Aplikovaná ekonometrie 7. Lukáš Frýd

Transkript

1 Aplikovaná ekonometrie 7 Lukáš Frýd

2 Nestacionární časové řady Možné příčinny Sezonost Deterministický trend (time trend) Jednotkový kořen (Stochastický trend) Strukturní zlomy

3 Časový trend (deterministický trend) y t = α 0 + α 1 t + ε t ε t ~i. i. d(0, σ 2 ) E(y t ) = α 0 + α 1 t Kvadratický trend y t = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 + ε t Exponenciální trend y t = exp(β 0 + β 1 t + ε t ) log(y t ) = β 0 + β 1 t + ε t

4 Náhodná procházka Jedná se o speciální typ AR(1) procesu y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t ε t ~i. i. d. y t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t y t = ε t i + ε t + y 0 i=1 Trvalý dopad počáteční hodnoty Var(y t ) = Var y t 1 + ε t E(y t ) = ε t i + ε t + y 0 i=1 Var(y t ) = σ 2 t 2 Stochastický trend Na rozdíl od deterministického trendu, je přírůstek náhodný E y t E(y t ) y t s E(y t s = E ε t i + ε t + y 0 y 0 i=1 ε t i s + ε t s + y 0 y 0 = t s σ 2 i=1

5 Náhodná procházka s driftem y t = φ 0 + y t 1 + ε t φ 0 drift y t = δt + ε i + y 0 i=1 Proces obsahuje jak deterministický, tak stochastický trend

6 Závislost 2 RW

7 Stochastický trend a integrovaný proces Proces y t obsahující stochastický trend nazveme integrovaným procesem řádu d I(d) Pokud y t není kovariančně stacionární proces a po d diferencích Δ d y(t) bude kovariančně stacionární I(0) Nejčastěji se setkáme s procesem I(1) Po 1 diferenci je proces stacionární I(0) - Δy t ~I(0) y t = ε t i + ε t + y 0 i=1 Integrovaný proces

8 Jednotkový kořen (unit root) Pokud proces obsahuje jednotkový kořen, je daný proces nestacionární Operátor zpoždění L y t = y t 1 + ε t y t = Ly t + ε t y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + φ 2 y t φ k y t k + ε t y t = φ 0 + Lφ 1 y t + L 2 φ 2 y t + + L k φ k y t + ε t y t Ly t = ε t y t (1 L) = ε t Zde je často problém ve značení charakteristické rovnice Vycházíme z diferenčních rovnic Sestavíme charakteristickou rovnici a zjistíme její kořeny 1 z = 0 z = 1 Proces obsahuje jednotkový kořen Proces není stacionární

9 y t = 3y t y t y t 3 + ε t y t = 3Ly t 2.753L 2 y t L 3 y t + ε t (1 3L L L 3 )y t = ε t Charakteristická rovnice 1 3z z z 3 = 0 z 3 3z z = 0 1 z 1 1.5z 1 0.5z = 0 Kořeny jsou z = 1 z = 2 3 z = 2

10 Stacionarita AR procesu Proces MA je vždy stacionární To však již neplatí u AR procesu U AR(1) procesu je zřejmé, že pro φ 1 > 1 proces exploduje y t = φ 0 + Lφ 1 y t + ε t y t Lφ 1 y t = φ 0 + ε t y t (1 Lφ 1 ) = φ 0 + ε t 1 φ 1 z = 0 1 φ 1 = z Hodnota z musí být vyšší jak 1! Tedy φ 1 < 1

11 y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + φ 2 y t φ p y t p + ε t y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + φ 2 y t 2 + ε t y t = φ 0 + Lφ 1 y t + L 2 φ 2 y t + + L p φ p y t + ε t y t = φ 0 + Lφ 1 y t + L 2 φ 2 y t + ε t 1 φ 1 z + φ 2 z φ p z p = 0 (1 Lφ 1 L 2 φ 2 )y t = 0 x 2 φ 1 x φ 2 = 0

12 Testování stacionarity testy hypotéz y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ε t H 0 : φ 1 = 1 H 0 : φ 1 < 1 V ekonomii a financích se většinou setkáváme s procesy 0 < φ 1 < 1 Pokud φ 0 = 0 a φ 1 = 1 pak se jedná o AR(1) proces, který má jednotkový kořen konkrétně jde o RW Pokud φ 0 0 a φ 1 = 1 pak se jedná o AR(1) proces, který má jednotkový kořen konkrétně jde o RW s driftem

13 Pro testování jednotkového kořene však pracujeme s upravenou formou od rovnice odečteme y t 1 Δy t = φ 0 + φ 1 y t 1 y t 1 + ε t Δy t = φ 0 + Θy t 1 + ε t Θ = φ 1 1 H 0 : Θ = 0 H 0 : φ 1 = 1 H 1 : Θ < 0 H 1 : φ 1 < 1 Jedná se o tzv. Dickey-Fuller test Jedná se o t-test POZOR nemá však t-rozdělení. Kritické hodnoty jsou tabelovány viz. Článek DF H0: NEstacionární H1: Stacionární

14 Augment Dickey-Fuller test (ADF) DF test pracuje s předpokladem, že náhodná složka je WN. Problémem je, že časové řady mají často dynamický charakter. Upravíme DF test do dynamické podoby, tzv. ADF test Δy t = φ 0 + Θy t 1 + γ 1 Δy t γ p Δy t p + ε t H 0 : Θ = 0 H 1 : Θ < 0 Otázkou je zjistit, kolik zvolit zpoždění. Použít například AIC

15 Další otázkou je, jak odlišit proces se stochastickým a proces s deterministickým trendem Δy t = φ 0 + δt + Θy t 1 + ε t Δy t = φ 0 + δ 1 t + δ 2 t 2 + +Θy t 1 + ε t H 0 : Θ = 0 H 1 : Θ < 0 H 0 : δ = 0 většinou však neřešíme Zamítnutí obou hypotéz vede k trendově stacionárnímu procesu Δy t = φ 0 + Θy t 1 + δt + γ 1 Δy t γ p Δy t p + ε t DF i ADF test jsou náchylné na špatnou specifikaci. Hodnoty parametru φ 1 se v ekonomii často pohybují Blízko jedné. Je proto vhodné co nejpřesněji specifikovat data generující proces Vynechání časového trendu, nebo důležitého zpoždění bude mít vliv na rozptyl residuí a tím i na hodnoty testu

16 Co když zjistíme, že je časová nestacionární? Bude záležet, o jaký typ nestacionarity se jedná. My zde budeme předpokládat, že se jedná o unit root proces Provedeme první diferenci a otestujeme na stacionaritu. Tímto způsobem určíme o jaký typ I(d) procesu se jedná I(2) proces obsahuje 2 jednotkové kořeny I(d) proces obsahuje d jednotkových kořenů

17 rw <- function(k,initial.value,drift) { samples = rnorm(k,0,1) initial.value + c(drift, cumsum(samples)) } sim1=rw(1000,100,0) sim2=rw(1000,0,0) sim3=rw(1000,0,10) sim4=cumsum(rnorm(n=1001, mean=1.5, sd=sqrt(100))) t=1:1001 sim5=cumsum(rnorm(n=1001, mean=0, sd=sqrt(100)))+2*t sim6=2*t+rnorm(1001,0,50)

18 Box-Jenkins metodologie 1) Stacionarita 2) AFC,PACF 3) Odhad modelu AR,MA,ARMA 4) Kontrola residuí, chovají se jako bílý šum? Identifikace Odhad Diagnostika Informační kritéria Box and Pierce test Ljung-Box test Pokud by se residua chovala jako Gauss bílý šum Tak to pro nás znamená, že se nám podařilo Extrahovat všechny důležité informace

19 Co ovlivňuje úrokovou míru libor t = α 0 + α 1 infl t + α 2 GdpGap t + ε

20 Poptávka po penězích log M1 t = α 0 + α 1 log CPI t + α 2 realgdp t + α 3 tbilrate t + ε t