1. Obsah 1. Obsah... 1 2. Úvod... 2 3. Vyjádření neznámé... 3 Pracovní list č. 1... 6 4. Odhady... 7 Pracovní list č. 2... 10 Pracovní list č. 3... 12 5. Tabulky, grafy a diagramy... 14 Pracovní list č. 4... 16 Pracovní list č. 5... 21 6. Funkce... 24 Pracovní list č. 6... 28 7. Rovnice... 29 Pracovní list č. 7... 31 8. Statistika... 32 Pracovní list č. 8... 39 9. Práce s chybou... 40 Pracovní list č. 9... 43 9. Praktické využití měřidel v matematice... 44 10. Závěr... 45 11. Literatura a internetové zdroje... 46 1
2. Úvod Matematika zaujímá důležité místo ve všech sférách lidského bytí. Nejedná se pouze o přírodní vědy, ale i o vědy společenské a humanitní. V přírodních vědách je každému známá provázanost matematiky s fyzikou, měně známé jsou vzájemné vztahy mezi biologií, chemií a geografií. Tato sbírka vznikla jako učební text pro podporu výuky žáků v přírodních vědách za pomoci měřících souprav ovládaných počítačem. Ke správnému porozumění jednotlivým demonstračním pokusům často existuje nutnost mít zafixovaný alespoň základní matematický aparát. Autor se ve sbírce věnuje někdy problematickým partiím matematiky, které mohou mít přímou souvislost s vyhodnocováním a tvorbou experimentů tohoto projektu. 2
3. Vyjádření neznámé Ze školské praxe i s výsledků testování matematickým dovedností žáků vyplývá, že vyjádření neznámé z určitého matematického, fyzikálního nebo chemického vzorce činí žákům problémy, a to i v případě, že nemívají potíže s řešením běžných druhů rovnic. V této kapitole ukážeme dva řešené příklady a v pracovním listě jsou uvedeny úkoly pro domácí přípravu. Příklad 1 Je dán Δ ABC, kde a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. Tomuto Δ je opsaná kružnice, jejíž poloměr je r = 4 cm. Vypočítejte obsah Δ ABC. Problémy: 1. Jaký vzorec použít? Můžeme využít vzorce pro poloměr opsané kružnice a,b,c délky stran a b c r 2S S r obsah Δ poloměr kružnice opsané 2. Co je neznámou? Neznámou je S 3
Nyní upravujeme rovnici: a b c r 2S 2Sr = a b c S = a b c 2r Dosadíme známé hodnoty: /:2S /:2r S = a b c 2r = 5 7 8 2 4 = 35 Obsah trojúhelníka má velikost 35 cm 2 Příklad 2 Dva odpory v obvodu jsou zapojeny paralelně. Určete velikost velikost odporu R 1, je li výsledný odpor obvodu roven R = 96 20 Ω a velikost odporu R 2 = 8 Ω? Problémy: 1. Co to je paralelní zapojení? 2. Jaký použít vzorec? 3. Jak vypočítat neznámou? Řešení: Paralelní zapojení je na obrázku, vzorec je dán vztahem R = R 1 R 2 R 1 +R 2 Po upravení: R(R 1 + R 2 ) = R 1 R 2 4
RR 1 + RR 2 = R 1 R 2 RR 1 R 1 R 2 = - RR 2 R 1 (R R 2 ) = - RR 2 R 1 = R R 2 R R 2 Po dosazení: R 1 = 96 8 20 96 = 768 = 12 (Ω) 20 8 64 První odpor má velikost 12 Ω. 5
Pracovní list č. 1 1. Ze vzorce pro výpočet kinetické energie tělesa E = mv2 rychlost v. 2. Při tepelné výměně mezi dvěma tělesy platí kalorimetrická rovnice: c 1 m 1 (t 1 -t) = c 2 m 2 (t-t 2 ). Víme, že c 1 = 450 2 vyjádřete počáteční J, c J 2 = 4200, t 1 = 100, kg. kg. t 2 = 17, m 1 = 0,2 kg, m 2 = 0,5 kg. Jaká je výsledná teplota vody? Při řešení tohoto příkladu udělal žák chybu. Najděte ji a pak napište správný výsledek 450 0,2 (100 t) = 4200 0,5 (t-17) 9000 90t = 2100t 35700 44 700 = 2010 t t = 44700 2010 = 22,24 C 3. Vyjádřete neznámou h ze vzorce F = F G h 4. Vzorec z příkladu 3 se týká jedné z oblastí přírodních věd? Zjistěte, do které oblasti tento vzorec spadá a jaký vztah popisuje. 5. V chemii a biologii často potřebujeme zjistit výslednou koncentraci roztoků stejné látky po jejich smíchání. Tento děj je popsán vzorcem: m 1 w 1 + m 2 w 2 = (m 1 +m 2 )w. Jakou výslednou koncentraci bude mít roztok získaný smícháním 1 litru 60% etanolu a 2 litrů 85 % etanolu? s 6. Pro ředění roztoků vodou můžeme použít směšovací rovnici, ale elegantní řešení je možné provézt pomocí pomocí křížového pravidla. Pokud jej neznáte, tak jej můžete nastudovat například na: http://almanachchemie.webpark.cz/krizprav.htm. 6
4. Odhady S odhady se setkáváme běžně v životě, odhadujeme časy tras, ceny nákupů, oprav, množství surovin při vaření, přibližně odhadujeme délky, obsahy a objemy. Ne vždy se stává, že odhady žáků jsou reálné. Často se divíme závěrům, ale částečně je to vina nás učitelů matematiky, že žáky neučíme odhadovat přibližné výsledky, žáci spoléhají na výpočty na kalkulátorech a PC, kdy špatným zadáním dat dochází ke značným chybám. V matematice odhady užíváme zejména v nácviku odhadů výpočtů s racionálními čísly, vypočtu obsahů ploch a objemů těles, druhé mocniny a odmocniny, odhad vzdáleností, délky úseček, velikosti obsahů rovinných těles a objemů těles 4.1 Odhady výsledků výpočtů Pro odhadování přibližných výsledků existuje několik metod: a) Metoda počítaní se zaokrouhlenými čísly b) Metoda užívající referenční bod c) Metoda užívající odhad zepředu dozadu d) Metoda spočívající v odhadu seřazení odpovědí 4.1.1 Metoda počítaní se zaokrouhlenými čísly Tato metoda využívá zaokrouhlení čísel v určitém řádu na nejbližší desítky, stovky atd, následně počítáme s takto zaokrouhlenými čísly Příklad 3 Odhadněte přibližné výsledky: a) 538 + 777 b) 39 92 c) 1620 : 4 Řešení: a) 538 + 777 = 500 + 700 = 1200 b) 39 92 = 40 90 = 3600 c) 1620 : 4 = 1600 : 4 = 400 7
4.1.2 Metoda užívající referenční bod Využíváme například při odhadu výsledků početních operací se zlomky. Příklad 4 Rozhodněte, zda 2 3 + 1 9 je menší než 1. Řešení: S využitím vztahu 2 3 + 1 3 = 1 snadno odvodíme, že druhý sčítanec 1 9 je menší než 1 3, a proto výsledek musí být menší než 1. 4.1.3 Metoda užívající odhad zepředu dozadu Metodu využijeme k odhadu výsledku při sčítání či odčítání čísel s nejméně třemi číslicemi Příklad 5 Odhadněte výsledek 352 + 222 + 121 Řešení: 1) Sečteme stovky 300 + 200 + 100 = 600 2) Odhadneme součet desítek a jednotek - je menší než 100 3) Výsledek bude ležet v rozmezí 600 700 Příklad 6 Odhadněte výsledek 929 183 Řešení: 1) Odečteme stovky 900 100 = 800 2) Srovnáme 29 a 83 29 < 83 3) Výsledek bude ležet v rozmezí 700 800 8
4.1.4 Metoda spočívající v odhadu seřazení odpovědí Jedná se o kontrolu výsledku stanovením závěru, zda je správně uveden řád výsledku, popřípadě je-li správně umístěna desetinná čárka Příklad 7 Určete pomocí odhadu, který výsledek příkladu x = (400 35): 70 je správný? Výsledky 2;20;200;2 000;20 000. Řešení: Odhadneme, že 100 10 = 1000 a 1000:10 = 100, z čehož plyne, že výsledek bude ve stovkách, a proto výsledek je roven 200. 9
Pracovní list č. 2 1. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte: a. 42010 : 6,89 = b. 542323 : 599 = 2. Odhadněte pomocí referenčního bodu výsledek a. 6,97 3 bude menší než 21 nebo větší b. 1 7 + 1 8 je větší nebo menší než 2 7 c. 250 : 4 je menší nebo větší než 60 d. 27 13,25 bude menší nebo větší než 14 3. Metodou zepředu dozadu odhadni výsledky a. 1567 + 345 + 488 b. 1222 383 c. 1786 + 356-867-945 4. Jsou dány následující hodnoty: U = 220 V, I = 2,5 A, t = 330s, možné výsledky jsou: 18 150; 181 500; 18 150 000. Odhadněte správný výsledek metodou seřazení odpovědí. 10
4.2 Odhady vzdáleností Následující pasáž bude možná brána v dnešní době GPS navigací, smartphonů, laserových a ultrazvukových dálkoměrů asi jako anachronismus, na druhé straně ale seznamuje s možností využití matematiky v praktickém životě. Příklad 8 V pátém patře panelákového domu začalo hořet. Jak dlouhé potřebujeme lano, po kterém je možné se bezpečně spustit dolů? Problém: Jak je asi vysoko páté patro v panelákovém domě? Řešení: Dle výšky osoby si porovnáme přibližnou vzdálenost do stropu místnosti, připočteme šířku stropu/ přibližně 50 cm/ a výsledek vynásobíme 5. Výsledek by bylo možné přibližně ověřit přímo v terénu s využitím podobnosti trojúhelníků, samozřejmě bez spouštění lana z balkónu v pátém patře. 5.patro x m n l n:m=(n+l):x terénu x = (n+l)m n, kde hodnoty n, m, l snadno zjistíme měřením v 11
Pracovní list č. 3 1. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte na kalkulátoru a. 5,68 = b. 11,69 = c. 2772 = d. 0,157 = 2. Odhadněte přibližný výsledek a řešení ověřte: a. 47980 : 5,89 = b. 541111 : 899 = 3. Najděte na internetu jakou funkci má skautská hůl. 4. Navrhněte řešení, které nám pomůže přibližně určit šířku řeky. Situace je schematicky znázorněna na obrázku: ŘEKA + MÍSTO POZOROVATELE (Pokud vás nenapadne žádné řešení, můžete postup nalézt na : http://cs.wikipedia.org/wiki/odhad_vzd%c3%a1lenost%c3%ad 12
5. Odhadněte vzdálenost z Brna do Grazu a výsledek ověřte pomocí internetu 13
5. Tabulky, grafy a diagramy 5.1 Tabulky Orientace a práce s tabulkou je dovednost, při které žák provádí myšlenkové operace vzhledem ke grafickému uspořádání dat v tabulce. Žák základní školy musí rozpoznat logická pravidla rozmístění dat, zvládne orientaci v tabulce typu NxM, popřípadě orientace ve více souvisejících tabulkách a efektivní práci s daty tabulky. Rovněž žák musí z textu umět sestavit přehlednou tabulku dat a dalších údajů pro zápis poznatků a výsledků. S tabulkami se často setkáváme v běžném životě (jízdní řád, úrokové sazby, sportovní výsledky apod.). S rozvojem této dovednosti získává žák především kompetenci k řešení problémů a kompetenci komunikativní. Posiluje také kompetenci k učení a kompetenci sociální a personální. Příklad 9 Které řešení by mělo být na třetím řádku tabulky? X 1 x -2x + 2 1:(x-1) 2x 3 x 1-1 0-1 2 1 2-2 1 1 2 Příklad 10 Která číslice logicky chybí v tabulce? 2 4 8 16 32 14
Příklad 11 Určete součet čísel nacházejících se současně ve čtverci, kruhu a elipse -2-3 -4 5-1 4 6 1 2 3-1 4 2 7 8-2 5 6 2, 3, -1, 4, 6,, součet = 14 15
Pořadí číso oddíl slalom sjezd sprint celkem slalom sjezd sprint kombinace celkem Pracovní list č. 4 1) Které řádky tabulky obsahují správné hodnoty? Funkce x y y = 2x -1 1 1 y = 3 x y = x + 2 x y = 3-1 -3 2 2 0 3 2) Který oddíl v kategorii dorostu měl nejlepší výsledky ve sprintu? Dospělí dorost 1 9 USK Pha 81,0 23,9 12,23 81,0 111,0 6,0 15,0 12,0 144,0 2 119 Olomouc 23,78 49,5 52,5 102,0 18,0 18,0 21,0 23,3 57,0 3 57 Pardubice 32,1 34,5 33,8 68,3 12,1 34,5 11,3 12,3 45,8 4 121 Opava 23,2 24,2 6,12 0,0 16,5 12,4 18,2 23,8 16,5 5 64 Vys.Mýto 23,6 33,1 6,0 6,0 6,0 9,0 6,0 21,0 16
3) Jaký je součet všech sudých čísel, které se nacházejí současně uvnitř obdélníku i uvnitř největšího trojúhelníku? 17
5.2 Diagramy a grafy Grafy a diagramy znázorňují geometrická zobrazení algebraických vztahů. V médiích nalezneme celou řadu vhodných grafů a diagramů, kterými žáky zaujmeme a tímto nenáročným způsobem obohatíme výuku. Objevuje se ale problém správného porozumění jednotlivým grafům a diagramům. Názorný graf popřípadě diagram je nedílnou součástí odborné literatury z oblasti přírodních věd a úkolem nás pedagogů je naučit žáky s nimi efektivně pracovat. Žák se nejen v matematických, ale i fyzikálních a biologických úlohách nejčastěji setkává s tzv. dvojrozměrnou soustavou souřadnic. Žák střední školy musí umět vyčíst a analyzovat správná data z tabulky, popřípadě vypočítat souřadnice z příslušné tabulky, nebo díky vhodnému výpočtu získat souřadnice bodů a zaznamenat je do grafu. Nedílnou součástí je také zaznamenání průběhu funkce. Příklad č. 12 V tabulce je souhrn ovoce prodaného během roku v zelenině. Doplňte do grafu číselné údaje. ovoce podíl na prodeji hrušky 22% jablka dvojnásobek počtu banánů švestky 5% třešně polovina počtu hrušek banány 15% broskve 9% Ostatní 18
hrušky jablka švestky třešně banány broskve Ostatní Problémy: a) Dopočítat údaje u jablek, třešní a ostatních druhů ovoce b) Uvědomit si, jaké jednotlivé výseče odpovídají množství prodaného ovoce Řešení: Prodej ovoce hrušky jablka švestky třešně banány broskve Ostatní 9% 8% 22% 15% 11% 5% 30% 19
Příklad 13. Z grafu zjistěte potřebné informace a pak o každém z následujících tvrzení rozhodněte, zda je pravdivé nebo nikoliv. a) Nejmenší průtok měla Vltava v této lokalitě v červnu 2012. b) Největší průtok Vltavy byl v lednu 2013. c) Rozdíl mezi největším a nejmenším měřeným průtokem je větší než 600 m3 s. Zdroj: http://grafy.plaveniny.cz/cz/prutok/vltava/praha-chuchle.aspx a)ano b) Ne c) Ne 20
Pracovní list č. 5 Příklad 1 TV pondělí vysílaly televizní stanice od 20.00 hodin tyto pořady: TV NOVA Comeback (seriál) TV PRIMA Cesty domů (seriál) TV ČT 1 Četnické humoresky (seriál) TV ČT 2 Heinrich Himmler (dokument) TV BARRANDOV Fantomas kontra Scotland Yard (film) TV PRIMA COOL Americký chopper (dokument) TV NOVA CINEMA Nebezpečný vlak (film) Sledovanost jednotlivých pořadů je znázorněna sloupcovým grafem: SVISLE: počet obyvatel v tisících obyvatel stanice VODOROVNĚ: sledované televizní 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 NOVA PRIMA ČT1 ČT2 Barrandov Prima Cool Nova Cinema 21
Vyčti z grafu následující informace: 1) Kolik lidí sledovalo seriály? 2) O kolik lidí více sledovalo seriály než dokumenty? 3) O kolik lidí méně sledovalo dokumenty než filmy? 4) Kolik lidí nesledovalo filmy? 5) Kolik lidí celkem se v pondělí nedívalo na Fantomase? Příklad 2 Na obrázku je znázorněno množství srážek ve vybraných chorvatských městech. Prostudujte graf a odpovězte na tyto otázky: 1) Ve kterém měsíci a ve kterém městě byly největší a nejmenší srážky? 2) Průměrná vana má objem 120 l, kolik van bychom naplnili všemi sledovanými srážkami? 3) Kdy se nejvíce vyplatí jet do Chorvatska na dovolenou ve kterém měsíci a a do kterého města? 4) O kterém měsíci můžeme říci, že jsou v Chorvatsku největší srážky? 22
300 Graf srážek 250 množství v mm 200 150 100 50 0 Pula Rijeka Krk Rab Šibenik Split Hvar Dubrovnik měsíc Příklad 3 Na obrázku je graf stavů hospodářských zvířat v České republike za období 2006 2012. Sestrojte graf, který bude zobrazovat stavy zvířat vždy po 2 letech. 23
6. Funkce Při měření veličin přírodních věd získáváme značné množství dat, která musíme pro porozumění následně zpracovat a případně také graficky znázornit. Z funkčních vztahů pro potřeby základní školy je kladen důraz na lineární funkci, přímou a nepřímou úměrnost a kvadratickou funkci. Příklad 14 Při vaření vody varnou konvicí byla na konci první minuty od začátku vaření teplota vody 40 C a na konci třetí minuty byla teplota vody o 10 C nižší, než je bod varu vody. Tento jev je možné popsat zjednodušeně jednou funkcí. Napište, o kterou funkci se jedná, určete její rovnici a nakreslete její graf. Řešení: Vyplníme tabulku hodnot: Čas (min) 1 3 x Teplota ( C) 65 100 y Jedná se o lineární funkci, jejíž obecná rovnice je: y = ax + b Nyní dosadíme x,y, tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých 40 = a 1 + b 90 = a 3 + b 40 = a + b 90 = 3a + b 24
- 40 = -a b 90 = 3a +b 50 = 2a a = 25-40 = -25 b b = -25 +40 b = 15 f: y = 25x + 15. rovnice funkce Graf funkce. 60 y f(x)=25x+15 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 x -0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8-5 -10-15 25
Příklad 15 Jeden typ baktérie se množí tak, že se vždy rozdvojí. Vyplňte tabulku počtu baktérií a zakreslete průběh množení graficky. Řešení: množení počet bakterií 1. 2 2. 4 3. 8 4. 16 5. 32 6. 64 7. 128 8. 256 9. 512 10. 1024 1200 1000 800 počet bakterií počet baktérií 600 400 200 0 0 2 4 6 8 10 12 počet množení 26
Příklad 16 Na obrázku je část grafu funkce. Zkuste odpovědět na následující otázky: 1. O jakou funkci se jedná? 2. Platí tvrzení, že čím je větší x, tak tím je větší y 3. Který vzorec lépe vyhovuje dané funkci na obrázku y = 2 nebo y = 3? x x 4. Tento graf je souměrný podle počátku soustavy souřadnic? 5. Jak se nazývá křivka grafu? Řešení: 1. nepřímá úměrnost, 2. Neplatí, 3. y = 3, 4. Ano, 5. hyperbola x 27
Pracovní list č. 6 1) Napište ke křivkám na obrázku, jakou znázorňují funkci 2) Urči rovnici lineární funkce, víš-li, že její graf prochází body: A[1; 3], B[ 2; 9] b) A[ 5; 8], B[2; 1] 3) Urči souřadnice průsečíků grafů zadaných funkcí s osami x a y: 5. y = 5x 6 b) y = x + 1 2 4) Nepřímá úměrnost je dána rovnicí f: y = 2. Urči, který z bodů A[ 5; 5]; B[2; 1]; x C[ 1; 2]; D[4; 0,5] leží na grafu funkce. 5) Které z grafů nezobrazují funkci: 28
7. Rovnice Při vyhodnocování dat a při řešení různých úloh zejména ve fyzice a chemii jsme často postaveni před problém vyřešit rovnici. Tato matematická pasáž je na školách většinou důkladně probrána, ale přes tento fakt je známo, že žáci mají s výpočtem rovnic problémy, které spočívají zejména v numerickém počítání a správnosti logické úvahy při sestavení rovnice. Příklad 17 Jedna firma měla za úkol udělat kovový pás kolem rovníku. Když byl pás vyroben, někdo z něj ukradl 10m. Vypočtěte hloubku příkopu, který by se musel vykopat, aby opět pás obepnul celou zeměkouli. Nutným předpokladem je, že kolem celého rovníku je souš a Země má tvar ideální koule/ pro potřeby tohoto příkladu/ a že průměr Země je 12 756 km. Řešení: Vztah pro délku kružnice: l = πd l = π 12756 = 40053,84 tento rozměr zmenšíme o 10 m l 1 = 40053,84 10 = 40043,84 d 1 = 40043,84 π = 12 752,82 r = d 2 = 6378 r 1 = d 1 2 = 6376,42 Hloubku příkopu získáme jako rozdíl poloměrů h = r r 1 = 6378-6376,42 = 1,59 Musel by se vykopat příkop hluboký 1,59 km. 29
Příklad 18 Z Opavy do Hoštic je cesta dlouhá 5 km. V jednu chvíli vyjdou proti sobě dva chlapci. Petr jde rychlostí 6km/h, Jiří jde rychlostí 4 km/h. Za jak dlouho se oba chlapci setkají a jak daleko bude místo setkání od Opavy? Řešení: Petr : s 1 = v 1 t s 1 = 6 t Jiří s 2 = v 2 t s 2 = 4 t s = s 1 + s 2 s = 6t + 4t = 10t 5 = 10 t t = 0,5 (hod) = 30 min Za 30 minut ujde Petr 3 km. Chlapci se potkají za 30 minut ve vzdálenosti 3 km od Opavy. 30
Pracovní list č. 7 1. Jirka šel s maminkou na trh. Prodejci, který na trhu prodával červené melouny, zůstaly poslední dva kusy, přičemž průměr jednoho melounu byl o čtvrtinu vetší než průměr druhého. Prodejce se rozhodl, že prodá kg většího melounu za polovinu ceny menšího. Pro který z melounu se má Jirka rozhodnout, když chce zaplatit co nejméne? 2. Střecha kostela, která má tvar pravidelného šestibokého jehlanu s hranou m a výškou m, se má pokrýt měděným plechem o tloušťce mm. Kolik m2 plechu je nutné koupit, když na překrytí hran a odpad při stříhání musíme připočítat? 3. Nalezněte celá čísla, která jsou řešením následujících rovnic. a) 8(3x-2) 13x = 5(12-3x) + 7x b) 4x -3(20-x) = 6x -7(11-x) 4. Novákovi lepili do alba fotografie z dovolené. Kdyby nalepili na každou stranu 2 fotografie, zbylo by jim 11 fotografií. Kdyby nalepili na každou stránku 3 fotografie, zůstaly by 3 strany prázdné. Kolik fotografií z dovolené mají Novákovi a kolik stran má album? 5. Na koupališti bylo v sobotu 946 platících návštěvníků. Bylo to o 357 návštěvníků méně než v neděli. Vstupenka na koupaliště stála 6 Kč. Kolik korun se utržilo na vstupném za oba dva dny? 31
8. Statistika Při měření přírodovědných veličin získáváme výsledky, které musíme následně statisticky zpracovat. Statistickému zpracování dat bývá často podceňováno, a to především ze dvou důvodů: 1)nedostatečná znalost cílů, metod a možností statistiky, 2) za statistiku se pokládá i to, co je ve skutečnosti pseudostatistikou. Často se vychází z mylného názoru, že pro statistické zpracování dat postačují jen obstojné znalosti z matematiky, stává se tak statistika polem působení samouků, kteří často činí nesprávné závěry Současná statistika se již neomezuje na prostý popis nashromážděných dat, ale umožňuje zobecňovat poznatky z dat a podporovat rozhodování, a tomuto přístupu bychom měli vést naše žáky. Při měření a následném vyhodnocování pokusů se můžeme zcela nevědomky dopustit mnoha chyb. Při hodnocení výsledků sice můžeme pokus brát subjektivně jako dokonalý, ale praxí zjistíme, že výsledky neodpovídají skutečnosti. Z těchto důvodů se při realizaci a vyhodnocování a interpretaci experimentů neobejdeme bez znalostí alespoň základních statistických metod. 8.1 Základní pojmy Statistiku můžeme chápat jako činnost - získávání statistických údajů, jejich zpracování a vyhodnocení jako část matematiky - zpracování shromážděných údajů a rozbor výsledků jako vědní obor - metody získávání a vyhodnocování dat Statistické údaje (data) jsou údaje o hromadných jevech (tj. o jevech vyskytujících se a sledovaných ne jednotlivě, ale hromadně). Na základě statistických údajů jsou vyvozovány zákonitosti pro hromadné jevy. 32
Př.: demografické údaje o obyvatelstvu (počty, příjmy, zaměstnání,... ), údaje o firmách (objem výroby, vlastnosti výrobků,... ) Statistický soubor je množina všech objektů statistického pozorování (žáci jedné školy, obyvatelé ČR, chemické továrny kraje Vysočina apod.) Počet prvků statistického. souboru = rozsah souboru; značí se většinou n. Prvky statistického souboru = statistického jednotky (lidé, výrobky, čas. období aj.) Pro každé statistické zkoumání je potřeba přesně určit věcné, prostorové a časové vymezení statistických jednotek tj. co, kde a kdy budeme zkoumat. Všechny statistické jednotky vyhovující věcnému, prostorovému a časovému vymezení tvoří základní statistický soubor. Statistické zjišťování může být - úplné (zaměřené na všechny statistické jednotky základního souboru) - výběrové (zaměřené pouze na část statistické jednotek tzv. výběrové soubory) Statistický znak je společná vlastnost prvků statistického souboru (stat. jednotek), jejíž proměnnost se statisticky zkoumá; značí se většinou X. Hodnoty znaku se značí x1, x2,..., Xn. Př.: demografický průzkum znaky: věk, zaměstnání, měsíční příjem aj. Statistické znaky dělíme na a) kvantitativní (jejich hodnotu lze vyjádřit číslem) b) kvalitativní (hodnota vyjádřena slovně) 33
Rozdělení četností lze znázornit do grafu. Nejpoužívanější způsob: - osa x hodnoty xj stat. znaku popř. skupinového znaku (nebo šířka intervalu) - osa y četnost a) Polygon četnosti spojnicový graf, body [xj;nj] b) Histogram četnosti sloupcový graf, hlavně pro intervalové rozdělení četností c) 3D grafy Čísla, která popisují, jak se daný statistický znak mění v závislosti na vlastnostech statistického souboru, se nazývají statistické charakteristiky. Slouží zejména ke srovnávání různých statistických souborů. Př. Sledovaný stat. znak příjmy různé stat. soubory různé kraje, období soc. skupiny apod. A) charakteristiky polohy (velikosti, úrovně) jsou číselné hodnoty, střední hodnoty sledovaného statistického znaku. B) charakteristiky variability (proměnnosti) jsou čísla určující, jak se hodnoty znaků liší od charakteristiky polohy (např. od aritmetického průměru), popř. mezi sebou. Čím větší je variabilita, tím méně přesná je char. polohy. 34
1) aritmetický průměr hodnot znaku X prostý resp. tzv. vážený aritmetický průměr (přes četnosti) Aritmetický průměr se nepoužívá při nerovnoměrném rozložení hodnot znaku kolem jeho hodnoty, při extrémně nízkých nebo vysokých hodnotách znaku nebo jestliže součet hodnot nebo hodnota aritmetického průměru nedává věcný smysl. 2) modus - - nejčetnější hodnota stat. znaku v souboru (hodnota aritmetického průměru by se neměla moc lišit od hodnoty modusu) 3) medián - - prostřední hodnota stat. znaku v souboru, jestliže jsou hodnoty uspořádány podle velikosti (při lichém n je jednoznačně určen, při sudém n je aritmetickým průměrem dvou prostředních hodnot) 4) rozptyl - σ 2 (X), S 2 (X) - průměrná čtvercová odchylka od aritmetického průměru (aritmetický průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru znaku) Rozptyl pro základní soubor značíme a vypočteme podle 1 n 2 2 ( xi x) n i=1 - nepoužívanější charakteristika variability 35
5) směrodatná odchylka sx, σ 2. 6) Jako relativní míra variability se nejčastěji používá - variační koeficient - V - použijeme jej, chceme-li porovnat variabilitu dvou nebo více souborů s různými průměry. Variační koeficient vyjadřuje, kolik procent z průměrné hodnoty činí směrodatná odchylka. V 100 % x Příklad 19 Měřením v laboratoři byly zjištěny následující délky válečku (v milimetrech): 302;310;312;310;313;318;305;309;310;309. Vypočítejte aritmetický, geometrický průměr, modus a median. Řešení: Množinu čísel uspořádáme podle velikosti: {302;305;309;309;310;310;310;312;313;318} 36
Příklad 20 V prodejně obuvi prodali v pondělí tyto velikosti obuvi: 41, 41, 41, 42, 42, 41, 39, 41, 37, 41, 45, 41, 42, 38, 40, 39, 38, 41, 41, 38, 42, 39, 44, 43, 43, 44, 39, 39, 43, 43, 40, 42, 43, 41, 41, 43, 40, 40, 40, 42, 42, 42, 41, 40, 42 Sestavte tabulku rozdělení četnosti, relativní četnosti, sestrojte výsečový graf a vypočtěte průměrnou velikost obuvi. Řešení: Prodej párů bot v jedné prodejně během jednoho dne č.44 5% č.43 13% č.45 2% č.37 2% č.38 7% č.39 11% č.42 20% č.40 13% č.41 27% Průměr : x = 41,04 37
Příklad 21 Dva střelci Pavel a Jan soutěžili ve střelbě na terč. Kdo střílel přesněji a soutěž vyhrál, pokud měli tyto zásahy: Pavel {9;8;8;8;7} Jan {10;10;8;7;5} Řešení: Zajímá nás rozptyl. Pavel Jan Rozptyl Pavla A je s 2 (A) = 0,4, rozptyl Jana je s 2 (B) = 3,6. Platí s 2 (A) < s 2 (B). Lepším střelcem je Pavel, který vyhrál celou soutěž 38
Pracovní list č. 8 1) Deset opakovaných fyzikálních měření dalo tyto výsledky: 2,11; 2,01; 2,09; 2,02; 2,03; 2,03; 2,11; 2,10; 2,05; 2,05. Vypočítej průměr, směrodatnou odchylku, rozptyl, variační koeficient. 2) Ve škole je 8 tříd. V pololetí školního roku vypočetli průměrný prospěch v jednotlivých třídách: 1.A má 32 žáků a průměr 2,07; tř. 1.B má 35 žáků a průměr 2,50; tř. 2.A má 28 žáků a průměr 2,37; tř.2.b má 33 žáků a průměr2,14; tř. 3.A má 36 žáků a průměr 3,01; tř. 3.B má 34 žáků a průměr 2,12; tř. 4.A má 31 žáků a průměr 2,39; a třída 4.B má 32 žáků a průměr 2, 73. Vypočtěte průměrný prospěch za celou školu. 3) V laboratoři došlo k měření elektrického napětí akumulátoru, bylo provedeno celkem 13 měření, která měla tyto hodnoty: 1,49;1,5;1,49;1,51;1,48;1,51;1,44;1,52;1,5;1,51;1,48;1,47;1,5 Sestavte tabulku rozdělení absolutních a relativních četností( v % na 1 des. místo) a četností kumulativních. 39
9. Práce s chybou Při vyhodnocování experimentů často provádíme numerické výpočty, při kterých pracujeme s přibližnými údaji. Jedná se například o zaokrouhlená čísla, fyzikální a chemické konstanty, hodnoty získané měřením, která jsou zatížená chybou měřícího přístroje. V těchto případech musíme v interpretaci výsledků měření zohlednit i možnou chybu Chyby, které vznikají během měření mohou být hrubé, soustavné a náhodné. Hrubá chyba vzniká nedostatkem pozornosti nebo pečlivosti při měření, může také vzniknout poruchou měřícího přístroje nebo výběrem špatné metody měření. Korekci této chyby buď není možné provést nebo by se jednalo o neekonomicky výhodné řešení. Obvykle v tomto případě opakujeme měření. Soustavná chyba je určena přesností (nedokonalostí) měřicího přístroje a měřicí metody, chyba lze buď korigovat nebo určit nestatistickými metodami (pomocí výrobní dokumentace nebo odhadem. Tento druh chyby je specifický v tom, že při opakovaném měření je chyba stále stejná. Pokud chyba není udána na daném měřidle, pak obvykle za chybu považujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla. Náhodná chyba vznikne náhodným rušivým jevem například změnou fyzikálních podmínek v místě probíhajícího experimentu a druhým aspektem vzniku tohoto druhu chyby je i nedokonalost našich smyslů. Nahodilou chybu není možné dokonale odstranit, v praxi ji částečně eliminujeme opakováním měření a statistickým zpracováním výsledků. Při počítání s výše uvedenými nepřesnými čísly využíváme tzv. aproximaci. Víme-li, že přesné číslo a < a d ; a h >, pak toho číslo můžeme nahradit vhodně zvoleným číslem a < a d ; a h >, které nazýváme aproximací čísla a ( hodnota a d se nazývá dolní aproximací čísla a, hodnota a h je horní aproximace čísla a). Aritmetický průměr dolní a horní aproximace čísla a se nazývá střední aproximace čísla a. a = 1 2 (a d+a h ), dále pak platí = 1 2 (a d- a h ), kde je absolutní chyby střední aproximace 40
δ a = a. kde δ a je relativní chyba střední aproximace Příklad 22 Určete střední aproximace a absolutní chyby středních aproximací čísla a < 5,13; 5,17> Řešení: a = 5,13+5,17 2 = 5,15 = 5,17 5,13 2 = 0,02 Příklad 23 Pro číslo π platí nerovnost 3 1 desetinným rozvojem 3 1 7. Řešení: 3 1 = 3, 142857 3,1429 7 7 > π, určete absolutní a relativní chybu aproximací čísla π π 3,1429 = 3,14159 3,1429 < 0,00014 Za absolutní chybu je tedy možné považovat číslo 0,00014. Relativní chyba δ a = 0,0014 = 0,0005 = 0,05% 3,1429 41
Digitální měřidla ukazují přímo číselnou hodnotu, což vylučuje chyby vzniklé například špatným odečítáním ze stupnice nebo přepočítáváním měřených rozsahů. Na každém z digitálních měřidel by měla být výrobcem uvedena chyba přístroje, kterou udávají výrobci jako součet dvou členů a to dvěma způsoby: ± ( % chyby čtení + % chyby rozsahu), nebo ± ( % chyby čtení + počet digitů s nejmenší váhou (LSB)) Příklad 24 Digitální voltmetr udává na rozsahu X m =100 V napětí U=25 V. Jaká je absolutní chyba měření a rozsah skutečných možných hodnot, je li výrobcem určené chyby čtení a rozsahu ±0,02 % a ±0,01 %? Řešení: = U 0,02 + X m 25 0,01 = ± 100 100 100 100 0,02 + ± 0,01 = ±0,015 V 100 Skutečná naměřená hodnota se tedy v tomto případě pohybuje od 24,985 V do 25,015 V. Příklad č. 25 Digitální multimetr udává na rozsahu X m =20,000 ma naměřenou hodnotu I = 5,000 ma. Jaká je absolutní chyba měření a rozsah skutečných možných hodnot, je li chyba čtení ±0,01% a počet digitů je roven 3. = I 100 0,01 + digits LSB = ± 5 100 0,01 + ±3 0,001 = ±0,035 ma, kde LSB = váha posledního místa displeje, v tomto případě 0,001, protože na daném rozsahu je minimální zobrazitelná hodnota 0,001 ma. Skutečná naměřená hodnota se tedy v tomto případě pohybuje od 4,9965 do 5,0035 ma. 42
Pracovní list č. 9 1) Určete horní a dolní aproximace čísla x = 23,7 ±0,02 2) Digitální multimetr ±0.1 % ±0.05 % udává na rozsahu M = 200 V napětí u = 75.00 V. Určete meze, ve kterých se pohybuje skutečně naměřená hodnota. 3) Digitální multimetr s přesností ±0.08 % ± 3(digits) naměřil na rozsahu M = 60 ma hodnotu I = 05,09 ma. Určete meze, ve kterých se pohybuje skutečně naměřená hodnota. 4) U měření se často hovoří o pojmu nejistota měření. Najděte si na internetu, co tento pojem znamená. Můžete použít například tento odkaz: http://artemis.osu.cz/fyzp3/multimed/protok/protok.htm 43
9. Praktické využití měřidel v matematice V hodinách matematiky můžeme pro oživení a následnou motivaci žáků použít i netradiční simulace matematických jevů pomocí počítačem podporovaných experimentů. Můžeme z výsledků měření například tvořit různé grafy, data zpracovávat statistickými metodami a využití najdeme rovněž při práci s funkcemi. Grafické znázornění naměřených veličin je možné provést téměř z libovolného měření, následně pak můžeme určovat základní statistické charakteristiky, určit chyby měření, a tuto činnost je možné i propojit s učivem informatiky, zejména s využitím tabulkových procesorů. Matematické funkce můžeme modelovat na následujících příkladech: 1. Lineární funkce a. Měření teploty při ohřívání vody varnou konvicí b. Vzrůst hydrostatického tlaku s hloubkou Tyto následující funkce nejsou předmětem učiva ZŠ: 2. Exponenciální funkce a. Měření výšky skákajícího míče b. Chladnutí vody v nádobě c. Stínění světla filtry 3. Logaritmická funkce a. Hladina intenzity zvuku b. Ředění kyselin a změna ph 4. Goniometrická funkce a. Fázové posuvy b. Kmitání závaží 44
10. Závěr Sbírka si neklade za cíl měnit zažité formy výuky matematiky, chce jen malým dílem přispět ke zvýšení motivace v tomto předmětu a ukázat, že matematika není určitě zbytečnou přežitou vědou, ale že její význam stále s rozvojem vědy a techniky stoupá a tím také stoupá její využití v praktickém životě. Sbírka byla koncipována s velkou snahou o názornost, zpětnou vazbu, a s ohledem na spojení teorie s praxí. Pokud alespoň pár jedinců zaujme do té míry, že se alespoň částečně změní svůj postoj k matematice a začnou ji aktivně aplikovat třeba ve spojitosti s počítačem řízenými experimenty, pak došlo k naplnění účelu, se kterým byla psána. 45
11. Literatura a internetové zdroje Benda, P. a ko.l (1983): Sbírka maturitních příkladů z matematiky. SPN, Praha,199 s. Hudec, T., Rangl, M.(2010): Diagnostické nástroje pro potřeby evaluace. Tempus, Opava, 98s. Krpec. R., Ambrozková,D., Kocichová, D., Nagyová, I.(2011): Matematika, informatika a robotika. Ostravská univerzita v Ostravě, Ostrava, 161 s. Kováčik, J. a kol. ( 2004):Řešené příklady z matematiky pro střední školy. Aspi Publishing, s.r.o., Praha, 710 s. Polák, J. (1983): Přehled středoškolské matematiky. SPN, Praha,627 s. Rangl, M. (2012): Sbírka úloh z matematiky. Společnost pro kvalitu školy, Ostrava, 34 s. Vejsada, F., Talafous, F.(1969): Sbírka úloh z matematiky. SPN, Praha, 687s. http://dumy.cz/material/22356-krizove-pravidlo>. http://www.ucebnice.krynicky.cz/matematika/01_zakladni_poznatky/09_vyjadreni_nezname _ze_vzorce/1901_vyjadreni_nezname_ze_vzorce_i.pdf http://dumy.cz/material/54059-kvadraticka-funkce-v-praxi http://www.sbirkaprikladu.cz/sbirka_prikladu/mechanicke_kmitani_a_vlneni/23.html? ida=23&pp=mechanicke_kmitani_a_vlneni&cp=1&stupen=s&stranka=0 http://www.sbirkaprikladu.cz/sbirka_prikladu/elektrina_a_magnetismus/17.html? ida=17&pp=elektrina_a_magnetismus&cp=9&stupen=s&stranka=0 http://www.priklady.eu/cs/matematika/exponencialni-rovnice.alej http://www.priklady.eu/cs/matematika/pravdepodobnost-a-statistika/statistika.alej http://dumy.cz/material/19631-statistika-median-smerodatna-odchylka http://fyzika.upol.cz/cs/system/files/download/vujtek/texty/pext2-nejistoty.pdf 46
http://cs.wikipedia.org/wiki/multimetr http://kdf.mff.cuni.cz/lide/jermar/bohm_jermar_vernier_v_matematice.pdf http://dumy.cz/material/18968-vypocet-nezname-ze-vzorce http://dumy.cz/material/45226-statistika 47