pro n liché, H = n/2 pro n sudé n je základní perioda, n/2,n/3,...,2 vedlejší periody a 0,a 1,...,a H, b 1,...,b H neznámé parametry

31 Odhad parametrů MNČ â 0 = 1 n â k = 2 n b k = 2 n n y t = ȳ t=1 n y t sin(w k t) k = 1,...,H t=1 n y t cos(w k t) k = 1,...,H t=1

32 Periodogram Označme n (ŷ t ŷ t ) 2 = 1 2 t=1 H (âj 2 + ˆb j 2 ) j=1 I j = (â 2 j + ˆb 2 j ), j = 1,...,H Čím větší I j, tím více j-tá perioda přispívá k celkové variabilitě Periodogram pro data o návštěvnosti stránky M.Kundery na wikipedii: I j j

33 Periodogram příklad Periodogram pro data o návštěvnosti stránky M.Kundery na wikipedii: I j j n = 35 (denní data za 5 týdnů) w 5 = 2π 35 5 = 2π 7, tedy délka nejvýznamnější periody je 7 dní čili týden

34 Příklad model s jedinou významnou frekvencí ( ) ( ) 2π 2π y t = 440,3+46,9sin 7 t 32,4cos 7 t y t

35 Příklad další významné frekcence k = 10 T = 3,5 = 7/2: přidáním této frekvence není porušena týdenní periodocita k = 3 T = 11,67: perioda, která poruší týdenní periodicitu úrovně různých týdnů budou různé; dlouhodobější koĺısání

36 Příklad model frekvencí 1/7 a 2/7 y t

37 Příklad model frekvencí 1/7 a 2/7 a 3/35 y t

38 Písmenkové zmatky Upozornění týkající se používání velkých a malých písmen v odborné literatuře: statistici občas až pedantsky rozlišují symboly Y (náhodná veličina) a y (realizace náhodné veličiny; reálné číslo), časovkáři (zvláštní druh statistiků) dosti často používají symbolu y pro náhodnou veličinu Omluva: v této prezentaci občas použiji pro náhodnou veličinu velké a občas malé písmeno.

39

40

41 Korelace po sobě jdoucích hodnot yt yt yt yt yt yt

42 Bílý šum (white noise) ǫ t, t =..., 1,0,1,...i.i.d. ǫ t N(0,σ 2 ), tj. nezávislé, stejně rozdělené s nulovou stř. hodnotou. Bily sum

43 Procesy MA(1) Posloupností klouzavých součtů řádu 1 (Moving Average MA) rozumíme posloupnost náhodných veličin danou předpisem y t = ǫ t +θǫ t 1, kde {ǫ t } je bílý šum (ǫ t N(0,σ 2 )), θ R je parametr procesu.

44 MA(1), theta= MA(1), theta= MA(1), theta=

45 Procesy MA(1): střední hodnota a rozptyl E(Y t ) = E(ǫ t +θǫ t 1 ) = E(ǫ t )+θe(ǫ t 1 ) = 0+θ 0 = 0 var(y t ) = var(ǫ t +θǫ t 1 ) = var(ǫ t )+var(θǫ t 1 )+2cov(ǫ t,θǫ t 1 ) = = var(ǫ t )+θ 2 var(ǫ t 1 ) = σ 2 +θ 2 σ 2 = σ 2 (1+θ 2 ) Všimněte si: střední hodnota a rozptyl jsou v čase konstantní.

46 Procesy MA(1): korelace cov(y t,y t 1 ) = cov(ǫ t +θǫ t 1,ǫ t 1 +θǫ t 2 ) = = cov(ǫ t,ǫ t 1 )+θcov(ǫ t,ǫ t 2 )+ +θcov(ǫ t 1,ǫ t 1 )+θ 2 cov(ǫ t 1,ǫ t 2 ) = = 0+0+θvar(ǫ t 1 )+0 = θσ 2 cov(y t,y t k ) = cov(ǫ t +θǫ t 1,ǫ t k +θǫ t 1 k ) = = cov(ǫ t,ǫ t k )+θcov(ǫ t,ǫ t 1 k )+ +θcov(ǫ t 1,ǫ t k )+θ 2 cov(ǫ t 1,ǫ t 1 k ) = = = 0 pro k > 1 Připomeňme, že var(y t ) = var(y t 1 ) = σ 2 (1+θ 2 ), tudíž θ cor(y t,y t 1 ) = 1+θ 2 cor(y t,y t k ) = 0 pro k > 1 Všimněte si: korelace dvou po sobě jdoucích (náhodných) hodnot procesu je v čase konstantní.

47 Procesy MA(1): korelace cor(y t, Y t 1 ) θ cor(y t,y t 1 ) 1/2

48 STACIONARITA U procesů MA(1) jsme ukázali, že mají následující vlastnosti: střední hodnota je konstantní v čase, tj. E(Y t ) = µ pro všechna t =..., 1,0,1,... rozptyl je konstantní v čase, tj. var(y t ) = σ 2 pro všechna t =..., 1,0,1,... korelace dvou hodnot náhodného procesu závisí jen na jejich vzdálenosti, nikoliv na čase, tj. cor(y t,y t+h ) = cor(y s,y s+h ) pro libovolné t,s a časovou vzdálenost h. Procesy, které tyto vlastnosti mají, se nazývají slabě stacionární. Důležitost stacionarity popisuje Cipra slovy: V Box-Jenkinsově metodologii lze modelovat pouze stacionární časové řady, přičemž ovšem pomocí různých transformací (nejčastěji pomocí diferencování) je možné mnoho nestacionárních časových řad z praxe převést na stacionární.

49 AUTOKORELAČNÍ FUNKCE Autokorelační funkcí stacionární časové řady {Y t,t Z} rozumíme funkci Poznámky: ρ : Z [ 1,1] k cor(y t,y t+k ) rozmyslete si, že bez předpokladu stacionarity procesu nemá autokorelační funkce smysl jde o sudou funkci, tj. ρ(k) = ρ( k), nebot cor(y t,y t+k ) = cor(y t,y t k ) (podmínka stacionarity) proto stačí zkoumat autokorel. funkci jen pro k 0 ρ(0) = 1, nebot ρ(0) = cor(y t,y t ) = 1

50 Autokorelační funkce procesů MA(1) Ukázali jsme, že ρ(1) = cor(y t,y t 1 ) = θ 1+θ 2 ρ(k) = cor(y t,y t k ) = 0 pro k > 1 cor(y t, Y t+k ) k Graf: autokorelační funkce procesu MA(1) s parametrem θ = 0, 9.

51 Procesy MA(q) Posloupností klouzavých součtů řádu q (Moving Average MA) rozumíme posloupnost náhodných veličin danou předpisem y t = ǫ t +θ 1 ǫ t 1 +θ 2 ǫ t θ q ǫ t q, kde {ǫ t } je bílý šum (ǫ t N(0,σ 2 )), θ 1 R,...,θ q R jsou parametry procesu.

52 Procesy MA(q): stř. hodnota, rozptyl, autokorelační funkce Autokorelační funkce: E(Y t ) = 0 var(y t ) = (1+θ θ 2 q) σ 2 ρ k = cor(y t,y t+k ) = θ k +θ 1 θ k θ q k θ q 1+θ θ2 q ρ k = cor(y t,y t+k ) = 0 pro k q pro k > q Opět vidíme, že procesy MA(q) jsou stacionární. Odvození je jednoduché cvičeníčko zkuste si.

53 Procesy MA(q): příklady autokorelačních funkcí MA(2): θ 1= 1,0, θ 2= 0,7 MA(2): θ 1= 1,0, θ 2= 0,7 cor(y t, Yt+k) 0 1 cor(y t, Yt+k) k MA(2): θ 1= 0,0, θ 2= 0, k MA(3): θ 1= 1,0, θ 2= 0,1, θ 3= 0,9 cor(y t, Yt+k) cor(y t, Yt+k) k k

54 Proč je pro nás autokorel. funkce důležitá? Korelační koeficient umíme z dat odhadnout, Tedy umíme odhadnout, jak vypadá autokorelační funkce, Podle tvaru odhadnuté autokorel. funkce se můžeme rozhodnout, jaký model bude vhodný pro naše data. Hodnotu odhadu (auto)korelace můžeme využít k odhadu parametrů (θ) daného procesu.

55 Příklad interpretace odhadu autokorel. funkce Na začátku jsme viděli simulovaných 200 hodnot procesu MA(1) s parametrem θ = 0,9. Jeho autokorelační funkce má hodnotu 90/181 =0, 497 pro k = 1 a je nulová pro k > 1. Představme si, že nevíme, že jde o proces typu MA(1) a neznáme hodnotu θ. Odhadnutá autokorelační funkce: Odhad autokorelacni funkce ACF Lag

56 Odhad autokorel. funkce Odhad autokovarianční funkce: c k = 1 n k n t=1 (Y t Ȳ)(Y t+k Ȳ) Odhad autokorelační funkce: r k = c k c 0

57 Odhad autokorel. funkce Bartlettova aproximace Je-li ρ k = 0 pro k > k 0, pak var(r k ) 1 k n j=1 r 2 j pro k > k 0

58 Využití odhadu autokorel. funkce pro odhad parametru θ Víme ρ(1) = θ 1+θ 2 a umíme hodnotu autokorelace odhadnout. ρ(1) θ 2 θ + ρ(1) = 0 θ = ρ(1) 2 2 ρ(1) Druhý kořen odpovídá procesu, který není invertibilní (vysvětĺıme později).

59 Jiný typ modelu y cas

60 Autokorelační funkce předešlého procesu (odhad) ACF Lag

61 Procesy AR(1) Autoregresním procesem řádu 1 rozumíme posloupnost náhodných veličin {y t } danou předpisem y t = φy t 1 +ǫ t, kde {ǫ t } je bílý šum (ǫ t N(0,σ 2 )), φ R je parametr procesu.

62 Satcionarita procesů AR(1) y t = φy t 1 +ǫ t, Proces AR(1) nemusí být stacionární záleží na hodnotě parametru φ. AR(1): φ = 1,0 y1 y e e cas AR(1): φ = 1, cas

63 Satcionarita procesů AR(1) neformální odvození y t = φy t 1 +ǫ t y t = φ(φy t 2 +ǫ t 1 )+ǫ t y t = φ 2 y t 2 +φǫ t 1 +ǫ t y t = φ 3 y t 3 +φ 2 ǫ t 2 +φǫ t 1 +ǫ t. k 1 y t = φ k y t k + φ j ǫ t j, j=0 k N Pro φ < 1 je modrý člen zanedbatelný, zbytek je proces MA, o němž víme, že je stacionární. Procesy AR(1) jsou stacionární, pokud φ < 1.

64 Stacionární procesy AR(1): střední hodnota E(y t ) = E(φy t 1 +ǫ t ) = E(y t )(1 φ) = 0 E(y t ) = 0 = φe(y t 1 )+E(ǫ t ) = = φe(y t )+0 Využili jsme předpoklad stacionarity, nejprve v rovnosti E(y t 1 ) = E(y t ), poté v posledním kroku, kde φ < 1.

65 Stacionární procesy AR(1): rozptyl var(y t ) = var(φy t 1 +ǫ t ) = var(y t )(1 φ 2 ) = σ 2 var(y t ) = = φ 2 var(y t 1 )+var(ǫ t )+2φcov(y t 1,ǫ t ) = = φ 2 var(y t )+var(ǫ t )+0 = = φ 2 var(y t )+σ 2 σ 2 1 φ 2 Pozornost si zaslouží rovnost cov(y t 1,ǫ t ) = 0, uvědomme si, že y t je definováno pomocí minulých hodnot procesu {y t } a současné hodnoty bílého šumu ǫ t. Hodnota v čase t 1(y t 1 ), tedy musí být nezávislá s hodnotou bílého šumu v čase t, který je z pohledu času t 1 budoucností.

66 Stacionární procesy AR(1): korelace Pro výpočet použijeme vztah, který jsme odvodili o 3 slajdy dříve: k 1 y t = φ k y t k + φ j ǫ t j, j=0 k N k 1 cov(y t,y t k ) = cov(φ k y t k + φ j ǫ t j,y t k ) = ρ(k) = cor(y t,y t k ) = φ k j=0 k 1 = φ k cov(y t k,y t k )+ φ j cov(ǫ t j,y t k ) = j=0 = φ k cov(y t k,y t k )+0 = = φ k σ 2

67 Stacionární procesy AR(1): autokorelační funkce AR(1): φ= 0,9 cor(y t, Y t+k ) k AR(1): φ= 0,9 cor(y t, Y t+k ) k

68 Potřeba přímé korelace y t = φy t 1 +ǫ t y t 1 = φy t 2 +ǫ t 1 y t ǫ t y t 1 ǫ t 1 y t 2 Korelace mezi y t a y t 2 je přes y t 1. Existuje však mezi nimi přímá korelace? KONCEPT PARCIÁLNÍ KORELACE

69 Připomenutí jednoho příkladu z minula X: počet právníků ve státě Kansas Y: počet úmrtí v důsledku pádu ze schodů v USA máme k dispozici údaje za období 1999 až 2008 (10 let) cor(x,y) = 0, rok

70 Připomenutí jednoho příkladu z minula X: počet právníků ve státě Kansas Y: počet úmrtí v důsledku pádu ze schodů v USA Z: počet obyvatel USA X տ??? Z Y ր Je mezi X a Y nějaký jiný vztah, než že obě přímo úměrně rostou s rostoucím Z?

71 Odpověd na předešlou otázku Odhadněme (lineární) závislost X na Z X = β 0 +β 1 Z +ǫ X X = β 0 + β 1 Z Odhadněme (lineární) závislost Y na Z Y = β 0 +β 1 Z +ǫ Y Ŷ = β 0 + β1 Z Studujme korelaci veličin X X a Y Ŷ, tj. zabývejme se tou částí vztahu X a Y, kterou nelze vysvětlit pomocí Z. cor(x X,Y Ŷ) =: ρ X,Y.Z Parciální korelační koeficient X a Y při daném Z.

72 Otázka pro Vás! Jaký byste očekávali paricální korelační koeficient X a Y při daném Z? X: počet právníků ve státě Kansas Y: počet úmrtí v důsledku pádu ze schodů v USA Z: počet obyvatel USA Jde o korelační koeficient rozdílu skutečného počtu právníků v Kansasu a očekávaného (dle velikosti Americké populace) rozdílu skutečného počtu úmrtí... a očekávaného (dle velikosti Americké populace) Já bych očekával hodnotu bĺızkou nule.

73 Otázka pro Vás! Jaký byste očekávali paricální korelační koeficient X a Y při daném Z? X: počet právníků ve státě Kansas Y: počet úmrtí v důsledku pádu ze schodů v USA Z: počet obyvatel USA Jde o korelační koeficient rozdílu skutečného počtu právníků v Kansasu a očekávaného (dle velikosti Americké populace) rozdílu skutečného počtu úmrtí... a očekávaného (dle velikosti Americké populace) Já bych očekával hodnotu bĺızkou nule.

74 Překvapení Tak že by přece jen ti právníci... ρ X,Y.Z = 0,68

75 Možné vysvětlení Kansas nebyl v příkladu zvolen úplně náhodně, byl to stát (z 51) s druhou nejsilnější korelací mezi X a Y. Korelační koeficient se pohyboval kolem hodnoty 0,91 (medián). Parciální korelační koeficient se pohyboval kolem hodnoty 0,19 (medián). (Ale pořád je tu možnost, že přece jen ti právníci... že existuje kauzální vztah mezi počtem právníků v Kansasu a počtem úmrtí při pádu ze schodů v USA)

76 PARCIÁLNÍ AUTOKORELAČNÍ FUNKCE Parciální autokorelační funkcí stacionární časové řady {Y t,t Z} rozumíme funkci ρ : Z [ 1,1] k pcor(y t,y t+k ), kde pcor(y t,y t+k ) označuje parciální korelační koeficient veličin Y t a Y t+k při daných Y t+1,...,y t+k 1.

77 Parciální autokorelační funkce v procesech AR(1) Spočtěme např.pcor(y t,y t 2 ) y t 1 = φy t 2 +ǫ t 1 y t = φy t 1 +ǫ t ŷ t 2 = 1 φ y t 1 ŷ t = φy t 1 y t ŷ t = ǫ t y t 2 ŷ t 2 = 1 φ ǫ t 1 pcor(y t,y t 2 ) = cor(y t ŷ t,y t 2 ŷ t 2 ) = cor(ǫ t, 1 φ ǫ t 1) = 0

78 Parciální autokorelační funkce v procesech AR(1) Partial ACF Lag

79 Parciální autokorelační funkce v procesech AR(1) a MA(1)

80 Parciální autokorelační funkce v procesech MA(1) pcor(y t,t t k ) = ( 1)k 1 θ k (1 θ 2 ) 1 θ 2(k+1) k = 2,3,... Je omezena geometricky klesající posloupností pcor(y t,t t k ) < θ k

81 Parciální autokorelační funkce v procesech MA(1) PACF pro proces MA(1) s parametrem θ = 0,9 PACF pro proces MA(1) s parametrem θ = 0,5 PACF PACF lag lag PACF pro proces MA(1) s parametrem θ = 0,5 PACF pro proces MA(1) s parametrem θ = 0,9 PACF PACF lag lag

82 Procesy AR(p) Autoregresním procesem řádu p rozumíme posloupnost náhodných veličin {y t } danou předpisem y t = φ 1 y t 1 +φ 2 y t φ p y t p +ǫ t, kde {ǫ t } je bílý šum (ǫ t N(0,σ 2 )), φ 1 R,...,φ p R jsou parametry procesu.

83 Procesy AR(p): podmínka stacionarity, stř. hodnota, rozptyl E(Y t ) = 0 var(y t ) = σ 2 1 φ 1 ρ 1... φ p ρ p Podmínka stacionarity: všechna řešení rovnice 1 p φ j x j = 0 j=1 musí ležet vně jednotkového kruhu. (pro p = 1 má rovnice tvar 1 φ 1 x = 0, kořen je 1/φ 1, podmínka je tedy 1/φ 1 > 1, tj/ φ 1 < 1, viz dříve)

84 Procesy AR(p): autokorelační funkce y t = φ 1 y t 1 +φ 2 y t φ p y t p +ǫ t y t y t k = φ 1 y t 1 y t k +φ 2 y t 2 y t k +...+φ p y t p y t k +ǫ t y t k Ey t y t k = φ 1 Ey t 1 y t k +φ 2 Ey t 2 y t k +...+φ p Ey t p y t k +Eǫ t y t ρ k = φ 1 ρ k 1 +φ 2 ρ k φ p ρ k p pro k N Soustava prvních p těchto rovnic (k = 1,...,p) se nazývá Yuleova-Walkerova soustava rovnic, jejím řešením získáme hodnoty parametrů φ 1,...,φ p vyjádřené pomocí hodnot autokorelační funkce ρ 1,...,ρ p, které umíme odhadnout.

85 Procesy AR(p): parciální autokorelační funkce ρ kk = 0 pro k > p Odhad PACF pro data simulovaná z procesu AR(1) s parametrem φ = 0,9: Partial ACF Lag

86 Procesy ARMA(p, q) Smíšeným procesem řádu p a q rozumíme posloupnost náhodných veličin {y t } danou předpisem y t = φ 1 y t 1 +φ 2 y t φ p y t p +ǫ t +θ 1 ǫ t 1 +θ 2 ǫ t θ q ǫ t q, kde {ǫ t } je bílý šum (ǫ t N(0,σ 2 )), φ 1 R,...,φ p R a θ 1 R,...,θ q R jsou parametry procesu.

87 Box, Jenkins a nestacionarita y Time

88 Procesy ARIMA(p, d, q) diferencování procesu: y t = y t y t 1 2 y t = ( y t ) = y t y t 1 =... = (y t y t 1 ) (y t 1 y t 2 ) = y t 2y t 1 +y t 2 Proces {y t }, jehož d-tá diference je smíšeným procesem ARMA(p, q) se označuje jako proces ARIMA(p, d, q).

89 Po 1. diferencování dy Time

90 ACF a PACF diferencované řady ACF Lag Partial ACF Lag

91 Tajenka y Time Řada byla generována pomocí generátoru náhodných čísel jako proces ARIMA(1,1,0), kde parametr φ = 0, 7.

92 Box, Jenkins a sezónnost y 1 y L+1 y 2L+1... y 2 y L+2 y 2L y L y 2L y 3L... Dlouhodobý aspekt y t = φ 1 y t L +φ 2 y t 2L +...+φ P y t PL +η t +Θ 1 η t L +...+Θ Q η t QL Krátkodobý aspekt η t = ϕ 1 η t 1 +ϕ 2 η t ϕ p η t p +ǫ t +θ 1 ǫ t θ q ǫ t q {ǫ t } je bílý šum SARIMA (p,0,q) (P,0,Q) L obecněji SARIMA (p,d,q) (P,D,Q) L

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové

Více

Modely stacionárních časových řad

Modely stacionárních časových řad Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Proces bílého šumu Proces {ɛ t} nazveme bílým šumem s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ 2 a

Více

Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Modely pro nestacionární časové řady Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Modely pro nestacionární

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnávání Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Periodicita v časových

Více

Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Modely ARIMA Transformace Proces náhodné procházky Random Walk Process Proces Y t = Y t 1 + ɛ t je

Více

Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy

Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy Cvičení 9 dekompozice časových řad a ARMA procesy Příklad 1: Dekompozice časové řady Soubor 18AEK-cv09.xls obsahuje dvě časové řady (X a Y) se 72 pozorováními. Použijte časovou řadu Y. a) Pokuste se na

Více

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud 5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Fakulta elektrotechnická. Komponenta pro měření a predikci spotřeby elektrické energie

Fakulta elektrotechnická. Komponenta pro měření a predikci spotřeby elektrické energie ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická DIPLOMOVÁ PRÁCE Komponenta pro měření a predikci spotřeby elektrické energie Praha, 2014 Autor: Tomáš Reichl i Poděkování Chtěl bych na tomto

Více

Lineární modely časových řad a jejich aplikace na vybraných ekonomických problémech

Lineární modely časových řad a jejich aplikace na vybraných ekonomických problémech PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky školní rok 2012/2013 DIPLOMOVÁ PRÁCE Lineární modely časových řad a jejich aplikace na vybraných

Více

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Politická ekonomie 45: (2), str. 281-289, VŠE Praha, 1997. ISSN 0032-3233. (Rukopis) REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Josef ARLT, Vysoká škola ekonomická, Praha 1. Úvod Pro modelování

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ANALÝZA A SROVNÁNÍ ČASOVÝCH ŘAD POMOCÍ

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

KGG/STG Statistika pro geografy. Mgr. David Fiedor 4. května 2015

KGG/STG Statistika pro geografy. Mgr. David Fiedor 4. května 2015 KGG/STG Statistika pro geografy 11. Analýza časových řad Mgr. David Fiedor 4. května 2015 Motivace Úvod chceme získat představu o charakteru procesu, která časová řada reprezentuje Jaké jevy lze znázornit

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. Predikce ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Časové řady a jejich periodicita pokračování

Časové řady a jejich periodicita pokračování Časové řady a jejich periodicita pokračování Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Dekompozice časových řad Jak

Více

Ekonometrie. Jiří Neubauer

Ekonometrie. Jiří Neubauer Úvod do analýzy časových řad Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Úvod do analýzy

Více

Modelování finančních časových řad pomocí vybraného stochastického modelu

Modelování finančních časových řad pomocí vybraného stochastického modelu U N I V E R ZI T A P A R D U B I C E FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ Ú S T A V S Y S TÉMOVÉHO IN ŽE N Ý R S T VÍ A I N F ORMATIKY Modelování finančních časových řad pomocí vybraného stochastického modelu DIPLOMOVÁ

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých

Více

Přednáška 4. Lukáš Frýd

Přednáška 4. Lukáš Frýd Přednáška 4 Lukáš Frýd Časová řada: stochastický (náhodný) proces, sekvence náhodných proměnných indexovaná časem Pozorovaná časová řada: jedna realizace stochastického procesu Analogie: Průřezový výběr,

Více

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST EMI, Vol., Issue 3, ISSN: -99 (Print), 5-353X (Online) VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD. PRAKTICKÁ ČÁST USING WAVELETS BY TIME SERIES ANALYSIS. PRACTICAL PART Vratislava Mošová Moravská vysoká

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Základy ekonometrie. XI. Vektorové autoregresní modely. Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim / 28

Základy ekonometrie. XI. Vektorové autoregresní modely. Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim / 28 Základy ekonometrie XI. Vektorové autoregresní modely Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 1 / 28 Obsah tématu 1 Prognózování s VAR modely 2 Vektorové modely korekce chyb (VECM) 3 Impulzní

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných)

Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) 1. SPECIFIKACE (12 bodů): (1) Graf průběhu proměnných (1) Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

STATISTIKA I Metodický list č. 1 Název tématického celku:

STATISTIKA I Metodický list č. 1 Název tématického celku: STATISTIKA I Metodický list č. 1 Analýza závislostí Základním cílem tohoto tématického celku je seznámit se s pokročilejšími metodami zpracování statistických údajů.. 1. kontingenční tabulky 2. regresní

Více

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z 4ST432 Tereza Michlíková (xmict05) ZS 06/07

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z 4ST432 Tereza Michlíková (xmict05) ZS 06/07 SEMINÁRNÍ PRÁCE Z 4ST432 Tereza Michlíková (xmict05) ZS 06/07 Nesezónní časová řada - Základní údaje o časové řadě Časová řada příjmy z daní z příjmu v Austrálii ( http://www.economagic.com/emcgi/data.exe/tmp/213-220-208-205!20061203093308

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

Alternativní způsoby investičního rozhodování u vybraných akciových podílových fondů v ČR

Alternativní způsoby investičního rozhodování u vybraných akciových podílových fondů v ČR MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ Fakulta provozně ekonomická Ústav financí Alternativní způsoby investičního rozhodování u vybraných akciových podílových fondů v ČR Karel Urban Vedoucí

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

STATISTICKÝCH METOD SE ZAMĚŘENÍM NA METODU BOX-JENKINS

STATISTICKÝCH METOD SE ZAMĚŘENÍM NA METODU BOX-JENKINS VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ANALÝZA A PŘEDPOVĚĎ ČASOVÝCH ŘAD POMOCÍ

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Ústav systémového inženýrství a informatiky

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Ústav systémového inženýrství a informatiky Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav systémového inženýrství a informatiky Využití autokorelační funkce při zpracování dat Michaela Hettlerová Diplomová práce 2013 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

SPC v případě autokorelovaných dat. Jiří Michálek, Jan Král OSSM,

SPC v případě autokorelovaných dat. Jiří Michálek, Jan Král OSSM, SPC v případě autokorelovaných dat Jiří Michálek, Jan Král OSSM, 2.6.202 Pojem korelace Statistická vazba mezi veličinami Korelace vs. stochastická nezávislost Koeficient korelace = míra lineární vazby

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA

8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA 8 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD SEZÓNNÍ SLOŽKA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Následující kapitolou pokračujeme v tématu analýza časových řad a blíže se budeme zabývat problematikou jich pravidelné kolísavost, která je

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Úvod do zpracování signálů

Úvod do zpracování signálů 1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ

Více

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH. Ekonomická fakulta. Katedra aplikované matematiky a informatiky. Diplomová práce

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH. Ekonomická fakulta. Katedra aplikované matematiky a informatiky. Diplomová práce JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Diplomová práce Matematické modelování kurzu koruny Vypracoval: Bc. Žaneta Uhlířová Vedoucí práce:

Více

Aplikovaná ekonometrie 7. Lukáš Frýd

Aplikovaná ekonometrie 7. Lukáš Frýd Aplikovaná ekonometrie 7 Lukáš Frýd Nestacionární časové řady Možné příčinny Sezonost Deterministický trend (time trend) Jednotkový kořen (Stochastický trend) Strukturní zlomy Časový trend (deterministický

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK11 Základy ekonometrie Autokorelace Cvičení 5 Zuzana Dlouhá Gauss-Markovy předpoklady Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady 1. E(u) = náhodné vlivy se vzájemně vynulují. E(uu T ) = σ I n konečný

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

Možnosti vyhodnocení časových řad v softwaru STATISTICA

Možnosti vyhodnocení časových řad v softwaru STATISTICA StatSoft Možnosti vyhodnocení časových řad v softwaru STATISTICA Mnoho informací se zachycuje ve formě chronologicky uspořádaných údajů, jinak řečeno ve formě časových řad. Časová řada je tedy v čase uspořádaná

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Regrese používáme tehd, jestliže je vsvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Specifikace modelu = a + bx a závisle proměnná b x vsvětlující proměnná Cíl analýz Odhadnout hodnot

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 7: Autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Autokorelace - teorie Zopakujte si G-M

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy

4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy 4. Extenzívní ukazatelé finanční analýzy 4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy 4.1.1 Horizontální analýza (analýza vývojových trendů -AVT) AVT = časové změny ukazatelů (nejen absolutních)

Více

Stavový model a Kalmanův filtr

Stavový model a Kalmanův filtr Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více