Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami Iracionální rovnice a rovnice s absol

Transkript

1 Přípravné úlohy k maturitě z matematiky RNDr Miroslav Hruška Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

2 Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami Iracionální rovnice a rovnice s absolutními hodnotami Lineární rovnice a nerovnice, jejich soustavy a rovnice s parametrem 4 Kvadratická rovnice a nerovnice, rovnice s parametrem 4 Planimetrie (, středový a obvodový úhel, Pythagorova a Euklidovy věty, ) 4 Konstrukční úlohy v rovině 5 Shodná a podobná zobrazení v rovině 5 Funkce lineární a lineární lomená i s absolutními hodnotami 5 Funkce kvadratická i s absolutní hodnotou 5 Exponenciální funkce a rovnice 6 Logaritmická funkce a rovnice 6 Goniometrické funkce a rovnice 6 Trigonometrie (sinová a kosinová věta) 6 Stereometrie (polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru) 7 Objemy a povrchy těles7 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel 7 Analytické vyjádření útvarů v rovině (polohové i metrické vlastnosti) 8 Analytické vyjádření útvarů v prostoru (polohové i metrické vlastnosti) 8 Analytické vyjádření kuželoseček a kulové plochy 8 Kuželosečka a přímka v analytické geometrii 9 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 9 Binomická věta Výrazy a rovnice s faktoriálem a kombinačními čísly 9 Posloupnosti, vlastnosti, užití, limita 10 Řady a jejich užití 10 Limita funkce, derivace funkce 11 Primitivní funkce, určitý integrál 11 Užití diferenciálního počtu 11 Užití integrálního počtu 1 Komplexní čísla 1 Vektory a operace s nimi 1 Poznámky 1 Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

3 Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi 1 Určete a) ( 1; 0 ( ; 5, b) ( 1; 0 ( ; 5 Určete pravdivostní hodnotu implikace: n N: 9 n n K uvedené implikaci napište implikaci obrácenou a obměněnou Vysvětlete, kdy se používá a jak se provádí přímý důkaz, nepřímý důkaz a důkaz sporem 4 Negujte: a) Žádný žák ve třídě nenosí brýle b) Číslo 195 je dělitelné 5 a současně je dělitelné 9 c) Nejvýše dvě prvočísla jsou sudá 5 Dokažte matematickou indukcí následující tvrzení: n N: n = ( n + n)/ Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami 1 Načrtněte grafy mocninných funkcí y = 1 x, y = x, y = x, y = 0 x, y = 1 x, y = 1 x, y = x Zjednodušte: a a 5 a a 1 Vypočtěte: Sestrojte graf funkce: y = x + + Určete její definiční obor a obor hodnot Načrtněte graf funkce inverzní k dané funkci a poté napište její rovnici Iracionální rovnice a rovnice s absolutními hodnotami 1 Vysvětlete, které úpravy rovnic jsou neekvivalentní Řešte v R: x + 1 = 5 x + 1 Řešte v R: x = 1 x + x Ukažte několik způsobů řešení nerovnice x : a) úpravami, b) úvahou, c) graficky Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

4 Lineární rovnice a nerovnice, jejich soustavy a rovnice s parametrem 1 1 Řešte v R: < x Škodovka dojela za 60 minut trabanta, který měl náskok 40 km Pokud by rychlost škodovky byla bývala o 5 % vyšší, dohnala by trabanta za 40 minut Jakou rychlostí jel trabant? Graficky znázorněte v rovině množinu všech řešení dané soustavy: x y, x + y > x 4 Řešte v R (p je parametr): + = px p Kvadratická rovnice a nerovnice, rovnice s parametrem 1 Vypočítejte odvěsny pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 15 cm, jestliže se délky odvěsen liší o cm Jak lze přepsat kvadratickou rovnici x? x 1, ax + bx + c = 0 pomocí kořenů V rovnici x + bx + c = 0 určete koeficienty b, c tak, aby měla kořeny a Řešte rovnici v R s parametrem p: x + px + x + 4p 4 = 0 Planimetrie (, středový a obvodový úhel, Pythagorova a Euklidovy věty, ) 1 Načrtněte pravoúhlý trojúhelník a vysvětlete na něm, co říkají Euklidovy věty Je dána úsečka S využitím některé z Euklidových vět sestrojte její 6 -násobek V pravidelném desetiúhelníku ABCDEFGHIJ vypočítejte velikost úhlu ADH 4 V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a vypočítejte velikost výšky Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

5 Konstrukční úlohy v rovině 1 Vysvětlete pojem Thaletova kružnice Je dána kružnice k(s; cm) a bod A, AS = 5 cm Bodem A veďte všechny přímky, které mají s kružnicí jeden společný bod Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 6 cm, v c = cm, t c = 4 cm 4 Je dána úsečka BC o délce 5 cm Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je v c = 4 cm a α = 45 Shodná a podobná zobrazení v rovině 1 Načrtněte plánek, na kterém bude rovný úsek řeky r a na stejném břehu stan S a ohniště O Vysvětlete, jak najdete nejkratší cestu od stanu k řece a k ohništi Jsou dány dvě přímky a, c a mimo ně bod B Sestrojte všechny čtverce ABCD tak, aby A a, C c Popište stejnolehlost kružnic 4 Jsou dány dvě různoběžky p, q a mimo ně bod A Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala přímek p, q a procházela bodem A Funkce lineární a lineární lomená i s absolutními hodnotami 1 Popište, co vyjadřují parametry a, b lineární funkce y = ax + b Určete předpis lineární funkce f, jejíž graf prochází body [; 4], [ 1; 5] Vypočtěte f(7) Načrtněte graf funkce f: y = x 4 x + x 4 Co je grafem funkce asymptot x + 7 g: y =? Načrtněte jej Určete rovnice x Funkce kvadratická i s absolutní hodnotou 1 Kdy je funkce y = ax + bx + c c? kvadratická? Co vyjadřují parametry a, Načrtněte graf funkce f : y = x + x + 4 Jak lze získat x-ovou souřadnici vrcholu pomocí diferenciálního počtu? Pomocí grafu funkce f načrtněte grafy funkcí g : y = x + x + 4 a h : y = x + x + 4 Napište předpis kvadratické funkce f, víte-li, že f( 1) = 16, f(0) = 7, f(1) = 8 Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

6 Exponenciální funkce a rovnice 1 Načrtněte grafy exponenciální funkce hodnot základu a Popište vlastnosti Načrtněte graf funkce f: y x = x y = a pro několik přípustných Graficky porovnejte 0, a 0, x x Řešte v R: 0,5 0,04 = 0 x 65 x x + 5 Řešte v R: + = 5 Logaritmická funkce a rovnice 1 Vypočtěte: a) log 0, 5, b) log 1, c) log, 5 0, 15 0 Uveďte podmínky pro základ logaritmické funkce a její definiční obor Určete definiční obor funkce f : y = log( x) 4 Načrtněte graf funkce a) g: y = log 0, 5 x, b) h: y = log x x 5 Řešte v R: 01, x log x x = Goniometrické funkce a rovnice 1 Definujte funkci y = tg x na množině R Určete její definiční obor Načrtněte graf Na jednotkové kružnici ukažte, jak lze graficky získat hodnotu tg x Načrtněte graf funkce y = f : tg ( x π ) Určete hodnotu cosα, víte-li, že sinα = 0,6 a α II kvadrantu 4 Řešte v R: 1 + cos x cos x = 0 Trigonometrie (sinová a kosinová věta) 1 Formulujte sinovou a kosinovou větu Síly o velikostech 0 N a 50 N svírají úhel 40 Jak velká je jejich výslednice? Z určité vzdálenosti je komín vidět pod výškovým úhlem 44 Při vodorovném přiblížení o 10 metrů je vidět pod úhlem 59? Jak je vysoký? 4 Co vznikne z kosinové věty při úhlu 90? Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

7 Stereometrie (polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru) 1 Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou PQR, kde P je střed hrany BC, Q GH: QG = 1 GH, R AE: RE = RA V krychli ABCDEFGH vypočtěte odchylku přímky AH od roviny DBF Popište, jak v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou a = 4 cm a boční hranou b = 6 cm určíte vzdálenost bodu M (M = 1 AB) od přímky CV Objemy a povrchy těles 1 Běhoun je 1 m široký a 5 mm tlustý Jak je zhruba dlouhý, když po svinutí tvoří válec o průměru 50 cm? Jaký objem a povrch má pravidelný čtyřboký jehlan s podstavnou hranou a = 6 cm a boční hranou b = 8 cm? stejně velké kuličky rtuti splynou v jednu O kolik procent bude mít vzniklá kulička menší povrch oproti součtu povrchů původních kuliček? 4 Jakou vlastnost mají rotační tělesa? Jak lze určit jejich objem pomocí určitého integrálu? Řešení rovnic v oboru komplexních čísel 1 Řešte v oboru komplexních čísel (z + i)(z i) = z(z i) Řešte v oboru komplexních čísel z + z = 5 + i Řešte v oboru komplexních čísel x + (i )x +,5i = 0 4 Řešte v oboru komplexních čísel x + i = 0 5 Řešte v oboru komplexních čísel (7 + i)x 5ix 1 = 0 Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

8 Analytické vyjádření útvarů v rovině (polohové i metrické vlastnosti) 1 Určete vzájemnou polohu přímky p = AB, kde A[1; ], B[; 5], a přímky q: x = 1 + t, y = + 8t; t R Napište parametrické vyjádření a obecnou rovnici přímky AB, A[1; ], B[; 5] Pak určete vzdálenost bodu C[; 0] od přímky AB Vypočtěte odchylku přímek p, q: p: x = 1 + t, q: x = + s, y = + 8t; t R y = s; s R 4 Bodem D[ ; ] veďte k přímce x y + = 0 a) kolmici, b) rovnoběžku Analytické vyjádření útvarů v prostoru (polohové i metrické vlastnosti) 1 Kolik a) přímek, b) rovin lze vést daným bodem kolmo k dané přímce či k dané rovině? Bodem B[1; ; ] veďte přímku kolmo k rovině x y z + 1 = 0 Urči vzdálenost bodu M[4; 1; ] od přímky AB; A[1; ; ], B[1; 4; 5] 4 Jak se určuje vzájemná poloha a jak se počítá odchylka rovin? Analytické vyjádření kuželoseček a kulové plochy Varianta A 1 Definujte hyperbolu Načrtněte elipsu ohnisek x + 9y 4x + 90y + 0 = 0 Určete souřadnice Napište rovnici hyperboly s ohnisky E[; 1], F[; ] a s vrcholem A[; 0] Varianta B 1 Definujte parabolu Napište rovnici kulové plochy se středem S[; ; 0] procházející bodem B[; 4; ] Určete polohu bodu M[0; ] vzhledem ke kružnici x + y + 6x y 6 = 0 Kružnici načrtněte 4 Načrtněte parabolu s vrcholem V[; 1] a ohniskem F[0; 1] a napište její rovnici Jak by se určila rovnice řídicí přímky? Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

9 Kuželosečka a přímka v analytické geometrii 1 Popište možné vzájemné polohy přímky a jednotlivých kuželoseček Určete vzájemnou polohu kružnice x y = 0 x + y = 45 a přímky K hyperbole x 4y + 8y 16 = 0 veďte bodem [; ] tečny 4 Popište, jak by se určily rovnice tečen se směrnicí k = 1 ke kuželosečce x + 9y = 45 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 1 a) Vysvětlete pojmy variace, permutace a kombinace b) Kolik zápasů bude hrát 10 mužstev na turnaji se systémem každý s každým? c) Kolik různých slov lze vytvořit přemisťováním písmen slova MATEMATIKA? V ruletě mohou být vytočena čísla 0 až 6 Jaká je pravděpodobnost jevu mezi 10 po sobě vytočenými čísly jsou aspoň stejná? Z hodnot, 4, 5, 5, 6 určete aritmetický průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient Vysvětlete pojmy modus a medián Binomická věta Výrazy a rovnice s faktoriálem a kombinačními čísly 1 Upravte n! n ( n + 1)! Řešte rovnici x x + x + = + 5 x 1 Formulujte binomickou větu 4 Pomocí binomické věty umocněte ( 1) 5 a upravte 10 5 Přibližně vyčíslete 1,04 sečtěte první členy vhodného binomického rozvoje Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

10 Posloupnosti, vlastnosti, užití, limita 1 Najděte vzorec pro n-tý člen, rekurentní určení a limitu posloupnosti: a), 1, 1, 9 1, b) 5, 5, 5, 5, 5, V aritmetické posloupnosti je dáno a = 5, a = 11 5, určete a 10 První člen aritmetické posloupnosti je 7, n-tý člen je 1 a součet prvních n členů je 10 Určete diferenci 4 V geometrické posloupnosti s kvocientem je druhý člen 5 Kolikátý člen je 645? Řady a jejich užití 1 Vysvětlete, kdy je nekonečná řada konvergentní Určete součet řady, pokud je konvergentní: a) n n= 1, b) n= 1 ( ) n Do kružnice poloměru 1 je vepsán čtverec, do něj kružnice atd Určete součet obvodů všech kružnic 4 Řešte v R: 4 5 a) x x + x x + =, x x x b) = 1 Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

11 Limita funkce, derivace funkce 1 Vysvětlete pojem limita funkce v bodě a, dále jak souvisí s pojmem funkce spojitá v bodě a Určete limity (pokud existují): 9 x cos x 1 a) lim x x, b) lim, + 4x 6 x 0 x x + x + c) lim, d) lim x 1 x 1 x 1 x x x + Zjistěte, zda graf funkce y = x se směrnicí 4 Derivujte funkce : a) y = cos x ln x + x x + e, b) má alespoň jednu asymptotu x + 4 y =, x + 1 c) y = tg (e x x ), d) y = 1 Primitivní funkce, určitý integrál 1 Určete funkci primitivní k funkci ( x) a) y = x +, b) y = e x x, c) y = x cos x x x Popište, jak se určí určitý integrál funkce f v mezích od a do b Vypočítejte 1 a) x e x dx, b) 4 x x dx 1 0 Užití diferenciálního počtu 1 Napište rovnici tečny (normály) ke grafu funkce y = [ ;?] 5 x Najděte lokální extrémy a intervaly monotónnosti funkce x + x + 1 y = x 1 v bodě Objem válcové nádrže (bez horní podstavy) má určitou danou hodnotu (např 140 dm ) Při jakých rozměrech bude povrch nádrže minimální? Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

12 Užití integrálního počtu 1 Určete obsah obrazce ohraničeného křivkami y = x 1 a y = Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného přímkami y = x, y = 1,5 0,5x a osou x Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet objemu a) koule o poloměru r, b) kužele o poloměru podstavy r a výšce v 1 x Komplexní čísla 1 Určete podíl ( + 4i) : ( 5i) (1 + i) : ( i) + 1 i vyjádřete v algebraickém tvaru, znázorněte v Gaussově rovině, určete absolutní hodnotu a vyjádřete v goniometrickém tvaru Vyjádřete v goniometrickém tvaru a) 5i 55, b) i 4 Vypočtěte (1 i) 100 pomocí Moivreovy věty 5 V Gaussově rovině znázorněte všechna z C, pro která 1+ z < Vektory a operace s nimi 1 Definujte skalární a vektorový součin vektorů Určete velikost vektoru u = (; 4) a najděte vektor, který je k němu kolmý Určete vektorový součin vektorů u = (1; ; ) a v = (; 5; ) 4 Jsou dány vrcholy trojúhelníka KLM: K[1; ], L[; ], M[ ; 1] a) Určete velikost úhlu MKL b) Určete obsah trojúhelníka c) Určete délku těžnice ke straně m Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009

13 Poznámky Přípravné úlohy mohou být použity pro opakování v hodinách matematiky, cvičení z matematiky nebo semináře z matematiky stejně jako při domácí přípravě Mohou být zadávány v průběhu celého studia k opakování tematických celků Každá sada svým rozsahem odpovídá zadání jedné maturitní otázky Při simulaci maturitní zkoušky by tedy měl student mít 15 minut na přípravu a pak během dalších 15 minut předvést řešení Přitom se očekává, že zkoušející povede zkoušení tak, aby zkoušený dostal prostor pro vysvětlení postupů řešení všech úloh v sadě! K další úloze lze přejít, přestože nebyla zcela vyřešena, když zkoušený dostatečně popíše, jak by dál pokračoval Sada nepokrývá všechny typové úlohy daného tématu! Dokument má dvě varianty První má vždy jednu sadu na stránce a hodí se k promítání dataprojektorem nebo k tisku zadání pro test, druhá má několik sad na stránce a hodí se např pro individuální přípravu Materiál slouží pouze pro potřeby profesorů Gymnázia, Brno, Vídeňská 47 a jejich studentů Dokument ani žádná jeho část nesmí být dále publikován, šířen, ani upravován bez písemného svolení autora Návrhy a připomínky prosím posílejte na mh1@centrumcz Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009