K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy ETRS 89 a S-JTSK. s přesností charakterizovanou střední radiální odchylkou v rozmezí 3 cm až 6 cm. Testované postupy lze využívat v programech firmy Trimble, které jsou určené pro zpracování GPS a kombinovaných měření. 1 ÚVOD Technologie GPS vyžaduje prakticky vždy, aby výsledky výpočtů byly transformovány z geocentrického do národního souřadnicového systému. Zpravidla, ale ne vždy, lze takový převod souřadnic znázornit schématem na obrázku 1. Geocentrický systém (WGS 84, ITRF YY, ETRF 89) X, Y, Z,, H el Transformace X, Y, Z,, H el Kartografické zobrazení Geoid (kvazigeoid) x,y, H Národní systémy (JTSK,...) Obrázek 1: Schéma transformačního postupu mezi různými geodetickými souřadnicovými systémy (modul geodetických souřadnicových systémů a kartografických zobrazení) Použití takového postupu je flexibilní a často se uplatní v tzv. firemních softwarech. Záleží pouze na uživateli (a možnostech modulu souřadnicových systémů) * Vlastimil Kratochvíl, doc. Ing. CSc., Katedra vojenských informací o území, Univerzita obrany, Kounicova 65, Brno, 612 00, e-mail: vlastimil.kratochvil@unob.cz

jaký typ transformace, model geoidu nebo kartografického zobrazení bude zvolen. Modul souřadnicových systémů (a tím i transformací) je začleněn do prostředí hlavního programu a proto lze exportovat zpracovaná měření v podporovaných textových, databázových nebo grafických formátech a téměř libovolné kombinaci geodetického systému a kartografického zobrazení. Modul souřadnicových systémů je editovatelný, a uživatel tedy může využít libovolný (ale podporovaný) typ transformace, přesnější transformační parametry nebo model kvazigeoidu pokud má k dispozici příslušná data. Jestliže žádná varianta transformačních postupů nevyhovuje přesností, je nezbytné použít specifický programový modul, který má potřebné vlastnosti. Takové řešení znamená určité omezení: externí transformační program není součástí firemního softwarového prostředí a výstupy se omezují zpravidla pouze na textový formát. Jako optimální, bychom měli označit postup, který umožní, při postačující přesnosti transformovaných souřadnic (a výšek), zachovat všechny relevantní informace vytvořené v průběhu měření a zpracování veličin 1. Poněvadž zpracovateli příspěvku není známý žádný externí transformační program, který poskytuje výše uvedené služby, v dalším textu bude věnována pozornost pouze takovým transformacím, které jsou standardní součástí (alespoň některých) firemních programů určených pro zpracování GPS měření. 2 STANDARDNĚ PODPOROVANÉ TYPY TRANSFORMACÍ V první kroku byly vyloučeny takové postupy, které s jedním souborem parametrů nemohou poskytnout kvalitu souřadnic transformovaných do S-JTSK lepší než 6 cm 2. Byly vyloučeny celorepublikové klíče Moloděnského a prostorové podobnostní transformace. Pro analýzu kvality transformací byly vybrány: (1) Postupy, které umožní s jedním souborem parametrů transformaci na celém území ČR. obecná transformace; transformace interpolační mřížkou. (2) Prostorová podobnostní transformace, jejíž parametry jsou počítány samostatně pro každý transformovaný bod. 1 Například: Označení bodu, typ bodu (mezník, lomový bod parcely, hydrant atp.), typ linie, datum zaměření, symbologie (způsob zobrazení objektu v mapě) apod. 2 Střední hodnota radiální (polohové) odchylky na kontrolních bodech po transformaci do S-JTSK. 2

2.1 Obecná transformace Rovnice obecné transformace lze vyjádřit například ve tvaru: =a 00 a 10 U a 01 V a 20 U 2 a 11 UV a 02 V 2, =b 00 b 10 U b 01 V b 20 U 2 b 11 UV b 02 V 2, kde a, b určované parametry transformace; U= 0 ; V= 0 ; 0, 0 zaokrouhlené souřadnice středu transformovaného území; převodní koeficient;, zeměpisné souřadnice bodů. Parametry a,b obecné transformace 10. stupně byly odvozeny vyrovnáním podle metody nejmenších čtverců s využitím souřadnic 2158 identických bodů výběrové údržby ČSTS (včetně bodů DOPNUL). Soubor transformačních parametrů byl implementován do modulu Coordinate System Editor programu PathFidner Office verze 3.00. Souřadnice identických bodů byly transformovány do S-JTSK a porovnány s hodnotami z databáze DATAZ. Střední radiální odchylka daných a transformovaných hodnot činí s Hz =6,2cm, která byla vypočtena podle vzorců: s Hz= 1 n n 2 r i i=1 (2-1) r 2 =o x 2 o y 2, o x =xx, o y =yy, kde symboly označené čárkou jsou transformované souřadnice vyjádřené v kartografickém zobrazení S-JTSK. Některé další charakteristiky přesnosti jsou uvedeny v tabulce 1. 2.2 Transformace interpolační mřížkou Mohou být použity různé postupy výpočtu parametrů interpolační mřížky. Například 3 : výpočet zeměpisných souřadnic i, i, i, i, i=1,2,,n identických bodů v původním (ETRS 89) a novém (S-JTSK) geodetickém systému a příslušných diferencí i = i i, i = i i ; 3 Aplikace Grid Factory použitá pro výpočet parametrů mřížky používá jiný algoritmus 3

volba rozsahu min, max, min, max a kroku, interpolační mřížky; výpočet souřadnic uzlů interpolační mřížky j = min j1, j=1,2,, N 1, j = min k1, k=1,2,, N 1, kde N, N je počet uzlů mřížky ve směru zeměpisné šířky a délky; interpolace korekcí d j, d k platných pro uzly mřížky; Tímto postupem získáme hledané parametry interpolační mřížky, tj. pro každý bod (uzel) mřížky známe jeho souřadnice j, k a korekce d j, d k potřebné pro transformaci do nového souřadnicového systému. Pro kontrolu a posouzení kvality interpolační mřížky, se s jejím využitím transformují identické body do nového systému. K výpočtu parametrů interpolační mřížky byl použit programový modul Grid Factory, který je součástí rozsáhlého produktu Trimble Geomatics Office. Pro území ČR byla vypočtena interpolační mřížka s krokem =5, =7 30. Jako identické, byly použity body výběrové údržby ČSTS a na zbývajícím území DOPNUL celkem 2158 identických bodů. Četnost 400 350 300 250 200 150 100 50 0 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Radiální odchylky [cm] Obrázek 2: Teoretické a skutečné rozdělení četnosti radiálních odchylek po transformaci mřížkou Porovnáním transfomovaných a daných rovinných souřadnic identických bodů v S-JTSK byla získána střední radiální odchylka s Hz =2,7 cm. Na obrázcích 2 a 3 je histogram četnosti a frekvenční křivka, respektive izočáry radiálních odchylek na identických bodech po transformaci interpolační mřížkou do S-JTSK. Na obr. 3 stojí za povšimnutí oblasti se zvýšenou koncentrací izočar, které indikují místa odlehlých velikostí radiálních odchylek na identických bodech. Většina z nich je označena šipkou a doplněna číslem bodu a velikostí odchylky v centimetrech. Některé další údaje jsou v tabulce 1. 2.3 Lokální klíče prostorové podobnostní transformace Tento postup byl využit pro získání výsledků porovnatelných s hodnotami získanými interpolační mřížkou. Pro výpočty byly použity programy MView a Matlab. Algoritmus sestavení a transformace pomocí lokálních klíčů byl následující: 4

(1) Výběr bodu pro transformaci. (2) Vyhledání čtyř nejbližších identických bodů (testována rovněž varianta s pěti identickými body). (3) Výpočet parametrů prostorové podobnostní transformace. 0613009 (8,1 cm) 0605022 (7,7) 0614021 (8,9) 2216009 (9,6) 0620031 (7,9) 1513022 (8,4) 1208004 (8,6) 1505007 (9,5) 55 1324010 (7,3) 2114011 (7,7) 4004017 (7,1) Obrázek 3: Izočáry radiálních odchylek po transformaci interpolační mřížkou (krok izočar 1 cm). Vyznačení bodů s odlehlými hodnotami radiálních odchylek Četnost 350 300 250 200 150 100 50 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% (4) Transformace vybraného bodu (viz 1.) do S-JTSK. (5) Výpočet radiální odchylky na vybraném bodě. Z porovnání daných rovinných souřadnic s transformovanými na 2158 bodech byla získána střední hodnota radiálních odchylek s Hz =3,4cm. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Radiální odchylky [cm] 0% Obrázek 4: Skutečná a teoretická četnost radiálních odchylek po podobnostní transformaci lokálními klíči (všechny identické body) 5

2.4 Využití obecných aritmetických průměrů Velmi často se používá obecných aritmetických průměrů odchylek na identických bodech pro výpočet korekcí souřadnic transformovaných bodů. Uvedené opatření má dva důsledky: ztotožní se hodnoty daných a transformovaných souřadnic na identických bodech a obvykle, alespoň z části, se postihnou lokální deformace trigonometrické sítě. Poněkud problematickým zůstává: odhad kvality transformovaných souřadnic po aplikaci obecných aritmetických průměrů a způsob výběru identických bodů pro výpočet korekcí a určení váhy jednotlivých odchylek na identických bodech. Aby bylo možné posoudit vliv korekcí počítaných z obecných aritmetických průměrů byly aplikovány dva postupy: výpočet lokálních klíčů prostorové podobnostní transformace z bodů DOPNUL, transformace bodů výběrové údržby a korekce transformovaných souřadnic (byly získány odchylky na 1900 bodech); výpočet lokálních klíčů prostorové podobnostní transformace z bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby, transformace bodů výběrové údržby a korekce transformovaných souřadnic (byly získány odchylky na 1400 bodech) v průměru jeden identický a tři kontrolní body na jeden triangulační list; Odchylky na (4) identických bodech, ze kterých byly vypočítány transformační parametry, se použily pro výpočet souřadnicových korekcí s váhovou funkcí rovnou reciproké hodnotě vzdálenosti transformovaného bodu k identickým. Při výpočtu středních hodnoty radiálních odchylek nebyly uvažovány nulové hodnoty na identických bodech, ani jejich počet. Korekce určované z obecných aritmetických průměrů byly počítány z různých variant počtu identických bodů (4 nebo 5) a volby váhové funkce 1/d nebo 1/d 2. Rozdíly ve výsledcích nebyly významně. Pokud porovnáme výsledky podobnostní transformace lokálními klíči, podstatné zlepšení souřadnic korigovaných aritmetickými průměry bylo zjištěno pouze ve variantě s body DOPNUL. V druhém případě (po rozšíření souboru o 500 identických bodů z výběrové údržby) bylo zmenšení středních hodnot radiálních odchylek neprůkazné (viz tabulka 1). 2.5 Odhad lokálních deformací Při analýze výsledků transformačních postupů je vhodné odhadnout změny tvaru a velikosti transformovaného území. Dobrou informaci mohou poskytnout vektory souřadnicových odchylek o x,o y na kontrolních bodech a jejich diference x, y. Spolehlivá analýza směru a velikosti vektorů je obtížná, proto se autor příspěvku omezil pouze na popis jejich velikosti. Odhad průměrné velikosti odchylkového vektoru r i k nejbližším n bodům byl počítán podle algoritmu: 6

n r i= 1 n i=1 r j 2, r j = x 2 j y j2, x j = x j x i x / j x / i, y j = y j y i y / j y / i, i=1,2,,m = počet kontrolních bodů, j=1,2,,n = počet nejbližších bodů. Odhad střední hodnoty relativní radiální odchylky S r vypočteme podle vzorce m S r= 1 m i=1 r i 2. Pokud bychom porovnali odhady středních hodnot radiální odchylky s Hz a relativní radiální odchylky S r, které byly počítány ze souřadnicových odchylek s normálním rozdělením mělo by teoreticky platit S r s Hz 2. Jestliže S r s Hz, lze usuzovat, že použitý transformační postup nevystihuje lokální deformace, které jsou na úrovni vzdáleností mezi kontrolními body. Tato situace je typická při použití celorepublikových klíčů prostorové podobnostní a obecné transformace (viz tabulka 1). 3 ZÁVĚR Výsledky analýzy jsou v souladu s obecně známým předpokladem, že kvalita transformace, posuzovaná střední hodnotou radiálních odchylek na kontrolních bodech, závisí zejména na hustotě identických bodů a způsobu transformačního postupu. Jestliže se zvolí jako identické pouze body DOPNUL a při použití lokálních klíčů prostorové podobnostní transformace nebo interpolační mřížky, lze očekávat střední hodnotu radiální odchylky v mezích 5 cm až 5,5 cm. Přibližně 95 % radiálních odchylek nepřekročí 9 cm až 10 cm. Nejlepší výsledky poskytují korekce souřadnic obecnými aritmetickými průměry. Pokud hustota identických bodů bude přibližně 1 bod na triangulační list (varianta DOPNUL + 500 bodů údržby), střední radiální odchylka se zmenší přibližně na 3,5 cm. Lze očekávat, že 95 % všech radiálních odchylek bude menší než 6,5 cm. Po využití všech bodů výběrové údržby, lokální klíče prostorové podobnostní transformace dosahují téměř stejné hodnoty jako v předchozím případě. Pouze interpolační mřížka poskytla významné zlepšení. Střední hodnota radiálních 7

odchylek se zmenšila na 2,7 cm a 95 % odchylek bylo menších než 4,9 cm (vypočítáno z odchylek na všech 2158 identických bodech). Po vyloučení bodů mimo oblast výběrové údržby byly získány hodnoty (1990 kontrolních bodů): s Hz =2,6cm, o Hz 95% 4,6cm, o Hz 99% 6,3cm. Vzhledem k podobným vlastnostem interpolační mřížky a metody založené na obecných aritmetických průměrech 4, lze v obou případech očekávat přibližně stejnou kvalitu výsledků. Autor příspěvku se domnívá, že transformace interpolační mřížkou poskytne uživateli dobrou alternativu k metodě založené na lokálních klíčích doplněných korekcemi z obecných aritmetických průměrů. Po dokončení výběrové údržby trigonometrických bodů bude možné pomocí interpolační mřížky dosáhnout střední radiální odchylky polohy bodu transformovaného mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR asi 2,5 cm. Odchylky, které přesáhnou 5 cm až 6 cm budou svědčit spíše o porušení polohy bodu. Soubory s parametry interpolační mřížky lze snadno začlenit do programů dodávaných firmou Trimble pro zpracování GPS měření (PathFinder Office, Geomatics Office, Trimble Total Control) a bez dalších omezení využívat. Modul transformací, včetně interpolační mřížky s S-JTSK lze rovněž integrovat do programu Terra Sync, který se používá v ovládacích terminálech některých přijímačů GPS. Příspěvek byl přednesen na semináři s mezinárodní účastí Vývoj metod a technologií GPS v geodézii, pořádaném Ústavem geodézie Stavební fakulty vysokého učení technického v Brně, 3. února 2005. 4 Obě metody jsou založeny na interpolaci. Rozdíly spočívají v typu interpolační funkce a uzlech interpolace. Uzly interpolace jsou reálné identické body (obecné průměry), nebo virtuální body mřížky. 8

Tabulka 1: Radiální odchylky na kontrolních bodech po různých transformačních postupech do rovinných souřadnic S-JTSK Radiální odchylky na kontrolních bodech po transformaci S-JTSK [cm] Typ transformace s Hz o Hz 95 % o Hz 99 % Prostorová podobnostní transformace, republikový klíč z bodů DOPNUL 14,2 30,0 39,5 Obecná transformace 10. stupně (celorepublikový klíč) 6,2 10,9 14,5 bodů DOPNUL bodů DOPNUL + korekce pomocí obecných aritmetických průměrů 5,5 9,8 12,9 5,0 8,9 11,9 Interpolační mřížka odvozená z bodů DOPNUL 5,4 9,4 12,0 bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby + korekce pomocí obecných aritmetických průměrů Interpolační mřížka z bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby bodů výběrové údržby + DOPNUL 3,5 6,5 8,8 3,6 6,2 8,6 3,5 6,4 8,1 3,4 6,3 9,3 Interpolační mřížka odvozená z bodů výběrové údržby + DOPNUL 2,7 4,9 7,3 Lokální deformace po transformaci do S-JTSK [cm] Prostorová podobnostní transformace, republikový klíč z bodů DOPNUL 5,3 7,9 13,5 Obecná transformace 10. stupně (celorepublikový klíč) 4,7 7,7 11,2 bodů DOPNUL + korekce pomocí obecných aritmetických průměrů 4,4 7,2 9,3 Interpolační mřížka odvozená z bodů DOPNUL 4,5 7,4 10,0 bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby bodů DOPNUL doplněných 500 body výběrové údržby + korekce pomocí obecných aritmetických průměrů bodů výběrové údržby + DOPNUL 3,5 6,5 8,8 3,8 6,6 9,0 3,8 7,0 10,2 Interpolační mřížka odvozená z bodů výběrové údržby + DOPNUL 3,8 6,3 9,3 Poznámka: Označení o Hz 95 %, respektive o Hz 99 % vyjadřují procentové zastoupení odchylek, které jsou v posuzovaném souboru rovny nebo menší než hodnoty uvedené v příslušném sloupci tabulky. 9