Radka Picková Transformace náhodných veličin

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Radka Picková Transformace náhodných veličin"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Picková Transformace náhodných veličin Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr Zdeněk Hlávka, PhD Studijní program: Matematika 6

2 Poděkování: Děkuji Mgr Hlávkovi, Ph D za jeho rady a cenné připomínky k obsahu práce Své rodině a přátelům děkuji za podporu Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním V Praze dne května 6 Radka Picková

3 Obsah Úvod 5 Motivace 5 Postup řešení 6 Normálně rozdělené náhodné veličiny a vektory 8 Transformace náhodných veličin a vektorů 8 Příklady 9 Asymptoticky normální rozdělení 7 Definice a značení 7 Funkce asymptoticky normálních veličin a vektorů 8 Porovnání Jednorozměrný případ Dvourozměrný případ 5 Třírozměrný případ 8 5 Závěr A Další grafy A Jednorozměrný a dvourozměrný případ Literatura

4 Název práce: Transformace náhodných veličin Autor: Radka Picková Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr Zdeněk Hlávka, PhD vedoucího: hlavka@karlinmffcunicz Abstrakt: V předložené práci studujeme transformace náhodných veličin a vektorů Věty, které budeme potřebovat k výpočtům, uvedeme pouze bez důkazů, nebot je lze nalézt v dostupné literatuře Zaměříme se především na aplikaci těchto vět Předvedeme použití na konkrétní transformaci obecně p-rozměrného náhodného vektoru X = (X,, X p ) T, p N, p Danou transformaci nejprve aplikujeme na náhodné veličiny a vektory, které mají normální rozdělení Poté zavedeme pojem asymptoticky normální rozdělení a stejnou transformaci použijeme na náhodné veličiny a vektory, které jsou asymptoticky normální Na závěr výsledky porovnáme Klíčová slova: transformace, náhodné veličiny, náhodné vektory, normální rozdělení, asymptotická normalita Title: Transformations of random variables Author: Radka Picková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr Zdeněk Hlávka, PhD Supervisor s address: hlavka@karlinmffcunicz Abstract: In the presented work, we study transformations of random variables and vectors The theorems needed for calculations are stated without proofs because these can be easily found in accessible literature This work aims primarily on the application of these theorems in practice Their use is shown on a transformation of p-dimensional random vectors X = (X,, X p ) T, p N, p First, this transformation is applied to normally distributed random variables and vectors Next, we introduce the definition of asymptotic normality and the same transformation is used on asymptotically normal random variables and vectors In the conclusion, we compare the results Keywords: transformation, random variables, random vectors, normal distribution, asymptotic normality

5 Kapitola Úvod V následujícím textu se budeme zabývat transformacemi náhodných veličin a vektorů Použití si předvedeme na konkrétním příkladě, a to na transformaci obecně p-rozměrného náhodného vektoru X = (X,, X p ) T, p N, p, která je zadána následovně: exp(x ) Motivace t : X X X p X p p i= exp(x i) exp(x ) p i= exp(x i) exp(x p ) p i= exp(x i) exp(x p ) () Proč jsme zvolili právě tuto transformaci? V matematické statistice se často setkáváme s úlohou určit odhady parametrů Představme si, že odhadujeme třírozměrný vektor parametrů (β, β, β ) T v lineárním modelu: β Z = A β + ε, β kde Z = (Z,, Z n ) T, matice A n je známá matice experimentu a ε je n-rozměrný vektor chyb, přičemž víme, že β, β, β > a β + β < Můžeme psát β = β = exp(θ ) exp(θ ) + exp(θ ) + exp(θ ), exp(θ ) exp(θ ) + exp(θ ) + exp(θ ), β = exp(θ ), 5

6 kde θ, θ a θ jsou nové neznámé parametry Označme jejich odhady spočítané metodou maximální věrohodnosti na základě n pozorování ˆθ n, ˆθ n a ˆθ n Jsou-li splněny podmínky regularity, je posloupnost náhodných vektorů (ˆθ n, ˆθ n, ˆθ n ) T asymptoticky normální, tj (ˆθ n, ˆθ n, ˆθ n ) T je AN ( (θ, θ, θ ) T, ) n Σ, kde Σ je pozitivně definitní matice a n je počet pozorování Numerické řešení metodou maximální věrohodnosti vede nejen k odhadům ˆθ n, ˆθ n, ˆθ n, ale také k odhadu ˆΣ n matice Σ, viz Serfling [], str 8 V dané úloze je β normovací konstantou a její hodnota není předmětem našeho zájmu Nás zajímají především hodnoty parametrů β a β Analogicky postupujeme i v obecném případě, kdy můžeme mít zadánu úlohu určit odhady p parametrů β,, β p, p N, p, splňujících podmínky: β,, β p > a β + + β p < Pak můžeme psát β = exp(θ ) exp(θ ) + + exp(θ p ) + exp(θ p ), () exp(θ p ) β p = exp(θ ) + + exp(θ p ) + exp(θ p ), β p = exp(θ p ), kde θ,, θ p jsou nové neznámé parametry Označme jejich odhady spočítané metodou maximální věrohodnosti na základě n pozorování ˆθ n,, ˆθ np Jsou-li splněny podmínky regularity, je posloupnost náhodných vektorů (ˆθ n,, ˆθ np ) T asymptoticky normální, tj (ˆθ n,, ˆθ np ) T je AN ( (θ,, θ p ) T, ) n Σ, () kde Σ je pozitivně definitní matice a n je počet pozorování Numerické řešení metodou maximální věrohodnosti vede nejen k odhadům ˆθ n,, ˆθ np, ale také k odhadu ˆΣ n matice Σ, viz Serfling [], str 8 Transformaci () jsme zvolili proto, že nás zajímá, co lze říci o parametrech β,, β p, pokud máme nějaké informace o parametrech θ,, θ p (např máme odhady parametrů θ,, θ p ) a víme, že platí () Postup řešení Ve druhé kapitole se budeme zabývat transformací normálně rozděleného náhodného vektoru Budeme tedy předpokládat, že máme náhodný vektor X = (X,, X p ) T N p (µ, V ), 6

7 a zjistíme, jaké rozdělení má náhodný vektor Y = (Y,, Y p ) T, jestliže Y = exp(x ) p i= exp(x i),, Y p = exp(x p ) p i= exp(x i), Y p = exp(x p ) Ve třetí kapitole nejprve zavedeme pojem asymptoticky normální rozdělení Poté budeme předpokládat, že posloupnost náhodných vektorů X n = (X n,, X np ) T je AN(µ, n Σ), a zjistíme, jaké asymptotické rozdělení má posloupnost náhodných vektorů Y n = (Y n,, Y np ) T, jestliže pro všechna n N platí Y n = exp(x n ) p i= exp(x ni),, Y n(p ) = exp(x n(p )) p i= exp(x ni), Y np = exp(x np ) Ve čtvrté kapitole porovnáme výsledky z předchozích dvou kapitol (konkrétně v jednorozměrném, dvourozměrném a třírozměrném případě) V páté kapitole vše stručně shrneme 7

8 Kapitola Normálně rozdělené náhodné veličiny a vektory V této kapitole transformaci () aplikujeme na náhodné veličiny a vektory, které mají normální rozdělení Nejprve uvedeme znění vět, které v příkladech až 7 využijeme k vypočítání hustot transformovaných náhodných veličin a vektorů Důkazy uvádět nebudeme, nebot je lze nalézt v dostupné literatuře Transformace náhodných veličin a vektorů Věta (Transformace náhodných veličin) Necht náhodná veličina X má spojitou distribuční funkci F Necht F (x) = f(x) existuje všude až nanejvýš s výjimkou konečně mnoha bodů Budiž t ryze monotónní funkce, která má všude nenulovou derivaci Položme Y = t(x) Označme τ inverzní funkci k t Pak náhodná veličina Y má hustotu g(y) = f[τ(y)] τ (y) () Důkaz Viz Anděl [], věta 5 na str 8 Než uvedeme větu o transformaci náhodného vektoru, připomeneme některé základní pojmy Mějme funkce f,, f r proměnných x,, x r Pak Jacobiovým determinantem čili jakobiánem těchto funkcí se nazývá determinant D f (x) = D(f f f,, f r ) D(x,, x r ) = x x r f r f x r Zobrazení f množiny A do množiny B nazýváme prostým, platí-li implikace x r [x A, x A, x x ] [f(x ) f(x )] Budiž dáno zobrazení f z R r do R r Je-li y = f(x), kde y = (y,, y r ) T a x = (x,, x r ) T, položme y i = f i (x,, x r ), i =,, r Říkáme, že zobrazení f je regulární v množině M R r, jestliže platí: Množina M je otevřená 8

9 Funkce f,, f r mají parciální derivace prvního řádu spojité v M Pro každé x M platí D f (x) Nyní uvedeme větu o transformaci náhodných vektorů Věta (Transformace náhodných vektorů) Necht náhodný vektor X = (X,, X n ) T má hustotu p vzhledem k Lebesqueově míře v R n Necht t je zobrazení z R n do R n, které je regulární a prosté na takové otevřené množině G, pro niž platí p(x)dx = Označme τ inverzní zobrazení G k t : G t(g) Pak náhodný vektor Y = t(x) má hustotu vzhledem k Lebesqueově míře a tato hustota je rovna q(y) = Důkaz Viz Anděl [], věta 7 na str 9 { p[τ (y)] Dτ (y) pro y t(g), pro y / t(g) () Příklady Příklad Mějme náhodnou veličinu X N(µ, σ ), σ >, pak hustota X je f(x) = } (x µ) exp { pro x R () πσ σ Necht náhodná veličina Y = t(x) = exp(x), kde funkce t(z) = exp(z) je ryze monotónní funkce, která má všude nenulovou derivaci Můžeme tudíž použít větu o transformaci náhodných veličin Inverzní funkcí k t je funkce τ(y) = log y pro y (, ) Zřejmě τ (y) = pro y y (, ) Dosazením do () dostaneme hustotu náhodné veličiny Y } (log y µ) g(y) = exp { pro y (, ) () πσy σ 6 5 x 5 y Obrázek : Vlevo graf funkce f(x), vpravo graf funkce g(y) pro µ = a σ = 9

10 Vidíme, že Y má logaritmicko-normální rozdělení s parametry a =, b = σ a m = µ, viz Anděl [], str 7 Na obrázku jsou znázorněny hustoty f a g pro konkrétně zvolené hodnoty parametrů µ a σ Příklad Mějme dvourozměrný náhodný vektor( X = (X, X ) T ) N (µ, V ), σ kde µ = (µ, µ ) T je vektor středních hodnot, V = ρσ σ ρσ σ σ je pozitivně definitní varianční matice, σ >, σ je rozptyl náhodné veličiny X, σ >, σ je rozptyl náhodné veličiny X a ρ (, ) je korelační koeficient veličin X a X Pak hustota náhodného vektoru X je f(x, x ) = πσ σ ρ { [ (x µ ) exp ( ρ ) σ ρ (x µ )(x µ ) + (x ]} µ ) σ σ σ pro (x, x ) T R Uvažujme transformaci t : X X e X e X +e X e X Zobrazení t je regulární a prosté na R Označme pak lze snadno vyjádřit y = e x e x + e x a y = e x, kde y (, ) a y (, ) x = log y y y a x = log y, Označíme-li τ inverzní zobrazení k t, pak y log y y y τ : y log y pro y (, ) a y (, ) Můžeme tedy použít větu o transformaci náhodného vektoru, přičemž y D τ (y, y ) = ( y ) y = y y ( y ) y

11 Dosazením do () získáme hustotu g(y, y ) transformovaného náhodného vektoru Y = (Y, Y ) T = t(x, X ) : { [ g(y, y ) = πσ σ ρ y y ( y ) exp (log y y y µ ) ( ρ ) σ ρ (log y y ]} y µ )(log y µ ) + (log y µ ) (5) σ σ σ pro y (, ) a y (, ), jinak g(y, y ) = Příklad 5 Mějme třírozměrný náhodný vektor X = (X, X, X ) T takový, že X N (µ, V ), kde µ je vektor středních hodnot náhodného vektoru X a V je pozitivně definitní varianční matice náhodného vektoru X Pak hustota náhodného vektoru X má tvar { f(x) = (π) / det V exp } (x µ)t V (x µ) pro x R Uvažujme transformaci t : X X X Zobrazení t je regulární a prosté na R Označme y = pak lze vyjádřit x = log e x e x + e x + e x, y = e X e X +e X +e X e X e X +e X +e X e X e x e x + e x + e x a y = e x, y y y y, x = log a x = log y, y y y y kde y (, ), y (, ), (y + y ) (, ) a y (, ) Označíme-li τ inverzní zobrazení k t, potom y log τ : y log y y y y y y y y y log y pro y (, ), y (, ), (y + y ) (, ) a y (, )

12 Použijeme větu o transformaci náhodného vektoru, přičemž y y ( y y ) y y y y D τ (y, y, y ) = y y y ( y y ) y = ( y )( y ) y y y y y ( y y ) = y y y ( y y ) Dosazením do () získáme hustotu g(y, y, y ) transformovaného náhodného vektoru Y = (Y, Y, Y ) T = t(x, X, X ) Nejprve pro y = (y, y, y ) T označme a = τ (y) µ = ( log y y y y µ, log y ) T y y µ, log y µ, y y pak g(y, y, y ) = { (π) / det V y y y ( y y ) exp } at V a (6) pro y (, ), y (, ), (y + y ) (, ) a y (, ), jinak g(y, y, y ) = Příklad 6 Mějme čtyřrozměrný náhodný vektor X = (X, X, X, X ) T takový, že X N (µ, V ), kde µ je vektor středních hodnot náhodného vektoru X a V je pozitivně definitní varianční matice náhodného vektoru X Pak hustota náhodného vektoru X má tvar f(x) = Uvažujme transformaci (π) det V exp t : X X X X { (x µ)t V (x µ) Zobrazení t je regulární a prosté na R Označme y = y = e X e X +e X +e X +e X e X e X +e X +e X +e X e X e X +e X +e X +e X e X } pro x R e x e x e x + e x + e x + e x, y = e x + e x + e x + e x, e x e x + e x + e x + e x, y = e x

13 Postup vyjádření x, x, x, x tentokrát ukážeme podrobněji Hned vidíme, že x = log y Dále chceme vyjádřit x, x, x z rovnic: e x ( y ) = y (e x + e x + y ), (7) e x ( y ) = y e x + y (e x + y ), (8) e x ( y ) = y e x + y (e x + y ) (9) Rovnice (8) a (9) vynásobíme ( y ) a poté z rovnice (7) dosadíme za e x ( y ) : e x ( y )( y ) = y y (e x + e x + y ) + y ( y )(e x + y ), e x ( y )( y ) = y y (e x + e x + y ) + y ( y )(e x + y ) Dalšími úpravami dostaneme: e x ( y y ) = y y + e x y, () e x ( y y ) = y y + e x y () Rovnici () vynásobíme ( y y ), poté z rovnice () dosadíme za e x ( y y ) a vyjádříme x : e x ( y y )( y y ) = y y ( y y ) + y (y y + e x y ), e [ x (y ) + y (y ) + y (y ) ] = y y ( y ), e x = y y, y y y x = log y y y y y Obdobným způsobem získáme x a x Celkem dostáváme: y y y y x = log, x = log, y y y y y y y y x = log, x = log y, y y y kde y (, ), y (, ), y (, ), (y + y + y ) (, ) a y (, ) Označíme-li τ inverzní zobrazení k t, potom τ : y y y log log log y y y y y y y y y y y y y y y y log y pro y (, ), y (, ), y (, ), (y + y + y ) (, ) a y (, )

14 Použijeme větu o transformaci náhodného vektoru, přičemž y y y ( y y y ) y y y y y y y y y y y y y ( y y y ) y y y y D τ (y, y, y, y ) = y y y y y y y y y ( y y y ) y = ( y y )( y y )( y y ) + y y y y y y y ( y y y ) y y ( y y ) y y ( y y ) y y ( y y ) y y y y ( y y y ) ( y y y ) = y y y y ( y y y ) = y y y y ( y y y ) Dosazením do () získáme hustotu g(y, y, y, y ) transformovaného náhodného vektoru Y = (Y, Y, Y, Y ) T = t(x, X, X, X ) Nejprve pro y = (y, y, y, y ) T označme y log y y y y µ y log y y y y µ a = τ (y) µ =, y log y y y y µ pak g(y, y, y, y ) = log y µ { (π) det V y y y y ( y y y ) exp } at V a pro y (, ), y (, ), y (, ), (y + y + y ) (, ) a y (, ), jinak g(y, y, y, y ) = Příklad 7 Obecný případ p-rozměrného náhodného vektoru Nyní již dokážeme odvodit, jak bude vypadat obecná transformace pro p-rozměrný náhodný vektor Necht p N, p a necht X = (X,, X p ) T N p (µ, V ), kde µ je vektor středních hodnot náhodného vektoru X a V je pozitivně definitní varianční matice náhodného vektoru X Pak hustota náhodného vektoru X má tvar { f(x) = (π) p/ det V exp } (x µ)t V (x µ) pro x R p () y

15 Naším úkolem je spočítat transformaci t : X X X p X p exp(x ) p i= exp(x i) exp(x ) p i= exp(x i) exp(x p ) p i= exp(x i) exp(x p ) Zobrazení t je regulární a prosté na R p Označme τ inverzní zobrazení k t Pak analogicky jako v příkladech, 5 a 6 dostaneme τ : y y y p y p log log log y y p p i= y i y y p p i= y i y p y p p log y p i= y i pro y (, ),, y p (, ), p i= y i (, ) a y p (, ) Dále analogicky jako v příkladech, 5 a 6 získáme jakobián D τ = ( p j= y j ) ( ) p j= y j Podle věty o transformaci náhodného vektoru získáme dosazením do () hustotu g(y) transformovaného náhodného vektoru Y = (Y,, Y p ) T = t(x) Nejprve pro y = (y,, y p ) T označme log log a = τ (y) µ = log 5 y y p p µ i= y i y y p p µ i= y i y p y p p i= y i log y p µ p, µ p

16 pak g(y) = (π) p/ det V ( p j= y j { ) ( ) exp } p j= y at V a j () pro y (, ),, y p (, ), p i= y i (, ) a y p (, ), jinak g(y,, y p ) = 6

17 Kapitola Asymptoticky normální rozdělení V této kapitole zvolenou transformaci () aplikujeme na náhodné veličiny a vektory, které jsou asymptoticky normální Nejprve však zavedeme pojem asymptoticky normální rozdělení Poté uvedeme znění vět, které v příkladech, 7 a 8 využijeme k vypočítání funkcí asymptoticky normálních veličin a vektorů Ani tentokrát důkazy vět uvádět nebudeme, nebot je lze nalézt v dostupné literatuře Definice a značení Definice Necht {X n }, n N je posloupnost náhodných veličin, {µ n } a {σ n } jsou posloupnosti konstant Říkáme, že posloupnost náhodných veličin {X n} je asymptoticky normální se střední hodnotou µ n a rozptylem σ n, pokud σ n > pro všechna dostatečně velká n a platí X n µ n σ n d N(, ), tj posloupnost náhodných veličin X n µ n σ n konverguje v distribuci k N(, ) Budeme používat značení X n je AN ( µ n, σn) Definice Necht {X n }, n N je posloupnost k-rozměrných náhodných vektorů, µ n je posloupnost vektorů a Σ n je posloupnost matic Říkáme, že posloupnost náhodných vektorů {X n } je asymptoticky normální s vektorem středních hodnot µ n a varianční maticí Σ n, pokud Σ n má nenulové diagonální prvky pro všechna dostatečně velká n a pro každý vektor λ = (λ,, λ k ) T takový, že λ T Σ n λ > pro všechna dostatečně velká n, platí, že posloupnost náhodných veličin λ T X n je AN ( λ T µ n, λ T Σ n λ ) Budeme používat značení X n je AN (µ n, Σ n ) 7

18 Funkce asymptoticky normálních veličin a vektorů Věta Předpokládejme, že posloupnost náhodných veličin X n je AN ( µ, σ n) se σn Necht g je reálná funkce diferencovatelná v bodě x = µ a platí g (µ) Pak posloupnost náhodných veličin g(x n ) je AN ( g(µ), [g (µ)] σ n) () Důkaz Viz Serfling [], str 8 Příklad Necht posloupnost náhodných veličin X n je AN (µ, σ n) se σ n Reálná funkce g(x) = e x je diferencovatelná pro všechna x R a platí g (x) = e x Zřejmě g (µ) = e µ pro libovolné µ R Z věty po dosazení do () dostáváme, že posloupnost náhodných veličin Y n = e X n je AN ( e µ, e µ σ n) () Věta 5 Předpokládejme, že posloupnost náhodných vektorů X n = (X n,, X nk ) T je AN ( µ, b nσ ) s varianční maticí Σ a b n pro n Necht g(x) = (g (x),, g m (x)) T, x = (x,, x k ) T, je zobrazení z R k do R m, kde každá složka g i (x) je reálná funkce k proměnných a má nenulový (totální) diferenciál g i (µ; t), t = (t,, t k ) T v bodě x = µ Položme [ ] g i D = x j Pak posloupnost náhodných vektorů x=µ m k g(x n ) je AN ( g(µ), b ndσd T ) () Důkaz Viz Serfling [], str Poznámka 6 Při výpočtech použijeme tvrzení z diferenciálního počtu funkcí více proměnných, které je uvedeno a dokázáno například v knize Zajíček [], věta na str 6 Je-li f funkce n proměnných, a R n a všechny parciální derivace f x,, f x n jsou spojité v bodě a, pak f má v bodě a totální diferenciál Příklad 7 Necht pro posloupnost náhodných vektorů X n = (X n, X n ) T platí, že X n je AN ( µ, n Σ), kde µ = (µ, µ ) T R a matice Σ je pozitivně definitní 8

19 Uvažujme zobrazení g(x, x ) = e x e x +e x e x Označme x = (x, x ) T R Pak pro pro g (x) = e x e x + e x je g (x) = e x g x (x) = je e x e x (e x + e x ) a g x (x) = a g (x) = ex e x x (e x + e x ), g x (x) = e x Funkce g a g mají spojité obě parciální derivace v R, tudíž podle poznámky 6 mají obě funkce totální diferenciály v R Je vidět, že totální diferenciál funkce g i totální diferenciál funkce g je nenulový pro všechna x R, tedy i v bodě x = µ pro libovolný vektor středních hodnot µ Matice D má tvar D = e µ e µ (e µ +e µ ) eµ e µ (e µ +e µ ) e µ () Z věty 5 po dosazení do () dostáváme, že posloupnost náhodných vektorů ( ( e µ ) ) T g(x n ) je AN e µ + e µ, e µ, n DΣDT (5) Příklad 8 Obecný případ Necht p N, p a necht posloupnost náhodných vektorů X n = (X n,, X np ) T je AN (µ, n ) Σ, kde µ = (µ,, µ p ) T R p a matice Σ je pozitivně definitní Uvažujme následující zobrazení g(x,, x p ) = Pro x = (x,, x p ) T R p označme g i (x) = e x p k= ex k e x p p k= ex k e x p e x i p, pro i =,, p a g p (x) = e x p k= ex k 9

20 Pak pro všechna i =,, p platí: g p i (x) = exi k= ex k e x i e x i x i ( p k= ex k ) = exi p k=,k i ex k ( p k= ex k ), g i (x) = exi e xj x j ( p pro j =,, p, j i, k= ex k ) g p x i (x) = a g p x p (x) = e xp Pro všechna i =,, p mají funkce g i spojité všechny parciální derivace v R p, tudíž podle poznámky 6 mají totální diferenciál v R p, který je zřejmě nenulový v každém bodě x R p, tedy i v bodě x = µ pro libovolný vektor středních hodnot µ Matice D má následující tvar D = e µ p k= eµ k ( eµe µ p k= eµ k ) ( p p eµ k=,k eµ k k= eµ k ) ( p eµ e µ ( p eµ e µ p ( µp eµe p k= eµ k ) ( p k= eµ k ) k= eµ k ) k= eµ k ) µp eµe ( µp eµe p k= eµ k ) ( p k= eµ k ) µp eµe ( µp eµe p k= eµ k ) ( p k= eµ k ) e µ p p k=,k p eµ k ( p eµp e µp k= eµ k ) ( p k= eµ k ) e µ p Z věty 5 po dosazení do () dostáváme, že posloupnost náhodných vektorů ( ( e µ ) ) e g(x n ) je AN µ p T p,, k= eµ k p, e µ p, k= eµ k n DΣDT (6)

21 Kapitola Porovnání Vrat me se nyní k tomu, co bylo zmíněno v první kapitole Představme si, že máme odhadnout p-rozměrný parametr β = (β,, β p ) T, p N, p, přitom víme, že platí (), tj β = β p = exp(θ ) exp(θ ) + + exp(θ p ) + exp(θ p ), exp(θ p ) exp(θ ) + + exp(θ p ) + exp(θ p ), β p = exp(θ p ), kde θ = (θ,, θ p ) T je také neznámý parametr Máme spočítaný maximálně věrohodný odhad ˆθ n = (ˆθ n,, ˆθ np ) T parametru θ V první kapitole jsme uvedli, že platí (), tj posloupnost vektorů ( ) ˆθ n je AN θ, n Σ, () kde Σ je pozitivně definitní matice a n je počet pozorování Numerické řešení metodou maximální věrohodnosti vede nejen k odhadu ˆθ n, ale i k odhadu ˆΣ n (tj k odhadu matice Σ) Pokud předpokládáme, že ˆΣ n P Σ, () tj posloupnost ˆΣ n konverguje v pravděpodobnosti k Σ, a že pro velká n je matice ˆΣ n pozitivně definitní, potom platí (viz Serfling [], tvrzení (ii) na str ) ˆΣ / n Pokud () vynásobíme konstantní maticí Σ / dostaneme P Σ / () ˆΣ / n Σ / P I, () kde I je jednotková matice Lze ukázat, že () je ekvivalentní s tím, že n (ˆθn θ) d N(, Σ),

22 kde je nulový vektor, neboli () je ekvivalentní s tím, že n Σ / d (ˆθ n θ) N(, I) (5) Celkem ze vzorců () a (5) dostáváme n ˆΣ / n (ˆθ n θ) = / n ˆΣ n Σ / Σ / (ˆθ n θ) Tudíž ( ˆθ n je AN θ, d N(, I) ) n ˆΣ n, (6) tzn pokud pro odhad ˆΣ n matice Σ platí (), tak můžeme matici Σ ve () nahradit tímto odhadem ˆΣ n Označíme V n = n ˆΣ n Zajímá nás, jak můžeme odhadnout parametr β Označme u parametrickou funkci u(θ,, θ p ) = e θ p k= eθ k e θ p p k= eθ k Potom podle Zehnaovy věty, která je uvedena v knize Anděl [], věta 787 na str 8, je ˆβ n = u(ˆθ n ) maximálně věrohodný odhad parametrické funkce u(θ) Zajímá nás, co můžeme říci o rozdělení ˆβ n K tomuto problému budeme přistupovat dvěma způsoby Vyjdeme ze (6) Víme tedy, že ˆθ n je AN (θ, V n ) Řekněme, že máme pevně zvolený dostatečně velký počet pozorování n, a pro toto pevně zvolené n označme V = V n Zjistíme, co by se stalo, když by ˆθ n N p (θ, V ) pro pevné n, tzn místo asymptotické normality bychom měli náhodný vektor s normálním rozdělením (s hustotou (), kde vektoru středních hodnot µ odpovídá vektor θ) Můžeme využít teorii a příklady z druhé kapitoly Stejným postupem jako v příkladu 7 (transformace t je totiž shodná s parametrickou funkcí u) získáme dosazením do () hustotu u(ˆθ n ) Potom by ˆβ n mělo mít přibližně stejnou hustotu jako u(ˆθ n ) Ve druhé metodě vyjdeme z toho, že ˆθ n je AN ( θ, n Σ), a využijeme teorii a příklady ze třetí kapitoly Postupem uvedeným v příkladu 8 (kde vektoru µ odpovídá vektor θ a zobrazení g je shodné s parametrickou funkcí u) dostaneme (6), tj že ˆβ n je AN ( u(θ), n DΣDT ), kde matice D je v příkladu 8 podrobněji rozepsána Obdobně jako jsme odvodili (6) dostáváme z platnosti vzorce () a definice asymptotické normality, že ˆβ n je AN ( u(θ), DV n D T ) Pak pro pevně zvolené dostatečně velké n (stejné jako v první metodě) by hustota ˆβ n měla být přibližně rovna hustotě N p ( u(θ), DV D T ) Tyto dva přístupy a jejich výsledky porovnáme, konkrétně v jednorozměrném, dvourozměrném a třírozměrném případě e θp

23 Jednorozměrný případ Necht posloupnost náhodných veličin X n je AN (µ, σ n), kde σ n = n s a s > je konstanta Zajímá nás, co můžeme říci o rozdělení posloupnosti náhodných veličin Y n = e X n Pro dostatečně velké pevně zvolené n označme σ = σ n První metodou, kdy pro naše pevně zvolené n předpokládáme, že X n N (µ, σ ), dostaneme s použitím příkladu hustotu g, viz (): } (log y µ) g(y) = exp { pro y (, ) πσy σ Ve druhé metodě využijeme výsledek () z příkladu Označme h hustotu normálního rozdělení N(e µ, e µ σ ), tedy { h(y) = πeµ σ exp (y } eµ ) pro y R e µ σ Na obrázcích jsou grafy funkcí g a h pro konkrétně zvolené hodnoty µ a σ Pro úplnost uvádíme také graf funkce f z příkladu, viz (): f(x) = } (x µ) exp { pro x R πσ σ Hlavní rozdíl mezi funkcemi g a h je v tom, že zatímco funkce g je nenulová pouze pro kladné hodnoty y, funkce h nabývá nenulových hodnot i pro záporná y, viz obrázek Vzhledem k tomu, že σ n, můžeme volbou většího n dosáhnout toho, že rozptyl klesá Na obrázcích a je vidět, že pokud se rozptyl zmenší, zmenší se také rozdíl mezi funkcemi g a h V dodatku jsou další grafy pro ještě menší rozptyl y 5 y Obrázek : Vlevo graf funkce g(y), vpravo graf funkce h(y) pro µ = a σ =

24 6 g(y) 5 h(y) x 5 y Obrázek : Vlevo graf funkce f(x), vpravo grafy funkcí g(y) a h(y) pro µ = a σ = y y Obrázek : Vlevo graf funkce g(y), vpravo graf funkce h(y) pro µ = a σ =,5 8 8 g(y) 6 6 h(y) x y Obrázek : Vlevo graf funkce f(x), vpravo grafy funkcí g(y) a h(y) pro µ = a σ =,5

25 Dvourozměrný případ Necht posloupnost náhodných vektorů X n = (X n, X n ) T je AN ( µ, Σ), kde n µ = (µ, µ ) T je nějaký vektor středních hodnot a Σ je pozitivně definitní varianční matice Zajímá nás, co můžeme říci o rozdělení posloupnosti náhodných vektorů (Y n, Y n ) T, jestliže pro všechna n N platí: Y n = exp(x n ) exp(x n ) + exp(x n ), Y n = exp(x n ) (7) V první metodě se podíváme na to, jak by to vypadalo, kdybychom místo posloupnosti asymptoticky normálních vektorů měli náhodný vektor, který má přesně normální rozdělení ( Zvolíme ) tedy pevně dostatečně velké n, označíme X = X n, σ V = Σ = ρσ σ n ρσ σ σ, kde σ >, σ > a ρ (, ), a předpokládáme, že X = (X, X ) T N (µ, V ) V příkladu jsme vypočítali hustotu (5) transformovaného náhodného vektoru: { g(y, y ) = πσ σ ρ y y ( y ) exp ( ρ ) ρ (log y y y µ )(log y µ ) σ σ + (log y µ ) σ pro y (, ) a y (, ), jinak g(y, y ) = [ (log y y y µ ) Ve druhé metodě vyjdeme z toho, že X n je AN ( µ, Σ) a platí (7) Postupujeme jako v příkladu 7 a dostaneme (5), tedy n ( ( e (Y n, Y n ) T µ ) ) T je AN e µ + e µ, e µ, n DΣDT, (8) kde matice D je uvedena v () Pokud nyní zvolíme pevně ( dostatečně velké ) n σ (stejné jako v první metodě) a pokud označíme Σ = V = ρσ σ n ρσ σ σ, pak e µ e µ (σ W = DV D T (e µ +e µ ) + σ e ρσ σ ) µ e µ (ρσ (e µ +e µ ) σ σ) = e µ e µ (ρσ (e µ +e µ ) σ σ) σe µ Označme h(y, y ) hustotu normálního rozdělení ( ( e µ ) ) T N e µ + e µ, e µ, W ]} σ 5

26 5 5 5 y y Obrázek 5: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ = 6 5 y 5 5 y Obrázek 6: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ = y y Obrázek 7: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ = 6

27 y y Obrázek 8: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = y 8 6 y Obrázek 9: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = y y Obrázek : Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = 7

28 Pro naše pevně zvolené n celkem dostáváme, že hustota (Y n, Y n ) T by podle první metody měla přibližně být rovna hustotě g(y, y ) a podle druhé metody by měla přibližně být rovna hustotě h(y, y ) Na obrázcích 5 a 6 jsou grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ = Na obrázku 7 je jejich porovnání Zatímco funkce g(y, y ) je nenulová pouze pro y (, ) a y (, ), funkce g(y, y ) je nenulová pro všechna (y, y ) T R Poměrně velký rozdíl je i ve tvaru funkcí a poloze jejich maxima Stejně jako v jednorozměrném případě nás zajímá, jak se grafy obou funkcí změní, když zmenšíme rozptyly σ a σ Na obrázcích 8 a 9 jsou grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = Na obrázku je jejich porovnání Vidíme, že rozdíly mezi funkcemi g(y, y ) a h(y, y ) (jak ve tvaru funkcí, tak i v poloze maxima) se zmenšily V dodatku jsou další grafy nejen pro menší rozptyly, ale také pro ρ =,8 a ρ =,8 Třírozměrný případ Nyní graficky porovnáme výsledky obou metod pro třírozměrný případ, zaměříme se však pouze na první dvě složky, aby bylo možné zobrazit grafy Necht posloupnost náhodných vektorů X n = (X n, X n, X n ) T je AN ( µ, n Σ), kde µ = (µ, µ, µ ) T je nějaký vektor středních hodnot a Σ je pozitivně definitní varianční matice Zajímá nás, co můžeme říci o rozdělení posloupnosti náhodných vektorů (Y n, Y n ) T, jestliže pro všechna n N platí: Y n = Y n = exp(x n ) exp(x n ) + exp(x n ) + exp(x n ), exp(x n ) exp(x n ) + exp(x n ) + exp(x n ) (9) V první metodě se podíváme na to, jak by to vypadalo, kdybychom místo posloupnosti asymptoticky normálních vektorů měli náhodný vektor, který má přesně normální rozdělení Zvolíme tedy pevně dostatečně velké n, označíme V = n Σ, X = X n a předpokládáme, že X = (X, X, X ) T N (µ, V ) V příkladu 5 jsme vypočítali hustotu (6) transformovaného třírozměrného náhodného vektoru 8

29 Y = (Y, Y, Y ) T, pro který platí Y = exp(x ) exp(x ) + exp(x ) + exp(x ), Y = exp(x ) exp(x ) + exp(x ) + exp(x ), () Y = exp(x ) Pro jednoduchost zvolíme nyní následující hodnoty parametrů,5 µ = (,, ) T a V =,5,5 Dosazením do (6) dostáváme hustotu náhodného vektoru Y pro tuto volbu parametrů: g(y, y, y ) = π / y y y ( y y ) { ( ) ( ) } y y y y exp log log (log y ) y y y y pro y (, ), y (, ), (y + y ) (, ) a y (, ), jinak g(y, y, y ) = Podle věty o marginální hustotě, viz Anděl [] věta na str 5, pro marginální hustotu g m vektoru (Y, Y ) T platí g m (y, y ) = g(y, y, y ) dy R Vypočtením tohoto integrálu dostaneme hustotu náhodného vektoru (Y, Y ) T g m (y, y ) = πy y ( y y ) exp { log y ( log y y y ) ( log y log y y y y ) } y y y pro y (, ), y (, ) a (y + y ) (, ), jinak g m (y, y ) = První metodou jsme tedy zjistili, že pro naše pevně zvolené n by hustota náhodného vektoru (Y n, Y n ) T měla být přibližně rovna hustotě g m (y, y ) Graf funkce g m (y, y ) je na obrázku Podívejme se nyní na druhou metodu, která využívá teorii třetí kapitoly Chceme zjistit rozdělení posloupnosti vektorů (Y n, Y n ) T, pro něž platí (9) Definujme funkci g(x, x, x ) = 9 e x e x +e x +e x e x e x +e x +e x,,

30 pak (Y n, Y n ) T = g(x n ) = g(x n, X n, X n ) Z věty 5 dostaneme, že (Y n, Y n ) T je AN (g(µ), n ) DΣD, kde matice D má následující tvar D = e µ (e µ +e µ ) (e µ +e µ +e µ ) e µ e µ (e µ +e µ +e µ ) e µ e µ (e µ +e µ +e µ ) e µ e µ (e µ +e µ +e µ ) e µ (e µ +e µ ) (e µ +e µ +e µ ) e µ e µ (e µ +e µ +e µ ) Pokud zvolíme µ = (,, ) T a pro pevně zvolené dostatečně velké n (stejné jako v první metodě) je,5 n Σ = V =,5,,5 pak g(µ) = ( ) /, D = / 9 ( ) Označme h m (y, y ) hustotu normálního rozdělení (( ) / N, ( )) / 5 a n DΣD = 5 ( ) Druhou metodou jsme tedy zjistili, že pro naše pevné n by hustota (Y n, Y n ) T měla přibližně být rovna hustotě h m (y, y ), jejíž graf je na obrázku Srovnání grafů funkcí g m (y, y ) a h m (y, y ) je na obrázku Také tentokrát se funkce liší především v tom, že funkce g m (y, y ) je nenulová jen pro y (, ), y (, ) a (y + y ) (, ), zatímco funkce h m (y, y ) je nenulová pro všechna (y, y ) T R

31 5 y y Obrázek : Graf funkce g m (y, y ) 5 y y Obrázek : Graf funkce h m (y, y ) y y Obrázek : Vlevo graf rozdílu funkcí g m (y, y ) h m (y, y ), vpravo grafy funkcí g m (y, y ) a h m (y, y )

32 Kapitola 5 Závěr Poznamenejme několik slov k porovnání složitosti výpočtů v obou metodách (při odvozování obecného vzorce pro p-rozměrný vektor) V první metodě využíváme teorii uvedenou ve druhé kapitole Než jsme byli schopni odvodit hustotu transformovaného p-rozměrného vektoru v příkladu 7, museli jsme nejprve vypočítat několik příkladů pro konkrétní volbu p Pokud by transformace byla složitější, mohlo by být problematické vypočítat inverzní zobrazení a jakobián (nebo ověřit předpoklad regularity) Ve druhé metodě využíváme teorii uvedenou ve třetí kapitole V příkladu 8 jsme vypočetli transformované asymptoticky normální rozdělení poměrně snadno, ale pro obecné p jsme neprovedli maticové násobení ve (6) Pokud bychom totiž pro obecné p a pro obecnou matici Σ chtěli rozepsat výsledek maticového násobení DΣD T, bylo by to nepřehledné Na závěr shrneme získané výsledky Ve čtvrté kapitole jsme metody porovnávali na základě grafů hustot, které aproximují hledané rozdělení Ve všech třech případech (jednorozměrném, dvourozměrném i třírozměrném) jsme získali podobné výsledky Hlavní rozdíl mezi porovnávanými hustotami byl tento: zatímco pomocí první metody dostaneme hustotu, která je nenulová na přesně vymezené oblasti, pomocí druhé metody dostaneme hustotu, která je nenulová v celém R p Důležité je, že s rostoucím n (tzn s klesajícími rozptyly) se k sobě obě aproximace přibližují Grafické porovnání hustot je sice názorné, ale není přesné Přesnější porovnání by mohlo být založeno na použití statistik

33 Dodatek A Další grafy A Jednorozměrný a dvourozměrný případ g(y) h(y) y y Obrázek A: Vlevo graf funkce f(x), vpravo grafy funkcí g(y) a h(y) pro µ = a σ =, y y Obrázek A: Vlevo graf funkce g(y), vpravo graf funkce h(y) pro µ = a σ =,

34 8 6 5 y y Obrázek A: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = y y Obrázek A: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ = y y Obrázek A5: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =

35 y y Obrázek A6: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =, a ρ = y y Obrázek A7: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =, a ρ = y y Obrázek A8: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =, a ρ = 5

36 8 6 5 y y Obrázek A9: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =,8 8 6 y 5 5 y Obrázek A: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =, y y Obrázek A: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =,8 6

37 y y Obrázek A: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =,8 8 6 y 8 6 y Obrázek A: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =, y y Obrázek A: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ = a ρ =,8 7

38 5 5 y y Obrázek A5: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 y 5 y Obrázek A6: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 5 y y Obrázek A7: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 8

39 5 5 5 y 5 6 y Obrázek A8: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 5 5 y y Obrázek A9: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =, y 5 6 y Obrázek A: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 9

40 y y Obrázek A: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =, y y Obrázek A: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8 5 y y Obrázek A: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8

41 y y Obrázek A: Graf funkce g(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =, y y Obrázek A5: Graf funkce h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =, y y Obrázek A6: Vlevo graf rozdílu funkcí g(y, y ) h(y, y ), vpravo grafy funkcí g(y, y ) a h(y, y ) pro µ = µ =, σ = σ =,5 a ρ =,8

42 Literatura [] Anděl J (5): Základy matematické statistiky Matfyzpress, Praha [] Serfling Robert J (): Approximation Theorems of Mathematical Statistics Wiley-Interscience, New York [] Zajíček L (): Vybrané partie z matematické analýzy pro a ročník Matfyzpress, Praha

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

LWS při heteroskedasticitě

LWS při heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimír Krásný Podmíněné hustoty Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Seidler,

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech. Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení.

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení. VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ RNDR. MARIE FORBELSKÁ, PHD. Věta.Mějmenáhodnouveličinusnormálnímrozdělením X N(µ, σ.dálenechť a, b R,b jsoureálnékonstanty.potomnáhodnáveličina,kterájelineárnítransformacípůvodní,máopětnormálnírozdělení,ato

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti

Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy

Více