Teorie zásob Kristýna Slabá 9. ledna 2009
Obsah 1 Úvod Teorie Klasifikace zásob 2 Modely zásob Teorie Klasifikace modelů zásob Model zásob s okamžitou dodávkou Příklad Model zásob s postupnou dodávkou Příklad Model zásob s opožděnou dodávkou Příklad
Teorie Definice & důležitost Teorie zásob je souhrn matematických metod používaných k modelování a optimalizaci procesu hromadění různých položek zásob k zabezpečení plynulého chodu podniku. V zásobách je vázáno okolo 15% - 20% celkových aktiv podniku. Dnešním trendem je snižování zásob.
Teorie Funkce zásob Vyrovnávací a technologická - zajišťuje plynulý výrobní proces - vyrovnává časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - výroba a doprava v ekonomicky optimálních dávkách - je odstraněno časové kolísání výroby a spotřeby - vyloučení nepředvídatelných výkyvů v poptávce a v dodávkách Spekulativní - umožňuje podniku dosáhnout jistého zisku
Klasifikace zásob Funkční členění zásob Obratová (běžná) zásoba kryje potřebu mezi dvěma dodávkami Pojistná zásoba pro případ náhodného výkyvu Zásoba pro předzásobení výrobek spotřebováván zejména v určité sezóně Strategická zásoba využita při nepředvídatelných událostech Spekulativní zásoba získání určitého profitu Technologická zásoba výrobky (víno, sýry), které je nutno ještě na jistou dobu uskladnit, než je lze dodat spotřebitelům
Klasifikace zásob Podle stavu zásob Maximální zásoba nejvyšší stav zásoby v okamžiku nové dodávky Minimální zásoba stav zásoby těsně před příchodem nové dodávky Průměrná zásoba představuje aritmetický průměr denních stavů skutečných zásob za určité časové období
Klasifikace zásob Kategorie položek Kategorie A položky tvoří 80 % hodnoty spotřeby nebo prodeje Kategorie B položky tvoří 15 % hodnoty spotřeby nebo prodeje Kategorie C položky tvoří 5 % hodnoty spotřeby nebo prodeje
Teorie Co řeší modely zásob??kdy objednat novou dodávku??jak VELKÁ by měla být objednávka Dva protipříklady Velmi vysoký stav zásob umožňuje plynulou výrobu a delší časový úsek mezi dodávkami velké mínus jsou vysoké náklady na skladování Velmi nízký stav zásob opačný příklad velmi vysokých zásob
Teorie Náklady a objednávky Náklady Pořizovací náklady zahrnují platby za přepravu, týkají se každého doplnění skladu a každé objednávky Náklady na skladování kryjí veškeré výdaje spojené se skladováním
Teorie Objednávky Rytmus objednávky časové období mezi pravidelně se opakujícími objednávkami Rytmus dodávky časové období mezi pravidelně se opakujícími dodávkami Bod znovuobjednávky vystavení objednávky pokud zásoby klesnou na předem určenou hodnotu Pořizovací lhůta dodávky období mezi objednávkou a dodávkou
Klasifikace modelů zásob Podle způsobu určení výše poptávky a délky pořizovací lhůty Deterministické poptávka a délka pořizovací lhůty jsou přesně dané Stochastické alespoň jedna veličina (poptávka nebo délka pořizovcí lhůty) je dána pravděpodobnostně Způsob doplňování zásob Statické modelují jedinou dodávku Dynamické modelují opakující se dodávkové cykly Stacionární znamenají stále stejnou spotřebu v jednotlivých cyklech. Nestacionární jsou opakem stacionárních, tzn. nemají stejnou spotřebu v jednotlivých cyklech
Veličiny & První model Veličiny používané v modelech D d Q R L N(Q) N p (Q) N s (Q) n s n p T značí spotřebu D výrobků za jednotku času spotřeba na časovou jednotku velikost dodávky na sklad bod objednávky doba objednávky nákladová funkce náklady na pořízení dodávky náklady na skladování dodávky náklady na skladování 1 výrobku za jednotku času náklady na pořízení 1 dodávky délka dodávkového cyklu
Veličiny & První model První model v roce 1915 vymyšlen první model zásob je velmi zjednodušený, předpokladem je mnoho ideálních stavů (např.: pořizovací lhůta je konstantní, k doplnění skladu dochází v okamžiku jeho vyčerpání, atd.) Cílem modelu je minimalizování nákladové funkce N(Q) Q N(Q) = N s (Q) + N p (Q) = n s 2 + n D p Q Minimalizovat funkci N(Q), znamená najít extrém této funkce dn(q) dq = n s 2 n D p Q 2
Veličiny & První model První derivaci položíme rovnu nule n s 2 n D p Q 2 = 0. Získáme optimální dodávku Q (Harrisův vzorec, Wilsonův vzorec) Q 2np D =. n s Minimální náklady, pak budou určeny nákladovou funkcí N(Q ) N(Q ) = 2n p n s D. Ověření, že se opravdu jedná o minimum d 2 N(Q) dq 2 = 2n pd Q 3 > 0.
Karlovy Vary Data uvedená v příkladech byla poskytnuta sklárnou Moser a.s., Karlovy Vary.
Model zásob s okamžitou dodávkou Spojitý deterministický model zásob Předpoklady spotřeba je pevně daná (je rovna D výrobkům za jednotku času) a je spojitou funkcí času s rovnoměrným průběhem dodání je okamžité a moment dodání lze ovlivnit neomezená skladovatelnost a neomezená velikost dodávky Q na sklad velikost i čas dodání jsou stále stejné (stacionární model) eliminace vyčerpání zásob
Model zásob s okamžitou dodávkou Vzorce Nákladová funkce za jednotku času Q N(Q) = n s 2 + n D p Q Optimální velikost dodávky Q 2np D = Minimální celkové náklady N(Q ) = 2n p n s D n s
Model zásob s okamžitou dodávkou Vzorce Průměrný stav zásob při optimálních dávkách Q = Q 2 = np D 2n s Délka dodávkového cyklu při optimálních dávkách T = Q D = np 2 Dn s Bod objednávky R = dl
Model zásob s okamžitou dodávkou Příklad Druh zboží Splendid s měsíční spotřebou 500 ks. Náklady na skladování jednoho kusu na měsíc jsou 45 Kč. Náklady na dodávku jsou 5100 Kč. Úkolem je určit velikost optimální dodávky, celkové náklady, počet objednávek ročně a dodávkový cyklus. Prodejna firmy je otevřena každý den v roce kromě 25. prosince. Řešení převedeme údaje, které jsou dány měsíčně, na roční spotřeba výrobku za rok činí 6000 ks náklady na pořízení jedné dodávky jsou 5100 Kč náklady na skladování jednoho kusu jsou 540 Kč/rok.
Model zásob s okamžitou dodávkou Výpočty Velikost optimální dodávky Q = Celkové náklady 2np D 2 5100 6000 = n s 540. = 336, 65 ks. N(Q ) = 2n p n s D = 2 5100 540 6000. = 181791, 10 Kč/rok. Počet objednávek za rok D Q. = 6000 336, 65. = 18.
Model zásob s okamžitou dodávkou Výpočty Optimální dodávkový cyklus T = Q D = 2np 2 5100 = Dn s 6000 540. = 0, 06 364. = 21, 84 obch. dnů. Dále víme, že doba objednávky je L = 15 dnů a spotřeba na jeden den je d = 6000. 364 = 16, 48 potom R = dl. = 16, 48 15. = 247, 2 ks. To znamená, že pokud stav zásob klesne pod 247 skleniček, je nutné pořídit další dodávku.
Model zásob s postupnou dodávkou Spojitý deterministický model zásob Předpoklady některé předpoklady se změní: změní se náklady na skladování dodání je postupné a probíhá během doplňovací fáze Nová veličina p míra doplňování (výroby) za jednotku času
Model zásob s postupnou dodávkou Vzorce Dobu t potřebnou k doplnění dodávky t = Q p Maximální stav zásob Q max = (p d)t = Q Q p d = Q(1 d p ) Průměrný stav zásob Q = Q max 2 = Q 2 (1 d p ) Náklady na skladování N s (Q) = n s Q max 2 = n s Q 2 (1 d p )
Model zásob s postupnou dodávkou Vzorce Celkové náklady Q N(Q) = N s (Q) + N p (Q) = n s 2 (1 d p ) + n D p Q Velikost optimální dodávky Q 2np D = n s (1 d p ) Minimální náklady N(Q ) = N s (Q ) + N p (Q ) = Q = n s 2 (1 d p ) + n D p Q
Model zásob s postupnou dodávkou Příklad Uvažujeme stejná data jako v příkladě modelu s okamžitou dodávkou. Druh zboží Splendid s měsíční spotřebou 500 ks. Náklady na skladování jednoho kusu na měsíc jsou 45 Kč. Náklady na dodávku jsou 5100 Kč. Nyní o výrobku navíc víme, že denně se vyrobí 50 kusů. Úkolem je určit velikost optimální dodávky, celkové náklady, maximální stav zásob, počet dodávek ročně a dobu potřebnou k dodání dodávky. Řešení spotřeba výrobku za rok činí 6000 ks náklady na pořízení jedné dodávky jsou 5100 Kč náklady na skladování jednoho kusu jsou 540 Kč/rok spotřeba na jeden den zůstává stejná jako v předchozím příkladu 16,48 kusů výrobku se denně vyrobí 50 kusů
Model zásob s postupnou dodávkou Výpočty Velikost optimální dodávky Q = Minimální náklady. = 540 411, 16 (1 2 Maximální stav zásob 2np D n s (1 d p ). = 2 5100 6000 540(1 16,48 50 ). = 411, 16 ks. N(Q Q ) = n s 2 (1 d p ) + n D. p = Q 16, 48 6000 ) + 5100 50 411, 16 Q max = Q (1 d p ). = 411, 16(1. = 148846, 83 Kč/rok. 16, 48 50 ). = 275, 64 ks.
Model zásob s postupnou dodávkou Výpočty Počet dodávek za rok Dodávkový cyklus D. 6000 = Q 411, 16. = 15. T = 364 Q D Doba potřebná k dodání. 411, 16 = 364 6000 t = Q p. 411, 16 = 50. = 24, 94 obchodních dnů.. = 8 dní.
Model zásob s opožděnou dodávkou Náklady na skladování jsou vysoké, a proto se podniku vyplatí platit pokutu resp. penále sotřebiteli za zdržení či nedodání dodávky. Nové veličiny S n n t s t n množství zboží v nedostatku náklady na neuskutečněné prodeje 1 výrobku za jednotku času (i s pokutou) doba, kdy se skladovává a spotřebovává doba, kdy je zásoba vyčerpána
Model zásob s opožděnou dodávkou Vzorce Maximální stav zásob Q max = Q S Doba cyklu T = t s + t n Doba skladování T = Q D t s = Q max D = Q S D Průměrný stav zásob Q = Q max 2 t s + 0t n (Q S)2 = t s + t n 2Q
Model zásob s opožděnou dodávkou Vzorce Doba, kdy je zásoba vyčerpána t n = S D Průměrný stav zásob v nedostatku Náklady na skladování S = 0t s + S 2 t n t s + t n = S 2 2Q N s (Q, S) = n s (Q S) 2 2Q
Model zásob s opožděnou dodávkou Vzorce Náklady na opožděné dodávky Celkové náklady N n (Q, S) = n n S 2 2Q D N(Q, S) = n p Q + n (Q S) 2 S 2 s + n n 2Q 2Q N(Q, S) Q D = n p Q 2 + n Q 2 S 2 S 2 s 2Q 2 n n 2Q 2 N(Q, S) S = n s S Q Q + n S n Q
Model zásob s opožděnou dodávkou Vzorce Velikost optimální dodávky Q 2np D = n s Velikost optimální opožděné dodávky Minimální náklady n n + n s n n n s S = Q n s + n n N(Q, S D ) = n p Q + n (Q S ) 2 (S ) 2 s 2Q + n n 2Q
Model zásob s opožděnou dodávkou Příklad Stále uvažujeme stejná data jako v předchozích příkladech. Rozdíl je, že umožňujeme opoždění dodávky. Druh zboží Splendid s měsíční spotřebou 500 ks. Náklady na skladování jednoho kusu na měsíc jsou 45 Kč. Náklady na dodávku jsou 5100 Kč. Jeden výrobek stojí 3600 Kč. Opožděním dodávky o měsíc zaplatí firma penále, které je dáno 5 % slevou. Následující měsíce je výše pokuty stejná. Úkolem je určit velikost optimální dodávky, optimální velikost opožděné dodávky a minimální náklady. Řešení spotřeba výrobku za rok činí 6000 ks náklady na pořízení jedné dodávky jsou 5100 Kč náklady na skladování jednoho kusu jsou 540 Kč/rok pokuta za opožděnou dodávku je 2160 Kč/rok a kus
Model zásob s opožděnou dodávkou Výpočty Velikost optimální dodávky Q = 2np D n s n n + n s n n. = 2 5100 6000 540 Optimální velikost opožděné dodávky n s S = Q. 540 = 376, 39 n s + n n 540 + 2160 Minimální náklady 2160 + 540 2160. = 75, 28 ks.. = 376, 39 ks. N(Q, S D ) = n p Q + n (Q S ) 2 (S ) 2. 6000 s 2Q + n n = 5100 2Q 376, 39 + (376, 39 75, 28)2 +540 2 376, 39 75, 282 + 2160 2 376, 39. = 162598, 89 Kč/rok.
Model zásob s opožděnou dodávkou Výpočty Počet dodávek ročně Maximální stav zásob D. 6000 = Q 376, 39. = 15, 94. Q max = Q S. = 376, 39 75, 28 = 301, 11 ks. Dodávkový cyklus (doba mezi dodávkami) T = 364 Q D. 376, 39 = 364 6000. = 22, 83 dní.
Model zásob s opožděnou dodávkou Výpočty Doba nevyčerpaných zásob t s = 364 Q S D Doba vyčerpaných zásob t n = 364 S. 376, 39 75, 28 = 364 6000 D. 75, 28 = 364 6000. = 4, 57 dní.. = 18, 27 dní.
Shrnutí 1 Model zásob s postupnou dodávkou 2 Model zásob s opožděnou dodávkou 3 Model zásob s okamžitou dodávkou