Prostorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Prostorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)"

Romana Beránková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl)

2 Opakování: Geometrické vztah ve 3D Maticově (ε = ε u): ε x ε ε z γ z γ zx γ x = x z 0 z z 0 x x 0 u v w, () 2

3 Fzikální vztah ve 3D Maticově (σ = D ε) pro lineárně pružný materiál: σ x σ σ z τ z τ zx τ x = A µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 2 µ 2( µ) µ 2( µ) µ 2( µ) ε x ε ε z γ z γ zx γ x, A = E( µ) ( + µ) ( 2 µ) (2) 3

4 Odvození konečného prvku pro 3D úloh () 4 z x 3 Neznámé parametr deformace: u, v, w v každém uzlu. 2 Tj. celkem dvanáct, neznámých uzlových parametrů: {u, v, w, u 2, v 2, w 2, u 3, v 3, w 3, u 4, v 4, w 4 } T. 4

5 Odvození konečného prvku pro 3D úloh (2) Aproximace neznámých uzlových posunutí: u(x, ) = a x + a 2 + a 3 z + a 4 (3) v(x, ) = a 5 x + a 6 + a 7 z + a 8 (4) w(x, ) = a 9 x + a 0 + a z + a 2 (5) 5

6 Odvození konečného prvku pro 3D úloh (3) Maticově (u = U a): u v w = x z x z x z a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 (6) 6

7 Odvození k. p. pro 3D úloh (4) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech, 2, 3 (r = S a): u v w u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 u 4 v 4 w 4 = x z x z x z x 2 2 z x 2 2 z x 2 2 z 2 x 3 3 z x 3 3 z x 3 3 z 3 x 4 4 z x 4 4 z x 4 4 z 4 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 7 (7)

8 Odvození k. p. pro 3D úloh (5) Kombinací vztahů ε = u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U: ε x ε ε z γ z γ zx γ x = a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 (8) 8

9 Odvození k. p. pro 3D úloh (6) Z r = S a plne: a = S r. Pak: ε = B S r. Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 2 V εt σ d V = 2 V εt D ε d V. (9) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (0) 9

10 Odvození k. p. pro 3D úloh (7) Potenciální energie soustav: Π = 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. () Po dosazení za ε a vtknutí r: Π = 2 rt V S T B T DB S d V r T V XT d V r S pt d S r. (2) Stručně: Π = 2 rt K r F T r. (3) 0

11 Odvození k. p. pro 3D úloh (8) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (3): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (4) K = V S T B T D B S d V, (5) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (6)

12 Odvození k. p. pro 3D úloh (9) Pro studovaný konečný prvek (B, D, S obsahují jen konstant): K = S T B T D B S V dv, (7) K = V S T B T D B S. (8) F = X. (9) 2

13 Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustav rovnic: K r = F. (20) 3

14 Výpočet výsledků (napětí a deformací) na konečných prvcích. z vektoru r celé konstrukce sestavíme vektor r e jednotliných konečných prvků 2. pro každý prvek stanovíme poměrné deformace: ε e = B S r e 3. pro každý prvek stanovíme napětí: σ e = D ε e nebo σ e = D B S r e 4

15 Příklad velmi krátká konzola () ufem CS: CART Time:.25 kn 0.4 m 0.4 m 0.8 m z x E = 27MP a, µ = 0,2 5

16 Příklad velmi krátká konzola (2) ufem Result: s_x Time: e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 ufem Result: s_x Time: e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 z x z x

17 Příklad velmi krátká konzola (3) ufem Result: s_ Time: e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 z x

18 Příklad 2 krchle () Je dána krchle o rozměrech m, E = 0 GP a, ν = 0.2. q = 4 MN/m2 Rozdělte na nejmenší možný počet konečných prvků. 8

19 Příklad 2 krchle (2) Model (kolik obsahuje prvků?): ufem d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: x z tetrapack

20 Příklad 2 krchle (3) Konečný prvek : ufem d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: z x tetrapack

21 Příklad 2 krchle (4) Konečný prvek 2: ufem d CS: CART Time: 4 ETps: 2 RSets: Mats : 3 KPs : 0 GEnts: Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: z x tetrapack

22 Příklad 2 krchle (5) Konečný prvek 3: ufem d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: z x tetrapack

23 Příklad 2 krchle (6) Konečný prvek 4: 4 3 ufem d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: z x tetrapack

24 Příklad 2 krchle (7) Konečný prvek 5: 4 3 ufem d CS: CART Time: ETps: 2 RSets: Mats : KPs : 0 GEnts: 0 Nodes: 8 Elems: 5 Disps: 2 Loads: tetrapack 5 6 x z

25 Příklad 2 krchle (8) Napětí σ x : 4 3 ufem d Result: s_x Set: : e e e e e e e e e e e e e e e e e+08 5 x z tetrapack

26 Příklad 2 krchle (9) Napětí σ : 3 ufem d CS: CART Set: : e+09 3 ufem d Result: s_ Set: : e e e e e e e e e e e e e e e e e x z 5 x z tetrapack tetrapack σ =.63 MP a (všechn) a.75mp a (jen 4 prvk) 26

27 Příklad 2 krchle (0) Napětí σ : ufem d Result: s_ Set: : e e e e e e e e e+00 ufem d Results Set: : e e e e e e e e e e e e e e e e+05 z x e+05 z x σ =.63 GP a (5 prvků) a 5.94MP a (podrobný model) 27

28 Příklad 2 krchle () Napětí σ x : ufem d Result: s_x Set: : e e e e e e e e e e e e e e e e e+06 z x

Podobné dokumenty

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek