ALGEBRA I PRO INFORMATIKY

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY JAN ŽEMLIČKA Úvod Velmi zhruba řečeno je centrálním objektem zájmu algebry množina opatřená jistým systémem operací. Přitom nás mohou zajímat nejen strukturní vlastnosti takové množiny popsané podmínkami vyjádřené právě pomocí operací, nýbrž i vztahy různých množin s podobnými systémy operací či vlastnosti tříd takových množin. Dříve než se začneme systematicky zabývat abstraktními úvahami o takových algebraických objektech(které se budou zpravidla opírat o nějaký systém axiomatických požadavků na operace), uveďme několik motivačních příkladů, které by nám pomohly usnadnit porozumění důvodům(ať už praktickým tak historickým), proč právě tu či onu vlastnost sledujeme. Příklad0.1. UvažmemnožinucelýchčíselZananíobvykléoperacesčítání+ anásobení.prolibovolnépřirozenéčíslo npoložme nz={n z z Z}.Nyní si můžeme všimnout, že je množina nz uzavřená na obě uvažované operace, tj. prokaždoudvojici a,b nzplatí,že a+b,a b nz,tedyoperace+a můžeme uvažovattakéomezeněnamnožině nz.ačkoliprožádné n >1množiny nzaz nesplývají, nelze pomocí vlastností operace + obě množiny odlišit(tj. mají stejné algebraické vlastnosti vzhledem ke sčítání), což ozřejmíme, zavedeme-li zobrazení f n :Z nzpředpisem f n (k)=kn.zjevněsejednáobijekci,kteránavícsplňuje podmínku f n (a+b)=f n (a)+f n (b). Poznamenejme, že taková vlastnost zobrazení není nijak samozřejmá, například vzhledemkoperacinásobení f n obdobnoupodmínkunesplňuje.uvážíme-linavíc podmínku existujeprvek etak,žeprovšechnyprvky aplatí a e=a,pakjetato podmínkanamnožinězsplněnapro e=1,zatímconamnožině nzzjevněneplatí. Příklad 0.2. V souladu se značením zavedeným na kurzu lineární algebry položme Z n = {0,1,...,n 1}pronějakéceléčíslo n >1.ZaveďmenaZ n operace+a předpisem a+b=(a+b)mod naa b=(a b)mod n,kdemod nznamenázbytek po celočíselném dělení hodnotou n a v závorce uvažujeme vždy obvyklé sčítání a násobenícelýchčísel.konečnědefinujmezobrazení F n :Z Z n předpisem F n (k)= (k)mod n. Všimněme si, že tentokrát zobrazení F sice není bijekce, ale obě operace sčítáníanásobenní převádí nanovězavedené+a,tedy F n (a+b)=f n (a)+f n (b) i F n (a b)=f n (a) F n (b). Definice. Binární operací na množině A budeme rozumět libovolné zobrazení A A A(obvykle ji budeme zapisovat centrálně). Máme-li binární operaci na množině A, nějakou podmnožinu U množiny A a binární operaci na množině B. Řekneme,že U jeuzavřenánaoperaci,jestližeprovšechna x,y U platí,že x y U,azobrazení f: A Bnazvemeslučitelnésoperacemi a je-lipro všechna x,y Asplněnarovnost f(x y)=f(x) f(y). Date: 19.1.2010. 1

2 JAN ŽEMLIČKA Všimněmesi,žezobrazení f n z0.1jeslučitelnésoperacemi+aneníslučitelné soperacemi,zatímcozobrazení F n z0.2jeslučitelnésoběmapáryoperací+i. Příklad 0.3. Vezměmepřirozenéčíslo n 2aoznačme n relacinamnožině celýchčíselzdanoupředpisem: a n b n/(a b).nenítěžkésiuvědomit,žese jedná o ekvivalenci(obvykle se jí říká kongruence na Z), která splňuje pro všechna takovácelá a 1,a 2,b 1,b 2,že a 1 n b 1 a a 2 n b 2 podmínky(a 1 + a 2 ) n (b 1 + b 2 )a (a 1 a 2 ) n (b 1 b 2 ).Navícsimůžemevšimnoutjejíhotěsnéhovztahukzobrazení F n z0.2,neboťplatí,že a n b,právěkdyž F n (a)=f n (b). Připomeňme, že relací na množině A rozumíme libovolnou podmnožinu A A. Definice.Uvažujmenamnožině Abinárníoperaci arelaci.řekneme,že je slučitelnásoperací,jestližeprovšechnytakovéprvky a 1,a 2,b 1,b 2 A,proněž a 1 b 1 a a 2 b 2 platí,že(a 1 a 2 ) (b 1 b 2 ). VPříkladu0.3jsmetedyzjistili,žeje kongruence n slučitelnásoběma operacemi+i. Příklad 0.4. Mějmekladnáceláčísla n 1,...,n k apoložme n = n 1 n 2 n k.zaveďmenynínakartézskémsoučinu k i=1 Z n i posložkáchoperace+a : (a 1,a 2,...,a k )+(b 1,b 2,...,b k )=(a 1 + b 1,a 2 + b 2,...,a k + b k )a(a 1,a 2,...,a k ) (b 1,b 2,...,b k )=(a 1 b 1,a 2 b 2,...,a k b k )adefinujmezobrazení G:Z k i=1 Z n i předpisem G(a)=((a)mod n 1,...,(a)mod n k )astejnýmpředpisemzavedemei zobrazení H:Z n k i=1 Z n i.obězobrazeníjsouopětslučitelnás+a. Tvrzení této a následující kapitoly budou bez důkazu využívat základních poznatků teorie čísel, především jednoznačnost(až na pořadí) ireducibilního rozkladu a Euklidova algoritmu na nalezení největšího společného dělitele. V následující poznámce budeme uvažovat operace na kartézských součinech zavedené v Příkladu 0.4. Poznámka0.5(Čínskávětaozbytcích).Nechť n 1,n 2,...,n k jsoupodvounesoudělnákladnáceláčíslaan=n 1 n 2 n k,potomzobrazení f:z n k i=1 Z n i danépředpisem f(x)=(x mod n 1, x mod n 2,...,x mod n k )jebijekceslučitelná soperací+asoperací. Důkaz. Přímo z definice snadno vidíme, že je f zobrazení slučitelné s oběma operacemi.zbývánahlédnout,žejdeobijekci.protožejsouz n a k i=1 Z n i stejně velkékonečnémnožiny,stačíověřit,žeje fprosté.nechťpro a b Z n platí,že f(a)=f(b).potom f(b a)=0,tedy n i /b aprovšechna i=1,...,k.protože jsou n i podvounesoudělnáa0 b a n 1,mámein/b a,tudíž b=a. Čínská věta o zbytcích nám umožňuje algebraicky přesně reprezentovat větší množinuz n pomocípočítánívmenšíchmnožináchz ni,cožjepostup,kterýsepři potřebě exaktního počítání s velkými čísly(například při práci s velkými prvočísly) často používá. Definice.Zobrazení ϕ:n Ndanépředpisem ϕ(n)= {0 < k < n NSD(k,n)= 1} nazveme Eulerovou funkcí. Poznámka0.6.Je-li pprvočísloakkladnéceléčíslo,pak ϕ(p k )=(p 1) p k 1.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 3 Důkaz.Číslomenšínež p k jesoudělnésp k,právěkdyžjenásobkemčísla p.kladnýchnásobkůčísla pmenšíchnež p k jezřejměprávě p k 1 1.Toznamená,že naopakkladnýchčíselnesoudělnýchsp k máme ϕ(p k )=(p k 1) (p k 1 1)= p k p k 1 =(p 1)p k 1. Věta 0.7. Buď p 1 < p 2 < < p k prvočíslaar 1,r 2,...,r k kladnáceláčísla. Potom ϕ( k i=1 pri i )= k i=1 ϕ(pri i )= k i=1 (p i 1)p ri 1 i. Důkaz.Zvolmelibovolné a Z n.položme n= k i=1 pri i Podle 0.5 je zobrazení f : Z n k i=1 Z p r i i a(a 1,...,a k )=f(a). bijekce. Abychom ověřili rovnost ϕ( k i=1 pri i )= k i=1 ϕ(pri i ),stačínámnahlédnout,žensd(a,n)=1právětehdy, kdyžnsd(a i,n i )=1provšechna i=1,...,k,protože k i=1 ϕ(n i)= k i=1 {a Z ni \ {0} NSD(a,n i )=1}. Jestliže NSD(a, n) 1, existuje prvočíslo p, které dělí n, a díky jednoznačnosti prvočíselnéhorozkladutudížexistuje i,proněž pdělí n i.tedybuď a i =0nebo p dělí a i,protonsd(a i,n i ) 1.Naopak,jesližeNSD(a i,n i ) 1,pakexistujedělitel c >1čísel a i i n i,proto cdělíia=a i + xn i i n=n 1...n i...n k. Konečněrovnost k i=1 ϕ(pri i )= k i=1 (p i 1)p ri 1 i plyne okamžitě z 0.6 Příklad0.8. Nechť XjeneprázdnámnožinapísmenaM(X)jemnožinavšech slov, tj. všech konečných posloupností písmen. Zaveďme na této množině binární operaciskládání : x 1...x n y 1...y m = x 1...x n y 1...y m adáleoznačme λprázdné slovo. Snadno nahlédneme, že je operace asociativní(je-li X aspoň dvouprvková množina,pakoperaceneníkomutativní)aplatí,že λ s=s λ=sprokaždé s M(X). Mějmedvěslova a,b M(X).Obsahuje-lislovo s a podposloupnost a,slovo s b vzniknezeslova s a tak,žepodposloupnost avs a nahradímepodposloupností b. Ztotožníme-livšechnytakovédvojiceslov,t.j.zavedeme-lipodmínkou s a s b a s b s c relaci na M(X),pak budeekvivalenceslučitelnásoperací. 1. Množiny s asociativní binární operací Připomeňme, že binární operace na A je asociativní(resp. komutativní), platí-li provšechna x,y,z Arovnost x (y z)=(x y) z(resp. x y= y x). Definice. Uvažujme binární operací na množině A. Neutrálním prvkem operace rozumímetakovýprvek e A,že g e=e g= gprovšechna g A. Poznámka 1.1. Každá binární operace má nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz.Jsou-li e,fdvaneutrálníprvky,pak e=e f= f. Příklad 1.2. Je-li X aspoň dvouprvková množina a definujeme-li na X binární operaci předpisem x y=x,jeoperace asociativní,ale Xneobsahuježádný neutrální prvek. Přitom dokonce každý prvek X splňuje první z rovností, kterou je neutrální prvek definován. Definice. Nechť jebinárníoperacenamnožině Sa1jejíneutrálníprvek.Řekneme,žeprvek s Sjeinvertibilní,existuje-litakovýprvek s 1 S,že s 1 s= s s 1 =1.Prvek s 1 nazvemeinverznímprvkemkprvku s.

4 JAN ŽEMLIČKA Definice. Množině G s binární operací budeme říkat grupoid(a budeme psát G( )).Ogrupoidu G( )řekneme,žeje: - pologrupa, je-li operace asociativní, - monoid, je-li operace asociativní a v G leží její neutrální prvek, - grupa, je-li G( ) monoid, jehož každý prvek je invertibilní, - komutativní grupa(nebo abelovská grupa), je-li G( ) grupa a je komutativní. VPříkladech0.1a0.3jsmepřipomněliasociativníakomutativníoperace+a namnožiněcelýchčísel(avpříkladech0.2a0.4jsmesiuvědomili,žeasociativitu ikomutativitusplňujíjimiindukovanéoperacenamnožináchz n ).Jistězdenení třeba opakovat, jak vypadají odpovídající neutrální a invertibilní prvky. Uveďme ještě několik dobře známých, ač méně elementárních příkladů asociativních binárních operací. Příklad 1.3. (1)Množina M(X)zPříkladu0.8tvořísoperacískládání(tzv. slovní) monoid. (2) Buď X nějaká neprázdná množina a označme T(X) množinu všech zobrazení množiny X do sebe. Potom T(X)( ) tvoří(s operací skládání )(tzv. transformační) monoid. (3)Čtvercovématice M n (T)nadtělesem T stupně nspolusnásobenímtvoří monoid M n (T)( )(neutrálnímprvkemjezdejednotkovámatice). Nestanovíme-li jinak, bude v následujícím 1 označovat neutrální prvek operace (a0prooperaci+)as 1 budeinverzníprvekksvzhledmkoperaci (a sbude inverz vzhledem k operaci +). Poznámka1.4.Buď S( )monoidaa,b,c S.Platí-li,že a b=c a=1,potom b=cjejednoznačněurčenýinverzníprvekkprvku a. Důkaz.Stačíověřit,že b=c.svyužitímasociativitypočítejme: c=c 1=c (a b)= (c a) b=1 b=b. Příklad 1.5. Uvažujme transformační monoid T(N) na množině všech přirozených číselanechť α(k)=2ka β(k)=[ k 2 ].Pak βα=idaαβ Id.Prvky αaβmonoidu T(N) splňují právě jednu z definitorických rovností invertibilního prvku, invertibilní tedy nejsou(a podle 1.4 být nemohou). Poznámka 1.6. Množina všech invertibilních prvků monidu S( ) je uzavřená na operaci.je-linavíc sinvertibilníprvek,pakis 1 jeinvertibilnía(s 1 ) 1 = s. Důkaz.Označme S množinuinvertibilníchprvkůmonidu S( )Vezmeme-liprvky g 1 a g 2 z S,platí,žeexistujíprvky h 1,h 2 S,proněž g i h i = h i g i =1,kde i=1,2.tedy(g 1 g 2 ) (h 2 h 1 )=g 1 (g 2 h 2 ) h 1 = g 1 1 h 1 = g 1 h 1 =1a symetricky(h 2 h 1 ) (g 1 g 2 )=1. Druhávlastnostplyneokamžitězdefinitoricképodmínky s s 1 = s 1 s=1a z1.4. Poznámka 1.7. Nechť S( ) je monoid a S množina všech jeho invertibilních prvků.označíme-li S restrikci S S operace namnožinu S S,pak S ( S ) je grupa.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 5 Důkaz.Podle1.6jemnožina S uzavřenánaoperaci,protoje S S dobře definovanáasociativníbinárníoperacena S.Protože1 1=1,ležíneutrálníprvek 1vmnožině S.Konečně, S obsahujeinverzníprvkyopětdíky1.6. Příklad 1.8. (1) Grupa invertibilních prvků slovního monoidu M(X)( ) obsahuje pouze neutrální prvek e. (2) Grupu invertibilních prvků transformačního monoidu T(X)( ) tvoří právě všechny bijekce S(X) na množině X (mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací). (3)Grupuinvertibilníchprvkůmonoidučtvercovýchmatic M n (T)( )stupně n tvoří právě všechny regulární matice stupně n. Definice. Podgrupou grupy G( ) budeme rozumět každou neprázdnou podmnožinu H množiny G,kterájeuzavřenána aprojejížkaždýprvek h H platí,že h 1 H.Normálnípodgrupajepodgrupa Hgrupy Gsplňujícínavícpodmínku g h g 1 Hprokaždé g Gah H. Poznámka1.9. Nechť G( )jegrupa, Ha H i, i Ijejípodgrupy. (1) 1 H, (2) H( )tvořísoperacíomezenounamnožinu Hopětgrupu, (3) i I H ijepodgrupagrupy G( ), (4)jsou-livšechnypodgrupy H i normální,pakjeipodgrupa i I H inormální, (5) je-li G( ) komutativní grupa, pak je podgrupa H vždy normální. Důkaz.(1)Protožeje H neprázdná,obsahujenějaké h H.Tedy h 1 H a 1=h h 1 H. (2)Díky(1)obsahuje Hneutrálníprvekvzhledemk,zbytekplyneokamžitěz definice podgrupy a vlastností operace na G(srovnej s 1.6). (3)1 H i provšechna i I podle(1),tedy i I H ijeneprázdná.zvolme libovolně a,b i I H i.potom a b H i prokaždé i Idíkyuzavřenosti H i na operaci,tedy a b i I H i.podobněpodledefinice a 1 H i prokaždé i I, proto a 1 i I H i. (4)Zvolme h i I H ia g G.Pak g h g 1 H i provšechna i I,atudíž g h g 1 i I H i. (5)Díkykomutativitěbinárníoperaceplatíprokaždé g Gah H,že g h g 1 = g g 1 h=h H. Příklad1.10.(1)Všimněmesi,ževkaždégrupě G( )tvořímnožiny {1}aG(tzv. triviální) příklady normálních podgrup. (2) Uvažujeme-li komutativní grupu celých čísel Z(+)(s neutrálním prvkem 0 a inverzními prvky značenými standardně symbolem ), potom množiny tvaru nz={n z z Z}jsouprokaždénezápornécelé npodgrupougrupyz(+)(viz 0.1). Napak, uvažujme libovolnou nenulovou podgrupu P grupy Z(+). Protože P obsahujenějakýnenulovýprvekaskaždým a Pjei a P,ležívPjistěnějaký kladnýprvekamymůžemezvolitnejmenšíkladnéčísloobsaženévp,označmeho n.ukažme,ženutně P= nz.indukcídíkyuzavřenosti Pnasčítánínahlédneme,že 2n=n+n P,3n P,..., kn P,...,prokaždépřirozené k.protože n P, dostanemstejnýmargumentem,že nz P.Nynízvolmelibovolně a P.Potom vydělímesezbytkemčíslo ačíslem n,t.j.najdemecelé qanezápornécelé z < n, prokterá a=qn+z.zuzavřenosti Pna+použitéproprvky a, qn Pplyne, že z= a+( qn) P,azminimalityvolby ndostáváme,že z=0,tedy nz=p.

6 JAN ŽEMLIČKA (3)Uvažujmegrupupermutacínamnožině {1,...,n},obvykleseznačí S n ( ) (viztaké1.8(2)).snadnonahlédneme,žemnožinavšechsudýchpermutací A n je normálnípodgrupou S n ( ).Navíclze(elemntárnímiprostředky)dokázat,žegrupa S n ( )neobsahujepro n 4jinénormálnípodgrupynež {Id}, S n a A n (vpřípadě S 4 sevyskytujeještějednadalšívýjimečnánormálnípodgrupa).uveďměalespoň příkladzjevnépodgrupy T = {Id,(12)}grupy S 3,kteránenínormální,protože například(13) (12) (13) 1 =(23) T. Definice. Nechť H a K jsoudvěpodmnožinygrupy G( )ag G.Definujme množiny HK= {h k h H, k K}, gh= {g}ha Hg= H{g}.Je-li Hpodgrupa G,definujmena Grelacirmod H(resp.lmod H)podmínkou:(a,b) rmod H(resp. (a,b) lmod H) a b 1 H(resp. a 1 b H). Příklad1.11. Mějmedvěnormálnípodgrupy Ha Kgrupy G( ).Pakprokaždé h 0 H a k K existuje h 1 H,prokteré k h 0 k 1 = h 1,tedy k h 0 = h 1 kakh HK.Symetrickýargumentdokazujeiobrácenouinkluzi,proto KH= HK.Nynísnadnonahlédneme,žejesoučin HKrovněžpodgrupou G( ): zřejměje HKneprázdnéazvolíme-li h 0,h 1 Ha k 0,k 1 K,potom(h 0 k 0 ) 1 = k0 1 h 1 0 KH= HKadáleexistujetakové h 2 H,že k 0 h 1 = h 2 k 0,proto h 0 k 0 h 1 k 1 = h 0 h 2 k 0 k 1 HK.Konečněvezmeme-lilibovolnéprvky g G, h Ha k K,pakplatí g h k g 1 =(g h g 1 ) (g k g 1 ) HKdíky předpokládané normalitě obou podgrup. Vidíme, že součin normálních podgrup (například tedy součin libovolných podgrup komutativní grupy) dává opět normální podgrupu. Poznamenejme, že součin podgrup, které normální nejsou, vůbec nemusí býtpodgrupou(stačíuvážitnapříkladpodgrupy H= {Id,(12)}aK= {Id,(13)} grupy S 3 ). Relacínamnožině Abudemerozumětkaždoupodmnožinu A ANechť ρje relace na A, označme: - ρ 1 = {(b,a) (a,b) ρ}(opačnárelace), - ρ + = {(a,b) a=a 0,a 1,...,a n 1,a n = b A;(a i,a i+1 ) ρ}(tranzitivní obal), - id={(a,a) a A}(identita). Řekneme,žerelace ρjesymetrická,jestliže ρ 1 ρ,tranzitívní,pokud ρ + ρ, a reflexivní, v případě, že id ρ. Ekvivalencí budeme nazývat každou symetrickou, tranzitívní a reflexivní relaci. Definice. Nechť ρ je ekvivalence na množině A. Definujme faktor množiny(často seříkátakékvocient) Apodleekvivalence ρjakomnožinu A/ρ={[a] ρ a A}, kde[a] ρ = {b A (a,b) ρ},apřirozenouprojekcizobrazení π ρ : A A/ρdané podmínkou π ρ (a)=[a] ρ. Všimněmesi,žeje-li ρekvivalencena A,pak A/ρ={[a] ρ a A}tvořírozklad množiny A.Naopakmáme-li {B i i I}rozkladmnožiny A,pakrelace ρurčená podmínkou:(a,b) ρ i I: a,b B i jeekvivalencíaa/ρ={b i i I}. Poznámka1.12. Nechť G( )jegrupaahjejípodgrupa.potomplatí: (1) rmod Hilmod Hjsouekvivalencena G, (2) (a,b) rmod H (a 1,b 1 ) lmod Hprokaždé a,b G, (3) G/rmod H) = G/lmod H, (4) rmod H=lmod H,právěkdyžje Hnormálnípodgrupa G( ),

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 7 (5) [a] rmod H = Haa[a] lmod H = ahprokaždé a G, (6) [a] rmod H = [a] lmod H = H prokaždé a G. Důkaz.(1)Tvrzenídokážemejenormod H,prolmod Hbudedůkazsymetrický. Podle1.9(1)podgrupa Hobsahujeneutrálníprvek1,protoprokaždé a Gmáme a a 1 =1 H,tedy(a,a) rmod H.Předpokládáme-li,že(a,b) rmod H, pak a b 1 H,protoib a 1 =(a b 1 ) 1 H(podle1.4a1.6),tudíž(b,a) rmod H.Nynípředpokládejme,že(a,b),(b,c) rmod H,cožpodledefinicenaší relaceznamená,že a b 1,b c 1 H.Zuzavřenosti Hnabinárníoperaciplyne, že(a b 1 ) (b c 1 ) H,tedy a c 1 = a b 1 b c 1 Ha(a,c) rmod H.Tím jsme ověřili, že je relace rmod H reflexivním, symetrická a tranzitivní. (2)Díky1.6mámerovnost a b 1 =(a 1 ) 1 b 1,proto a b 1 H (a 1 ) 1 b 1 H,čímžjsmedokončilidůkaz. (3)Podle(2)jezobrazení[a] rmod H [a 1 ] lmod H korektnědefinovanoubijekcí, tedy faktorové množiny G/rmod H a G/lmod H mají stejně prvků. (4)Předpokládejme,žermod H=lmod Hazvolme h Ha g G.Potom (g h) 1 g= h 1 g 1 g= h 1 H,tedy(g h,g) lmod H=rmod H.Zdefinice rmod Hdostaneme g h g 1 H. Nyní předpkládejme, že je H normální podgrupa grupy G( ). Zvolíme-li(a, b) rmod H,víme,že a b 1 H.Podledefinicenormálnípodgrupy b 1 a=b 1 a b 1 (b 1 ) 1 H,tedy(b,a) lmod Hadíky(1)(a,b) lmod H,čímžjsme ověřili, že rmod H lmod H. Symetrický argument dokazuje obrácenou implikaci. (5) Opět se budeme věnovat jen ekvivalenci rmod H. Použijeme definici rozkladové třídy: [a] rmod H = {b A (a,b) rmod H}={b A h H: a b 1 = h}= = {b A h H: b=h 1 a}={b A h H: b=h a}=ha. (6)Definujmezobrazení b:h Ha(resp. H ah)předpisem b(h)=h a (resp. b(h)=a h).zřejmějdeozobrazenína Ha(resp.na ah)apředpokládejme, že b(h 0 )=b(h 1 ),tedy h 0 a=h 1 a.tutorovnostzprava(resp.zleva)přenásobíme hodnotou a 1,abychomdostali h 0 = h 0 a a 1 = h 1 a a 1 = h 1.Tedy bje bijekceavšechnymnožiny H, ah, Hamajístejnýpočetprvků.Nynízbývápoužít (5). Definice. Buď Hpodgrupagrupy G( ).Potomčíslu[G:H]= G/rmod H (= G/lmod H podle1.12)budemeříkatindexpodgrupy Hvgrupě Gavelikosti G množiny G budeme říkat řád grupy G. Věta1.13(Lagrange). Je-li Hpodgrupagrupy G( ),pak G =[G:H] H. Důkaz.Podle1.12(1)jermod Hekvivalence,proto G= A G/rmod H A,kdesjednocujeme disjunktní množiny. Využijeme-li dále poznatek 1.12(6), který říká, že všechny ekvivalenční třídy mají počet prvků stejný jako množina H, pak dostáváme G = A G/rmod A = A = H =[G:H] H. H A G/rmod H A G/rmod H Důsledek 1.14. Je-li G konečná grupa, potom řád každé její podgrupy dělí řád grupy G.

8 JAN ŽEMLIČKA Všimněme si, že grupa prvočíselného řádu obsahuje jen triviální podgrupy. Věta1.15.Nechť G( )jegrupaaρrelacena G.Pak ρjeekvivalenceslučitelnás operací právětehdy,když H=[1] ρ jenormálnípodgrupa G( )aρ=rmod H. Důkaz.( ) Nejprve předpokládejme, že je ρ je ekvivalence slučitelná s operací. Protožeje ρreflexivnírelace,leží1vtřídě[1] ρ atajetudížneprázdná.zvolme a,b [1] ρ a g G.Vidíme,že(1,a),(1,b) ρ,navíc,zreflexivity ρplyne,že (a 1,a 1 ),(g 1,g 1 ),(g,g) ρ.nynívyužijemeslučitelnosti ρs,abychomdostali, že(1 1,a b) ρ,dáleže(1 a 1,a a 1 ) ρa(g 1 g 1,g a g 1 ) ρ.využijeme-li vlastnostíneutrálníhoprvkuasymetrie ρ,vidíme,že(1,a b),(1,a 1 ),(1,g a g 1 ) ρ,tedy a b, a 1, g a g 1 [1] ρ,čímžmámeověřeno,žeje[1] ρ normálnípodgrupa G( ).Připomeňme,žepodle1.12(4)rmod[1] ρ =lmod[1] ρ. Nyníbychommělidokázat,že(a,b) ρ,právěkdyž(a,b) lmod[1] ρ.jestliže nejprve(a,b) ρ,potom(1,a 1 b)=(a 1 a,a 1 b) ρ,protožeje ρekvivalnce slučitelnás,tedy(a,b) lmod[1] ρ.naopak,zvolíme-li(a,b) lmod[1] ρ,pak (a,b)=(a 1,a a 1 b) ρ. ( ) Předpokládejme, že je H normální podgrupa G( ) a definujme relaci ρ jako rmod H(tj.(a,b) ρ a b 1 H).Podle1.12(1)je ρekvivalenceapřímým výpočtemzjistíme,že[1] ρ = H.Zvolmenyní(a 0,b 0 ),(a 1,b 1 ) ρ,tj. a 0 b 1 0 i a 1 b 1 1 jsouprvky H.Nynípoužijemenormalitu H,abychomdostali,že b 1 0 a 0 = b 1 0 (a 0 b 1 0 ) b 0 H.Uzavřenost Hna zaručuje,že b 1 0 a 0 a 1 b 1 1 Hadalším využitímnormalityzískáme a 0 a 1 (b 0 b 1 ) 1 = b 0 (b 1 0 a 0 a 1 b 1 1 ) b 1 0 H, tedy(a 0 a 1,b 0 b 1 ) ρ,čímžjsmeověřilislučitelnost ρssoperací. Poznámka1.16.Nechť G( )ah( )jsougrupyaf: G Hjezobrazeníslučitelné soperací.pakje f(1)=1af(g 1 )=(f(g)) 1 prokaždé g G. Důkaz.Protože f(1) = f(1 1) = f(1) f(1),stačírovnost f(1) = f(1) f(1) přenásobitprvkem f(1) 1,abychomdostali1=f(1) f(1) 1 = f(1) f(1) f(1) 1 = f(1).dále1=f(1)=f(g 1 g)=f(g 1 ) f(g)apodobně1=f(g) f(g 1 ),proto f(g 1 )=(f(g)) 1. Definice. Zobrazení f : G H grup G( )ah( )slučitelnésjejichbinárními operacemi se nazývá(grupový) homomorfismus. Bijektivní homomorfismus budeme nazývatizomorfismus.podmnožiněkerf = {g G f(g)=1}irelacikerf = {(g 1,g 2 ) G G f(g 1 )=f(g 2 )}budemeříkatjádrohomomorfismu. Jestližemezidvěmagrupami G 1 a G 2 existujeizomorfismus,říkáme,že G 1 a G 2 jsouizomorfníapíšeme G 1 = G2. Poznámka1.17.Nechť G 1 ( ), G 2 ( )ag 3 ( )jsougrupy, f: G 1 G 2 a g: G 2 G 3 jsouhomomorfismyahpodgrupagrupy G 2 ( ). (1) gf je také homomorfismus, (2)je-li fbijekce,pak f 1 jeizomorfismus, (3)obraz g(h)jepodgrupa G 3 ( )aúplnývzor f 1 (H)jepodgrupa G 1 ( ), (4) Kerfjenormálnípodgrupa G 1 ( )aker f=rmodkerf, (5) ker fjeekvivalenceslučitelnásoperací na G 1, Důkaz.(1)Je-li a,b G 1,pak gf(a b)=g(f(a) f(b))=g(f(a)) g(f(b)). (2)Stačíověřit,že f 1 jehomomorfismus.zvolíme-li c,d G 2,potom f(f 1 (c) f 1 (d))=c d,proto f 1 (c) f 1 (d)=f 1 (c d).

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 9 (3)Nejprveukážeme,žeje g(h)podgrupa G 3 ( ). g(h)jezjevněneprázdná množina.vezměme u,v g(h),tj.existují c,d H,prokterá g(c)=uag(d)=v. Protože c d, c 1 H,dostávámepřímozdefinice,že u v= g(c) g(d)=g(c d) g(h),au 1 = g(c) 1 = g(c 1 ) g(h)podle1.16. Poznamenejme,že1 f 1 (H),tedyjdeoneprázdnoumnožinuazvolme a,b f 1 (H),tj. f(a),f(b) H.Potomopět f(a) f(b)=f(a b) H,af(a 1 )= f(a) 1 H,tedy a b, a 1 f 1 (H),tedy f 1 (H)jepodgrupa. (4)Protože {1}jepodgrupa G 2 ( )akerf= f 1 ({1}),jeKerfpodgrupapodle (3).Vezmeme-lilibovolné g G 1 a h Kerf,potom f(g h g 1 )=f(g) f(h) f(g 1 )=f(g) 1 f(g) 1 =1,tedy g h g 1 Kerf.Zbývásiuvědomit,že f(a)=f(b) f(a) f(b) 1 =1 f(a b 1 )=1 a b 1 Kerf. (5)Plyneokamžitěz(4)a1.15. Věta1.18. Nechť G( )jegrupaaρekvivalencena Gslučitelnás.Nafaktorové množině G/ρdefinujemeoperaci předpisem[a] ρ [b] ρ =[a b] ρ.tatodefiniceje korektní, G/ρ( )jeopětgrupaapřirozenáprojekce π ρ jehomomorfismus. Důkaz. Abychom ověřili korektnost definice, musí ukázat, že definice nezávisí na volbězástupceekvivalenčníchtříd.mějmetedy[a] ρ =[c] ρ a[b] ρ =[d] ρ,tj.(a,c), (b,d) ρ.potomdíkyslučitelnosti ρsoperacímáme(a b,c d) ρ,proto[a b] ρ = [c d] ρ. Vezmeme-li[a] ρ,[b] ρ,[c] ρ ρ,pakpřímozdefinicevidíme,že [a] ρ ([b] ρ [c] ρ ])=[a (b c)] ρ =[(a b) c] ρ =([a] ρ [b] ρ ) [c] ρ, tedyoperace jeasociativní.to,žejeneutrálnímprvkemprávě[1] ρ ainverzním prvkemkprvku[a] ρ právěprvek[a 1 ] ρ,dostanemepřímýmvýpočtem.konečně π ρ (a b)=[a b] ρ =[a] ρ [b] ρ = π ρ (a) π ρ (b)zdefinice. Grupu zavedenou na faktorové množině budeme nazývat faktorovou grupou. Věta 1.15, která říká, že každé ekvivalenci ρ slučitelné s binární operací na grupě jednoznačně odpovídá normální podgrupa H, nám umožňuje faktorovou množinu zapisovat ve tvaru G/H, navíc je běžné, že se operace na faktorové grupě označuje stejně jako operace na původní grupě. Obvyklý zápis faktorové grupy G/ρ( ) bude tedy G/H( ),kde H =[1] ρ a[a] ρ [b] ρ =[a b] ρ.podobněbudemepřirozenou projekci Gna G/Hoznačovatsymbolem π H amísto[a] ρ budemepsát[a] H. Příklad1.19.Uvážíme-linagrupěZ(+)ekvivalenci n zavedenouvpříkladu0.3, jednáseoekvivalencislučitelnousoperací+a[0] n = nz,proto n =rmod nz anafaktorovémnožiněz/nz=z/ n mámedobřezavedenustrukturugrupy Z/nZ(+)předpisem[a] n +[b] n =[a+b] n. Poznámka1.20(Větaohomomorfismu).Buď f: G 1 G 2 homomorfismusgrup G 1 ( )ag 2 ( )anechť Hjenormálnípodgrupa G 1 ( ).Pakexistujehomomorfismus g:g 1 /H G 2 splňujícípodmínku gπ H = f právětehdy,když H Kerf (tj. rmodh rmodkerf).navíc,jestliže gexistuje,je gizomorfismus,právěkdyž f jenaakerf= H. Důkaz.Nejprvepředpokládejme,žeexistujehomomorfismus g: G 1 /H G 2 splňující gπ H = f,tedy g([a] H )=f(a).zvolme a H.Pak[a] H = H=[1] H jeneutrální prvekgrupy G 1 /H( ),aproto f(a)=g([a] H )=1podle1.16.Tedy a Kerf,čímž jsmeověřili,že H Kerf.

10 JAN ŽEMLIČKA Naopak,nechť H Kerf.Musímeověřit,žejedinámožnádefinice gdanápředpisem g([a] H )=f(a)jekorektní.vezměmeproto[a] H =[b] H.Potom a b 1 H Kerf,tedy1=f(a b 1 )=f(a) f(b) 1 podle1.16,aproto f(a)=f(b).konečně g([a] H [b] H )=g([a b] H )=f(a b)=f(a) f(b)=g([a] H ) g([b] H ), tedy g je homomorfismus. Zbýváověřitzávěrečnouekvivalenci.Předněsiuvědomme,že g(g 1 /H)=f(G 1 ), tedy g jena,právěkdyžje f na.nechťje g navícprostéazvolme a Kerf. Pak g([a] H ) = f(a) = 1.Protože g([1] H ) = g(h) = 1,plynezprostoty g,že [a] H = H,tedy a H.Ověřilijsme,žeKerf H,aprotožeužvíme,že H Kerf, mámerovnost H=Kerf.Konečněpředpokládejme,že g([a] H )=g([b] H ).Potom f(a)=f(b)aa b 1 Kerf= H.Tudíž(a,b) rmodha[a] H =[b] H,čímžjsme ověřili, že je g prosté. Věta1.21(1.větaoizomorfismu).Nechť f: G 1 G 2 homomorfismusgrup G 1 ( ) a G 2 ( ).Pak f(g 1 )jepodgrupa G 2 (tedyopětgrupa)ag 1 /Kerf( )jeizomorfní f(g 1 )( ). Důkaz.Z1.17(3) dostáváme, že f(g 1 ) je podgrupa G 2. Omezíme-li obor hodnotzobrazení f,můžemehochápatjakohomomorfismus f : G 1 f(g 1 ).Nyní aplikujeme 1.20 pro H = Kerf a dostaneme přímo požadovaný izomorfismus g: G 1 /Kerf f(g 1 ). Příklad1.22. Mějmehomomorfismus f n :Z Z n grupyz(+)dogrupyz n (+) spočítánímmodulo ndanýpředpisem f n (k)=(k)mod n.pakmámepodle1.21 izomorfismusz/ker f n (+) =Z n (+),navícjezjevně(a,b) ker f n,právěkdyž n/(a b),aker f n = nz. Věta1.23(2.větaoizomorfismu).Nechť G( )jegrupaah, Kjejínormálnípodgrupy.Jestliže H K,pak K/Hjenormálnípodgrupagrupy G/H( )afaktorová grupa G/K( )jeizomorfnígrupě(g/h)/(k/h)( ). Důkaz.Opětnejprvepoužijeme1.20prohomomorfismy π K : G G/K (jako f z1.20)aπ H : G G/H (jako π H z1.20).protožepodlepředpokladu H K = Kerπ K,dávánám1.20homomorfismus g : G/H G/K splňujícívztah g([a] H )=[a] K.Všimněmesi,žeje gzjevněna.nynípřímočařespočítámekerg= {[a] H G/H g([a] H )=[a] K =[1] K }=K/H.Poznamenejme,žejeKerg= K/H normální podgrupa G/H( ) podle 1.17(3). Nyní pro homomorfismus g využijeme 1.21,abychomdostali G/K= g(g/h) =(G/H)/Kerg=(G/H)/(K/H). 2. Cyklické grupy Připomeňme, že podle 1.9(3) je průnik libovolného systému podgrup zase podgrupou. Uvážíme-li grupu G( ) a podmnožinu X G, pak průnik všech podgrup G( ) obsahujících X je rovněž podgrupou obsahující X, označme ho X, zjevně se jedná o nejmenší takovou podgrupu vzhledem k inkluzi. Speciálně budeme psát g místo {g},je-li g G. Definice.Buď G( )grupaax G.Podgrupu X nazvemepodgrupu G( )generovanou množinou X. Řekneme, že G( ) je cyklická grupa, existuje-li takový prvek g G,že g =G.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 11 Nechť G( )jegrupa a G.Definujmeindukcí: a 0 =1, a n = a n 1 aprokaždé n >0, a n =(a 1 ) n prokaždé n <0. Poznámka2.1.Nechť G( )jegrupaaa G.Zobrazení φ:z Gdanépředpisem φ(n)=a n jehomomorfismusgrupyz(+)dogrupy G( )aφ(z)= a ={a n n Z}. Důkaz.Potřebujemeprokaždoudvojici m,n Zověřit,že φ(n+m)=a n+m = a n a m = φ(n) φ(m).přitom a n+m = a n a m zjevněplatíprooběnezápornáaobě záporná m,n.je-li nzápornéam+nnezáporné,pak a n am =(a 1 ) n am = a n+m. Podobněpro nzáporné, mkladnéam+nzápornémáme a n a m =(a 1 ) n a m = (a 1 ) n m = a n+m. Závěrempoznamenejme,že φ(z)jeprávětvaru φ(z)={a n n Z},aprotose jedná o nejmenší podgrupu G( ) obsahující a. Důsledek2.2. Nechť G( )jegrupa a G.Potomprokaždé n,m Zplatí,že a n =(a n ) 1 a(a n ) m = a nm. Příklad2.3. (1)Z(+)jecyklickágrupa,kdeZ= 1 = 1. (2)Z n (+)jeprokaždépřirozené ncyklickágrupasoperacemidefinovanými modulo n,kdez n = a,právěkdyž NSD(a,n)=1. Věta 2.4. Buď G( ) cyklická grupa. (1)Je-li Gnekonečná,pak G( ) =Z(+). (2)Je-li n= G konečné,pak G( ) =Z n (+). Důkaz. Vezměme nějaký generátor g cyklické grupy G( ), tedy g = G a definujme zobrazení φ:z Gdanépředpisem φ(n)=g n.podle2.1jdeohomomorfismus a φ(z)= g =G,tedy φjezobrazenína.nynípodle1.21jez/kerφ(+) = G( ). Zbývásirozmyslet,jakvypadáZ/Kerφ.Z1.10(2)víme,žeKerφ=nZprovhodné nezápornécelé n.vpřipadě,že n=0,pakz/kerφ=z/{0} =Z,avpřípadě kladného njez/kerφ=z/nz =Z n podle1.22. Poznámka 2.5. Každá faktorová grupa i podgrupa cyklické grupy je opět cyklická. Důkaz.Snadnonahlédneme,žeje-li ggenerátorcyklickégrupy G( ),pak[g] H je generátor její faktorové grupy G/H( ). Díky2.4stačítvrzeníopodgrupáchdokázatprogrupyZ(+)aZ n (+).Nejprve hodokažmeprogrupuz(+).v1.10(2)jsmeověřili,žez(+)jinépodgrupynež podgrupy tvaru nz neobsahuje. Přitom n = nz je cyklická grupa, čímž je tvrzení ověřeno. Nynívyužijemehomomorfismu f n :Z Z n z1.22.zvolíme-lipodgrupu H grupyz n (+),pak fn 1 (H) je podle předchozí úvahy a 1.17(3) cyklická podgrupa Z,tedy H= f n (fn 1 (H))jecyklickápodgrupaZ n (+). Poznámka2.6.Buď G( )konečnágrupa.potom g G =1prokaždýprvek g G. Důkaz. g jecyklickágrupařádu n,tedyjepodle2.4izomorfníz n (+),proto g n =1.Podle1.13 n/ G,tedy g G =(g n ) G n =1 G n =1,kde1.rovnostplynez 2.2.

12 JAN ŽEMLIČKA Věta 2.7. Nechť G( ) je konečná cyklická grupa. Pak pro každé přirozené k, které dělířádgrupy G,existujeprávějednapodgrupagrupy Gřádu k. Důkaz. K důkazu využijeme charakterizace cyklických grup 2.4, díky němuž stačí tvrzenídokázatpro(izomorfní)grupuz n (+).Jestliže k=1,jetvrzenítriviální, předpokládejmetedy,že k > 1.Potomsnadnonahlédneme,žemnožina n k = {0, n k,2 n k,...,(k 1) n k }jepodgrupaa n k =k.mějmenynínějakoupodgrupu H grupyz n (+)řádu k.podle2.6(k h)mod n=0,proto k h=c nprovhodné celéčíslo c.tedy h=c n k.tímjsmeověřili,že Hječástípodgrupy n k.protože sejednáodvěkonečnéstejněvelkémnožiny,dostáváme,že H= n k,čímžjsme ověřili jednoznačnost volby. Prokaždépřirozené k(resp. k Z n )označujme kz= k ={kz z Z}(resp. kz n = k ={k z z Z n }). Poznámka2.8. Nechť n N, a Z n \ {0}ak/n.Pak az n = kz n,právěkdyž NSD(a,n)=k.Speciálněplatí,že az n =Z n (tj. agenerujegrupuz n (+)),právě když NSD(a,n)=1. Důkaz.Nejprvepředpokládejme,že az n = kz n.potom k az n,tedyexistujecelé x,prokteré(a x)mod n=k.prototakéexistujetakovécelé y,že a x+n y= k. Odtudplyne,žeNSD(a,n)/k.Podobně,protože a kz n existujícelá uav,pro něž k u+n v= a,aprotože k/n,nutněmusí k/a.vidíme,že k/nsd(a,n),tudíž NSD(a,n)=k. Nyní předpokládejme, že NSD(a, n) = k. Potom díky Euklidovu algoritmu existují x Z n acelé y,proněž a x+n y= k.proto(a x)mod n=k,tudíž k az n a kz n az n.konečně,protože k/a,vidíme,že a kz n,aproto az n kz n,což znamená,že kz n = az n. Důsledek2.9.Je-li n N,pakčíslo ϕ(n)udávápočetprvků,kterégenerujígrupu Z n (+)apočetinvertibilníchprvkůmonoiduz n ( ). Příklad 2.10.(1) Uvažujme konečnou cyklickou grupu G( ). Potom nám 2.9 říká, že G( ) obsahuje právě ϕ( G ) generátorů, a podle 2.7 G( ) obsahuje právě tolik podgrup, kolik je dělitelů jejího řádu. (2) Vezměme cyklickou grupuz 50 (+). Vbodu(1) jsme nahlédli, žez 50 (+) obsahuje ϕ(50) = 20 generátorů a právě 6 podgrup. Vezmeme-li například podgrupu 42 grupyz 50 (+)(ajinénežcyklicképodgrupytatogrupapodle2.5neobsahuje), pakdíky2.8víme,že 42 = NSD(42,50) = 2 = 2Z 50,ajednásetedyo podgrupuřádu25= 50 2. Věta2.11(MaláFermatovavěta). Pronesoudělnákladnáceláčísla a,n >1je (a ϕ(n) )mod n=1. Důkaz.Nejprveuvážíme,že(a ϕ(n) )mod n=((a)mod n ϕ(n) )mod n,cožznamená, žetvrzenístačídokázatpro a < n.nynívezmemjakogrupu Gz2.6grupuinvertibillníchprvkůZ n( )monoiduz n ( )tj.prvkůnesoudělnýchsnpodle2.9.protože a Z n,je(a ϕ(n) )mod n=(a Z n )mod n=1díky2.6a2.9. Poznámka2.12. Buď paqdvěrůználicháprvočíslaam=nsn(p 1,q 1). Potomprokaždé a Z pq platí,že(a m+1 )modpq=a.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 13 Důkaz.Podle2.11(x m )modp=1a(y m )modq=1pro x,kteránejsounásobkem pay,kteránejsounásobkem q.dálezřejměplatí((up) m+1 )modp = 0a protoi(x m+1 )mod p = (x)mod pa(y m+1 )mod q = (y)mod q prokaždénezápornécelé xay.vezměmenyni a Z pq.zpředchozíhopozorováníplyne,že ((a)mod p,(a)mod q)=((a m+1 )mod p,(a m+1 )mod q),adíkyvětě0.5použitépro bijekciz pq Z p Z q dostáváme,žeshodnéjsouivzoryprvků((a)mod p,(a)mod q) a((a m+1 )mod p,(a m+1 )mod q),tedy,že(a m+1 )modpq=a. Příklad 2.13 (Rivest, Shamir, Adleman). Opět zvolme p a q dvě různá lichá prvočíslaapoložme m=nsn(p 1,q 1).Indukcídíky2.12a2.2dostaneme,že a um+1 = a (u 1)m a m+1 = a (u 1)m+1 = aprokaždé u Naa Z pq. Vezměme e < m nesoudělné s m a pak(například pomocí Euklidova algoritmu) najdemetakové d < m,že(ed)mod m = 1.Nyníprokaždé a Z pq platí,že (a e ) d = a ed = a um+1 = a(počítánovz pq,tedymodulo pq). Pomocí vlastnosti čísel p, q, m, d, e můžeme nyní popsat protokol asymetrického šifrováníznámýpodzkratkoursa.položíme-li n=p q,jeveřejnýmklíčemje dvojice čísel(pq, e) a soukromý klíč tvoří tajný exponent d. Chceme-li informaci vyjádřenouposloupnostíhodnot a 1,...,a k Z pq adresovatmajitelisoukromého klíče, stačí ji zašifrovat pomocí mocnění veřejně známou hodnotou e v monoidu Z pq (,1),tj.odeslatzprávu(a e 1)mod pq,...,(a e k )mod pq.kjejímurozluštěnístačí umocnitvz pq (,1)pomocítajnéhoexponentu,protože(a e i )d = a ed i = a i.naopak,zveřejnění-limajitelsoukroméhoklíčezašifrovanouzprávu(a d 1)mod pq,..., (a d k )mod pq,mohousipříjemcizprávystejnýmzpůsobem(tj.umocněnímnaveřejněznámýexponent e:((a d 1) e )mod pq,...,((a d k )e )mod pq= a 1,...,a k )ověřit,že odesilatel zprávy opravdu zná tajný exponent. Poznamenejme,žejezeznalosti naeobtížnénajít d(odpovídátonalezeníprvočíselného rozkladu čísla n, což je úloha, pro níž není znám algoritmus polynomiální složitosti),zatímcomocněníčíselvz pq je(iprovelkéexponentyavelké pq)velmi snadné a rychlé. Důkaz následujícího tvrzení o cyklických grupách, který vyžaduje znalosti z teorie polynomů nad obecným tělesem, provedeme až v příštím semestru: Věta 2.14. Nechť T(+, )jekomutativnítělesoanechť Gjekonečnápodgrupa multiplikativnígrupy T \ {0}(, 1,1).Potom Gjecyklickágrupa. 3. Univerzální pohled: pojem algebry Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině A.Pakdvojici A(α i i I)nazveme algebrou. 1-ární operace se obvykle nazývají unárními operacemi, 2-árním operacím se říká binární operace a 3-ární se nazývají ternárními operacemi. Uvědomme si, že nulární operace vyznačuje v algebře jeden její prvek, proto ji můžeme se tímto vyznačeným prvkem ztotožnit.

14 JAN ŽEMLIČKA Příklad3.1. (1)Uvážíme-ligrupu G( )sunárníoperacíinverzníhoprvku 1 a nulárníoperací1,pak G( ), G(, 1 ), G(, 1,1)tvoří(formálněrůzné)příklady algeber. (2)Je-liTtěleso,pakjealgebrouT(+, )čit(+,,,0,1),provektorovýprostor V nadt,jealgebrou V(+, t t T). Definice.Buď α n-árníoperacena A.Řekneme,žepodmnožina B Ajeuzavřená naoperaci α,jestliže α(a 1,...,a n ) Bprovšechna a 1,...,a n B.Řekneme,že B Ajepodalgebraalgebry A(α i i I),je-li Buzavřenánavšechnyoperace α i, i I. Označíme-li β i = α i B nomezení n-árníoperace α i na B n,potompropodalgebru Bležívšechnyhodnotyzobrazení β i opětvb.zobrazení β i tedymůžemechápat jakooperacenamnožině Batakdostávámestrukturualgebry B(β i i I)na každé podalgebře B. Definice. Nechť symbol α označuje n-ární operaci na množině A i B. Řekneme, že zobrazení f : A B je slučitelné s operací α, jestliže f(α(a 1,...,a n )) = α(f(a 1 ),...,f(a n )).Řekneme,žealgebry A(α i i I)aB(α i i I)jsoustejnéhotypu,pokud α i označujenamnožině Ainamnožině Bdvěoperacestejné arity.zobrazení f : A Bmezidvěmaalgebramistejnéhotypubudemeříkat homomorfismus,je-lislučitelnésevšemioperacemi α i, i I.Bijektivníhomomorfismus budeme nazývat izomorfismus. Jestliže mezi dvěma algebrami A a B existuje izomorfismus,říkáme,že AaBjsouizomorfníapíšeme A = B. Příklad3.2. (1)Buď G i ( )pro i=1,2grupysunárníoperacíinverzníhoprvku 1 anulárníoperací1.pakkaždýhomomorfimusgrup G 1 ( )ag 2 ( )jepodle1.16 homomorfismemalgeber G 1 ( )ag 2 ( ), G 1 (, 1 )ag 2 ( 1 )ig 1 (, 1,1)aG 2 ( 1,1) (2)Nechť Ua V jsoudvavektorovéprostorynadtělesem T.Potomkaždélineární zobrazení(homomorfismus) vektorových prostorů je homomorfismem algeber U(+, t t T)aV(+, t t T). (3)Označme M n (T)množinuvšechčtvercovýchmaticnadtělesem Ta budiž symbolem násobení matic. Potom zobrazení, které každé matici přiřadí její determinant,jehomomorfismemalgebry M n (T)( )do T( )(poznamenejme,žesejedná právěomonoidy). Definice. Nechť ρjerelaceaαje n-árníoperacenamnožině A.Řekneme,že ρjeslučitelnásα,jestližeprokaždýsystémprvků a 1,...,a n,b 1...,b n A,pro které(a i,b i ) ρ, i = 1,...,n,platí,že(α(a 1,...,a n ),α(b 1,...,b n )) ρ.je-li A(α i i I)algebraaρekvivalencenamnožině A,pak ρnazvemekongruencí,je-li ρslučitelnásevšemioperacemi α i, i I. Příklad3.3. (1)idaA Ajsoukongruencenalibovolnéalgebře A. (2) Každá ekvivalence je slučitelná s libovolnou nulární operací. (3) Ekvivalence slučitelná s operací na grupě G( ) je kongruencí algeber G( ), G(, 1 )ag(, 1,1). Připomeňme,žeje-li f: A Bzobrazení,rozumímejehojádremker f relaci danoupředpisem:(a,b) ker f f(a)=f(b).nyníjsmepřipravenivyslovit obdobu Poznámky 1.17 pro obecné algebry: Poznámka3.4. Nechť A 1 (α i i I), A 2 (α i i I)aA 3 (α i i I)jsoualgebry stejnéhotypu, f: A 1 A 2 a g: A 2 A 3 jsouhomomorfismyabjepodalgebra algebry A 2 ( ).

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 15 (1) gf je také homomorfismus, (2)je-li fbijekce,pak f 1 jeizomorfismus, (3)obraz g(b)jepodalgebraalgebry A 3 (α i i I)aúplnývzor f 1 (B)je podalgebraalgebry A 1 (α i i I), (4) ker fjekongruencenaalgebře A 1 (α i i I). Důkaz. Důkaz je snadným zobecněním důkazu příslušných bodů 1.17. (1)Je-li α i n-árníoperacena A 1, A 2 a A 3 avezmeme-li a 1,...a n A 1,pak gf(α i (a 1,...a n ))=g(α i (f(a 1 ),...f(a n )))=α i (gf(a 1 ),...gf(a n )). (2)Stačíopětověřit,že f 1 jehomomorfismus.zvolíme-lilibovolně n-árníoperaci α i aprvky a 1,...a n A 2,potom f(α i (f 1 (a 1 ),...,f 1 (a n )))=α i (a 1,...a n ), proto α i (f 1 (a 1 ),...,f 1 (a n ))=f 1 (α i (a 1,...a n )). (3)Nechťjeopět α i libovolná n-árníoperacena A 2 i A 3.Vezměmenejprve c 1,...c n g(b),tj.existují b 1,...b n B,prokterá g(b j )=c j, j =1,...,n. Protože α i (b 1,...b n ) B,dostávámebezprostřednězdefinice,že α i (c 1,...c n )= α i (g(b 1 ),...g(b n ))=g(α i (b 1,...b n )) g(b). Nyní zvolme a 1,...a n f 1 (B), tj. f(a j ) B. Potom f(α i (a 1,...a n )) = α i (f(a 1 ),...f(a n )) B. (4)Vezměme n-árníoperaci α i na A 1 a A 2 aprvky a 1,...a n,b 1,...b n A 1,o nichžvíme,že(a j,b j ) ker f,tedy f(a j )=f(b j ),prokaždé j=1...n.potomz definice homomorfismu dostaneme rovnost f(α i (a 1,...a n ))=α i (f(a 1 ),...f(a n ))=α i (f(b 1 ),...f(b n ))=f(α i (b 1,...b n )), čímžjsmeověřili,že(α i (a 1,...a n ),α i (b 1,...b n )) ker f.žesejednáoekvivalenci je snadné cvičení. Poznámka 3.5. Nechť A(α i i I) je algebra a A j jsou podalgebray A a ρ j ekvivalencena Aprokaždé j J. (1) j J A jjepodalgebra A, (2)jsou-li ρ j kongruencena A,paki j J ρ jjekongruence. Důkaz.(1)ObdobaPoznámky1.9(3).Nechť α i jelibovolná n-árníoperacena Aa a 1,...a n j J A j.protože j J A j A k prokaždé k Ja A k jepodalgebra A(α i i I)máme α i (a 1,...a n ) A k,tedy α i (a 1,...a n ) j J A j. (2)Protožeid ρ j provšechna j J,mámeid j J ρ j,tedyrelace j J ρ jje reflexivní.je-li(a,b) j J ρ j,máme(a,b) ρ j,zesymetriepotom ρ j i(b,a) ρ j provšechna j J,tudíž(b,a) j J ρ j.konečněplatí-li,že(a,b),(b,c) j J ρ j, paktranzitivitajednotlivýchrelací ρ j,kterévšechnyobsahujíprůnik j J ρ jimplikuje,že(a,c) ρ j,aproto(a,c) j J ρ j. Mějme α i nějakou n-árníoperacina Aavezměmeprvky a 1,...a n,b 1,...b n A, proněžplatí,že(a k,b k ) j J ρ j( ρ j provšechna j J).Potomprovšechna j Jmáme(α i (a 1,...a n ),α i (b 1,...b n )) ρ j,tedy(α i (a 1,...a n ),α i (b 1,...b n )) j J ρ j. Definice. Nechťje AmnožinaaC P(A)jenějakýsystémpodmnožinmnožiny A.Řekneme,že Cjeuzávěrovýmsystémemnad A,pokud (1) A C, (2) prokaždýpodsystém {B i i I} C,je {B i i I} C.

16 JAN ŽEMLIČKA Důsledek 3.6. Nechť A(α i i I)jealgebra.Pakvšechnypodalgebryalgebry A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna Aavšechnykongruencenaalgebře A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A A. V případě, že nemůže dojít k omylu nebo jednotlivé operace na algebře nepotřebujeme explicitně uvažovat, budeme v následujícím označiovat algebru jen její nosnou množinou. Nyní zobecníme definici ze začátku 2.kapitoly. Definice. Buď AalgebraaX A.Potompodalgebru X algebry A,kterou dostaneme jako průnik všech podalgeber A obsahujících množinu X nazveme podalgebrou generovanou X(nebo budeme říkat, že X generuje podalgebru X ). Poznámka 3.7. Buď f,g : A B dvahomomorfismyalgeberstejnéhotypua nechť X Agenerujealgebru A.Jestliže f(x)=g(x)provšechna x X,potom f= g. Důkaz.Nejprveukážeme, žejemnožina C = {a A f(a) = g(a)} podalgebroualgebry A.Vezměme n-árníoperaci αalgebry Aanechť a 1,...,a n C.Pak f(α(a 1,...,a n ))=α(f(a 1 ),...,f(a n ))=α(g(a 1 ),...,g(a n ))=g(α(a 1,...,a n )), proto α(a 1,...,a n ) C.Všimneme-lisi,že X C,dostaneme A= X C,čímž jsme dokončili důkaz. Příklad 3.8. (1) Uvažujme grupu celých čísel Z(+) a G(+) nějaký grupoid, tedy algebrusjednoubinárníoperací+.nechť f,g:z Gjehomomorfismus.Uvědomme si, že nejmenší podalgebra Z(+) obsahující množinu { 1, 1} je už rovna celémuztj. { 1,1} =Z.Podlepředchozípoznámkyjsoutedy f a gshodné, jestliže f(1)=g(1)af( 1)=g( 1). (2)Uvažujme-linynídvahomomorfismy f,g:z Gnaalgebřecelýchčísel Z(+, )aobecnéalgebře G(+, )sjednoubinárníoperací+ajednouunární operací+.nechť f,g:z Gjehomomorfismus.Potom { 1,1} =Z,apodle 3.7jsou fa gshodné,jestliže f(1)=g(1). Definice. Nechť ρjeekvivalenceaαje n-árníoperacenamnožině A.Je-li ρ slučitelnásα,definujemeoperaci αnafaktoru A/ρpředpisem α([a 1 ] ρ,...,[a n ] ρ )= [α(a 1,...,a n )] ρ.je-li ρkongruencenaalgebře A,paktímtozpůsobemdefinujeme na A/ρ strukturu algebry stejného typu. Věta 3.9. Je-li ρ kongruence na algebře A, pak je definice algebry A/ρ korektní, jdeoalgebrustejnéhotypujako Aapřirozenáprojekce π ρ : A A/ρjehomomorfismus. Důkaz.Vezměmelibovolnou n-árníoperaci αalgebry Aanechť[a j ] ρ =[b j ] ρ, j= 1,...n.Potom(a j,b j ) ρ,kde j=1,...n,proto[α(a 1,...,a n )] ρ =[α(b 1,...,b n )] ρ, tedy definice operací na A/ρ je korektní. Zbytek tvrzení je přímý důsledek definice. Definice. Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Definujmerelaci σ/ρna A/ρ následovně:([a] ρ,[b] ρ ) σ/ρ (a,b) σ. Poznámka 3.10. Buď ρ kongruence na algebře A. (1) Je-li σ kongruence na A obsahující ρ, je σ/ρ dobře definovaná kongruence na algebře A/ρ. (2) Je-li η kongruence na algebře A/ρ, potom existuje právě jedna kongruence σ naalgebře Aobsahující ρ,proníž η= σ/ρ.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 17 Důkaz.(1) Stačí ověřit, že je σ/ρ dobře definovaná, zbytek je okamžitým důsledkem definice σ/ρaoperacenafaktorové algebře A/ρ. Mějme[a 1 ] ρ = [a 2 ] ρ [b 1 ] ρ = [b 2 ] ρ.potom(a 1,a 2 ),(b 1,b 2 ) ρ σ,tedydíkytranzitivitěasymetrii σplatí,že (a 1,b 1 ) σ (a 2,b 2 ) σ. (2) Jediný možný způsob, jak definovat σ nám dává předpis (a,b) σ ([a] ρ,[b] ρ ) η.nynístačípřímočařenahlédnout,žejsmetaktozavedlikongruenci na A. NyníužmůžemevyslovitobecnéverzeVětyohomomorfismusaVětoizomorfismus: Poznámka3.11. (Větaohomomorfismu)Buď f: A Bhomomorfismusdvou algeberstejnéhotypuanechť ρjekongruencenaalgebře A.Pakexistujehomomorfismus g:a/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = f právětehdy,když ρ ker f. Navíc,pokud gexistuje,je gizomorfismus,právěkdyž fjenaaker f= ρ. Důkaz. Tvrzení dokážeme stejně jako Větu o homomorfismu pro grupy(1.20). Nejprve předpokládejme, že existuje homomorfismus g : A/ρ B splňující podmínku gπ ρ = f,tedy g([a] ρ )=f(a)avezměme(a 1,a 2 ) ρ.pak[a 1 ] ρ =[a 2 ] ρ, aproto f(a 1 )=g([a 1 ] ρ )=g([a 2 ] ρ )=f(a 2 ).Tedy(a 1,a 2 ) ker f. Je-linaopak ρ ker f,ověřujeme,žedefinice gdanápředpisem g([a] ρ )=f(a)je korektní.vezmeme-li[a 1 ] ρ =[a 2 ] ρ ker f,pak g([a 1 ] ρ )=f(a 1 )=f(a 2 )=g([a 2 ] ρ ). Žeje ghomomorfismusjezjevnézjehodefinice. Konečnědokážemezávěrečnouekvivalenci.Protože g(g 1 /ρ)=f(g 1 ),opětvidíme,že gjena,právěkdyžje fna.je-li gnavícprostéazvolíme-li(a 1,a 2 ) ker f, pak g([a 1 ] ρ )=f(a 1 )=f(a 2 )=g([a 2 ] ρ ),aproto(a 1,a 2 ) ρ.ověřilijsme,že ker f ρ,aprotožeužvíme,že ρ ker f,mámerovnost ρ=kerf.konečně předpokládejme,že g([a 1 ] ρ )=g([a 2 ] ρ ).Potom f(a 1 )=f(a 2 ),aproto(a 1,a 2 ) ρ a[a 1 ] ρ =[a 2 ] ρ,čímžjsmeověřili,žeje gprosté. Věta 3.12 (1.větaoizomorfismu). Nechť f : A B jehomomorfismusdvou algeber stejného typu. Pak f(a) je podalgebra B (tedy algebra stejného typu) a A/ker fjeizomorfní f(a). Důkaz.Rozmyslímesi,žepodle3.4(3)je f(a)jepodalgebra Bapotéstejnějako vdůkazu1.21použijemevětuohomomorfismu3.11na ρ=ker f. Věta3.13(2.větaoizomorfismu). Nechť ρ σjsoudvěkongruencenaalgebře A. Pak algebra A/σ je izomorfní algebře(a/ρ)/(σ/ρ). Důkaz. I tentokrát postupujeme stejně jako v důkazu Věty o izomorfismu pro grupy 1.23:nejprvepoužijeme3.11prohomomorfismy π σ : A A/σaπ ρ : A A/ρ, kteránámdáváhomomorfismus g : A/ρ A/σsplňujícívztah g([a] ρ )=[a] σ. Zbýváspočítatker g= σ/ρapoužít3.12. 4. Svazy Definice. Relaci na množině M budeme říkat uspořádání, je-li reflexivní a tranzitivníasplňuje-lipodmínku a b, b a a=bprokaždé a,b M(tj.jdeo slabě antisymetrickou relaci).

18 JAN ŽEMLIČKA Příklad 4.1. Následující relace jsou uspořádáním: (1) / na množině všech přirozených čísel N, (2) na množině všech celých(reálných, racionálních) čísel Z(R, Q), (3) namnožiněvšechpodmnožin P(X)množiny X, (4) idnalibovolnéneprázdnémnožině M. Definice. Nechť jeuspořádánínamnožině Ma A M.Řekneme,že m A jenejmenší(resp.největší)prvekmnožiny A,jestliže m a(resp. a m)pro všechna a A. Supremem(resp. infimem) množiny A budeme rozumět nejmenší prvekmnožiny {n M a A: a n}(resp.největšíprvekmnožiny {n M a A: n a}),supremumznačímesup ainfimuminf.dvojici(m, ) budemeříkatsvaz,pokudprokaždédvaprvky a,b Aexistujesupremuma infimum množiny {a, b}. Svaz(M, ) je úplným svazem, existuje-li supremum a infimum každé podmnožiny množiny M. Příklad4.2.(1)(N,/),kdesup / (n,m)=nsn(n,m)ainf / (a,b)=nsd(n,m),je příkladem svazu (2)(Z, ),(R, ),(Q, ),kdesup (a,b)=max(a,b)ainf (a,b)=min(a,b), je rovněž(dokonce lineárně uspořádaný) svaz. (3)(P(X), ),jeúplnýsvaz,kde sup (B)= Bainf (B)= Bprokaždou podmnožinu B P(X). Definice.Nechť(M, )jesvaz.prokaždédvaprvky m,n Moznačme m n= sup (m,n)am n=inf (m,n).potombinárníoperaci nazvemespojenía průsek. Poznámka4.3. Buď(M, )svaz.pakprovšechna a,b,c Mplatí: (S1) a b=b a, a b=b a, (S2) a a=a=a a, (S3) a (b c)=(a b) c, a (b c)=(a b) c, (S4) a (b a)=a=a (b a). Důkaz. Vlastnosti(S1) a(s2) jsou okamžitým důsledkem definice a. (S3)Položme d=a (b c).dokážeme,žeje dsuprememmnožiny {a,b,c}.podle definice je a dab,c b c d,tedy djehorníodhadmnožiny {a,b,c}.zvolme nějaké e,proněž a,b,c e.pak(b c) e,protožeje ehorníodhadmnožiny {b,c} a(b c)jesuprememtétomnožiny.stejnýmargumentemdostaneme a (b c) e, tedy a (b c)=sup ({a,b,c})=c (a b)=(a b) cdíky(s1).důkazdruhé podmínky je symetrický. (S4)Protože b a aaa a,máme a (b a) a.naopak a a (b a), tedyzeslabéantisymetrieplyne,že a=a (b a).itentokrátproověřenídruhé podmínky stačí zaměnit spojení průsekem a relaci relací. Poznámka 4.4. Nechť M(, ) je algebra s dvěma binárními operacemi, které splňujípodmínky(s1) (S4).Definujmena M relaci předpisem: a b b= a b.pak(m, )jesvaz,kdesup (a,b)=a bainf (a,b)=a b. Důkaz.Nejprveukážeme,žeje uspořádání.protože a=a adíky(s2),máme podledefinice a a.vezmeme-li a bab c,tj. b=a b, c=b c,pak c=(a b) c=a (b c)=a cdíky(s3),tedy a c.konečněplatí-li,že a b a b a,dostávámez(s2),že b=a b=b a=a.

ALGEBRA I PRO INFORMATIKY 19 Nyníověříme,že b=a b a=a b.zasymetriepodmínekpro a plyne, žestačíabychomověřilijenjednuimplikaci.nechťnapříklad b=a b.potom a b=a (a b)=a (b a)=apodle(s1)a(s4).vidíme,žejedefinice symterickyformulovatelnápomocípodmínky a b a=a b. Zbývádokázat,žesup (a,b)=a b(tvrzenípro sedokážesymetricky).předně a (a b)=(a a) b=a bdíky(s3)a(s2)ab (a b)=(a b) b=a (b b)=a b díky(s1),(s3)a(s2),tudíž a,b (a b).vezmeme-liprvek c,prokterý a,b c, pak c=a cac=b c,proto c=a (b c)=(a b) cpodle(s3).tímjsme ověřili,že(a b) c,cožznamená,žesup (a,b)=a b. Předchozí dvě poznámky ukazují vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi svazy a algebrami M(, ) splňujícími podmínky(s1) (S4). Proto budeme svazem nazývatialgebru M(, )anamnožině Mbudemezároveňpoužívatoperace a iodpovídajícírelaci.všimněmesi,žeje-li M(, )svaz,pakim(, )tvoří svaz(mluvíme o opačném svazu s opačným uspořádáním ). Příklad4.5. Upříkladůsvazůuvedenýchv4.2mámetedydvazpůsobyjakna svaz nahlížet: (1) (N,/) odpovídá algebře N(NSD, nsn), (2) (Z, )(respektive(r, ),(Q, )) odpovídá algebře Z(min, max)(respektive R(min, max), Q(min, max)). (3) (P(X), ) odpovídá algebře P(X)(, ), Věta4.6.Nechť Cjeuzávěrovýsystém.Pak(C, )tvoříúplnýsvaz,kdesup (B)= {C C B C}ainf (B)= Bprokaždé B C. Důkaz. jeuspořádánía Bjezjevněinfimem.Protožeje Cuzavřenénaprůniky, je {X C B X}nejmenšímprvkem Cobsahujícímvšechna B B,cožje podle definice právě supremum vzhledem k inkluzi. Důsledek 4.7. Systém všech podalgeber i systém všech kongruencí na algebře spolu sinkluzíjedíky3.6svazem. Definice. Nechť(M, )jesvazaa,b,c M.Řekneme,žeprvek bpokrýváprvek a(píšeme a < b),jestliže a b, a baa c b c=anebo c=b.hasseovým diagramem svazu(m, ) rozumíme orientovaný graf, jehož vrcholy tvoří prvky množinymaajesbspojentakovouhranou,že bsenacházívýšenež a,právěkdyž bpokrývá a. Poznámka4.8. Nechť M(, )jesvaz, a,b,c Ma a c.potom a (b c) (a b) c. Důkaz.Protože a a bab c b a b,mámezdefinicesuprema a (b c) a b. Podobně a a cab c c,proto a (b c) c.využijeme-linynídefiniciinfima množiny {a b,c},pakdostaneme a (b c) (a b) c. Definice. O svazu S(, ) řekneme, že je modulární, jestliže pro každá taková a,b,c S,že a c,platírovnost a (b c)=(a b) casvazjedistributivní, platí-liprokaždé a,b,c Srovnost a (b c)=(a b) (a c). Poznámka 4.9. Každý distributivní svaz je modulární. Důkaz.Předpokládejme,že a c,tj.(a c)=c.potomnámdistributivitadává rovnost a (b c)=(a b) (a c)=(a b) c.

20 JAN ŽEMLIČKA Příklad 4.10.(1) Svaz P(X)(, ), kde P(X) je množina všech podmnožin množiny X, je distributivní. (2) Množina všech podprostorů vektorového prostoru je uzávěrový systém, a prototvořídíkyvětě4.6spolusinkluzísvaz.tentosvazjemodulární. (3)Svaz(N 5, ),kde N 5 = {0,1,a,b,c},danýrelacemi:0< a< c< 1, 0 < b < 1(tzv.pentagon, N 5 )nenímodulární,protože a caa (b c)=a c=(a b) c. (4)Nechť M 5 = {0,1,u,v,w},buď0nejmenšíprvek,1největšíprvekau v= u w=v w=1au v= u w=v w=0.protože u (v w)=u 0 1= 1 1(u v) (u w),není M 5 (, )distributivnísvaz.elemntárnímiprostředku můžemedokázat,žejemodulární.(říkásemuobvyklediamantaznačíse M 5 ). Poznámka4.11. Svaz S(, )jedistributivní,právěkdyžprokaždé a,b,c S platí,že a (b c)=(a b) (a c),tedysvaz S(, )jedistributivní,právěkdyž je opačný svaz S(, ) distributivní. Důkaz. Ze symetrie vlastností operací plyne, že stačí dokázat pouze jednu implikaci. Nechť je svaz distributivní. Budeme s využitím definice distributivity a 4.3 upravovat:(a b) (a c)=((a b) a) ((a b) c)=(a a) (b a) (a c) (b c)= a (b c),kdeposlednírovnostplynezevztahů a (b a)aa (a c). Definice. Nechť f: A Bjezobrazenía(A, )a(b, )jsousvazy.řekneme, že je f homomorfismus(izomorfismus) jde-li o homorfismus(izomorfismus) algeber A(, )ab(, )af nazvememonotónnímzobrazením,platí-liimplikace a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Příští semestr dokážeme, že je svaz modulární, právě když neobsahuje podsvaz izomorfnísvazu N 5,ažejedistributivní,právěkdyžneobsahujeanipodsvazizomorfní N 5,anipodsvazizomorfní M 5. Poznámka 4.12. Homomorfismus svazů je monotónní zobrazení. Důkaz.Je-li f: A Bhomomorfismussvazůaa 1 a 2 A,pak a 2 = a 1 a 2. Proto f(a 2 )=f(a 1 a 2 )=f(a 1 ) f(a 2 )atedy f(a 1 ) f(a 2 ). Příklad 4.13. Uvažujme svazy (S 1, ) a (S 2, ), kde S 1 = {0,1,a,b}, S 2 = {0,1,A,B}adanýrelacemi:0< a< 1,0< b< 1a0< A< B< 1. Potomzobrazení f(0)=0, f(1)=1, f(a)=a, f(b)=bjemonotónní,alenení tohomomorfismussvazů,protože f(a b)=f(0)=0 A=f(a) f(b). Věta4.14. Bijekcesvazů fjeizomorfismus,právěkdyžjsou fi f 1 monotónní zobrazení. Důkaz. Díky 4.12 stačí dokázat zpětnou implikaci. Ověříme slučitelnost f například s.mějme f: A Btakovoubijekcisvazů,že fi f 1 jsoumonotónní,azvolme a,b A.Protože a,b a b,je f(a),f(b) f(a b),tudíž f(a) f(b) f(a b). Podobně f(a),f(b) f(a) f(b),proto a,b f 1 (f(a) f(b))aa b f 1 (f(a) f(b)).použijeme-linaposlednívztahznovumonotonii f,dostaneme f(a b) f(a) f(b).zeslabéantisymetrie,potomplyne,že f(a b)=f(a) f(b). Definice. Nechťmásvaz S(, )nejmenšíprvek0anejvětšíprvek1.prvek a S nazveme atomem(resp. koatomem), jestliže a pokrývá 0(resp. 1 pokrývá a). Komplementemprvku a Snazvemetakovýprvek a S,že a a =1aa a =0.