Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce
|
|
- Peter Ondřej Prokop
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze praskova@karlin.mff.cuni.cz
2 ne ve 1 ne Outline 2 ve
3 ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův prostor (úplný vektorový prostor se skalárním součinem, ) a normou., která je pro každé x H definovaná jako x = x, x. Jestliže pro dva prvky x, y H platí x, y = 0, říkáme, že tyto prvky jsou navzájem kolmé (ortogonální) a značíme x y. Nechť M H je podmnožina H. Říkáme, že prvek x H je kolmý k M, jestliže je kolmý ke každému prvku M, tj. x, y = 0 pro každé y M. Stručně píšeme x M. Množina M = {y H : y M} se nazývá ortogonální doplněk množiny M.
4 ne ve Věta 49: Nechť H je Hilbertův prostor, M H je jeho libovolná podmnožina. Potom M je uzavřený podprostor H. Důkaz: Nulový prvek patří do M, neboť 0, x = 0 pro každé x M. Linearita skalárního součinu každá lineární kombinace dvou prvků M je prvkem M Spojitost skalárního součinu limita posloupnosti prvků M je prvkem M.
5 ne ve Věta 50 (o projekci): Nechť M je uzavřený podprostor Hilbertova H. Potom pro každý prvek x H existuje jednoznačný rozklad na součet x = x + (x x), kde x M a x x M. Dále platí a Důkaz: Rudin (2003), věta x x = min x y (1) y M x 2 = x 2 + x x 2. (2) Prvku x M s vlastností (1) říkáme (ortogonální) projekce prvku x na podprostor M. Zobrazení P M, které každému prvku x H přiřazuje jeho ortogonální projekci na podprostor M, budeme nazývat projekční zobrazení. Zřejmě tedy pro každé x H x = P M x + (x P M x) = P M x + (I P M )x, (3) kde P M x M, (I P M )x M a I značí identické zobrazení.
6 ne ve Věta 51: Nechť H je Hilbertův prostor, P M projekční zobrazení H do jeho uzavřeného pod M. 1 Pro každé x, y H a libovolné α, β C je P M (αx + βy) = αp M x + βp M y. 2 Jestliže x M, potom P M x = x. 3 Jestliže x M, potom P M x = 0. 4 Jestliže M 1, M 2 jsou uzavřené podprostory H takové, že M 1 M 2, potom P M1 x = P M1 (P M2 x) pro každé x H. 5 Jestliže x n, x jsou prvky H takové,že x n x 0 pro n, potom P M x n P M x 0.
7 Důkaz: 1 ne ve αx + βy = α(p M x + (x P M x)) + β(p M y + (y P M y)) = αp M x + βp M y + α(x P M x) + β(y P M y). αp M x + βp M y M, α(x P M x) + β(y P M y) M αp M x + βp M y = P M (αx + βy). 2 Plyne z jednoznačnosti rozkladu (3). 3 Plyne z jednoznačnosti rozkladu (3). 4 x = P M2 x + (x P M2 x), P M2 x M 2, x P M2 x M 2 P M1 x = P M1 (P M2 x) + P M1 (x P M2 x). P M1 (P M2 x) M 1, M 2 M 1 P M 1 (x P M2 x) = 0. 5 Z linearity projekce a z rovnice (2) P M x n P M x 2 = P M (x n x) 2 x n x 2.
8 ne ve Problém: Uvažujme X 1,..., X n s nulovými středními hodnotami a konečnými druhými momenty. Na základě X 1,..., X n chceme předpovědět veličinu X n+h, kde h > 0. Hledáme aproximaci X n+h měřitelnou funkcí g(x 1,..., X n ) (předpověď), pro kterou výraz E X n+h g (X 1,..., X n ) 2 nabývá minimální hodnoty. Řešením této úlohy je podmíněná střední hodnota g(x 1,..., X n ) = E(X n+h X 1,..., X n ).
9 ne ve Je totiž, zavedeme-li značení (X 1,..., X n ) = X n, E (X n+h g(x n )) 2 = E (X n+h E(X n+h X n ) + E(X n+h X n ) g(x n )) 2 = E (X n+h E(X n+h X n )) 2 + E (E(X n+h X n ) g(x n )) 2 + 2E [(X n+h E(X n+h X n )) (E(X n+h X n ) g(x n ))],
10 ne ve přičemž pro poslední sčítanec platí E [(X n+h E(X n+h X n )) (E(X n+h X n ) g(x n ))] = E [E (X n+h E(X n+h X n )) (E(X n+h X n ) g(x n )) X n ] = E [(E(X n+h X n ) E(X n+h X n )) (E(X n+h X n ) g(x n ))] = 0. Je tedy E(X n+h g(x n )) 2 = E (X n+h E(X n+h X n )) 2 + E (E(X n+h X n ) g(x n )) 2 E (X n+h E(X n+h X n )) 2 a rovnost nastane pro g(x n ) = E(X n+h X n ). Obtížné, omezíme se na lineární aproximace
11 ne ve Nejlepší lineární předpověď (predikci) prvku X n+h na základě prvků X 1,..., X n budeme značit X n+h (n). Přímá metoda Nechť H := H{X 1,..., X n,..., X n+h } je Hilbertův prostor generovaný náhodnými veličinami X 1,..., X n+h a H n 1 := H{X 1,..., X n } nechť je Hilbertův prostor generovaný náhodnými veličinami X 1,..., X n. Nejlepší lineární predikce X n+h je prvek X n+h (n) = n c j X j H1 n, (4) j=1 pro který E X n+h X n+h (n) 2 = X n+h X n+h (n) 2 nabývá minimální hodnoty mezi všemi lineárními kombinacemi X 1,..., X n.
12 ne ve Tedy X n+h (n) = P H n 1 (X n+h ) H1 n, X n+h X n+h (n) H1 n. (5) Z linearity H1 n plyne, že podmínka (5) bude splněna právě tehdy, když X n+h X n+h (n) X j, j = 1,..., n, tj. když E(X n+h X n+h (n))x j = 0, j = 1,..., n. Konstanty c 1,..., c n musí tedy splňovat podmínky E ( n ) X n+h c k X k X j = 0, j = 1,..., n, k=1 neboli n EX n+h X j c k EX k X j = 0, j = 1,..., n. (6) k=1
13 ne ve Je-li X 1,... X n+h reálná centrovaná stacionární posloupnost s autokovarianční funkcí R, má soustava (6) tvar neboli n c k R(k j) = R(n + h j), j = 1,..., n, (7) k=1 c 1 R(0) + c 2 R(1) + + c n R(n 1) = R(n + h 1), c 1 R(1) + c 2 R(0) + + c n R(n 2) = R(n + h 2),... c 1 R(n 1) + c 2 R(n 2) + + c n R(0) = R(h).
14 ne ve Maticový zápis (7): Γ n c n = γ nh kde c n := (c 1,..., c n ), γ nh := (R(n + h 1),..., R(h)) a R(0) R(1)... R(n 1) R(1) R(0)... R(n 2) Γ n :=......, R(n 1) R(n 2)... R(0)
15 ne ve Pokud existuje Γ 1 n X n+h (n) =, potom c n = Γ 1 γ nh, tedy n j=1 n c j X j = c nx n = γ nh Γ 1 n X n. (8) Je zřejmé, že Γ n = var (X 1,..., X n ) = var X n = E (X n X n). Chyba predikce (reziduální rozptyl) Podle (2) δ 2 h := E X n+h X n+h (n) 2 = X n+h X n+h (n) 2. X n+h 2 = X n+h (n) 2 + X n+h X n+h (n) 2, je tedy δ 2 h = X n+h 2 X n+h (n) 2. (9)
16 ne ve Pro reálnou centrovanou stacionární posloupnost takovou, že Γ n je regulární, platí δ 2 h = X n+h 2 X n+h (n) 2 = E X n+h 2 E X n+h (n) 2 = R(0) E(c nx n ) 2 = R(0) c ne (X n X n)c n = R(0) c nγ n c n = R(0) γ nh Γ 1 n Γ n Γ 1 n γ nh = R(0) γ nh Γ 1 n γ nh. (10)
17 ne ve Věta 52: Nechť {X t, t Z} je reálná centrovaná stacionární posloupnost s autokovarianční funkcí R, pro kterou je R(0) > 0 a R(k) 0 pro k. Potom matice Γ n = var (X 1,..., X n ) je regulární pro každé n N. Důkaz: sporem Nechť Γ n je pro nějaké n N singulární; potom existuje nenulový vektor c = (c 1,..., c n ) takový, že c Γ n c = 0 a pro X n = (X 1,..., X n ) platí c X n = 0 s. j., neboť E c X n = 0 a var (c X n ) = c Γ n c = 0.
18 ne ve Existuje tedy přirozené 1 r < n a konstanty a 1,..., a r takové, že Γ r je regulární a X r+1 = r a j X j. j=1 Ze stacionarity posloupnosti {X t, t Z} plyne, že var(x 1,..., X r ) = = var(x h,..., X h+r 1 ) = Γ r. Odtud pro libovolné h 1 X r+h = r a j X j+h 1. j=1 Pro každé n r + 1 najdeme konstanty a (n) 1,..., a(n) r takové, že X n = r j=1 a(n) j X j = a (n) X r, kde a (n) = (a (n) 1,..., a(n) r ) a X r = (X 1,..., X r ), var X n = a (n) var X r a (n) = a (n) Γ r a (n) = R(0) > 0.
19 ne ve Matice Γ r je pozitivně definitní, tedy existuje rozklad Γ r = PΛP, kde Λ je diagonální matice, která má na diagonále vlastní čísla matice Γ r, a PP = I je jednotková matice. Protože Γ r je pozitivně definitní, jsou všechna její vlastní čísla kladná; bez újmy na obecnosti předpokládejme, že 0 < λ 1 λ r. Potom R(0) = a (n) PΛP a (n) λ 1 a (n) PP a (n) = λ 1 r ( j=1 a (n) j ) 2, z čehož pro každé j = 1,..., r plyne, že ( a (n) ) 2 j R(0)/λ1, tedy a (n) j C nezávisle na n, kde C je kladná konstanta.
20 ne ve Zároveň je 0 < R(0) = E ( X n ) 2 = E ( X n = C r j=1 r j=1 a (n) j R(n j) r R(n j). j=1 a (n) j X j ) = r j=1 r j=1 a (n) j R(n j) a (n) j EX n X j Poslední výraz s rostoucím n konverguje k nule, neboť podle předpokladu R(n) 0 pro n, to je ale ve sporu s předpokladem R(0) > 0. Tedy matice Γ n je regulární pro každé n N.
21 ne ve Rekurzivní postupy Značení: H k 1 = H{X 1,..., X k } Hilbertův prostor vytvořený veličinami X 1,..., X k Xk+1 (k) = P H k 1 (X k+1 ) := X k+1, k 1, X1 := 0. Potom H n 1 = H{X 1,..., X n } = H{X 1 X 1,..., X n X n } Lemma: X 1 X 1,..., X n X n jsou ortogonální náhodné veličiny. Důkaz: Nechť i < j. Potom X i H1 i Hj 1 1 a X i H1 i 1 H j 1 1, tedy X i X i H j 1 1. Dále: Xj = P H j 1(X j ), proto X j X j H j 1 1, 1 tedy také X i X i X j X j.
22 ne ve Nejlepší lineární předpověď prvku X k+1 spočtená z X 1,..., X k (o jeden krok): X k+1 = k j=1 θ k j ( X k+1 j X k+1 j ). Chyba předpovědi prvku X k+1 o jeden krok: v k = E X k+1 X k+1 2 = X k+1 X k+1 2, k 0.
23 ne ve Věta 53 [Inovační algoritmus]: Nechť {X t, t Z} je reálná centrovaná posloupnost s autokovarianční funkcí R(i, j), kde matice (R(i, j)) n i,j=1 je regulární pro každé n. Potom nejlepší lineární predikce X n+1 X 1,..., X n je X 1 = 0, (11) n ( X n+1 = θ n j X n+1 j X ) n+1 j, n 1, (12) j=1 kde pro k = 0,..., n 1 v 0 = R(1, 1), (13) θ n,n k = 1 k 1 (R(n + 1, k + 1) θ k,k j θ n,n j v j ), (14) v k j=0 n 1 v n = R(n + 1, n + 1) θn,n jv 2 j. (15) j=0
24 ne ve Důkaz: Definujme X 1 := 0, potom v 0 = E X 1 X 1 2 = E X 1 2 = R(1, 1). Víme: X n+1 musí být tvaru (12) a pro j < k jsou X j X j a X k X k ortogonální. Násobme obě strany (12) skalárně náhodnou veličinou X k+1 X k+1 pro k < n : E X n+1 (X k+1 X k+1 ) n = θ nj E ( X n+1 j X )( n+1 j Xk+1 X ) k+1 j=1 = θ n,n k E(X k+1 X k+1 ) 2 = θ n,n k v k. X n+1 H n 1 a X n+1 X n+1 H n 1 E(X n+1 X n+1 )(X k+1 X k+1 ) = 0, k < n, EX n+1 (X k+1 X k+1 ) = E X n+1 (X k+1 X k+1 ) = θ n,n k v k. (16)
25 ne ve Odtud θ n,n k = 1 v k EX n+1 ( Xk+1 X k+1 ) = 1 v k ( R(n + 1, k + 1) EXn+1 Xk+1 ). Dále, když aplikujeme vzorec (12) na X k+1 a ve vzorci (16) místo indexu k užijeme index k j, dostaneme EX n+1 Xk+1 = EX n+1 k = = k j=1 j=1 θ kj ( X k+1 j X k+1 j ) θ kj EX n+1 ( X k+1 j X k+1 j ) k θ kj θ n,n (k j) v k j. j=1
26 ne ve Celkem tedy máme θ n,n k = 1 ( k ) R(n + 1, k + 1) θ kj θ v n,n (k j) v k j k j=1 = 1 ( k 1 ) R(n + 1, k + 1) θ n,n ν θ k,k ν v ν. v k ν=0
27 ne ve Výpočet v n : v n = E X n+1 X n+1 2 = E X n+1 2 E X n+1 2 n ( = R(n + 1, n + 1) E θ nj Xn+1 j X ) 2 n+1 j = R(n + 1, n + 1) = R(n + 1, n + 1) j=1 n θnje(x 2 n+1 j X n+1 j ) 2 j=1 n j=1 θ 2 njv n j n 1 = R(n + 1, n + 1) θn,n νv 2 ν. ν=0
28 ne ve Výpočet předpovědi o jeden krok podle inovačního algoritmu tedy schematicky probíhá takto: X 1 v 0 θ 11 X2 v 1 θ 22 θ 21 X3 v 2 θ 33 θ 32 θ 31 X4 v
29 ne ve Příklad: Jsou dána pozorování X 1,..., X n, pro které platí model MA(1), X t = Y t + by t 1, Y t WN(0, σ 2 ), t Z Určete X n+1 pomocí inovačního algoritmu. X 1 = 0, v 0 = R(0) = σ 2 (1 + b 2 ), θ 11 = 1 R(1) = b v b 2, X 2 = θ 11 (X 1 X 1 ) = θ 11 X 1, v 1 = R(0) θ 2 11v 0, θ 22 = 1 v 0 R(2) = 0, θ 21 = 1 v 1 (R(1) θ 22 θ 11 v 0 ) = R(1) v 1, X 3 = θ 21 (X 2 X 2 ), v 2 = R(0) θ 2 21v 1,
30 ne ve obecně θ nk = 0, k = 2,..., n, θ n1 = R(1) v n 1, X n+1 = θ n1 (X n X n ), v n = R(0) θ 2 n1v n 1. Příklad: Uvažujme model MA(q).Potom je R(k) = 0 pro k > q. Postupným výpočtem zjistíme, že X n+1 = min(q,n) j=1 θ nj ( X n+1 j X n+1 j ), n 1.
31 ne ve Předpověď o h > 1 kroků: X n+h (n) = P H n 1 (X n+h ), kde H1 n = H(X 1 X 1,..., X n X n ). Protože H1 n Hn+1 1 H1 n+h 1, plyne z vlastnosti projekčního zobrazení a (12), že X n+h (n) = P H n 1 ( Xn+h ) = PH n 1 (P H n+h 1 1 (n+h 1 = P H n 1 = = n+h 1 j=1 n+h 1 j=h j=1 ( ) ) ) Xn+h = P H n ( Xn+h 1 θ n+h 1,j ( Xn+h j X n+h j ) ) θ n+h 1,j P H n 1 ( X n+h j X n+h j ) θ n+h 1,j ( X n+h j X n+h j ), (17) neboť X n+h j X n+h j X1 n pro j < h.
32 ne ve Chyba předpovědi o h kroků je δ 2 h = E X n+h X n+h (n) 2 = E X n+h 2 E Xn+h (n) 2 = R(n + h, n + h) E n+h 1 j=h θ n+h 1,j ( X n+h j X n+h j ) 2 n+h 1 = R(n + h, n + h) θn+h 1,j 2 v n+h j 1. j=h
33 ne ve Příklad: Uvažujme opět model MA(1). Již jsme ukázali, že Pro h > 1 je X n+1 = P H n 1 (X n+1 ) = θ n1 (X n X n ). X n+h (n) = P H n 1 (X n+h ) = P H n 1 ( X n+h ) = P H n 1 (θ n+h 1,1 (X n+h 1 X n+h 1 )) = 0, neboť (X n+h 1 X n+h 1 ) H1 n pro h > 1.
34 ne ve Inovační algoritmus pro model ARMA Uvažujme kauzální proces ARMA(p, q) X t = ϕ 1 X t 1 + +ϕ p X t p +Y t +θ 1 Y t 1 + +θ q Y t q, t Z, Y t WN(0, σ 2 ). Hledáme X n+1 = P H n 1 (X n+1 ). Transformace: 1 σ W t = X t, t = 1, 2,..., m, 1 σ (X t ϕ 1 X t 1 ϕ p X t p ), t > m, (18) m = max(p, q). Položme X 1 = 0, Ŵ1 = 0, Ŵk = P H k 1(W k ). Potom 1 H n 1 = H(X 1 X 1,..., X n X n ) = H(X 1,..., X n ) = H(W 1,..., W n ) = H(W 1 Ŵ1,..., W n Ŵn).
35 ne ve Aplikace inovačního algoritmu na posloupnost {W 1,..., W n } : n j=1 θ nj(w n+1 j Ŵn+1 j), 1 n < m, Ŵ n+1 = q j=1 θ nj(w n+1 j Ŵn+1 j), n m (19) (pro t > m je W t MA(q)). do H1 t 1 na obě strany vztahu (18): 1 X σ t, t m, Ŵ t = 1 σ ( X t ϕ 1 X t 1 ϕ p X t p ), t > m. (20)
36 ne ve Je vidět, že pro t 1 W t Ŵt = 1 σ ( Xt X t ), E Wt Ŵt 2 = 1 σ 2 v t 1 := w t 1. Platí tedy n j=1 X θ ( nj Xn+1 j X ) n+1 j, n < m n+1 = q j=1 θ ( nj Xn+1 j X ) n+1 j + p j=1 ϕ jx n j+1, n m (21) kde koeficienty θ nj a w n se spočtou inovačním algoritmem aplikovaným na posloupnost (18). K tomu musíme spočítat hodnoty autokovarianční funkce posloupnosti {W t }.
37 ne ve Víme, že E X t = 0, tedy i E W t = 0. Pro kovariance R W (s, t) = EW s W t platí 1 R σ 2 X (s t), 1 s, t m, [ 1 σ 2 RX (s t) p j=1 ϕ jr X ( s t j) ], R W (s, t) = min(s, t) m, m < max(s, t) 2m, 1 q s t σ 2 j=0 θ j θ j+ s t, s, t > m, s t q, 0, jinde (22) (zde jsme položili θ 0 = 1).
38 ne ve Inovační algoritmus pro model AR Uvažujme kauzální proces AR(p), tj. X t = ϕ 1 X t ϕ p X t p + Y t, t Z, Y t WN(0, σ 2 ) Transformace: 1 σ W t = X t, 1 t p, 1 σ (X t ϕ 1 X t 1 ϕ p X t p ) = 1 σ Y t, t > p. (23) Inovační algoritmus na W 1,..., W n : n j=1 Ŵ n+1 = θ nj(w n+1 j Ŵn+1 j), n < p, 0, n p. (24) (W n+1 H1 n pro n p.)
39 ne ve Opět W t Ŵt = 1 σ (X t X t ) pro t 1 a odtud n j=1 X n+1 = θ ( nj Xn+1 j X ) n+1 j, n < p, (25) ϕ 1 X n + ϕ 2 X n ϕ p X n p+1, n p. Autokovarianční funkce potřebná pro výpočet koeficientů θ nj je 1 R σ 2 X (s t), 1 s, t p, R W (s, t) = 1, t = s > p, (26) 0 jinde. Chybu předpovědi o jeden krok pro n p můžeme spočítat jako v n = E X n+1 X n+1 2 = EY 2 n+1 = σ 2.
40 ne ve Annual means of Wolf Sunspot numbers, Počet slunečních skvrn, Wolfův index,
41 ne ve Odhadnutý model pro Wolfův index (centrováno): AR(9), a(b)x t = Y t a(z) = z z z z z z z z z 9
42 ne ve Wolf index Počet slunečních skvrn, Wolfův index, , skutečné hodnoty a predikce o jeden krok
43 ne ve Wolfuv index, predikce o 1 krok Počet slunečních skvrn, Wolfův index, , skutečné a predikované hodnoty (výřez)
44 ne ve ne Problém: známe celou minulost X n, X n 1,..., chceme předpovídat X n+1, X n+2,.... Úloha projekce : Uvažujme Hilbertovy prostory H = H{X t, t Z} a H n = H{... X n 1, X n }. Předpověď X n+h (n) prvku X n+h ne X n, X n 1,... je projekce X n+h H do H n, X n+h (n) = P H n (X n+h ) předpověď o jeden krok: Xn+1 (n) := X n+1.
45 ne ve Předpověď v autoregresním modelu AR(p). Uvažujme model X t = ϕ 1 X t ϕ p X t p + Y t, t Z, (27) kde {Y t, t Z} je WN(0, σ 2 ), a předpokládejme, že polynom λ p ϕ 1 λ p 1 ϕ p má všechny kořeny uvnitř jednotkového kruhu. Víme: {X t, t Z} je kauzální lineární proces a Y t X s pro všechna t > s.
46 ne ve Předpověď o jeden krok: X n+1 = ϕ 1 X n + + ϕ p X n+1 p + Y n+1 ϕ 1 X n + + ϕ p X n+1 p H n, Y n+1 X n, X n 1, Y n+1 H n, (plyne z linearity a spojitosti skalárního součinu) X n+1 = P H n (X n+1 ) = ϕ 1 X n + + ϕ p X n+1 p. Chyba předpovědi je E X n+1 X n+1 2 = E Y n+1 2 = σ 2.
47 ne ve Předpověď o h > 1 kroků. ) X n+h (n) = P H n (X n+h ) = P H n (P H n+h 1(X n+h ) kde = P H n ( X n+h ) = P H n (ϕ 1 X n+h ϕ p X n+h p ) = ϕ 1 [X n+h 1 ] + ϕ 2 [X n+h 2 ] + + ϕ p [X n+h p ], [X n+j ] = { X n+j, j 0 X n+j (n), j > 0.
48 ne ve Příklad: Uvažujme proces AR(1), X t = ϕx t 1 + Y t, ϕ < 1, Y t WN(0, σ 2 ). Známe-li celou minulost X n, X n 1,..., je X n+1 = ϕx n. Pro h > 1 X n+h (n) = ϕ[x n+h 1 ] = ϕ X n+h 1 (n) = ϕ 2 Xn+h 2 (n) =... = ϕ h X n. Chyba predikce je E X n+h X n+h 2 = E X n+h 2 E X n+h (n) 2 = R X (0) E ϕ h 2 X n = RX (0) (1 ϕ 2h) = σ 2 1 ϕ2h 1 ϕ 2.
49 ne ve Kauzální a invertibilní model ARMA(p, q) X t = ϕ 1 X t 1 + +ϕ p X t p +Y t +θ 1 Y t 1 + +θ q Y t q, t Z, (28) Y t WN(0, σ 2 ). Kauzalita: pro každé t Z je X t = j=0 c jy t j, kde j=0 c j < odtud plyne, že Y t X s pro každé s < t. Invertibilita: pro každé t Z je Y t = j=0 d jx t j, kde j=0 d j <, neboli X t = d j X t j + Y t (29) j=1 (srov. věty 35 a 36.)
50 ne ve Platí: ( N ) d j X t j = l. i. m. N d j X t j H t 1, j=1 j=1 Y t H t 1. Z rozkladu (29) tedy plyne, že nejlepší lineární předpověď X n+1 celé X n, X n 1... je X n+1 = d j X n+1 j. (30) j=1 Chyba předpovědi E X n+1 X n+1 2 = E Y n+1 2 = σ 2. Rekurentní vyjádření Y t : Y t = X t X t
51 ne ve Z jednoznačnosti rozkladu X n+1 = X n+1 + Y n+1 a ze vzorce (28) tedy X n+1 = ϕ 1 X n + + ϕ p X n+1 p + θ 1 Y n + + θ q Y n+1 q, X n+1 = ϕ 1 X n + + ϕ p X n+1 p + θ 1 ( Xn X n ) + + θq ( Xn+1 q X n+1 q ).
52 ne ve o h > 1 kroků je kde X n+h (n) = P H n (X n+h ) = P H n (P H n+h 1(X n+h )) = P H n ( X n+h ) = P H n ( ϕ1 X n+h ϕ p X n+h p + θ 1 Y n+h θ q Y n+h q ) = ϕ 1 [X n+h 1 ] + + ϕ p [X n+h p ] + θ 1 [Y n+h 1 ] + + θ q [Y n+h q ], [X n+j ] = { X n+j, j 0, X n+j (n), j > 0 a [Y n+j ] = { X n+j X n+j, j 0, 0, j > 0.
53 ne ve Pro výpočet chyby predikce je výhodné využít kauzality. Dostaneme ( X n+h (n) = P H n (X n+h ) = P H n c j Y n+h j ). Z vlastností projekčního zobrazení a ( ) P H n c j Y n+h j = j=0 Chyba předpovědi je X n+h (n) = j=0 c j P H n (Y n+h j ), j=0 c j Y n+h j. j=h E X n+h X n+h (n) 2 h 1 2 h 1 = E c j Y n+h j = σ 2 c j 2. j=0 j=0
54 ne ve Příklad: Uvažujme model MA(1): X t = Y t + θy t 1, t Z, Y t WN(0, σ 2 ), θ < 1. Potom {X t, t Z} je invertibilní, Y t = j=0 ( θ)j X t j, a X n+1 (n) = X n+1 = ( θ) j X n+1 j = θy n = θ(x n X n ). j=1 Chyba predikce je E X n+1 X n+1 2 = EY 2 n+1 = σ2. o h > 1 kroků je ( X n+h (n) = P H n PH n+h 1 (X n+h ) ) = P H n ( X n+h ) = θp H n (Y n+h 1 ) = 0, neboť pro h 2 je Y n+h 1 H n. Chyba předpovědi je E X n+h X n+h (n) 2 = E X n+h 2 = R X (0) = σ 2 (1 + θ 2 ).
55 ne ve ve {X t, t Z} centrovaná stacionární posloupnost se distribuční funkcí F a hustotou f. Známe celou minulost posloupnosti {X t, t Z} do času n 1, hledáme předpověď X n+h, h = 0, 1,..., tj. Xn+h (n 1) = P H n 1 (X n+h ), Xn+h (n 1) H n 1 H{X t, t Z}, X n+h X n+h (n 1) H. n 1 Spektrální rozklad: X t = π π eitλ dz(λ), {Z λ, λ [ π, π]} je proces s ortogonálními přírůstky a přírůstkovou distribuční funkcí F (věta 28). Všechny prvky Hilbertova H{X t, t Z} jsou tvaru π π kde ϕ L 2 (F ) (věta 30). ϕ(λ)dz(λ),
56 ne ve Hledejme prvek X n+h (n 1) ve tvaru X n+h (n 1) = π π e inλ Φ h (λ)dz(λ), (31) kde Φ h (λ) L 2 (F ). Podmínka X n+h X n+h (n 1) H n 1 bude splněna, když X n+h X n+h (n 1) X n j, j = 1, 2,... Tedy pro j = 1, 2,... musí platit E ( X n+h X n+h (n 1) ) X n j = 0, neboli
57 ne ve ( E X n+h X ) n+h (n 1) X n j = = R(h + j) E = R(h + j) = = = π π π π π π π π π π e i(h+j)λ df (λ) e i(h+j)λ f (λ)dλ e inλ Φ h (λ)dz(λ) π π e inλ Φ h (λ)e i(n j)λ df (λ) π π π π e ijλ Φ h (λ)df (λ) e ijλ Φ h (λ)f (λ)dλ e i(n j)λ dz(λ) ( ) e ijλ e ihλ Φ h (λ) f (λ)dλ = 0. (32)
58 Označme Ψ h (λ) := ( ) e ihλ Φ h (λ) f (λ). ne ve Potom (32) lze zapsat ve tvaru π π e ijλ Ψ h (λ)dλ = 0, j = 1, 2,.... (33) Z podmínky (33) vyplývá, že Fourierův rozvoj funkce Ψ h bude obsahovat pouze členy s nezápornými mocninami e iλ, Ψ h (λ) = b k e ikλ, k=0 b k <. k=0 Bude-li Φ h (λ) = a k e ikλ, a k <, k=1 k=1 což je funkce, která je konvergentní v L 2 (F ), potom
59 ne ve X n+h (n 1) = π π e inλ[ a k e ikλ] dz(λ) π = l. i. m. N π = l. i. m. N = l. i. m. N k=1 e inλ[ N a k e ikλ] dz(λ) k=1 N [ π ] a k e i(n k)λ dz(λ) k=1 π N a k X n k = k=1 a k X n k. k=1
60 ne ve Věta 54: Nechť {X t, t Z} je reálná centrovaná stacionární posloupnost s autokovarianční funkcí R a hustotou f (λ) = f (e iλ ), kde f je racionální funkce komplexní proměnné. Nechť funkce Φ h je funkce komplexní proměnné, holomorfní vně a na hranici jednotkového kruhu a taková, že Φ h ( ) = 0. Nechť funkce Ψ h (z) = ( z h Φ h (z) ) f (z), z C, je holomorfní uvnitř a na hranici jednotkového kruhu. Potom nejlepší lineární predikce prvku X n+h na základě X n 1, X n 2,... je X n+h (n 1) = π π e inλ Φ h (λ)dz(λ), kde Φ h (λ) = Φ h ( e iλ ) a {Z λ, λ [ π, π]} je proces s ortogonálními přírůstky ze ho rozkladu {X t, t Z}.
61 ne ve Chyba predikce je δ 2 h = E X n+h X n+h (n 1) 2 = R(0) = R(0) π π π π Důkaz: Anděl (1976), kap. X, věta 8. Φ h (λ) 2 f (λ)d(λ) (34) e ihλ Φ h (λ)f (λ)dλ. (35) Funkce Φ h se nazývá charakteristika predikce prvku X n+h na základě X n 1, X n 2,...
62 ne ve Příklad (AR(1)): X t = ϕx t 1 + Y t, ϕ < 1, ϕ 0, Y t WN(0, σ 2 ). Hledáme předpověď X n+h (n 1) ve, když známe X n 1, X n 2,..., h 0. Spektrální hustota posloupnosti {X t, t Z} je f (λ) = σ2 2π kde f (z) = σ2 2π 1 1 ϕe iλ 2 = σ2 2π 1 (1 ϕz 1 )(1 ϕz) = σ2 2π 1 (1 ϕe iλ )(1 ϕe iλ ) = f ( e iλ), z (1 ϕz)(z ϕ) je racionální funkce komplexní proměnné z. ( ) Ψ h (z) = z h Φ h (z) f (z) = σ2 z(z h Φ h (z)) 2π (1 ϕz)(z ϕ), z C,
63 ne ve Podmínkám věty vyhovují funkce Φ ϕh+1 h (z) = z Ψ σ2 h (z) = 2π = ϕ h+1 z 1, z C, z h+1 ϕ h+1 (z ϕ)(1 ϕz), z C, charakteristika predikce je Φ h (λ) = ϕ h+1 e iλ a nejlepší lineární předpověď X n+h (n 1) = = = π π π π π π e inλ Φ h (λ)dz(λ) e inλ ϕ h+1 e iλ dz(λ) e i(n 1)λ dz(λ)ϕ h+1 = ϕ h+1 X n 1. Dostali jsme stejný výsledek jako.
64 ne ve Chyba predikce: Podle vzorce (34) máme δh 2 = E Xt+h X t+h (t 1) 2 = X t+h 2 X t+h (t 1) 2 = R(0) E Xt+h (t 1) 2 π = R(0) E e itλ Φ h (λ)dz(λ) π π = R(0) e itλ Φ h (λ) 2 f (λ)dλ = π = R(0) ϕ 2(h+1) π π ( f (λ)dλ = R(0) 1 ϕ 2(h+1)), 2 což opět souhlasí s výsledkem.
Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud
5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceModely stacionárních časových řad
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Proces bílého šumu Proces {ɛ t} nazveme bílým šumem s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ 2 a
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceÚvod do analýzy časových řad
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceBáze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů
Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) Připomeňme, že konečná posloupnost u 1, u 2,, u n vektorů z V je
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceGEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceŘešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více