Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
|
|
- Hynek Pavlík
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem P(třeba(0,0),resp.(0,0,0)),sčítáníanásobení reálným číslem 1.DefiniceNechť Ljeneprázdnámnožina,nakteréjedefinovánajednabinárníoperace aprokaždé reálné číslo λ unární operace λ, a nechť jsou splněny následující podmínky 1. (komutativitaoperace )prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí u v= v u, 2. (asociativitaoperace )prokaždétřiprvky u, v, wzmnožiny Lplatí ( u v) w= u ( v w), 3. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u, 4. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α+β) u=(α u) (β u), 5. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 6. pro libovolný prvek u z množiny L platí 1 u= u, 7. prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí 0 u=0 v (= o...nulovýprvek). Takovouto strukturu nazýváme lineární(nebo také vektorový) prostor nad tělesem reálných čísel. 2. Poznámka Lineární prostor můžeme obecně definovat nad každým komutativním tělesem. 3. Definice Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory, reálným číslům(tj. prvkům tělesa) říkáme skaláry. 4. Poznámka Někdy se v definici lineárního prostoru místo 7. axiomu uvádějí tyto dva axiomy 7.a)Existujevektor o Ltakový,žeprovšechnyvektory u Lje o u= u.(existencenulovéhoprvku) 7.b)Kekaždémuvektoru u Lexistujevektor u Ltakový,že u ( u)= o(exist.opačnýchprvků) 5.TvrzeníPodmínky1.až7.jsouekvivalentníspodmínkami1.až6.,7.a),7.b). 6. Poznámka Díky vlastnosti 7.b) můžeme definovat odčítání vektorů jako přičítání opačného vektoru, tedy pro každé dva vektory u, v z množiny L definujeme u v= u ( v). 7. Poznámka Pokud v definici lineárního prostoru odhlédneme od operace násobení skalárem a uvažujeme jen neprázdnou množinu L s operací, která splňuje podmínky 1., 2., 7.a), 7.b), získáme komutativní grupu.
2 8. Pozorování Další vlastnosti: 1. pro libovolné reálné číslo α platí α o= o, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α β) u=(α u) (β u), 3. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 9. Poznámka V definici lineárního prostoru jsme pro každé reálné číslo λ uvažovali unární operaci λ. Místotěchtooperacíjemožnézavéstzobrazení :R L L(Olšák).Takovémuzobrazeníseříkáakce na množině. Přesněji: Nechť(G, ) je monoid(neprázdná množina s jednou binární operací, která je asociativní a má jednotkovýprvek).akcímonoidugnamnožinělnazývámezobrazení :G L L,kterésplňuje 1. prolibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí1 u= u, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u. Reálná čísla s operací násobení jsou určitě monoidem. Přihlédneme-li k předchozí poznámce, můžeme lineární prostornadtělesemreálnýchčíseldefinovatjakokomutativnígrupu(l, )sakcí tělesa Rnamnožině L, která splňuje následující dvě podmínky: 1. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí(α+β) u)=(α u) (β u), 2. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v). 10. Příklady lineárních prostorů 1. triviální lineární prostor L = { o} 2. reálná čísla s obvyklými operacemi 3. komplexní čísla s obvyklými operacemi 4. polynomy s obvyklými operacemi 5. matice typu(m, n) s obvyklými operacemi 6. aritmetické vektory(uspořádané n-tice reálných čísel) s obvyklými operacemi 7. reálné posloupnosti s obvyklými operacemi 8. reálné funkce definované na reálném intervalu I s obvyklými operacemi 9. množinavázanýchvektorůve 2 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakotutorovinu 10.množinavázanýchvektorůvE 3 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakocelýtento prostor 11. množina kladných reálných čísel s operací definovanou jako součin a operacemi λ definovanými jakoumocněnína λ Příklad Uvažujme množinu reálných funkcí reálné proměnné, které jsou shora omezené číslem 1 a zdola číslem 1. Definujme operace 1. (f g)(x)=max{f(x), g(x)} 2. (λ f)(x)=f(x)pro λ 0,0 fjekonstantnínulováfunkce. Tvoří tato množina s takto definovanými operacemi lineární prostor?
3 Lineární podprostor Lineární podprostor- intuitivně- nějaká podmnožina lineárního prostoru, která je sama také lineárním prostorem,operacenatépodmnožinějsou podoperacemi operacínapůvodnímprostoru.podmínka,aby podmnožinastěmi podoperacemi splňovalaaxiomylin.prostoru,jelehcesplnitelná,protoževlastnostise zachovají.(když mám krabičku plnou černých kostek a z ní jich několik vyberu a přendám do menší krabičky, pak v této menší krabičce jsou také všechny kostky černé.) Problém ale může nastat s operacemi. Neplatí totiž, že když vybereme libovolnou podmnožinu, výsledky všech operací s prvky této podmnožiny(operace jsou definované na celém lin. prostoru) jsou prvky této podmnožiny.(když jsou některé černé kostky ve větší krabičce navzájem spojené provázkem, musím do menší krabičky s každou kostkou přendat i ty, které jsou sníspojené,jinakseporuší struktura.)nutným(azároveňipostačujícím)požadavkemnato,abynějaká (neprázdná) podmnožina lin. prostoru byla lin. podprostorem, je tedy to, aby byla uzavřená na všechny operace. 12.DefiniceNechť Lsoperacemi aλ jelineárníprostor.neprázdnoupodmnožinu L Lnazveme lineárním podprostorem lineárního prostoru L, jestliže 1. provšechnyvektory u, v L platí,že u v L. 2. provšechnareálnáčísla λaprovšechnyvektory u L platí,že λ u L. 13. Příklady lineárních podprostorů 1. polynomy nejvýše n-tého stupně 2. čtvercové matice řádu n komutující s pevně zvolenou maticí A(čtvercovou řádu n) 3. symetrické čtvercové matice řádu n 4. omezené reálné posloupnosti 5. konvergentní(reálné) posloupnosti 6. (reálné) posloupnosti s limitou 0 7. aritmetické posloupnosti 8. geometrické posloupnosti s pevným kvocientem q(pro všechny stejným) 9. omezenéreálnéfunkcena I 10.spojitéreálnéfunkcena I 11. n-krát diferencovatelné reálné funkce 12.přímkaneborovinavE 3,přímkavE Lineárními podprostory nejsou např. tyto podmnožiny lin. prostorů 1. polynomystupněprávě n,kde n N(nulovýpolynommástupeň 1). 2. aritmeticképosloupnostispevnoudiferencí d R \ {0} 3. všechny geometrické posloupnosti(se všemi možnými kvocienty) 4. posloupnostislimitou l R \ {0} 5. reálné posloupnosti omezené shora číslem VětaNechť V a Wjsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom V Wjeopětlineární podprostor lineárního prostoru L. 15. Poznámka Sjednocení lineárních podprostorů téhož lineárního prostoru naproti tomu nemusí být lineární podprostor.
4 Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost vektorů 16.ÚmluvaOperacesvektoryužnebudeme kroužkovat.asociativitasčítánívektorů(vlastnost2.)nám dovolujenepsatzávorkypřisčítánívícevektorů.místo( u+ v)+ wa u+( v+ w)budemestručnějipsát u+ v+ w. 17.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, u 1, u 2,..., u n L, α 1, α 2,...,α n R.Vektor n α 1 u 1 + α 2 u α n u n = α i u i nazvemelineárníkombinacívektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2..., α n. 18.DefiniceLineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemenulovou,jestliže je rovna nulovému vektoru, tedy i=1 α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o. Lineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemetriviální,jestližejsouvšechny koeficientytétokombinacerovnynule,tedy α i =0provšechna i {1,2,..., n}.vopačnémpřípadě,když je aspoň jeden koeficient nenulový, ji nazveme netriviální. 19. Poznámka Triviální lineární kombinace je zřejmě nulová(součtem konečně mnoha nulových vektorů musí být nulový vektor). Naopak to neplatí. Pro některé vektory lze najít jejich netriviální lineární kombinaci, která se rovná nulovému vektoru(je nulová). 20. DefiniceŘekneme,ževektory u 1, u 2,..., u n jsoulineárnězávislé,jestližeexistujejejichnetriviální nulová kombinace. V opačném případě, tedy když existuje jediná nulová lineární kombinace těchto vektorů (totiž triviální), nazveme tyto vektory lineárně nezávislé. 21.PoznámkaVpředchozídefinicijsmepoužilispojení vektoryjsoulineárnězávislé,resp. vektoryjsou lineárněnezávislé,cožmůževéstkurčitýmnejasnostem. 1. lineární závislost a nezávislost je vždy vlastnost celého souboru vektorů(třeba i jednoprvkového), ne jednotlivých vektorů z tohoto souboru. Pokud je soubor jednoprvkový, je to samozřejmě vlastnost toho jediného vektoru, zřejmě je vektor lineárně závislý pouze v případě, že je nulový. Každý nenulový vektor je lineárně nezávislý. Dva nenulové vektory mohou být lineárně závislé i lineárně nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé, musí být jeden z nich násobkem(i nulovým) druhého. 2. Mezivektory u 1, u 2,..., u n mohoubýtněkteréshodné.budemeještědefinovattutovlastnostpro množiny vektorů, tam nic takového nastat nemůže, prvky množiny jsou navzájem různé. Někdy ale dostaneme soubor(dr. Olšák to nazývá skupina) vektorů jako výsledek něčeho(operace, zobrazení,...) nebo třeba vyšetřujeme řádky či sloupce matice a v tom případě mohou být některé vektory souboru stejné. Proto se užívá tato definice. 3. Pokud jsou v souboru nějaké vektory stejné, jsou zřejmě vektory souboru(všechny) lineárně závislé. Také se říká, že tento soubor je lineárně závislý. Analogicky- pokud některý z vektorů je nulový, jsou vektory lineárně závislé. 22.PozorováníNechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárnězávisléa v L.Potom jsouvektory v, u 1, u 2,..., u n takélineárnězávislé. Nechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárněnezávislé,potomjsoulineárněnezávislétaké vektory u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n,kde i {1,2,..., n}. 23.VětaVektory u 1, u 2,..., u n, n 2lineárníhoprostoru Ljsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžaspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. 24.PoznámkaAnalogickymůžemeříci,ževektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Ljsoulineárněnezávislé právě tehdy, když žádný z nich není lineární kombinací ostatních. 25. Definice Řekneme, že neprázdná konečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže existuje netriviální nulová lineární kombinace vektorů z této množiny. V opačném případě řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Nekonečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže nějaká její neprázdná konečná podmnožina je lineárně závislá. V opačném případě(tedy když každá její neprázdná konečná podmnožina je lineárně nezávislá) řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Prázdnou množinu vektorů vždy považujeme za lineárně nezávislou.
5 Lineární obal, množina generátorů, báze 26.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Lineárnímobalemmnožiny M(značíme M )nazveme množinu všech lineárních kombinací konečného počtu vektorů z M, tedy { n } M = α i u i ; n N, α i R, u i M. i=1 27. Poznámka Pokud je množina M konečná, je jejím lineárním obalem množina všech lineárních kombinací vektorůzm,tedy u 1, u 2,..., u n ={α 1 u 1 + α 2 u α n u n ; α 1, α 2,..., α n R}. 28. Pozorování Nechť L je lineární prostor, M L. Potom 1. M M L. 2. M = M 29.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, M, P L. 1. Jestliže M P( L),potom M P L. 2. Jestliže M P M,potom M = P. 3. M P právětehdy,když M P. 30. Tvrzení Lineární obal neprázdné množiny M L je lineárním podprostorem lineárního prostoru L. 31.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom Mjelineárnímpodprostoremlineárníhoprostoru Lprávětehdy,když M= M. 32.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jeprůnikemmnožinyvšechpodprostorů W prostoru L,kteréobsahují M. 33. Poznámka Někdy se lineární obal definuje právě tímto způsobem. Lineárním obalem prázdné množiny je pak triviální prostor { o}. 34.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jenejmenším(vesmysluinkluse)lineárním podprostorem lineárního prostoru L, který obsahuje množinu M. 35.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, v 1, v 2,..., v n L, α R \ {0}, β R. 1. v 1, v 2,..., v n = α v 1, v 2,..., v n. 2. v 1, v 2,..., v n = v 1, v 2 + β v 1,..., v n. 36.TvrzeníNechťjemnožinaMlineárněnezávisláa vneležív M.Potomjemnožina M { v}také lineárně nezávislá. 37. Tvrzení Množina M je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro všechny její vlastní podmnožiny K platí,že K jevlastnípodmnožinou M. 38.DefiniceNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Spojenímlineárních podprostorů L 1 a L 2 nazvemelineárníobaljejichsjednocení,tedy L 1 L 2 = L 1 L 2 39.TvrzeníNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom L 1 L 2 = { u 1 + u 2 ; u 1 L 1, u 2 L 2 }
6 40. Příklady 1. Nechť Lje lineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P. Spojením dvou různoběžných přímek procházejících bodem P (chápaných jako podprostory prostoru L) je rovina těmito přímkami proložená. Spojením přímky p a roviny, které obě procházejí bodem P,jecelýprostorvpřípadě,že pneležíve,vopačnémpřípadějespojenímrovina.spojenímdvou různých rovin procházejících bodem P je celý prostor L. 2. Spojenímpodprostorů W 1 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1) a W 2 = (2, 2,1,0),( 2,3, 1,1) (podprostory R 4 )jepodprostor(v R 4 ) W 1 W 2 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1),(2, 2,1,0),( 2,3, 1,1). 41. Definice Nechť L je lineární prostor, M L. Řekneme, že M je množinou generátorů lineárního prostoru L,jestliže M =L.Říkámetaké,žemnožina Mgenerujelineárníprostor L. 42. Tvrzení Podmnožina M lineárního prostoru L je množinou generátorů tohoto prostoru právě tehdy, kdyžkaždývektorzljelineárníkombinacívektorůzm. 43.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Řekneme,že Mjebázelineárníhoprostoru L,jestliže 1. M generuje lineární prostor L 2. M je lineárně nezávislá množina 44. Tvrzení Každý netriviální lineární prostor má bázi. Důkaz- používá Zornovo lemma. Pro konečně generované prostory dokážeme později. 45. Poznámka Pokud definujeme = { o}, má triviální prostor bázi. Lineární množiny 46. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární množinou určenou vektorem v L a podprostorem W nazveme množinu v+ W= { v+ w; w W }. 47.PoznámkaLineárnímnožinu v+ Wsimůžemepředstavitjakopodprostor W posunutý ovektor v. 48.TvrzeníNechť Ljelineárníprostor, Wjehopodprostor, v 1, v 2 L.Potomplatí: 1. Prokaždývektor v Lje v v+ W. 2. Jestližeje v 1 v 2 + W,potom v 1 + W= v 2 + W. 3. Lineárnímnožiny v 1 + Wa v 2 + Wsebuďrovnajínebojsoudisjunktní(majíprázdnýprůnik). 4. Rovnost v 1 + W= v 2 + Wplatíprávětehdy,když v 1 v 2 W. 5. Lineárnímnožina v+ Wjeurčenavektorem v(apodprostorem W). 6. Lineární prostor L je disjunktním sjednocením lineárních podmnožin určených(libovolným) pevně zvoleným podprostorem W. 49. Příklady 1. Nechť Ljelineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P, Wje podprostortvořenývšemivektory,kteréležínapřímce pprocházejícíbodem P.Prokaždývektor v L je lineární množina v + W tvořena všemi vektory, jejichž vrcholy leží na přímce q, která je rovnoběžná s p a prochází vrcholem vektoru v. Celý prostor V je disjunktním sjednocením všech podprostorů určených podprostorem W. 2. Nechť L je lineární prostor všech polynomů nejvýše n-tého stupně a W je lineární podprostor polynomů nejvýše n-tého stupně, které mají nulový absolutní člen. Lineární množina určená pevně zvoleným polynomem P Lapodprostorem WjetvořenavšemipolynomyzL,kterémajístejnýabsolutníčlen jakopolynom P.
7 50. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Na množině všech lineárních množin určených podprostorem W můžeme definovat sčítání a násobení skalárem takto: 1. pro u, v Ldefinujeme( u+w) ( v+ W)=( u+ v)+w. 2. pro u L, α Rdefinujeme α ( v+ W)=(α v)+w. Operace jsou definovány korektně(ověřit). 51. Tvrzení Množina všech lineárních množin určených podprostorem W s takto definovanými operacemi splňuje axiomy lineárního prostoru. 52. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární prostor všech lineárních množin určených podprostorem W se nazývá faktorový prostor lineárního prostoru L podle podprostoru W.
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Více(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Více[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 14.10.2016: 1/13 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceLineární algebra : Úvod a opakování
Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceBáze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více9. Vektorové prostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 9. Vektorové prostory Vektor je kterýkoliv prvek některého vektorového prostoru.
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VícePolynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
Více