Vlastní číslo, vektor
|
|
- Zdeněk Kučera
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální maticí a) vlcisla, 14, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, 2013 d) BI-LIN, e) L, f) 2012/2013, g)l. Viz p. d. 4/2010
2 Motivace BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [2] Je dána transformace A : R 2 R 2. Najdeme takovou přímku p procházející počátkem, aby A(p) = p. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Musí tedy existovat λ R tak, aby A( u ) = λ u. Přitom u musí být nenulový vektor. Zvolme v R 2 nějakou bázi (např. standardní). Nechť x jsou souřadnice u vzhledem k této bázi a A je matice transforamce A vzhledem k této bázi. Pak musí Ax = λx, x o, tj. (A λe) x = o, x o Takže matice A λe musí být singulární, neboli det(a λe) = 0. Číslu λ budeme říkat vlastní číslo a vektoru u říkáme vlastní vektor transformace A příslušející vlastnímu číslu λ.
3 Vlastní čísla jsou i komplexní BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [3] Kvadratická rovnice det(a λ E) = 0 (viz předchozí motivační příklad) může ale nemusí mít reálné kořeny. Pokud má dva různé reálné kořeny, pak existují dva směry, které transformace A nemění. Tj. existují dvě přímky, pro které je A(p) = p. Například zkosení, které (1, 0) nechá beze změny a (0, 1) zobrazí na (1, 1/2). Pokud jsou kořeny rovnice det(a λe) = 0 komplexní, pak neexistují přímky, pro které je A(p) = p (například rotace). Pokud bychom chtěli najít vlastní vektory příslušející komplexním vlastním číslům, budou mít komplexní souřadnice. Je tedy potřeba pracovat s lineárním prostorem nad komplexními čísly. Budeme potřebovat záruku existence vlastních čísel. Budeme tedy muset připustit komplexní vlastní čísla a pracovat s lineární prostorem L nad C.
4 Invariantní podprostor BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [4] Nechť A : L L je lineární transformace. Podprostor P L, pro který platí A(P) = P nazýváme invariantní podprostor vzhledem k A. Předběžná úvaha: Je-li L lineární prostor nad C, pak zaručeně existují vlastní čísla λ C, pro která je A( x ) = λ x, x o. Společně s nulovým vektorem tvoří všechny vlastní vektory příslušející pevně vybranému vlastnímu číslu λ invariantní podprostor. Je-li L lineární prostor nad R, pak kromě { o } a L další invariantní podprostory vzhledem k A nemusejí existovat: vlastní čísla mohou být jen komplexní. Například A je rotace.
5 Vlastní číslo, vlastní vektor matice BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [5] Definice: Nechť A je čtvercová matice typu (n, n) reálných nebo komplexních čísel. Číslo λ C se nazývá vlastním číslem matice A, pokud existuje vektor x C n,1, x o, takový, že A x = λ x. Vektor x, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Pozorování: Z rovnosti A x = λ x plyne (A λe) x = o. Protože z definice musí x o, je třeba, aby soustava měla nenulové řešení, tedy musí det(a λe) = 0. Definice: Polynom v proměnné λ tvaru det(a λe) se nazývá charakteristický polynom matice A. Pozorování: Charakteristický polynom je stupně n a jeho kořeny jsou vlastní čísla matice A. Matice A má tedy (včetně násobností) n vlastních čísel.
6 BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [6] Vlastní číslo, vlastní vektor transformace Definice: Nechť L je lineární prostor konečné dimenze nad C a nechť A : L L je lineární transformace. Číslo λ C se nazývá vlastním číslem transformace A, pokud existuje vektor x L, x o takový, že A( x ) = λ x. Vektor x, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá vlastní vektor transformace A příslušný vlastnímu číslu λ. Pozorování: Vlastní číslo transformace A je stejné jako vlastní číslo její matice A vzhledem k jakékoli bázi (B). Vlastní vektor matice A pak obsahuje souřadnice vlastního vektoru transformace A vzhledem k bázi (B). Důsledek: Všechny matice stejné lineární transformace (vzhledem k různým bázím) mají shodná vlastní čísla (mají shodné spektrum).
7 Příklad BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [7] Je dána matice A = Najdeme její vlastní čísla a k nim příslušející vlastní vektory. det 5 λ λ λ = λ 3 +8λ 2 21λ +18 = (λ 3) 2 (λ 2) Toto je charakteristický polynom matice A. Má dvojnásobný kořen λ = 3 a jednonásobný kořen λ = 2. Tyto kořeny jsou vlastní čísla matice A. Najdeme ještě vlastní vektory příslušející vlastním číslům 3 a 2...
8 Příklad, pokračování BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [8] λ = 3 : ( ), takže k λ = 3 přísluší vlastní vektory z (1, 1, 0), ( 1, 0, 1) ( ) λ = 2 : takže k λ = 2 přísluší vlastní vektory z ( 2, 1, 4). Pro vlastní čísla a vlastní vektory platí např. následující vztahy: = 3 1, =
9 Jiný příklad Je dána matice B = Její charakteristický polynom je BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [9] det(b λe) = λ 3 + 8λ 2 21λ + 18 = (λ 3) 2 (λ 2). Hledáme vlastní vektory příslušející vlastním číslům 3 a 2: ( ) vlastní λ = 3 : vektor: (1, 1, 1) λ = 2 : ( ) vlastní vektor: (0, 3, 4) B má stejná vlastní čísla jako A, ale jiné invariantní prostory.
10 Podobné matice BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [10] Idea: Jak se podobají matice A a A stejné lineární transformace A, jen vzhledem k různým bázím (B) a (B )? Platí: To nás ispiruje k následující A = (P B B ) 1 A P B B Definici: Říkáme, že dvě čtvercové matice A, B R n,n jsou podobné, pokud existuje regulární matice P R n,n taková, že B = P 1 A P. Pozorování1: podobnost je relace ekvivalence. Pozorování2: podobné matice mají stejná vlastní čísla.
11 BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [11] Podobné matice mají stejný char. polynom Tvrzení: Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Důkaz: Nechť B = P 1 AP je matice podobná s A. Je det (P 1 AP λ E) = det (P 1 AP λ P 1 EP) = = det (P 1 AP P 1 λ EP) = = det (P 1 (A λ E) P) = = det P 1 det (A λ E) det P = det (A λ E). Upozornění: Obrácené tvrzení mají-li dvě matice stejný charakteristický polynom, pak jsou podobné neplatí. Za chvíli ukážeme, že matice A a B z předchozích příkladů nejsou podobné.
12 Podobnost s diagonální maticí BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [12] Úloha: Budeme se ptát, za jakých podmínek je čtvercová matice A podobná s diagonální maticí tvaru: λ λ D = 0 0 λ λ n Jiný pohled na úlohu: je dána transformace A svou maticí A vzhledem k nějaké bázi. Ptáme se, zda existuje jiná báze, vzhledem ke které je matice transformace A diagonální. Ptáme se tedy, zda lze vhodnou volbou báze co nejvíce zjednodušit matici transformace až na diagonální tvar. Pokud se to povede, pak z pohledu takové báze je transformace A jen změnou měřítka ve směrech vektorů báze (resp. projekce).
13 Rovnost A P = P D BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [13] Věta: Nechť A, P a D jsou čtvercové matice typu (n, n), nechť P obsahuje nenulové sloupce a nechť D je diagonální. Pak platí A P = P D právě tehdy, když D obsahuje vlastní čísla matice A a i-tý sloupec matice P obsahuje vlastní vektor příslušející i-tému vlastnímu číslu v D. Důkaz: Nechť D obsahuje na diagonále čísla λ i. Roznásobením rovnosti A P = P D po sloupcích matice P = (p 1, p 2,..., p n ) dostáváme rovnosti A p i = λ i p i. Tyto rovnosti platí právě když λ i je vlastní číslo matice A a p i je k němu příslušející vlastní vektor. Pozorování: Kdyby byla P regulární, pak P 1 AP = D, takže A bude podobná s diagonální maticí.
14 BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [14] Podmínka podobnosti s diagonální maticí Tvrzení: Matice A typu (n, n) je podobná s diagonální maticí právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů. Skutečně, stačí tyto vektory napsat do sloupců matice P, dále sestavit diagonální matici D z odpovídajících vlastních čísel a platí rovnost z předchozí strany. Věta: Různá vlastní čísla mají lineárně nezávislé vlastní vektory. Důkaz: technický, viz skriptum. Důsledek: Má-li matice A pouze jednonásobná vlastní čísla (těch je n a jsou vzájemně různá), pak je podobná s diagonální maticí. Upozornění: Obrácené tvrzení A je podobná s diagonální, pak má vzájemně různá vlastní čísla neplatí. Např. E má n-násobné vlastní číslo 1 a je přímo rovna diagonální matici.
15 Příklad BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [15] Matice A z předchozího příkladu je podobná s diagonální. Má tři lineárně nezávislé vlastní vektory, např. (1, 1, 0), ( 1, 0, 1), ( 2, 1, 4). Tudíž platí = Matice B z předchozího příkladu není podobná s diagonální, protože nemá tři lineárně nezávislé vlastní vektory. Takže: matice A a B nejsou vzájemně podobné, ačkoli mají stejný charakteristický polynom a stejná vlastní čísla.
16 Příklad: změna báze BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [16] Matice A z předchozího příkladu odpovídá transformaci: x = 5x 2y + 2z y = x + 4y z z = 4x + 4y Vzhledem k bázi (C) = ((1, 1, 0), ( 1, 0, 1), ( 2, 1, 4)) má tatáž transformace diagonální matici D = z takže v této bázi se souřadnice obrazu počítají takto: x = 3x, y = 3y, z = 2z.
17 Nutná podmínka podobnosti s diagonální maticí BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [17] Dá se ukázat, že dimenze nulového prostoru matice A λe je vždy menší nebo rovna násobnosti vlastního čísla λ. Matice A typu (n, n) je podobná s diagonální právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů. To znamená, že má-li k násobné vlastní číslo λ, musí mu příslušet k lineárně nezávislých vektorů, neboli dimenze nulového prostoru matice A λ E musí být přesně rovna k. Pokud tedy pro každé vícenásobné vlastní číslo λ je dimenze nulového prostoru matice A λ E přesně rovna násobnosti tohoto vlastního čísla, je matice A podobná s diagonální maticí.
18 Jordanův kanonický tvar BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [18] Dá se ukázat, že každá matice A je podobná aspoň se skoro diagonální maticí tvaru: λ J 1 O... O i J = O J 2... O..., kde J 0 λ i i = O O... J m λ i Čísla λ i jsou vlastní čísla matice A. Matici J se říká Jordanův kanonický tvar matice A. Na diagonále matice J se objeví každé vlastní číslo tolikrát, kolik je jeho násobnost. Dimenze nulového prostoru matice A λ E odpovídá počtu Jordanových bloků J i se stejným vlastním číslem λ. Takže tyto Jordanovy bloky se mohou pro stejné (vícenásobné) vlastní číslo opakovat.
19 Cvičení BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [19] Vysvětlete, proč det A je roven součinu vlastních čísel matice A. Vysvětlete, proč det A je roven absolutnímu členu charakteristického polynomu matice A. Předpokládejte A matici podobnou s diagonální. Když do charakteristického polynomu matice A místo λ zapíšete matici A, dostáváte nulovou matici. Proč? Předchozí tvrzení patí i pro matice, které nejsou podobné s diagonální maticí.
20 Standardní skalární součin v C n BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [20] Označení: V následujících stranách bude v w značit standardní skalární součin v C n, tedy maticově: w 1 v w = (v1, v 2,..., v n ) w 2. w n Připomenutí: z axiomů skalárního součinu plyne: v w = w v, (α v ) w = α ( v w), v (α w) = α ( v w). Je-li A reálná matice, pak (A v ) w = v (A T w), protože: T v 1 A. v n w 1. w n w 1 = (v 1, v 2,..., v n ) A T. w n
21 BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [21] Symetrická matice má reálná vlastní čísla Věta: Reálná symetrická matice má všechna vlastní čísla reálná. Důkaz. Nechť λ C je vlastní číslo reálné symetrické matice A a v je jemu příslušný vlastní vektor. λ ( v v ) = (λ v ) v = (A v ) v = v (A T v ) = = v (A v ) = v (λ v ) = λ ( v v ). Protože v v = v 2 0, musí λ = λ, tedy λ R.
22 BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [22] Symetrická matice: kolmé vlastní vektory Věta: Reálná symetrická matice má vlastní vektory, které příslušejí různým vlastním číslům, na sebe kolmé. Důkaz: Nechť λ 1, λ 2 jsou různá vlastní čísla reálné symetrické matice A a v 1, v 2 jsou jim příslušející vlastní vektory. Z předchozího víme, že λ 1, λ 2 R. Je: λ 1 ( v 1 v 2 ) = (λ 1 v 1 ) v 2 = (A v 1 ) v 2 = v 1 (A T v 2 ) = = v 1 (A v 2 ) = v 1 (λ 2 v 2 ) = λ 2 ( v 1 v 2 ) Neboli (λ 1 λ 2 ) ( v 1 v 2 ) = 0. Protože λ 1 λ 2, musí v 1 v 2 = 0, tedy vektory jsou na sebe kolmé.
23 Rozklad symetrické matice BI-LIN, vlcisla, 14, P. Olšák [23] Věta: Reálná symetrická matice je podobná s diagonální maticí. Důkaz: Neuvádíme. Věta: Nechť A je reálná symetrická matice. Pak existuje reálná diagonální matice D a reálná ortogonální matice P tak, že A = P T D P Důkaz: Je A = P 1 D P, kde P obsahuje ve sloupcích vlastní vektory a D obsahuje na diagonále vlastní čísla. Protože jsou vlastní čísla reálná, jsou reálné i vlastní vektory. Různým vlastním číslům příslušejí na sebe vzájemně kolmé vlastní vektory a násobným vlastním číslům (násobnosti k), přísluší k lineárně nezávislých vlastních vektorů, které lze ortogonalizovat. V matici P máme tedy na sebe kolmé sloupce, které lze normalizovat. Dostáváme ortogonální matici. Pro ortogonální matici platí P 1 = P T.
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Kapitola 5. Symetrické matice
Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
SVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Podobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Arnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
K2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ]
. Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní
19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Euklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
[1] LU rozklad A = L U
[1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,
Transformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární