Matematická logika cvi ení 47

Transkript

1 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek LS 2012/13, P F OU, Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky (a jejich pravdivostní hodnoty): 1. Knihovna je otev ená. 2. Úst ední knihovna MKO byla ve 14 hodin otev ená. 3. x > ! > je malé p irozené íslo. 6. Judea je hornatá. 7. Zítra vypukne námo ní bitva. 8. Ve vzdálenosti 45 miliard sv telných let existuje obydlená planeta. 9. Pro kaºdý systém neprázdných mnoºin existuje mnoºina mající jednoprvkový pr nik s kaºdou z nich. 10. Existuje nekone n mnoho prvo íselných dvoj at. 11. Existuje mnoºina reálných ísel, kterou nelze bijektivn zobrazit na mnoºinu v²ech p irozených ísel ani na mnoºinu v²ech reálných ísel. 12. Sou asný francouzský král je holohlavý. 13. S ítání innitesimáln malých veli in je komutativní. Cvi ení 2. Formalizujte následující výroky pomocí základních výrokových spojek. Pozorujte p ípadnou nejednozna nost formalizace a vyjasn te jejich pravdivostní podmínky: 1. Není pravda, ºe Jan není nezam stnaný. 2. Není horko ani zima. 3. Není ani ervený ani velký. Není ervený a velký. 4. Nenastává p ípad, ºe tekutina v e nebo mrzne. 5. Nem ºe být ervený a velký. Nem ºe být ervený a nem ºe být velký. 6. Je ervený nebo velký. Je bu ervený, nebo velký. 1

2 7. Sedím nebo pí²u. Sedím, nebo pí²u. 8. Jestliºe = 5, jsem papeº. Cvi ení 3. Posu te adekvátnost formalizace následujících výrok pomocí p íslu²ných výrokových spojek: 1. Není vysoký. Je nevysoký. Není nevysoký. 2. Vstal a upadl. Upadl a vstal. 3. Jana a Petra jely spolu na kole. Dámy a pánové se p ed tancem spárovali. Jablka a hru²ky byly promíchány. 4. Za stovku dostanu krabi ku Marlborek a za stovku dostanu krabi ku Camelek. Za stovku dostanu krabi ku Marlborek a krabi ku Camelek. 5. Nezabil jsem ji a nezabil jsem ji a nezabil jsem ji! 6. Jestliºe nezabil Kennedyho Oswald, zabil ho n kdo jiný. Kdyby nezabil Kennedyho Oswald, zabil by ho n kdo jiný. 7. Kdyby klokani nem li ocas, p epadávali by dop edu. 8. Pokud klesá po et pirát, dochází ke globálnímu oteplování. 9. New York je v USA, práv kdyº Titan je m sícem Saturnu. 10. Jestliºe 43 není d litelné 7, pak 43 je prvo íslo. Jestliºe 42 je d litelné 7, pak 43 je prvo islo. ƒislo 43 je prvo íslo, práv kdyº není d litelné 7. Cvi ení 4. Doloºte, ºe výroková spojka A nutn A není extenzionální: tj. najd te p íklady výrok : 1. nutn pravdivých, 2. pravdivých, ale nikoli nutn (tzv. kontingentn pravdivých), 3. nutn nepravdivých a 4. nepravdivých, ale nikoli nutn. (Jak z jejich existence plyne neextenzionalita?) Cvi ení 5. Nech atomický výrok p je pravdivý, q nepravdivý a r pravdivý. Vypo t te pravdivostní hodnotu výrok : 1. (p q) (r p) 2. p p 3. ((p q) q) p Cvi ení 6. Vypo ítejte pravdivostní tabulky formulí: 1. (p q) ( q r) 2. p p 3. (p q) (q p) Cvi ení 7. Porovnejte pravdivostní tabulky sloºených výrok (p q) r a p (q r), odpovídající dvojzna nému výroku p a q nebo r. Najd te matematický, p írodov decký nebo právní výrok, kde tato dvojzna nost hraje roli. Vymyslete jiné dvojzna nosti dané nevyzna ením závorek v p irozené e i a jejich (pokud moºno fatální) následky. 2

3 Cvi ení 8. Ov te, zda jsou výroky ve dvojici logicky ekvivalentní: 1. Jestliºe 5 je liché íslo, pak 5 2 je liché íslo. Jestliºe 5 2 není liché íslo, pak 5 není liché íslo. 2. Jestliºe 5 je liché íslo, pak 5 2 je liché íslo. ƒíslo 5 2 je liché, práv kdyº íslo 5 je liché. Cvi ení 9. Ov te v²echny logické ekvivalence z p edná²ky, tj.: 1. A A A A A A A A 2. A B B A 3. A B B A 4. (A B) C A (B C) 5. (A B) C A (B C) 6. A (B C) (A B) (A C) 7. A (B C) (A B) (A C) 8. (A B) A B 9. (A B) A B 10. A B A B (A B) 11. A B ( A B) (A B) 12. A B ( A B) A B 13. A B (A B) (B A) (A B) ( A B) 14. A? B : C (A B) ( A C) 15. A NAND B (A B) 16. A A A A (A A) A A 17. A A Cvi ení 10. Dokaºte, ºe následující mnoºiny spojek jsou funk n úplné: 1. {, } 2. {, } 3. {NAND} 4. {NOR} Cvi ení 11. Dokaºte, ºe následující mnoºiny spojek nejsou funk n úplné: 1. {, } 2. { } 3

4 Cvi ení 12. Najd te disjunktivní normální formu následujících formulí (úplnou, pokud existuje): 1. (p q) 2. (p q) (r s) (t u) Cvi ení 13. Najd te konjunktivní normální formu následující formule (úplnou, pokud existuje): 1. (p q) Cvi ení 14. Sestavte obvod z NAND-hradel (tj. sou ástek s dv ma vstupy x, y a jedním výstupem z = F NAND (x, y)), který dává vstupu s hodnotami p, q, r výstup daný pravdivostní funkcí formulí: 1. p q, p q, p, p q, p q 2. Ud lejte totéº z NOR-hradel. (Vyuºijte výsledky cvi ení et ete hradla uvaºte, ºe výstup lze kopírovat.) Cvi ení 15. Sestavte z NAND-hradel obvod, který se te dv dvouciferná dvojková ísla. Cvi ení 16. Ov te tautologi nost tautologií z p edná²ky, tj.: 1. ((p q) p) p 2. A A 3. (A A) 4. A (A B) 5. (A A) B 6. A (B A) 7. (A B) (B A) Cvi ení 17. Rozhodn te tautologi nost následujících formulí. Uvaºte, která z metod rozhodování tautologi nosti probíraných na p edná²ce (pravdivostní tabulka, p evod na logicky ekvivalentní známou tautologii, zkrácené prohledávání pravdivostní tabulky i analytická tabla) je v daném p ípad nejrychlej²í. 1. (p q) (q r) 2. (p q) q 3. (p p) p 4. (p p) p 5. ((p q) q) p 6. (((p q) r) & ((q p) r)) r 4

5 7. ((p q) r) (p (q r)) 8. ((p q r) (s t)) ( p ( r q)) (s t) (t s) Cvi ení 18. Uvaºujme restrikci klasické výrokové logiky, kdy máme k dispozici jedinou výrokovou prom nnou. 1. Rozmyslete, jak bude vypadat její Lindenbaumova algebra. 2. Rozmyslete totéº pro dv výrokové prom nné. Cvi ení 19. Nech ϕ je formule (p q) ( r q) a ψ formule (s p) (s r). 1. Ov te ϕ = ψ. 2. Ov te tvrzení anglické Wikipedie (heslo Craig interpolation k ), ºe interpolantem ϕ = ψ je p r. 3. Najd te interpolant ϕ = ψ algoritmem z d kazu v ty o interpolaci. 5