Inkrementální teorie plasticity - shrnutí

Transkript

1 Inkrementální teorie plasticity - shrnutí Aditivní zákon = e p. Hookeův zákon pro elastickou složku deformace =C: e. Podmínka plasticity f = f Y =0. Pravidlo zpevnění p e d =g, p,,d, d p,..., dy =h, p,y, d,d p, Pravidlo normality d p =d f. 3 Y 1 f

2 Modely zpevnění Jednotlivé teorie v inkrementální plasticitě se nejčastěji liší pouze v řídící rovnici pro změnu kinematického tenzoru a (nebo) izotropní proměnné Y. Takto získané speciální případy zpevnění se obvykle nazývají modely zpevnění. Obecně se modely zpevnění dělí na: 1) Vícevrstvé modely (multilayer, overlay) Besseling a další. 2) Modely s více plochami plasticity (multisurface) např. Mroz 3) Modely s dvěmi plochami plasticity např. Dafalias-Popov 4) Modely založené na diferenciálních rovnicích Prager, Armstrong- Frederick, Chaboche, Ohno-Wang, Jiang-Sehitoglu, AbdelKarim-Ohno atd.

3 Bilineární kinematický model zpevnění Nejjednodušší a nejstarší model zpevnění schopný zachytit Bauschingerův efekt navrhl Prager již v roce Změna kinematického tenzoru je lineárně závislá na přírůstku plastické deformace d = 2 3 C d p kde C je materiálová konstanta. Konstanta C je přímo rovna plastickému modulu h, který udává sklon aproximované deformační křivky v souřadnicích p, tzn. h= d d p. arctan (h) d p d p

4 Multilineární kinematický model zpevnění Besseling (1958) předpokládal, že chování materiálu lze popsat rozložením materiálu na více částí (podobjemů) příslušejících stejné celkové deformaci, ale majících různou mez kluzu (u rovinné napjatosti si lze představit, že je materiál rozložen na více vrstev s odlišnou tloušťkou a mezí kluzu). Každý podobjem má jednoduchou napěťově-deformační odezvu (považují se za ideálně plastické), ale když jsou kombinovány, mohou reprezentovat komplexní chování materiálu. (4) (3) (2) (1) Y1 = (1) 1 Y4 2 T1 (1) (2) (4) D A 3 T2 Y3 Y2 T3 (3) (1) (2) 4 (3) (4) A B C D t 1 t 2 t 3 t 4 t=1 T4 = 0 C B

5 Identifikace Besselingova kinematického modelu V obecném případě počtu podobjemů k je celkové napětí dáno vhodně váženým součtem napětí odpovídajících jednotlivým podobjemům pro stejnou celkovou deformaci k = i=1 k i w i, přičemž i=1 w i =1. Např. pro tah-tlak odpovídá váhový faktor w i poměrné tloušťce vrstvy materiálu t i. Pro 4 vrstvy: 4 =t 1 1 t 2 2 t 3 3 t 4 4 = [t 1 1 t 2 2 t 3 3 t 4 4 ] Můžeme však psát také (dle obrázku na minulém listu): 4 = T1 1 T1 T2 2 T2 T3 3 T3 4 Srovnáním lze získat hledané tloušťky vrstev t 1 = T1 ; t 2 = T1 T2 ; t 3 = T2 T3 ; t 4 = T3.

6 Nelineární kinematický model Snahou dalších autorů bylo zjednodušit zavedení nelinearity v kinematickém pravidle zpevnění oproti Besselingovu multilineárnímu modelu. Důležitou prací v tomto směru byla publikace Armstronga a Fredericka (1966), kde byla poprvé přidána tzv. paměťová složka (k Pragerovu pravidlu) d = 2 3 C d p dp, kde dp= 2 3 d p: d p je přírůstek akumulované ekvivalentní plastické deformace, který odpovídá přímo skalárnímu součiniteli dλ (plastický násobek v pravidle normality).

7 Vlastnosti nelineárního kinematického modelu Pro jednoosý napěťový stav lze získat vztah mezi napětím a plastickou deformací analyticky, pak platí kde = Y, = C 0 C e p p0, jestliže =±1 v závislosti na směru zatěžování a p0, 0 značí počáteční hodnoty. Aktuální plocha 2 Limitní plocha Y α 0 Y α Y C p 1 3 f = Y Y f Y = C

8 Chabocheův nelineární kinematický model Pro odstranění nevýhod Armstrong-Frederickova modelu navrhl Chaboche v roce 1979 vytvoření kinematického tenzoru pomocí M částí jestliže pro každou část kinematického tenzoru platí kde M = i=1 i, d i = 2 3 C i d p i i dp, C i, i jsou materiálové konstanty. Opět lze analyticky získat vztah mezi napětím a plastickou deformací při jednoosém namáhání. Pro M částí obecně platí: M = Y i C i M i i 0i C i i e i p p0.

9 Nelineární izotropní model zpevnění Jako zástupce izotropních modelů zpevnění je vybrán nelineární izotropní model, který byl navržen Vocem (1955). Von Mises podmínku lze psát ve tvaru f Y R=0, kdy evoluce izotropní proměnné R je dána diferenciálními rovnicemi dr=dr 1 dr 2, dr 1 =R 0 dp, dr 2 =b R R 2 dp, kde b, R 0 a R jsou materiálové konstanty. Integrací lze pak získat relaci R=R 0 p R 1 e bp, Y R 0 p R 0 což vede k získání vztahu Y R = Y R 0 p R 1 e bp, Y který lze použít k aproximaci diagramu p. p

10 Chabocheův kombinovaný model zpevnění Chaboche * v roce 1990 navrhl také kombinovaný model zpevnění. Podmínku plasticity zapsal ve tvaru f Y R=0. Kinematický tenzor vytvořil opět pomocí M částí M = i=1 i, kde d i = 2 3 C i d p i i dp a izotropní zpevnění definoval nelineárním pravidlem (viz Voce) dr=b R R dp. Pozn.: U tohoto kombinovaného modelu zpevnění se izotropní proměnná R stabilizuje po počátečních cyklech na hodnotě R=R, tudíž na tvar hysterezní smyčky má vliv pouze kinematická část. * CHABOCH, J. L.; LMAITR, J. Mechanics of Solid Materials. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

11 Použití jednotlivých modelů zpevnění Čistě izotropní model zpevnění lze použít pouze v případě monotónního zatěžování. Materiálové parametry zvoleného izotropního pravidla se naladí tak, aby model popsal co nejlépe tahovou zkoušku. Při simulaci cyklického namáhání je vždy nutné použití kinematického pravidla (v rámci inkrementální teorie plasticity). Při modelování stabilizace napěťově-deformační odezvy v počátečních cyklech (cyklické zpevnění nebo změkčení) je nutné použít kombinovaný model zpevnění. Jestliže lze očekávat v konečnoprvkové analýze nenulové hodnoty středního napětí může vzniknout ratcheting (cyklické tečení). Z popsaných modelů zpevnění jsou schopny simulovat ratcheting pouze nelineární modely Chaboche či Armstronga a Fredericka.

12 Ukázka možností Besselingova a Chabocheova modelu Ačkoliv se v praxi snažíme navrhovat konstrukce a zařízení tak, aby k ratchetingu nedocházelo, je nutné s ním mnohdy počítat (při návrhu armatur jaderných elektráren nebo u valivého kontaktu na železnici). Možnost simulace ratchetingu při jednoosém namáhání je patrná z obrázku: (hodnota středního napětí se počítá ze vztahu m = max min /2 ) m >0 m >0 Besseling (MKIN, KINH) Chaboche (CHAB)