Stochastické diferenciální rovnice

Transkript

1 KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele

2 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto nemoci je chřipka. Předpokládáme konstantní velikost populace N, která je rozdělena do tří skupin: x t... zdraví jedinci, kteří mohou být nakaženi, y t... nakažení jedinci, kteří mohou šířit danou nemoc, z t... jedinci, kteří nemohou nemoc šířit ani nemohou být znovu nakaženi.

3 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Tento model je popsán následující diferenciální rovnicí: dx t = βx t y t dt dy t = βx t y t dt γy t dt dz t = γy t dt. kde β značí intenzitu přenosu nemoci a 1 γ je intenzita léčby (tj. γ popisuje střední dobu trvání nemoci).

4 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací subpopulations subpopulations time time Průběh epidemie s parametry β = , γ = 0.45 (levý obrázek) a β = , γ = 0.25 (pravý obrázek).

5 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Tento model je zobecňením předchozího modelu. Uvažujeme obecnější formu intenzity šíření nemoci β a vakcinační funkci ϑ(.). Model je popsán následující diferenciální rovnicí: dx t = β(z t )[x t ϑ(z t )] + y t dt dy t = β(z t )[x t ϑ(z t )] + y t dt γy t dt dz t = γy t dt.

6 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Lze ukázat, že z je řešením rovnice: z = N X (z), kde X (z) = [ x 0 + z 0 { u β(u) 0 ϑ(u) exp β(s)ds γ γ exp { z } 0 β(u)du γ du } ].

7 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací subpopulations subpopulations time time Průběh epidemie s různou vakcinační strategíı. Levý obrázek ukazuje vývoj s ϑ(z) = z, pravý obrázek s ϑ(z) = z. Celkově 363 vakcinovaných jedinců v prvním případě a 443 jedinců v druhém připadě.

8 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací maximum of Y number of removals in time t= number of vaccinated people number of vaccinated people Na obrazcích je znázorněn efekt vakcinace (modrá čára) a předvakcinace (černá čára) vzhledem k maximálnímu počtu nakažených jedinců (obrázek vlevo) a celkovému počtu nakažených jedinců (obrázek vpravo).

9 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Pro určení optimální vakcinační strategie zvolme následující penalizační funkci: kde f = c(y T + z T ) + c 0 ϑ 0 + c 1 ϑ 1, y T + z T... počet lidí, kteří byli infikováni do času T, ϑ 0... počet jedinců, kteří dostali vakcínu před začátkem epidemie, ϑ 1... počet jedinů navakcinovaných během časového intervalu (0, T ), c... penalizace za jednoho nakaženého jedince, c 0, c 1... penalizace za předvakcinaci, resp. vakcinaci, jednoho jedince.

10 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací V našem případě hladáme optimální lineární vakcinační strategii, tj. ϑ(z) = v 0 + v 1 z.

11 f f Deterministické modely epidemíı Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací v1 5 1e+05 4e+05 3e+05 2e+05 v0 10 v1 5 1e+05 4e+05 3e+05 2e+05 v0 0 0e e+00 Na obrazcích je znázorněna penalizační funkce f v závislosti na volbě koeficientů lineární vakcinace v 0 a v 1. Vlevo jsou zvoleny penalizační koeficienty c 0 = a c 1 = , vpravo c 0 = c 1 = 0.5.

12 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Nechť (Ω, F, P) je pravděpodobnostní prostor, pak množinu náhodných veličin (X (t), t 0) definovaných na tomto pravděpodobnostním prostoru nazveme náhodným procesem. Na náhodný proces lze také nahĺıžet jako na zobrazení popřípadě X (t, ω) : R + Ω R, X (., ω) : Ω R R+. X (., ω) se nazýva trajektorie procesu X.

13 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Wienerův proces (Brownův pohyb) W t je náhodný proces s následujícímy vlastnostmi: W 0 = 0 skoro jistě, Wienerův proces má nezávislé přírůstky, rozdělení Wienerova procesu v čase t je N(0, t), Wienerův proces má spojité trajektorie.

14 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan)

15 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Stochastický integrál b a X (t)dw (t) si lze velmi zjednodušeně představit jako limitu n 1 lim 0 i=0 X (t i )(W (t i+1 ) W (t i )) kde a = t 0 < t 1 <... < t n = b a t i+1 t i =.

16 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Stochastický proces X t je řešením stochastické diferenciální rovnice dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X 0 = x 0, pokud t t X t = x 0 + b(x s )ds + σ(x s )dw s. 0 0

17 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) dx t = β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dt + β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dw t, dy t =β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dt γy t dt (1) β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dw t, dz t =γy t dt,

18 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) ssubpopulation time Pět realizací řešení stochastické diferenciální rovnice (1).

19 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Histogram of Ymax Histogram of Tmax Density Density Ymax Na levém obrázku je znázorněn histogram a odhad hustoty maximálního počtu nakažených jedinců, vpravo je histogram a odhad hustoty času kulminace epidemie. Tmax

20 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Histogram of Z[, deleni + 1] Density Z[, deleni + 1] Histogram celkového počtu nakažených jedinců během epidemie.

21 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) K určení optimální vakcinační strategie zvolme následující penalizační funkci: kde f = E[c(Y T + Z T ) + c 0 ϑ 0 + c 1 V 1 + c 2 T ep ], Y T + Z T... počet lidí, kteří byli infikováni do časut, ϑ 0... počet jedinců, kteří dostali vakcínu před začátkem epidemie, V 1... počet jedinů navakcinovaných během časového intervalu (0, T ), T ep... délka časového intervalu, po který bylo nakaženo více než 5% populace, c... penalizace za jednoho nakaženého jedince, c 0, c 1... penalizace za předvakcinaci, resp. vakcinaci, jednoho jedince, c 2... penalizace za každý den, po který bylo nakaženo více než 5% populace.

22 f f Deterministické modely epidemíı Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) v v0 400 v v Penalizační funkce f = E[Z ϑ ϑ 1 Z T ep ] (levý obrázek) a f = E[Z ϑ ϑ 1 Z 150 ] (pravý obrázek).

23 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Mějme populaci, jejíž velikost se v čase mění. Sledujeme vývoj nemoci s více pathogeny, kde očekáváme, že žadný jedinec nemůže být infikován více než jedním pathogenem nemoci. N t... počet jedinců v populaci v čase t, X t... počet zdravých jedincu v čase t, Y k t... počet jedinců, kteří jsou nakaženi k-tým pathogenem sledované nemoci v čase t, b, b k... intenzity rození v populaci, b k < b, k, d(n t ), α k... intenzity vymírání populace, β k... intenzita přenosu k-tého pathogenu.

24 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) dx t =X t (b d(n t ) + dyt j =Yt j d k=1 d k=1 ) β k Yt k dt N t d+1 b k Yt k dt + B 1.k (X t, Yk 1,..., Y k d )dw t k, k=1 ( b b j d(n t ) α j + β jx t N t d+1 + k=1 ) dt B j+1.k (X t, Y 1 k,..., Y d k )dw k t, j = 1,..., d,

25 Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Průběh epidemie s jedním patogenem (levý obrázek) a se dvěma patogeny (pravý obrázek).

26 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model

27 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model kde dxt 0 = ρ(t, ω)xt 0 dt, X0 0 = 1 m dxt i = µ i (t, ω)dt + σ ij (t, ω)dwt i, X0 i = x 0. j=1 X 0... vývoj hodnoty bezrizikového aktiva X i, i = 1,..., m... vývoj hodnoty rizikového aktiva

28 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Označíme θ t = (θ 0 t, θ 1 t,..., θ n t ) portfólio v čase t. Pak hodnota tohoto portfólia V t je dána rovnicí dv t = θ t dx t = θ 0 t dx 0 t + = θ 0 t ρ(t, ω)x 0 t dt + V 0 = θ n θ0x i i. i=1 n θtdx i t i i=1 n θtµ i i (t, ω)dt + i=1 m σ ij (t, ω)dw i j=1 t

29 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Velmi často se pro modelování ceny finančních aktiv používá Geometrický Brownův pohyb. Tento proces je dán rovnicí: dx t = µx t dt + σx t dw t, X 0 = x 0. Lze ukázat, že X t = x 0 exp } {(µ σ2 2 )t + σw t s.j.

30 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Označme a Tedy p t = (µ σ2 2 )t + σw t r t = p t+1 p t = ln X t+1 ln X t N E(r t ) = ) (µ σ2, var(r t ) = σ 2. 2 ) (µ σ2 2, σ2.

31 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Z odhadů dostaneme r = n t=1 r t, s 2 r = 1 n 1 ˆσ = n (r t r) 2, t=1 s 2r, ˆµ = r + ˆσ2 2.

32 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model cena cena cas cas

33 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Odhad modelu: dx t = X t dt X t dw t, X 0 =

34 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model cena cas

35 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Uvažujme model trhu: dxt 0 = ρxt 0 dt, X0 0 = 1, dxt 1 = µxt 1 dt + σxt 1 dw t, X0 1 = x 0 > 0, kde T... čas splatnosti, K... prováděcí cena.

36 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model (Fischer Black a Myron Scholes 1973). Spravedlivá cena call opce je p = x 0 φ(η σ T ) Ke ρt φ(η 1 2 σ T ), kde ( η = σ 1 T 1 2 ln x ) 0 K + ρt a φ je distribuční funkce normovanéno normálního rozdělení. Nobelova cena pro R. Mertona a M. Scholese 1997.

37 Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Uvažujme call opci na unci zlata s dobou splatnosti jeden rok, tedy a s prováděcí cenou K = 1850 ($/unci). Použijme model odhadnutý na předchozích slidech, tedy model geometrického Brownova pohybu s parametry µ = a σ = , ale s počáteční podmínkou X 0 = (tedy s cenou ze dne ). Uvažujeme-li roční výnos u bezrizikového aktiva 3%, pak cena Evropské call opce je $.