Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance
směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku hlavních plastických deformací (ne celkových deformací!!!!). To vedlo k předpokladu, že přírůstek plastické deformace lze určit z plastického potenciálu
Plastický potenciál Plastický potenciál je definován v prostoru aktuálních napětí. Vyjadřuje plochu v prostoru napětí. Směr přírůstku plastické deformace je kolmý k této ploše. Směr přírůstku plastické deformace je jednoznačně definován aktuálním stavem napjatosti a nezáleží na předchozí dráze zatěžování.
Zákony plastického tečení Neasociovaný zákon plastického tečení kdy F G je vhodný předpoklad pro zeminy F deformační gradient G modul ve smyku Asociovaný zákon platí pro kovy
Směr přírůstku plastické deformace v triaxiálové rovině
vývoj objemové plastické deformace Poznamenejme, že důsledkem užití asociovaného zákona plastického tečení jsou hodnoty nevratných objemových změn, které značně přesahují skutečné hodnoty objemových změn (dilatance) zemin. V případě klasických podmínek plasticity (DP, MC. MMC) lze velikost plastického objemového přetváření řídit úhlem dilatance, který lze zavést do výpočtu v rámci neasociované plasticity pomocí plastického potenciálu
M-C podmínka plasticity a plastický potenciál F = 1 2 1 2 ( σ σ ) + ( σ + σ ) sinϕ cosϕ 1 3 1 3 c G 1 1 = 3 1 3 ψ 2 2 ( σ σ ) + ( σ + σ ) sin konstanta 1
Eps vp Objemové plastické přetvoření ε p v = ε + ε p p 1 3 = λ sinψ Parametr zpevnění γ = ε ε p p p eq 1 3 = λ Evoluční rovnice ε p v = γ p e sinψ
Chování úhlu dilatance Proměnná γ p eq je určitý parametr zpevnění. Hodnota úhlu dilatance řídí nárůst nevratné objemové deformace. Položíme-li ψ= 0 předpokládáme, že zemina během plastického přetváření zachovává svůj objem. Tento stav, který je charakterizován úhlem vnitrního trení ϕ' cv (cv...constant volume stálý objem), nazýváme stavem kritickým.
Vyjádření úhlu dilatance úhel dilatance lze vyjádřit v závislosti na plastickém přetvoření zemin ve tvaru ψ = sin 1 ε ε p 1 p 1 + ε ε p 3 p 3
Nelineární analýza V případě modelování triaxiálu vzniká ve vzorku homogenní (konstantní) napjatost.vzorek se pak chová jako materiálový bod. Při použití modelu DP, MC, MCM bez zpevnění (předpoklad elasticko tuho-plastického materiálu) nelze vzorek zatěžovat za mez pružnosti, neboť tečná matice tuhosti konstrukce je v takovém případě singulární.
Nelineární analýza
Nelineární analýza Lineární rovnice obecná [K]{a}={F} Obecná nelineární rovnice MKP: Ψ=[K]{a}-{F}=0 [K] matice tuhosti {a} uzlové proměnné (posuny) {F} vektor sil
Přírůstkový přístup Pružno-plasticita, matice tuhosti [K] je funkcí uzlových proměnných (posunů) {a}, Obecně Ψ=[K]{a}-{F} 0 Přírůstkový přístup: [K]{ a i }= -Ψ i, a=σ a i Pro řešení nelineárních rovnic je mnoho postupů
METHODS OF NON-LINEAR ANALYSES Newton-Raphsonova metoda: F Ψ K t Skutečné chování K i a i Konečná předpověď posunů První předpověď posunů Posuny
Newton-Raphsonova metoda Matice tuhosti je sestavena v každé iteraci Relativně náročná na paměť Nejrychleji konvergující metoda Vhodná pro většinu nelineárních úloh
Modifikovaná Newton-Raphsonova metoda F Ψ Skutečné chování K i a i Konečná předpověď posunů První předpověď posunů Posuny
Modifikovaná Newton-Raphsonova metoda Matice tuhosti je sestavena na začátku iterací Počet iterací pro konvergenci je velice vysoký Není vhodná pro analýzy path depent Velice stabilní metoda