ST1 - Úkol 1 P íklad 1 Myslivecký spolek po ádá sv j tradi ní ples. Mimo jiné bylo nakoupeno lahvové víno podle rozpisu v Tabulce 1.1. P edpokládá se (podle historických zku²eností), ºe v²echny láhve budou prodány. Prodejní cena jedné láhve bude pro v²echny druhy stejná. V jaké má být vý²i, aby byl zisk z prodeje vína minimáln 25%? Tabulka 1.1 Odr da Nakoupeno lahví (ks) Nákupní cena (K /ks) Merlot 25 62 Frankovka 30 58 Tramín 18 60 Pálava 15 56 Chardonnay 21 59 [Minimáln 74 K /láhev] P íklad 2 Soukromý autodopravce m il spot ebu nafty vozidel ve ty ech pobo kách své rmy. V kaºdé pobo ce byla zji²t na pr m rná spot eba v²ech vozidel a její rozptyl. Spo ítejte celkovou pr m rnou spot ebu X a celkový rozptyl spot eby S 2 X. Pot ebné údaje jsou v Tabulce 1.2. Tabulka 1.2 Pobo ka Pr m rná spot eba (l/100km) Rozptyl spot eby (l/100km) 2 Po et vozidel P1 35 10,2 8 P2 31 8,8 12 P3 34 9,0 6 P4 30 9,1 4 [X= 32,52 l/100km, S 2 X = 13,1 (l/100km)2 ] P íklad 3 Klient si zaloºil v bance termínovaný vklad s úrokovou sazbou 2,2% p.a. Po uplynutí jednoho roku byla sazba zm n na na 1,5% p.a. Po uplynutí druhého roku banka vyhlásila sazbu 2,0% p.a. Jaké bylo pr m rné ro ní úro ení tohoto vkladu? Nab hlé úroky se po roce vºdy p ipisují k jistin a tento nový z statek je dále úro en aktuální sazbou, úroky se nedaní. [X G. = 1,90032% p.a.] 1
ST1 - Úkol 2 P íklad 1 V Tabulce 2.1 jsou známky z písemné práce z matematiky. Kdo má vy²²í relativní variabilitu známek? Dívky, nebo chlapci? Tabulka 2.1 Skupina Známky S X X V X Chlapci 3 2 4 4 3 4 4 4 1 3 0,98 3,2 0,306 Dívky 4 4 2 2 2 4 1 4 3 2 1,08 2,8 0,385 [V t²í relativní variabilitu známek mají dívky.] P íklad 2 V jistém dom byl provedem pr zkum, jakou zna ku auta mají jeho obyvatelé - viz Tabulka 2.2. Jaká je variabilita zna ky auta? Spo ítejte v²echny charakteristiky variability nominální prom nné, které znáte. Tabulka 2.2 Zna ka Audi Fiat Ford Kia Opel koda bez auta Po et 3 1 2 2 3 5 3 [Mutabilita = 0,87; NomVar = 0,83; DorVar = 2,29; NormDorVar = 0,76.] P íklad 3 Spo ítejte mutabilitu a nominální varianci prom nné MHD, která je na listu ListC 1. [Mutabilita = 0,72; NomVar = 0,709.] P íklad 4 List_E. Spo ítejte ²ikmost a ²pi atost v ku fotbalist - prom nné F_Fotbal a F_Vek na listu [α(x) = 0,872; β(x) = -0,436.] 1 Dále se takto budeme odkazovat na prom nné v souborech programu Statgraphics, které jsou ve ejn p ístupné na webu http://eduro.webzdarma.cz/sta1.html v sekci DATA KE CVIƒENÍM. nebo na adrese http://multiedu.tul.cz/~jiri.rozkovec v adresá i p íslu²ného p edm tu (ST1, ST1_P, STA, STA1). 2
ST1 - Úkol 3 - Pravd podobnost P íklad 1 Jaká je pravd podobnost, ºe v kladném trojciferném ísle ABC pro cifry A, B, C platí, ºe A = B < C? [P = 36 900 = 0,04] P íklad 2 V krabi ce je 6 modrých a 9 ervených kuli ek. Náhodn vytáhneme bez vracení 5 kuli ek. Kolik je moºností, ºe 3 z nich jsou modré a 2 ervené? A jaká je pravd podobnost tohoto jevu? [720 moºností, P = 0, 239760] P íklad 3 Jaká je pravd podobnost, ºe sázející vyhraje první cenu v loterijní h e, kde se losuje 5 ísel ze 35? První cena znamená, ºe uhodne v²ech p t vylosovaných ísel. [P = 3, 08 10 6 ] P íklad 4 ƒtverci J o stran a opí²eme kruºnici k. Jaká je pravd podobnost, ºe náhodn vybraný bod kruhu ohrani eného kruºnicí k, není prvkem tverce J? Nápov da: zkuste pouºít geometrické pojetí pravd podobnosti. [P = 1 2 π = 0, 363] 3
ST1 - Úkol 4 - Pravd podobnost P íklad 1 Na st elnici jsou t i st elci A, B, C. Pravd podobnost, ºe st elec trefí ter, je postupn P (A) = 0, 92, P (B) = 0, 97, P (C) = 0, 90. Kaºdý st elec vypálí na ter jednu ránu. Jaká je pravd podobnost t chto jev : 1. ter zasáhl pouze st elec B, 2. v ter i není ani jeden zásah, 3. v ter i jsou alespo dva zásahy. [1. P (A C B C C ) = 0, 00776 2. P (A C B C C C ) = 0, 000024 3. P (Z 2) = 0, 98708.] P íklad 2 Pan Higgins cestoval se svým oblíbeným kufrem z Anglie do Austrálie. Nejprve let l se spole ností D z Londýna do Singapuru. Potom se spole ností E ze Singapuru do Darwinu a pak se spole ností F z Darwinu do Brisbane. Pravd podobnost, ºe doty ná letecká spole nost ztratí zavazadlo, je postupn P (D) = 0, 002, P (E) = 0, 010, P (F ) = 0, 008. Jaká je pravd podobnost, ºe se pan Higgins v Brisbane nesetkal se svým kufrem? [P = 0, 01988416] 4
5 P íklad 3 Jsou dány jevy A a B, u kterých je známo: P (A) = 1 3, P (B) = 1 4, P (A B) = 1 6. 1. Jsou jevy A a B nezávislé? Nejsou, protoºe P (A)P (B) P (A B). 2. Vypo t te: (a) P (A C ) = 2 3, (b) P (A B) = 5 12, (c) P (A C B C ) = 5 6, (d) P (A C B) = 1 12, (e) P (A C B) = 11 12. Nápov da: znázorn te jevy pomocí Vennových diagram jako podmnoºiny pravd podobnostního prostoru. P íklad 4 Z balí ku 32 mariá²ových karet (hraje se s nimi nap. hra Pr²í) náhodn vytáhneme 2 karty. Jaká je pravd podobnost, ºe druhá vytaºená karta je král, kdyº karty taháme 1. s vracením? 2. bez vracení? [1. P = 0, 125 2. P = 0, 125] Roz²í ení Úkolu 3. P íklad 5 V autosalónu nabízejí ur itý model auta celkem v 8 r zných barvách. Jaká je pravd podobnost, ºe si 5 zákazník, kte í si tento model objednají, vybere pro své auto kaºdý jinou barvu? [P (A) = 0, 205] P íklad 6 V regálu je 66 ºárovek, z toho 2 vadné. Zákazník si náhodn vybere 5 ºárovek. Jaká je pravd podobnost, ºe mezi nimi je nejvý² jedna vadná? [P (X 1) = 0, 995] P íklad 7 Rovnostrannému trojúhelníku T je vepsána kruºnice k ohrani ující kruh C. Jaká je pravd podobnost, ºe náhodn vybraný bod trojúhelníku T je i prvkem kruhu C? [ ( ). ] P (T C) = π/ 3 3 = 0, 605 P íklad 8* 2 Na kruºnici k je umíst n bod A. Jaká je pravd podobnost, ºe náhodn zvolená t tiva této kruºnice, která prochází bodem A, je del²í, neº strana rovnostranného trojúhelníka vepsaného této kruºnici? [Záleºí na mechanismu, který t tivu umis oval. Bu 1 2, nebo 1 3, nebo 1 4.] 2 Hv zdi kou budou zna eny p íklady zajímavé z teoretického hlediska nebo p íklady vy²²í obtíºnosti.
ST1 - Úkol 5 - Podmín ná pravd podobnost P íklad 1 Z 32 mariá²ových karet vytáhneme bez vracení 3 karty. Jaká je pravd podobnost, ºe t etí karta není svr²ek (neboli m ni ) za podmínky, ºe aspo jedna z prvních dvou vytaºených karet svr²ek je? [P (A B) = 0, 902] P íklad 2* Jsou-li jsou jevy A, B nezávislé, dokaºte, ºe dvojice jev (A, B ), (A, B), (A, B ) jsou také nezávislé, kdyº A zna í dopln k k jevu A atd. P íklad 3 Populace Kyp an se skládá ze 75% ek a 25% Turk. Víme, ºe 20% ek a 10% Turk mluví anglicky. Jaká je pravd podobnost, ºe náhodn vybraný Kyp an mluví anglicky? [P (A) = 0, 175] P íklad 4 Hrá náhodn vybere jednu z mincí A, B. Na minci A padne orel s pravd podobností 3 4, 1 na minci B padne orel s pravd podobností 3. Hrá hodí mincí dvakrát. Jaká je pravd podobnost, ºe orel padne dvakrát nebo ani jednou? [P = 0, 503] 6
ST1 - Úkol 6 - Diskrétní rozd lení P íklad 1 Je dána pravd podobnostní funkce P (X = x i ) diskrétní náhodné veli iny X. Vypo t te st ední hodnotu EX, rozptyl varx a modus X, t.j. ˆx. x i P (X = x i ) 2 0,1 8 0,3 3 0,4 0 0,2 [EX = 3,8; varx = 8,76; ˆx = 3] Dal²í p íklady jsou pouze roz²í ením Úkolu 5. P íklad 2 Podnik má 100 sou ástek od dodavatele D1, 200 sou ástek od dodavatele D2 a 50 sou ástek od dodavatele D3. Pravd podobnosti výskytu zmetku od jednotlivých dodavatel jsou postupn 0,01; 0,01; 0,03. Jaká je pravd podobnost, ºe náhodn vybraný výrobek je zmetek? Jaká je pravd podobnost, ºe vybraný zmetek je od dodavatele D3? [P (Z) = 1 3 ] P íklad 3* Sekretá ka jde do práce jednou ze t í cest A, B, C. Její výb r cesty nezávisí na po así. Pokud pr²í, pravd podobnost, ºe dorazí pozd n kterou z cest A, B nebo C, je postupn P (A) = 0, 06, P (B) = 0, 15, P (C) = 0, 12. Pokud nepr²í, odpovídající pravd podobnosti jsou P (A ) = 0, 05, P (B ) = 0, 10, P (C ) = 0, 125. 1. P edpokládejte, ºe za slunného dne dorazí sekretá ka pozd. Jaká je pravd podobnost, ºe si vybrala cestu C? P edpokládejte, ºe v p m ru je jeden den ze ty dn de²tivý. 2. P edpokládejte, ºe v jistý den sekretá ka dorazí pozd. Jaká je pravd podobnost, ºe je tento den de²tivý? [1. P = 0, 45 2. P = 0, 285714] 7