OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

Transkript

1 OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014

2 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE ŘADA DAT S RŮZNÝMI ČÍSELNÝMI HODNOTAMI TÉŽE VELIČINY A PRO VÝPOČET ÚLOHY MÁME NAMĚŘENO VÍC HODNOT, NEŽ JE TŘEBA (TZV. NADBYTEČNÁ MĚŘENÍ) ŘEŠENÍ ÚLOHY NENÍ JEDNOZNAČNÉ A JEDINÝM KOREKTNÍM ZPRACOVÁNÍM DAT JE JEJICH VYROVNÁNÍ VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJE JEDNOZNAČNÝ VÝPOČET HLEDANÝCH HODNOT A ODHADNE PŘESNOST JEJICH URČENÍ VČETNĚ KONTROL VYROVNÁNÍM URČENÝCH HODNOT

3 METODY VYROVNÁNÍ PRO VÝPOČET S NADBYTEČNÝMI MĚŘENÍMI JE VŽDY NUTNÉ ŘEŠENÍ PROVÁDĚT ZA ZVOLENÉ DODATEČNÉ PODMÍNKY METOD VYROVNÁNÍ JE VELKÉ MNOŽSTVÍ, OBVYKLE VYCHÁZÍ Z PODMÍNKY MINIMA NĚKTERÉ NORMY VEKTORU OPRAV MĚŘENÍ Z HLEDISKA VYUŽITÍ LZE METODY VYROVNÁNÍ ROZDĚLIT TAKTO: METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ (MNČ) NEJČASTĚJI UŽÍVANÁ V GEODÉZII DALŠÍ METODY (METODA MINIMAX, METODY ROBUSTNÍHO ODHADU) V GEODÉZII JSOU POUZE DOPLŇKOVÉ (NAPŘ. PRO DETEKCI HRUBÝCH CHYB)

4 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ MATEMATICKO-STATISTICKÁ METODA PRO APROXIMACI ŘEŠENÍ PŘEUČENÝCH SOUSTAV ROVNIC "NEJMENŠÍ ČTVERCE" ZNAMENAJÍ, ŽE VÝSLEDNÉ ŘEŠENÍ MÁ MINIMALIZOVAT SOUČET ČTVERCŮ ODCHYLEK VŮČI KAŽDÉ ROVNICI POPRVÉ JI POUŽIL JEJÍ AUTOR CARL FRIEDRICH GAUSS V ROCE 1795 PRO ELIMINACI CHYB PŘI GEODETICKÉM MĚŘENÍ PŘI SPLNĚNÍ URČITÝCH PŘEDPOKLADŮ DÁVÁ NEJMENŠÍ STŘEDNÍ CHYBU ODHADU NEZNÁMÝCH VELIČIN PŘEDPOKLAD = MINIMALIZOVANÁ NORMA VEKTORU OPRAV: ppvv 2 = mmmmmm

5 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

6 METODA MINIMAX ZALOŽENA NA MINIMAX ALGORITMU POUŽÍVÁ SE, KDYŽ JSOU MĚŘENÍ ZADÁNA TOLERANČNÍMI INTERVALY HLEDÁME TAKOVÉ ŘEŠENÍ, JEHOŽ MAXIMÁLNÍ MOŽNÁ CHYBA JE ZE VŠECH MAXIMÁLNÍCH CHYB DALŠÍCH MOŽNÝCH ŘEŠENÍ NEJMENŠÍ POUŽÍVANÁ SE NAPŘ. I VE STRATEGICKÝCH HRÁCH MEZI DVĚMA A VÍCE HRÁČI (DÁMA NEBO ŠACHY) - ÚKOLEM JE NALÉZT NEJLEPŠÍ TAH V DANÉ POZICI

7 ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ 1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ (JEDINÁ NEZNÁMÁ VELIČINA BYLA NEZÁVISLE MĚŘENA VÍCEKRÁT ZA SEBOU) 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ (VÍCE NEZNÁMÝCH VELIČIN JE NEPŘÍMO URČENO PROSTŘEDNICTVÍM PŘÍMÉHO MĚŘENÍ JINÝCH VELIČIN, KTERÉ JSOU S NEZNÁMÝMI VE ZNÁMÉM FUNKČNÍM VZTAHU (NAPŘ. POČÍTANÉ SOUŘADNICE A MĚŘENÉ ÚHLY, DÉLKY) 3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ (JEDNOTLIVÉ VELIČINY SE MĚŘÍ PŘÍMO, AVŠAK SOUČASNĚ MAJÍ SPLŇOVAT PŘEDEM DANOU MATEMATICKOU NEBO GEOMETRICKOU PODMÍNKU (NAPŘ. SOUČET ÚHLŮ V ROVINNÉM TROJÚHELNÍKU) 4) SLOŽITĚJŠÍ, KOMBINOVANÉ ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ

8 1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ DĚLÍME NA VYROVNÁNÍ: STEJNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM ARITMETICKÝ PRŮMĚR): xx = ll nn mm xx = mm nn mm = vv2 nn 1 RŮZNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM VÁŽENÝ (OBECNÝ) ARITMETICKÝ PRŮMĚR): xx = pppp pp mm xx = mm 0 pp mm 0 = pppp2 nn 1 mm ii = mm 0 pp ii

9 1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ MĚŘICKÝCH DVOJIC (NAPŘ. DVAKRÁT MĚŘENÁ DÉLKA, MĚŘENÍ TAM A ZPĚT PŘI NIVELACI, ) STEJNÉ PŘESNOSTI xx = ll ii +ll ii 2 dd ii = ll ii -ll ii mm = dddd 2nn mm xx = mm 2 RŮZNÉ PŘESNOSTI xx = ll ii +ll ii 2 dd ii = ll ii -ll ii mm 0 = ppdddd 2nn mm 0xx = mm 0 2 mm ii = mm 0 pp ii mm xxii = mm 0xx pp ii

10 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ ÚLOHU LZE ROZDĚLIT DO TĚCHTO KROKŮ: 1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: K= POČET NEZNÁMÝM (NUTNÝCH MĚŘENÍ) N= POČET PROVEDENÝCH MĚŘENÍ MUSÍ PLATIT: N>K 2) VOLBA NEZNÁMÝCH A SESTAVENÍ FUNKČNÍCH VZTAHŮ: ll = ff(xx TT ) PŘ. PŘI VYROVNÁNÍ NIVELAČNÍ SÍTĚ: xx = HH AA, h 1 = xx HH AA, 3) ROVNICE OPRAV: vv = ff xx TT ll = ll ll

11 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 4) PŘETVOŘENÉ ROVNICE OPRAV A VOLBA PŘIBLIŽNÝCH NEZNÁMÝCH: xx 0 =? vv = AAAAAA + lll lll = ff xx 0 TT ll AA = MATICI A(N, K) NAZÝVÁME MATICÍ PLÁNU 5) NORMÁLNÍ ROVNICE: VZNIKNOU DOSAZENÍM PŘETVOŘENÉ ROVNICE OPRAV DO PODMÍNKY MNČ: AA TT PPPPPPPP + AA TT PPlll = 0 MATICE P JE MATICE VAH (DIAGONÁLNÍ)

12 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 6) ŘEŠENÍ NORMÁLNÍCH ROVNIC: dddd = (AA TT PPPP) 1 AA TT PPlll 7) VÝPOČET OPRAV MĚŘENÍ (DOSAZENÍ DO PŘ. ROV. OPRAV): 8) VÝPOČET NEZNÁMÝCH: vv = AAAAAA + lll xx = xx 0 + dddd 9) VÝPOČET VYROVNANÝCH MĚŘENÍ ll II = ll + vv 10)KONTROLA DOSAZENÍM DO FUNKČNÍCH VZTAHŮ: ll IIII = ff(xx TT ) ll II ll IIII

13 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 11)ZÁVĚREČNÁ KONTROLA (NEZÁVISLÁ KONTROLA VÝPOČTU, NAPŘ. KONTROLA UZÁVĚRŮ, ) 12)KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ: APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA: STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ llll = mm 0 2 QQ llll, STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ: mm 0 2 = vvtt pppp nn kk QQ llll = PP 1 Σ llll = mm 0 2 QQ llll QQ llll = AAQQ xxxxaa TT STŘEDNÍ CHYBY NEZNÁMÝCH: Σ xxxx = mm 0 2 QQ xxxx, QQ xxxx = (AA TT PPPP) 1 STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH

14 3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: rr = nn kk (POČET PODMÍNEK) 2) SESTAVENÍ PODMÍNEK: φφ ll TT = 0 NAPŘ. 180 αα ββ γγ = 0 3) PŘETVOŘENÉ PODMÍNKOVÉ ROVNICE: BBBB + uu = 0 4) VÝPOČET OPRAV: BB = ll uu = φφ(ll TT ) vv = PP 1 BB TT (BBPP 1 BB TT ) 1 uu KORELÁTY K

15 3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 5) VYROVNANÁ MĚŘENÍ: ll = ll + vv 6) KONTROLA DOSAZENÍM DO PODMÍNEK: φφ ll TT 0 7) KONTROLA DOSAZENÍM DO DALŠÍCH (ZÁVISLÝCH) PODMÍNEK 8) KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ: APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA: STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ llll = mm 0 2 QQ llll, STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ: Σ llll = mm 0 2 QQ llll QQ llll = PP 1 mm 0 2 = vvtt pppp rr QQ llll = PP 1 PP 1 BB TT (BBPP 1 BB TT ) 1 BBPP 1 STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH

16 4) KOMBINOVANÉ DRUHY VYROVNÁNÍ VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ S PODMÍNKAMI (APLIKOVÁNO PŘI VYROVNÁNÍ VOLNÝCH SÍTÍ) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ S NEZNÁMÝMI (NAPŘ. K NALEZENÍ CHYBY KONSTANTNÍ VELIKOSTI V MĚŘENÝCH DATECH)

17 LITERATURA: BÖHM, J., RADOUCH, V., HAMPACHER, M. (1990) TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET. GEODETICKÝ A KARTOGRAFICKÝ PODNIK PRAHA, 1990, 2. UPRAVENÉ VYDÁNÍ. DĚKUJI ZA POZORNOST