Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line rn ch oper tor v re ln ch prostorech se skal rn m sou inem Na po tku budeme p edpokl dat, e A je line rn oper tor na re ln m vektorov m prostoru V dimenze n V ta 87 o existenci vlastn ho vektoru u libovoln ho line rn ho oper toru na komplexn m vektorov m prostoru m v re ln m p pad n sleduj c podobu Tak zde se mus me odvolat na z kladn v tu algebry V ta 99 Pro ka d line rn oper tor na re ln m vektorov m prostoru V existuje invariantn podprostor dimenze nebo dimenze 2 prostoru V Budeme op t zkoumat soustavu li- D kaz Zvol me n jakou b zi e e n ne rn ch rovnic ac + a2c2 + + anc n = c a2c + a22c2 + + a2nc n = c2 a nc + a n2c2 + + a nn c n = c n a hledat n jak nenulov e en c c n t to soustavy Takov e en existuje pr v kdy je hodnota parametru zvolena tak, aby platilo det a? a2 an a2 a22? a2n a n a n2 a nn? CA = Tato podm nka vede stejn jako v d kazu V ty 87 k algebraick rovnici n-t ho stupn, tentokr t ale s re ln mi koecienty Proto e ka d re ln slo je sou asn komplexn m slem, plyne ze z kladn v ty algebry, e charakteristick rovnice oper toru A m aspo jeden komplexn ko en Potom jsou mo n dva p pady a) slo je re ln Na e soustava line rn ch rovnic m potom nenulov re ln e en c c Tato re ln sla jsou sou adnice vektoru x 6= vzhledem k b zi e n e n Vektor x je potom vlastn m vektorem oper toru A a je p slu n vlastn slo b) Ko en charakteristick rovnice oper toru A je komplexn slo = + i, 6= Na e soustava line rn ch rovnic m potom op t nenulov e en c c, tentokr t ale n nem eme p edpokl dat, e jsou sla c c re ln Jsou to obecn komplexn sla, n tedy c = k k + i k k = n Typeset by AMS-T E X
2 Dosad me za a c do na soustavy line rn ch rovnic a odd l me re ln a komplexn k sti Dostaneme tak dv soustavy line rn ch rovnost a a + a22 + + an n =? a2 + a222 + + a2n n = 2? 2 a n + a n22 + + a nn n = n? n a + a22 + + an n = + a2 + a222 + + a2n n = 2 + 2 a n + a n22 + + a nn n = n + n Re ln sla 2 n budeme pova ovat za sou adnice n jak ho vektoru x 2 V vzhledem k b zi e e n a podobn m eme sla 2 n pova ovat za sou adnice vektoru y 2 V vzhledem k t e b zi e e n Oba vektory x y nejsou sou asn nulov Potom m eme posledn dv soustavy rovnost zapsat ve tvaru A(x) = x? y A(y) = x + y Kdyby byly vektory x a y line rn z visl, plynulo by z libovoln z p edchoz ch dvou soustav rovnost, e aspo jeden z vektor x y je vlastn m vektorem oper toru A a p slu n vlastn slo by bylo re ln Vektory x a y jsou tedy line rn nez visl a generuj dvoudimenzion ln podprostor P V Z rovnost A(x) = x? y, A(y) = x + y plyne, e P je invariantn podprostor oper toru A V posledn m d kazu jsme uk zali o n co v ce, ne jenom existenci dvoudimenzion ln ho invariantn ho podprostoru P oper toru A v p pad, e oper tor A m vlastn slo = + i, kter nen re ln Uk zali jsme nav c, e v invariantn rovin P existuje b ze x y, kterou oper tor A zobrazuje n sledovn A(x) = x? y A(y) = x + y P ipome me je t pozn mku uvedenou za Denic 44, e ka d line rn oper tor na re ln m vektorov m prostoru lich dimenze m aspo jeden vlastn vektor, neboli aspo jeden invariantn podprostor dimenze Ortogon ln oper tory Nyn k na im vah m p ibereme skal rn sou in, kter je v euklidovsk m prostoru V denovan
3 Denice 46 Line rn oper tor A na n-dimenzion ln m euklidovsk m vektorov m prostoru V se naz v ortogon ln oper tor, jestli e zachov v skal rn sou in, tj plat -li pro ka d dva vektory x y 2 V rovnost (A(x) A(y)) = (x y) Zvol me-li x = y, dostaneme rovnost jja(x)jj 2 = (A(x) A(x)) = (x x) = jjxjj 2 neboli ka d ortogon ln oper tor zobrazuje libovoln vektor x 2 V do vektoru stejn d lky Vzpomeneme-li si je t na vyj d en hlu ' mezi dv ma vektory x y pomoc skal rn ho sou inu, (x y) cos' = jjxjjjjyjj uvid me e ortogon ln oper tory zachov vaj rovn hel mezi dv ma vektory Speci ln zobrazuj dva kolm vektory na jin dva kolm vektory Odtud n zev ortogon ln oper tory V imn te si je t, e ortogon ln oper tor A mus zobrazovat libovoln nenulov vektor x op t na nenulov vektor A(x) Plyne to z toho, e nulov vektor je jedin vektor d lky Ka d ortogon ln oper tor m tedy nulov j dro a je proto vz jemn jednozna n Je-li e e n n jak ortonorm ln b ze v prostoru V, pak vektory A(e) A(e2), A(e n ) tak tvo ortonorm ln b zi Bu (a ik ) matice oper toru A vzhledem k ortonorm ln b zi e e n Potom k-t sloupec matice (a ik ) tvo sou adnice vektoru A(e k ) v ortonorm ln b zi e e n Pro libovoln dv r zn sla k l = n proto plat a stejn tak nx = (e k e l ) = (A(e k ) A(e l )) = a ik a il i= nx = (e k e k ) = (A(e k ) A(e k )) = a ik a ik i= Denice 47 tvercov matice M = (a ik ) du n slo en z re ln ch sel se naz v ortogon ln matice, plat -li pro libovoln k l = n nx a ik a il = kl i= tvercov matice M je tedy ortogon ln pr v kdy plat M M = I, kde M je matice transponovan k matici M Z v ty o n soben determinant (V ta 64) a z V ty 6 plyne, e det M det M = det M det M = det I = neboli det M = pro ka dou ortogon ln matici M
4 Determinant matice ortogon ln ho oper toru A vzhledem k libovoln ortonorm ln b zi e e n se tedy rovn Ortogon ln oper tor A, jeho determinant se rovn +, se naz v vlastn ortogon ln oper tor Je-li determinant matice oper toru A roven?, naz v se A nevlastn ortogon ln oper tor V p pad ortogon ln ch oper tor m ka d invariantn podprostor invariantn dopln k Tato d le it vlastnost ortogon ln ch oper tor m snadn d kaz V ta Je-li P invariantn podprostor ortogon ln ho oper toru A na euklidovsk m prostoru V, pak tak ortogon ln dopln k P? podprostoru P je invariantn podprostor oper toru A D kaz Je-li y 2 P?, pak plat (x y) = pro ka d vektor x 2 P Proto e je oper tor A vz jemn jednozna n na cel m prostoru V, je tak vz jemn jednozna n na podprostoru P Proto existuje pro ka d vektor x 2 P vektor z 2 P takov, e A(z) = x Potom plat pro ka d x 2 P neboli A(y) 2 P? pro ka d vektor y 2 P (x A(y)) = (A(z) A(y)) = (z y) = Probereme te ortogon ln oper tory v mal ch dimenz ch Nejsnaz to je v p pad jednodimenzion ln ho prostoru Zvol me v n m n jak vektor e d lky Potom A(e) = e a z podm nky ortogonality A plyne = (e e) = (A(e) A(e)) = (e e) = 2 (e e) = 2 Plat tedy = Na jednodimenzion ln m euklidovsk m prostoru tedy existuj pouze dva ortogon ln oper tory Je to bu identick oper tor A(x) = x (vlastn ortogon ln oper tor) a nebo oper tor A(x) =?x (nevlastn ) Bu nyn A ortogon ln oper tor na dvoudimenzion ln m euklidovsk m prostoru V Zvolme v n m ortonorm ln b zi e e2 a nech a b c d je matice oper toru A vzhledem k b zi e e2 Budeme d le p edpokl dat, e oper tor A je vlastn ortogon ln oper tor, tj plat ad? bc = Matice oper toru A mus b t nav c ortogon ln, tj mus platit a b? = a c c d b d Z rovnosti ad? bc = plyne jin vyj d en inverzn matice k matici oper toru A a b? = d?b c d?c a
5 Proto e je inverzn matice k libovoln regul rn matici ur ena jednozna n, dost v me rovnosti a = d, c =?b Matice oper toru vzhledem k b zi e e2 m tedy tvar a?b b a kde a 2 + b 2 = Polo me-li a = cos ' a b = sin ', dostaneme e ka d vlastn ortogon ln oper tor A na dvoudimenzion ln m euklidovsk m prostoru V m vzhledem k libovoln ortonorm ln b zi e e2 matici cos '? sin ' sin ' cos ' kde ' je vhodn hel Oper tor A tedy nen nic jin ho ne pooto en o hel ' Nyn budeme uva ovat p pad nevlastn ho ortogon ln ho oper toru A, tj p pad ad? bc =? Charakteristick polynom 2? (a + d)? oper toru A m potom re ln ko eny Existuje tedy vlastn vektor e oper toru A, tj plat A(e) = e, kde = Vektor e dopln me do ortonorm ln b ze vektorem f To je podle V ty tak vlastn vektor oper toru A, tedy A(f) = f V b zi e f m tedy matice oper toru A matici Proto e je ale A nevlastn ortogon ln oper tor, jsou pro v b r znam nek pouze dv mo nosti?? Nevlastn ortogon ln oper tor ve dvoudimenzion ln m euklidovsk m prostoru V je tedy osov symetrie vzhledem k ose proch zej c po tkem V libovoln dimenzi plat n sleduj c v ta V ta Bu A ortogon ln oper tor v n-dimenzion ln m euklidovsk m prostoru V Potom v prostoru V existuje ortonorm ln b ze e e n, ve kter m oper tor A matici?? cos '? sin ' sin ' cos ' cos ' k? sin ' k CA sin ' k cos ' k
6 V echny ostatn prvky matice jsou nulov D kaz Podle V ty 99 m oper tor A na prostoru V invariantn podprostor P, kter m dimenzi nebo 2 M -li podprostor P dimenzi, zvol me v n m vektor e d lky Jestli e dn invariantn podprostor dimenze neexistuje, m podprostor P dimenzi 2 Vybereme v n m ortonorm ln b zi e e2 V prvn m p pad plat A(e) = e Ve druh m p pad je oper tor A na podprostoru P vlastn ortogon ln oper tor (jinak by v P existoval jednodimenzion ln invariantn podprostor oper toru A) Vzhledem k b zi e e2 m matici cos '? sin ' sin ' cos ' Ortogon ln dopln k P? podprostoru P je podle V ty tak invariantn podprostor oper toru A Op tovn m pou it m V ty 99 v n m najdeme invariantn podprostor Q dimenze nebo 2, v n m zvol me ortonorm ln b zi, atd Dostaneme tak postupn n navz jem ortogon ln ch vektor d lky Ty tvo b zi e e n, vzhledem ke kter m matice oper toru A blokov diagon ln tvar Vhodnou zm nou po ad vektor v nalezen b zi z sk me matici hledan ho tvaru Ka d slo na hlavn diagon le odpov d jednodimenzion ln mu invariantn mu podprostoru, ka d bu ka cos 'i? sin ' i sin ' i ur uje jeden invariantn podprostor dimenze 2 cos ' i Pr v dok zan v ta m adu d sledk P r si jich uvedeme Nazv me jednoduchou rotac vlastn ortogon ln oper tor A, kter v n jak m dvoudimenzion ln m invariantn m podprostoru P p sob jako oto en o hel ', a v ortogon ln m dopl ku P? zobrazuje ka d vektor do sebe Ve vhodn zvolen b zi m potom A matici cos ' sin '? sin ' cos ' CA Jednoduch reexe je nevlastn ortogon ln oper tor A, kter m jednodimenzion ln invariantn podprostor P, na kter m zobrazuje ka d vektor x do opa n ho vektoru?x, a kter d le zobrazuje ka d vektor ortogon ln ho dopl ku P? do sebe Ve vhodn zvolen
7 b zi m potom oper tor A (diagon ln ) matici? CA Z V ty si pak snadno dok ete D sledek 2 Ka d ortogon ln oper tor A na euklidovsk m prostoru V m eme vyj d it jako slo en n kolika jednoduch ch rotac a n kolika jednoduch ch reex V imn me si je t, e m -li oper tor A na dvoudimenzion ln m prostoru vzhledem k n jak ortonorm ln b zi e e2 matici?? jde vlastn o oto en o hel Pova ujeme-li oto en o hel tak za prostou rotaci, dostaneme dal d sledek D sledek 3 Ka d vlastn ortogon ln oper tor na euklidovsk m line rn m prostoru lze slo it z n kolika prost ch rotac Ka d nevlastn ortogon ln oper tor lze slo it z n kolika prost ch rotac a jedn prost reexe V euklidovsk m prostoru dimenze 3 pro ka d vlastn ortogon ln oper tor A existuje ortonorm ln b ze e e2 e3, ve kter m A matici @ cos '? sin ' A sin ' cos ' Pro v echny vektory x invariantn ho podprostoru P generovan ho vektorem e tak plat A(x) = x, v echny prvky P tedy z st vaj na m st Na ortogon ln m dopl ku vektoru e (tj v rovin generovan vektory e2 e3) oper tor A p sob jako oto en o hel ' (P ipou t me i p pad ' =, tj e oper tor A je identick oper tor na cel m prostoru V) Oper tor A je tedy rotace kolem osy ur en vektorem e Ka d vlastn ortogon ln oper tor v t dimenzion ln m euklidovsk m prostoru V je tedy rotace kolem n jak osy Slo en dvou vlastn ch ortogon ln ch oper tor je zase vlastn ortogon ln oper tor (podle v ty o n soben determinant ) Je-li oper tor A v euklidovsk m prostoru dimenze 3 oto en o hel ' kolem osy ur en vektorem e a oper tor B oto en o hel kolem osy ur en vektorem f, pak slo en BA t chto dvou oper tor je op t oto en o n jak hel kolem osy ur en n jak m vektorem g Zaj mav cvi en spo v v nalezen hlu a vektoru g, jsou-li d ny hly ', a vektory e, f