Ergodické Markovské et zce

Transkript

1 1. b ezen 2013

2 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme regulárním, jestliºe P n pro n jaké n neobsahuje ºádné nulové prvky. Jednodu²eji e eno, pro n jaké n je moºné se dostat z jakéhokoliv stavu do jakéhokoliv stavu p esn po n krocích. Kaºdý regulární et zec je ergodický, ale ergodický et zec nemusí být nutn regulární.

3 P íklad 1.1: Nech matice p echodu Markovského et zce je denována následovn ( ) 0 1 P = 1 0 Obrázek: P echod mezi stavy Tento et zec je ergodický, ale není regulární.

4 P íklad 1.2: Mnohem zajímav j²í p íklad ergodického ale neregulárního et zce je Ehrenfest v urn model /4 0 3/4 0 0 P = 0 1/2 0 1/ /4 0 1/ Obrázek: Ehrenfest urn model Tento et zec je ergodický, ale není regulární.

5 Teorém 1.1 Necht matice P je matice p echodu regulárního et zce. Pak pro n se matice P n limitn blíºí k matici W, která má ve v²ech ádcích stejný vektor w. Tento vektor je striktn positivním pravd podobnostím vektorem (jeho sloºky jsou kladné a jejich sou et je roven jedné). D kaz: stejné jako ukázat, ºe P n konverguje k matici s konstantními sloupci j-tý sloupec P n je P n y, kde y je sloupcový vektor s 1 na j-té pozici a 0 jinde sta í ukázat, ºe pro jakýkoliv sloupcový vektor y, P n y konverguje ke konstantnímu vektoru Protoºe kaºdý sloupec matice P je pravd podobnostním vektorem, Py nám dá nový sloupcový vektor, jehoº sloºky si budou bliº²í neº v p vodním sloupcovém vektoru y.

6 1/2 1/4 1/4 1/3 1/3 1/3 1/2 1/ = 7/4 2 3/2 Ukáºeme, ºe ve sloupcovém vektoru P n y se bude rozdíl mezi nejv t²í a nejmen²í sloºkou blíºit k 0 pro n. ij-tá pozice v matici P n, p (n) ij, udává pravd podobnost, ºe se proces za ínající ve stavu s i bude po n krocích nacházet ve stavu s j. Teorém 1.1 nám íká, ºe pravd podobnost toho, ºe se v dlouhodob trvajícím procesu budeme nacházet ve stavu s j, je rovna w j a je tedy nezávislá na po áte ním stavu.

7 Teorém 1.2 Nech matice P je regulární maticí p echodu, pak W = lim n P n. Nech w je ádek matice W a c je sloupcový vektor, jehoº sloºky jsou rovny jedné. Pak (a) wp=w a ádkový vektor v, pro n jº platí vp=v, je násobkem vektoru w. (b) Pc=c a sloupcový vektor x, pro n jº platí Px=x, je násobkem vektoru c.

8 Denice 1.3 ádkový vektor w s vlastností wp = w se nazývá pevný ádkový vektor (také limitní vektor) matice P. Obdobn sloupcový vektor x takový, ºe Px = x, se nazývá pevný sloupcový vektor matice P. Teorém 1.2 nám ukázal, ºe jakýkoliv pevný ádkový vektor matice P je násobkem vektoru w a jakýkoliv pevný sloupcový vektor matice P je konstantním vektorem. Ukaºme si n kolik dal²ích metod, jak spo ítat pevný ádkový vektor w regulárního Markovského et zce.

9 P íklad 1.3: Díky Teorému 1.1 m ºeme nalézt limitní vektor w matice p echodu pro Land of Oz: ( w 1 w 2 w 3 ) 1/2 1/4 1/4 1/2 0 1/2 1/4 1/4 1/2 (1)... w je pravd podobnostní vektor (2)... wp = w e²ením této soustavy je w = ( ). w 1 + w 2 + w 3 = 1 (1) = ( w 1 w 2 w 3 ) (2)

10 P íklad 1.4: Jiný zp sob, jak vy e²it tento p íklad. Zvolme w 1 = 1, a pak vy e²m soustavu wp = w. (1/2) + (1/2)w 2 + (1/4)w 3 = 1 (1/4) + (1/4)w 3 = w 2 e²ením ( w 1 w 2 w 3 ) = ( 1 1/2 1 ). Vektor w pak získáme w = w 3 i=1 w i = ( w 1 w 2 w 3 ) = ( )

11 Teorém 1.3 Necht P je matice p echodu ergodického et zce. Necht A n je matice denována A n = I + P + P P n n + 1 Pak A n W, kde W je matice se stejnými ádky w. Vektor w je limitním vektorem matice P.

12 P íklad 1.5: V Land of Oz trvá rok 525 dní. Stav ƒetnost Relativní. R N S Stav ƒetnost Relativní. R N S Tabulka: ƒetnosti po 525 dnech (vlevo), po dnech (vpravo)

13 D kuji za pozornost.