ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Základy fyzikální geodézie 3/19 Legendreovy přidružené funkce a jejich derivace školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2009/10 8 G4-61 Jan Dolista

2 Legendreovy přidružené funkce a jejich derivace Zadání: Pro zadanou zeměpisnou šířku φ vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce P nm (sin φ) a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte n max = 30. Úspěšnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtěte základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m = 0) příslušného stupně, tak pro m = n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici...). Číselné zadání 19: φ = 8, n = 17, m = 4 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Legendreovy přidružené funkce a jejich 1. a 2. derivace Legendreovy přidružené funkce byly vypočteny pomocí rekurentních vzorců, které jsou pro výpočet nejvhodnější. Pro snazší orientaci ve výpočtu bylo použito trojúhelníkové schéma. Díky tomu mohl být v programu Octave výpočet realizován postupným plněním matice v rámci několika cyklů. Zjednodušení výpočtu přineslo zavedení několika substitucí. Nejprve byla zeměpisná šířka φ převedena na polární úhel θ = π 2 φ a poté zavedeny následující substituce: x = sin θ y = cos θ Výpočet 1. a 2. derivace byl proveden současně s výpočtem Legendreovy přidružené funkce, díky čemuž mohl být snížen počet potřebných cyklů a výpočet se tak urychlil. Zároveň tak byly plněny všechny tři matice. Jelikož program Ocatave neumožňuje indexování od nuly, muselo být n resp. m voleno od 1 do 31 místo od 0 do 30. Současně bylo nutné odlišit, kdy n resp. m představuje indexování v matici a kdy se jedná o stupeň resp. řád polynomu při výpočtu koeficientů a 1, a 2, α, β. Dále uvedené vzorce jsou uvedeny po n resp. m od 0 do Počáteční hodnoty seeds Při samotném výpočtu byly nejprve vytvořeny nulové matice P, P, o rozměrech Poté byly naplněny první dva diagonální prvky normovanými hodnotami Legendreových přidružených funkcí tzv. seeds. P 0,0 = 1 P 0,0 = 0 0,0 1.2 Výpočet prvků na diagonále P 1,1 = 3x P 1,1 = 3y = 0 P 1,1 = 3x V rámci prvního cyklu byly naplněny prvky na hlavní diagonále. n,n = a 1 P n,n = a 1 P n,n = a 1 x P n 1,n 1 y P n 1,n 1 + x P n 1,n 1 x P n 1,n y P n 1,n 1 + x P n 1,n 1

3 kde a 1 = 2n + 1 2n 1.3 výpočet prvků na subdiagonále Druhým cyklem byla naplněna subdiagonála. Pro výpočet těchto hodnot byly využity již vypočtené hodnoty na hlavní diagonále. P n,n 1 = a 2 y P n 1,n 1 kde P n,n 1 = a 2 ( x P n 1,n 1 + y P n 1,n 1) n,n 1 = a 2 ( y P n 1,n 1 2 x P n 1,n 1 + y n 1,n 1) a 2 = 2n Výpočet obecných členů Výpočet obecných členů byl vyřešen pomocí dvou vnořených cyklů, z nichž vnější postupoval po řádcích a vnitřní plnil sloupce v rámci tohoto řádku. Jelikož matice byla použita pro reprezentaci trojúhelníkového schématu, byla použita pouze dolní trojúhelníková matice. Z tohoto důvodu vnořený cyklus běžel pro m pouze do n 2 neboť pro m = n, resp. m = n 1, se jedná o prvky hlavní diagonály, resp. subdiagonály, které jsou již spočteny. kde n,m = α P n,m = α y P n 1,m β P n 2,m x P n 1,m + y P n 1,m β P n 2,m y P n 1,m 2 x P n 1,m + y P n 1,m P n,m = α (2n + 1)(2n 1) α = (n + m)(n m) β n 2,m β = (2n + 1)(n + m 1)(n m 1) (2n 3)(n m)(n + m) 1.5 Kontrola dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice Po naplnění matic byla provedena kontrola dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice: [ ] (n (n + 1) sin θ m2 P + y P + x sin θ Výpočet byl proveden maticově, takže nejprve byla sestavena matice obsahující hodnotu hranaté závorky a poté proveden kontrolní výpočet. Důležité bylo násobit matici závorky s maticí P po prvcích nikoliv maticově (v takovém případě by kontrola nevyšla). Výsledkem by měla být matice obsahující samé nuly. Toho vzhledem k možnostem programu Octave nelze dosáhnout (nelze počítat na nekonečný počet cifer). Proto je výsledkem matice (dolní trojúhelníková) obsahující velmi malá čísla. Pro účel kontroly byl vypočten průměr dolní trojúhelníkové matice: a dále RMS této matice dle vzorce: prumer = e 14 RMS = Σδ 2 n = e 13

4 2 Průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou pro zadaný stupeň a řád V druhé části úlohy byly vykresleny grafy průběhu Legendreovy funkce daného stupně a řádu pro měnící se zeměpisnou šířku. Výpočet byl proveden dle stejných vzorců jako v první části, ale byl vnořen do cyklu, který měnil polární úhel v intervalu s krokem 0.5. Jelikož byl vykreslován graf Legendreovy funkce 17-tého stupně bylo n max sníženo rovněž na 17, tedy zhruba na polovinu předchozí hodnoty, což vedlo ke zrychlení výpočtu, který ale i tak chvíli trval. Při každém průchodu byly do příslušných vektorů ukládány hodnoty polárního úhlu θ a hodnoty Legendreových funkcí P 17,4, P 17,17, P 17,0. Z těchto vektorů byly následně vykresleny grafy. 2.1 Průběh Legendreovy funkce stupně 17 a řádu 4 pro polární úhel Legendreova funkce stupně 17 a řádu 4 je lichá vzhledem k rovníku. Na rovníku a na pólech dosahuje hodnoty 0. Mezi oběma póli má 13 nulových bodů (bez pólů). Hodnota lokálních maxim (resp. minim) směrem od rovníku k pólům roste (resp. klesá).

5 2.2 Průběh Legendreovy funkce stupně 17 a řádu 17 pro polární úhel Legendreova funkce stupně 17 a řádu 17 je sudá vzhledem k rovníku. Na pólech dosahuje hodnoty 0 zatímco na rovníku je její hodnota maximální. Funkce od pólů k rovníku roste. Do hodnoty polárního úhlu přibližně 50 je hodnota funkce velmi blízá nule, po překročení této hodnoty začíná velmi prudce růst až do maxim na rovníku. V celém svém průběhu dosahuje funkce pouze kladných hodnot.

6 2.3 Průběh Legendreovy funkce stupně 17 a řádu 0 pro polární úhel Legendreova funkce stupně 17 a řádu 0 je lichá vzhledem k rovníku. Na rovníku je její hodnota rovna 0 zatímco na pólech je její hodnota maximální resp. minimální. Maximální hodnoty dosahuje na severním pólu a minima na jižním pólu. Mezi oběma póli má funkce 17 nulových bodů. Hodnota lokálních maxim (resp. minim) směrem od rovníku k pólům roste (resp. klesá). Závěr: Pomocí rekurentních vzorců byly vypočteny hodnoty Legendreových funkcí a jejich 1. a 2. derivace do stupně 30 pro zeměpisnou šířku 8. Výhodou využití rekurentních vzorců byla možnost snadného naprogramování. Pokud by bylo použito vyjádření pomocí faktoriálů došlo by od určitého stupně k přetečení proměnných a výpočet by zkolaboval. V druhé části úlohy byly pro zadaný stupeň (17) a zadané řády (0,4,17) vykresleny grafy průběhu přidružené Legendreovy funkce od severního k jižnímu pólu. Rozbor grafů je uveden výše. Výpočty byly provedeny v programu Octave, zdrojový kód není součástí technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)