Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce ƒeské Bud jovice, 2014

Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 1.3 Pouºití modulu ve vyu ovací hodin................ 4 1.4 Pouºití modulu p i domácí p íprav................ 4 1.5 P ehled vytvo ených výukových modul.............. 5 2 Výukové moduly 6 2.1 Výrazy, mocniny a odmocniny.................... 6 2.2 Mnoºiny a výroková logika...................... 7 2.3 Algebraické rovnice.......................... 8 2.4 Planimetrie 1 - po etní úlohy v planimetrii............ 9 2.5 Planimetrie 2 - shodnosti, podobnosti, mnoºiny bod, konstruk ní úlohy.................................. 10 2.6 Algebraické funkce.......................... 11 2.7 Nealgebraické funkce a rovnice................... 12 2.8 Goniometrie.............................. 13 2.9 Trigoniometrie............................ 14 2.10 Stereometrie.............................. 15 2.11 Pravd podobnost........................... 16 2.12 Finan ní matematika......................... 17 2.13 Analytická geometrie lineárních útvar............... 18 2.14 Analytická geometrie kuºelose ek.................. 19 2.15 Komplexní ísla............................ 20 2.16 Opakování u iva Z......................... 21 2.17 Kombinatorika............................ 22 2.18 Statistika............................... 23 2.19 Posloupnosti a ady......................... 24 2.20 Analytická geometrie v prostoru.................. 25 2.21 Diferenciální a integrální po et - roz²i ující modul........ 26 2.22 Slovní úlohy z celého u iva, úlohy z praxe............. 27 1

Kapitola 1 Popis problematiky 1.1 Úvod Projekt Výuka matematiky v 21. století na st edních ²kolách technického typu je jedním z projekt podporovaných Opera ním programem Vzd lání pro konkurenceschopnost (OP VK). Cílem projektu je podpo it, zefektivnit a zatraktivnit výuku matematiky na st edních odborných ²kolách technického zam ení. Metodou k dosaºení zmín ných cíl není zm na obsahu u iva, hlavní d raz je kladen na roz²í ení ²kály metod p edávání matematických poznatk, jejich procvi ování, upev ování nebo testování. Prost edkem pro dosaºení cíl projektu je elektronizace matematického u iva v rozsahu poºadovaném ²kolním vzd lávacím plánem. Tematické celky pokrývající aktuální ²kolní vzd lávací plán p edm tu matematika byly vymezeny v návrhu projektu. Vytvo ení elektronických materiál umoº uje roz²í it aktuáln uºívané standardní metody výuky. Zárove je student m nabídnuta moºnost vytvo ené elektronické materiály pouºívat k domácí p íprav, samostudiu nebo k opakování. Jako velmi ú inné se jeví kombinování r zných vyu ovacích metod. Vyu- ºití r zných forem a metod vyu ování matematice je podporováno v souladu se zku²enostmi u itel i v souladu s moderními didaktickými výzkumy. Konkrétní formy výuky jsou vnímány jednotlivými studenty r zn, nap. i z d vodu odli²ných typ studentských osobností. V kaºdém p ípad je v²ak pro dosaºení maximální ú innosti p edávání poznatk nutné dodrºet didaktické zásady. N které didaktické zásady v souvislosti s projektem Výuka matematiky v 21. století na S technického typu projdeme postupn v dal²í kapitole. 2

1.2 Didaktické zásady Aktivnost Jedním z nejd leºit j²ích prvk úsp ²ného vyu ování a u ení je aktivní p ístup ºáka. Elektronické materiály vytvo ené v projektu nepochybn aktivní p ístup studenta k u ení podporují. Krom pouºití studijních text p i výkladu u iva u itelem a p i procvi ování vyloºené látky p i vyu ování, jsou studijní materiály vyuºitelné pro samostudium, opakování nebo domácí p ípravu. Práv p i t chto innostech m ºe student pracovat vlastním tempem, m ºe si plánovat as, kdy se bude u it, opakovan se vracet k témat m a p íklad m, které pot ebuje procvi ovat. V deckost Výukové a studijní materiály jsou vytvá ené u iteli, kte í mají dlouholetou praxi na st ední ²kole s technickým zam ením. Krom toho jsou aprobovanými odborníky ve svém oboru. Studijní materiály vytvo ené v projektu jsou navíc posouzeny a zhodnoceny pokaºdé dv ma oponenty. Názornost Vizualizace u ebních text a obsahu matematického u iva je velkým p ínosem projektu. Pro velkou skupinu student m ºe být práv názornost a vizualizace prost edkem ke zlep²ení jejich matematických dovedností. P im enost Studijní materiály není nutné pouºívat sekven n. Kopírují ²kolní vzd lávací program a student si sám m ºe zvolit modul, který bude aktuáln studovat. V p ípad, ºe zjistí nedostatky, které mu brání v plynulém postupu p i studiu konkrétního tématu, m ºe operativn vyuºít moduly jiné a vyhledat v nich chyb jící informace. Naopak, pokud je student v rámci t ídy nadpr m rný, m ºe samostudiem postupovat rychleji dop edu vlastním tempem. Je tak zohledn na individualita studenta. Soustavnost Soustavnost p i studiu jakéhokoliv p edm tu i oboru je nezbytná. Je proto vhodné a d leºité, aby m li studenti stálý p ístup ke studijním materiál m. Pokud jsou studijní texty, výkladové p íklady i p íklady k procvi ování student m p ístupné v libovolnou dobu, zv t²í se pravd podobnost soustavnosti v p íprav student na vyu ování. V p ípad dlouhodob j²í nep ítomnosti nap. z d vodu nemoci nebo individuálního studia má student velkou moºnost získat za vynaloºení velmi malého úsilí informace, znalosti i v domosti, které byly ve ²kole p i matematice sd lovány v dob jeho absence. Systemati nost P i procesu u ení musí být dodrºeno pravidlo systemati nosti. Nové poznatky se musí opírat o poznatky p edcházející a naopak musí tvo it základ pro témata následující. Moduly vytvo ené v projektu vytvá ejí logický uspo ádaný systém 3

matematického u iva pro daný typ ²koly. Trvalost Nejpodstatn j²í v domosti a dovednosti, které studenti získají, musí být trvale osvojeny a zapamatovány. Vytvo ené studijní materály obsahují velké mnoºství p íklad k procvi ování a k prozkou²ení. Zásada trvalosti je tak projektem podpo ena a dodrºena. 1.3 Pouºití modulu ve vyu ovací hodin Výukové materiály vytvo ené v projektu se budou pouºívat v p ímé výuce. Materiály mohou být pouºity jako dopln k n jaké standardní vyu ovací metody. U itel m ºe nap. pouºívat tabuli a krom toho projekci p íslu²né vhodné ásti modulu. Podle typu vyu ovací hodiny a cíl, kterých chce u itel v rámci vyu- ovací hodiny dosáhnout, bude zvolena p íslu²ná ást výukového modulu. P i výkladové ásti hodiny u itel pouºije prezentaci, pokud je v daném modulu obsa- ºena. Sou ástí prezenatací jsou také vzorové p íklady, které slouºí k okamºitému procvi ení vykládané látky. Pokud vyu ovací hodina nemá být v novaná výkladu nového u iva, m ºe u itel student m promítat p íklady k procvi ování nebo zadat testové úlohy v modulu obsaºené. Studenti mohou pracovat frontáln nebo individuálním tempem. Nastane-li situace, kdy student na základ stávajících znalostí nem ºe nap. vy e²it n jaké p íklady, m ºe u itel studenta nasm rovat na konkrétní pasẠmodulu a umoºnit mu tak p íslu²né poznatky nastudovat vlastním tempem. Je tedy moºné pracovat spole n s celou t ídou nebo naopak individuáln pouze se studentem, který si neumí s problémem poradit. 1.4 Pouºití modulu p i domácí p íprav Elektronické materiály vytvo ené v projektu jsou velmi dob e vyuºitelné pro samostudium, opakování nebo domácí p ípravu. Velký p ínos spo ívá v poskytnutí spolehlivé moºnosti, jak a kde si doplnit u ivo. Pokud student zme²kal výuku, má okmaºit k dispozici p ehled u iva v etn vzorových p íklad a testových úloh. 4

1.5 P ehled vytvo ených výukových modul V první fázi e²ení projektu bylo vytvo eno 22 tematicky uspo ádaných výukových modul : 1) Základní moduly - opakování u iva Z (slovní úlohy na úm rnosti, zlomky) - výrazy, mocniny a odmocniny - mnoºiny, výroky - algebraické rovnice - planimetrie (po etní) - planimetrie (shodnosti, podobnost, mnoºiny bod, konstruk ní úlohy) - funkce (lineární, lineární s absolutní hodnotou, kvadratická, lineární lomená, mocninné) - exponenciální a logaritmické funkce a rovnice - goniometrie (goniometrické funkce, rovnice a vzorce) - trigonometrie - stereometrie - kombinatorika - pravd podobnost - statistika - nan ní matematika - analytická geometrie lineárních útvar - kuºelose ky - komplexní ísla - posloupnosti a ady 2) Roz²i ující moduly - analytická geometrie v prostoru - diferenciální a integrální po et 3) Pr ezové moduly - slovní úlohy z celého u iva, úlohy z praxe. Ve druhé fázi e²ení projektu byly výkové moduly testovány v p ímé výuce a na základ výsledk testování následn upravovány. 5

Kapitola 2 Výukové moduly 2.1 Výrazy, mocniny a odmocniny Vytvo eno 12 prezentací s p ehledem u iva a vzorovými p íklady - mocniny s p irozeným exponentem - mocniny s celo íselným exponentem - exponenciální tvar ísla - druhá odmocnin - usm r ování zlomk - t etí odmocnina - výrazy - mnoho leny, s ítání a od ítání mnoho len - násobení mnoho len, úpravy podle vzorce - d lení mnoho len - rozklad mnoho len na sou in - lomené výrazy Vloºeno 10 p íklad s výsledky a návody k e²ení Vloºen vstupní test se 14ti uzav enými p íklady s výb rem ze dvou odpov dí (A/B). Vloºeno 24 p íklad s výb rem ze ty odpov dí (A/B/C/D), 1 p íklad s výb rem ze dvou odpov dí (A/B) a 4 p íklady otev ené. 6

2.2 Mnoºiny a výroková logika Vytvo eno 10 prezentací s p ehledem u iva a vzorovými p íklady - íselné obory - p evod ísla s periodou na zlomek - základní mnoºinové pojmy - mnoºinové operace - jednoduché výroky - slovní úlohy (3 prezentace) - sloºené výroky - negace sloºených výrok Vytvo eno 7 pracovních list a ke kaºdému z nich vzorové e²ení ve form prezentace - základní mnoºinové pojmy - mnoºinové operace (3 pracovní listy a jejich e²ení) - negace jednoduchých výrok - sloºené výroky - negace sloºených výrok Vloºeno 0 p íklad s výsledky a návody k e²ení. Vloºeno 31 p íklad s výb rem ze ty odpov dí (A/B/C/D), 3 p íklady s výb rem z p ti odpov dí (A/B/C/D/E), 16 p íklad s výb rem ze ²esti odpov dí (A/B/C/D/E/F), 12 p íklad s výb rem ze sedmi odpov dí (A/B/C/D/E/F/G), 13 p íklad s výb rem z devíti odpov dí (A/B/C/D/E/F/G/H/I), 1 p íklad s ²esti úlohami s k íºovým p i azováním odpov dí, 3 p íklady se ty mi úlohami s k íºovým p i azováním odpov dí. 7

2.3 Algebraické rovnice Teoretický stru ný p ehled u iva je p ístupný on-line ze systému. Je vytvo eno 10 u ebních text s e²enými p íklady k témat m: - algebraické rovnice - lineární rovnice - lineární nerovnice - soustavy lineárních rovnic - soustavy lineárních nerovnic - rovnice s absolutní hodnotou - nerovnice s absolutní hodnotou - kvadratická rovnice - kvadratická nerovnice - racionální nerovnice Vloºeno 38 p íklad s výsledky a návody k e²ení. Vloºeno 7 p íklad, z toho 1 s výb rem z p ti odpov dí (A/B/C/D/E), 1 s výb rem ze ty odpov dí (A/B/C/D), 1 p íklad s výb rem ze dvou odpov dí (A/B) a 5 p íklad otev ených. 8

2.4 Planimetrie 1 - po etní úlohy v planimetrii Teoretický stru ný p ehled u iva je p ístupný on-line ze systému. Doposud vytvo eny 3 stru né prezentace s p ehledem u iva k témat m: - Pythagorova v ta - goniometrie pravoúhlého trojúhelníka - Eukleidovy v ty Plánuje se vytvo ení dal²ích text k témat m: - obvody a obsahy zákadních útvar - kruh, kruºnice a její ásti - obvody a obsahy n-úhelník 9

2.5 Planimetrie 2 - shodnosti, podobnosti, mno- ºiny bod, konstruk ní úlohy Vytvo eny 3 prezentace s p ehledem u iva, 3 pracovní listy a 28 vzorových p íklad v SW GeoGebra ( k témat m: - shodná zobrazení v rovin - st edový a obvodový úhel - mnoºiny bod dané vlastnosti - konstruk ní úlohy - rozd leno do podkapitol - základní konstrukce, mnoºiny bod, konstrukce trojúhelník, lichob ºník - podobnost - stejnolehlost Vloºen p íklad s výsledkem a návodem k e²ení. Vloºen vstupní test s 10ti uzav enými p íklady s výb rem z n kolika odpov dí (A/B/C/D/E), pro získání bodu musí být vybrány v²echny správné odpov di. Vloºeno 43 p íklad s výb rem z mnoha odpov dí. 10

2.6 Algebraické funkce Vytvo eny 4 prezentace s p ehledem u iva a vzorovými p íklady pro samostudium, 4 p ípravy pro interaktivní tabuli pro práci ve vyu ovací hodin, 2 pracovní listy se vzorovým e²ením: - kartézský sou in - ur ení a denice funkce - deni ní obor a obor hodnot - vlastnosti funkce (monotónie, extrémy, prostá funkce, periodicita, parita, omezenost) - funkce lineární - funkce kvadratická - funkce lineárn lomená - funkce mocninná Vloºen vstupní test s 10ti uzav enými p íklady s výb rem z n kolika odpov dí, p íklady jsou za 1 bod nebo za 2 body. Dále je vytvo ena rozsáhlá databáze p íklad s výb rem odpov dí - tém 150 úloh za 1 bod, p es 100 úloh za 2 body a 23 úloh za 4 body. 11

2.7 Nealgebraické funkce a rovnice Vytvo eny 4 prezentace s p ehledem u iva a vzorovými p íklady, 3 soubory p ipravené SW GeoGebra - umoº ují dynamicky m nit parametry a interaktivn modelovat pr b hy funkcí, 2 pracovní listy a jejich e²ení. Osnova: - exponenciální funkce - exponenciální rovnice - inverzní funkce - logaritmická funkce - po ítání s logaritmy - logaritmické rovnice Vloºeny 2 p íklady s výsledky - pouze inverze k lineární funkci a k mocninné funkci. Vloºen vstupní test s 10ti p íklady, áste n s výb rem z nabídnutých odpov dí, áste n s uvedením výsledku. Vloºeno 32 nebodovaných p íklad s výb rem odpov dí, 10 za 1 bod, 10 za 2 body a 5 za 3 body. 12

2.8 Goniometrie Vytvo eno 13 prezentací s p ehledem u iva a vzorovými p íklady pro samostudium, 14 p íprav pro interaktivní tabuli pro práci ve vyu ovací hodin, 7 pracovních list a k nim 7 list se vzorovými e²eními. Materiály jsou interaktivní a pokrývají prezentované téma. Materiály jsou p ipraveny podle osnovy: - úvod (úhel a jeho velikost) - goniometrické funkce - goniometrické rovnice - goniometrické vzorce a výrazy - grafy goniometrických funkcí Vloºen vstupní test s 10ti p íklady s výb rem z nabídnutých odpov dí, p íklady rozli²eny podle obtíºnosti - za 1 a 2 body. Dále je vytvo ena rozsáhlá databáze p íklad s výb rem odpov dí - 60 úloh za 1 bod, 90 úloh za 2 body a 32 úloh za 3 body. 13

2.9 Trigoniometrie Teoretický stru ný p ehled u iva je p ístupný on-line ze systému. Jsou vytvo eny 3 u ební texty s e²enými p íklady k témat m: - kosinová v ta - sinová v ta - slovní úlohy Vloºeno 23 p íklad s e²eními. Vloºeno 20 p íklad s výb rem ze t í odpov dí (A/B/C). 14

2.10 Stereometrie Teoretický stru ný p ehled u iva je z ásti p ístupný on-line ze systému, k ásti metrické úlohy a objemy a povrchy t les jsou navíc vytvo eny prezentace s etnými názornými obrázky. Krom úvod ke kapitolám (nap. vzorce, obrázek t lesa...) zobrazeným p ímo ze systému jsou vytvo eny 3 interaktivní on-line p ístupné u ební texty s e²enými p íklady, 8 prezentací, 2 pracovní listy a 2 jejich e²ení k témat m: - základní polohové vlastnosti - dv p ímky, p ímka a rovina, dv a t i r zné roviny - metrické úlohy - vzdálenosti a odchylky - povrchy a objemy t les - rozd leno do kapitol hranol, válec, jehlan, kuºel, komolý jehlan, komolý kuºel - pravidelné mnohost ny Do ásti jsou dále za azeny e²ené p íklady na ezy t les - 5 ez jehlanu, 4 ezy krychle. ezy jsou sestrojeny v SW GeoGebra, e²ení je krokováno a je velmi názorné. Vloºeno více neº 30 p íklad s obrázky, výsledky a návody k e²ení. Vloºen vstupní test se 14ti uzav enými p íklady s výb rem z n kolika odpov dí. Vloºeno 64 p íklad s výb rem z více odpov dí. Tato sekce obsahuje také úlohy pro p ípravu na ƒvut. 15

2.11 Pravd podobnost Doporu ení 16

2.12 Finan ní matematika 17

2.13 Analytická geometrie lineárních útvar Teoretický stru ný p ehled u iva s e²enými p íklady je z ásti p ístupný on-line ze systému. Je vytvo eno 9 p ehled podle osnovy: - p ímka - ásti Obecná rovnice p ímky, Odchylka p ímek, kolmost p ímek, Parametrické rovnice p ímek, Sm rnicový tvar rovnice p ímky, Vzájemná poloha dvou p ímek - vektory - ásti Operace s vektory, Skalární sou in vektor, úhel vektor, kolmé vektory, Sou adnice bodu, velikost úse ky, st ed úse ky, Vektor, velikost vektoru Vloºeno 52 p íklad, s návody k e²ení, výsledky, odpov mi. Vloºeno 12 p íklad s výb rem odpov dí. 18

2.14 Analytická geometrie kuºelose ek Téma je za azeno jako samostatná kapitola do sekce Analytická geometrie lineárních útvar. Jsou vytvo eny p ehledy s vysv tlením pojm a mnoºstvím e²ených p íklad v etn grackých znázorn ní. y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - kruºnice - elipsa - parabola - hyperbola - hyperbola s asymptotami na osách, x,y - p ímka a kruºnice - p ímka a kuºelose ka Vloºeno 71 p íklad s výsledky a návody k e²ení. Vloºeno 29 p íklad s výb rem odpov dí. 19

2.15 Komplexní ísla Jsou vytvá eny p ehledy s vysv tlením pojm a e²enými p íklady (vytvo eny 4 p ehledy). y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - úvod - algebraický tvar komplexních ísel - goniometrický tvar komplexních ísel - e²ení kvadratických rovnic v C - po ítání s komplexními ísly v algebraickém tvaru 20

2.16 Opakování u iva Z Jsou vytvá eny p ehledy s vysv tlením pojm a e²enými p íklady (vytvo eno zatím 5 p ehled ). y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - íselné obory - zaokrouhlování, pom r, úm ra, m ítko - procenta - slovní úlohy - goniometrické funkce ostrého úhlu Jsou vytvo eny testové otázky, 2 v sekci íselné obory, 2 v sekci nejmen²í spole ný násobek, nejv t²í spole ný d litel, 9 p íklad na procenta. 21

2.17 Kombinatorika Jsou vytvá eny p ehledy s vysv tlením pojm a e²enými p íklady (vytvo eny zatím 3 p ehledy). y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo- enou osnovu: - faktoriál ísla - základní kombinatorická pravidla - skupiny prvk Vloºeno 10 p íklad s výsledky a návody k e²ení. P íklady jsou zatím vytvo- eny jen k ásti Faktoriál ísla a k ásti Základní kombinatorická pravidla. Doposud jsou vloºeny jen p íklady ke kapitole Faktoriál ísla, 9 p íklad s výb rem z v t²ího po tu odpov dí, 17 p íklad bez volby odpov dí. 22

2.18 Statistika Je vytvo eno 6 p ehled s vysv tlením pojm a n kolika vzorovými p íklady. y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - statistika - v da - statistické pojmy - rozd lení etností - gracké znázorn ní - charakteristiky variability Je vloºeno tém 80 p íklad s výsledky, z toho 5 p íklad za 1 bod, 40 p íklad za 2 body, 17 p íklad za 3 body, 15 p íklad nebodovaných. Ke kapitole Statistické pojmy vloºeno 15 p íklad s výb rem odpov dí. 23

2.19 Posloupnosti a ady Je vytvo eno 8 p ehled s vysv tlením pojm a n kolika vzorovými p íklady. y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - aritmetická posloupnost a její vlastnosti - denice posloupnosti - geometrická posloupnost a její vlastnosti - n které vlastnosti posloupností - ady - uºití aritmetických posloupností - uºití geometrických posloupností - zp soby zadání posloupnosti Vytvo eno tém 150 p íklad s výb rem odpov dí. 24

2.20 Analytická geometrie v prostoru y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují osnovu: - rovnice p ímky v prostoru - vzájemná poloha dvou p ímek v prostoru - odchylka dvou p ímek v prostoru - parametrická rovnice roviny - obecná rovnice roviny - zvlá²tní p ípady obecné rovnice roviny - vzájemná poloha p ímky a roviny - vzájemná poloha dvou rovin - vzdálenost bodu od roviny - vzdálenost dvou rovnob ºných rovin - vzdálenost p ímky od roviny s ní rovnob ºné - vzdálenost bodu od p ímky v prostoru - vzdálenost dvou rovnob ºných p ímek v prostoru - odchylka dvou rovin - odchylka p ímky od roviny je doprovázen mnoºstvím e²ených p íklad vysv tlujících výklad. Je vloºeno 25 p íklad s e²ením. Je vloºeno 22 p íklad za 1 bod, 21 p íklad za 2 body, 31 p íklad za 3 body. P íklady jsou v t²inou zadány s výb rem ze ty odpov dí (A/B/C/D). 25

2.21 Diferenciální a integrální po et - roz²i ující modul Jsou vytvo eny 3 rozsáhlé p ehledy s vysv tlením pojm a vzorovými p íklady. y se zobrazují p ímo ze systému a kopírují vytvo enou osnovu: - derivace - integrály - limita a spojitost funkce Je vloºeno 72 p íklad s e²ením. Je vloºeno velké mnoºství p íklad s výsledky, s výb rem ze ty odpov dí (A/B/C/D), 92 p íklad za 1 bod, 181 p íklad za 2 body, 36 p íklad za 3 body. 26

2.22 Slovní úlohy z celého u iva, úlohy z praxe Modul zatím obsahuje 19 slovních úloh z témat: - Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníka - Obvody a obsahy rovinných útvar - Pom r - Procenta - Kombinatorika - Úlohy o spole né práci - Úm ra Úlohy jsou vloºeny v sekci a obsahují postupy e²ení s výsledky. 27