Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem"

Transkript

1 Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem P(třeba(0,0),resp.(0,0,0)),sčítáníanásobení reálným číslem 1.DefiniceNechť Ljeneprázdnámnožina,nakteréjedefinovánajednabinárníoperace aprokaždé reálné číslo λ unární operace λ, a nechť jsou splněny následující podmínky 1. (komutativitaoperace )prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí u v= v u, 2. (asociativitaoperace )prokaždétřiprvky u, v, wzmnožiny Lplatí ( u v) w= u ( v w), 3. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u, 4. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α+β) u=(α u) (β u), 5. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 6. pro libovolný prvek u z množiny L platí 1 u= u, 7. prokaždédvaprvky u, vzmnožiny Lplatí 0 u=0 v (= o...nulovýprvek). Takovouto strukturu nazýváme lineární(nebo také vektorový) prostor nad tělesem reálných čísel. 2. Poznámka Lineární prostor můžeme obecně definovat nad každým komutativním tělesem. 3. Definice Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory, reálným číslům(tj. prvkům tělesa) říkáme skaláry. 4. Poznámka Někdy se v definici lineárního prostoru místo 7. axiomu uvádějí tyto dva axiomy 7.a)Existujevektor o Ltakový,žeprovšechnyvektory u Lje o u= u.(existencenulovéhoprvku) 7.b)Kekaždémuvektoru u Lexistujevektor u Ltakový,že u ( u)= o(exist.opačnýchprvků) 5.TvrzeníPodmínky1.až7.jsouekvivalentníspodmínkami1.až6.,7.a),7.b). 6. Poznámka Díky vlastnosti 7.b) můžeme definovat odčítání vektorů jako přičítání opačného vektoru, tedy pro každé dva vektory u, v z množiny L definujeme u v= u ( v). 7. Poznámka Pokud v definici lineárního prostoru odhlédneme od operace násobení skalárem a uvažujeme jen neprázdnou množinu L s operací, která splňuje podmínky 1., 2., 7.a), 7.b), získáme komutativní grupu.

2 8. Pozorování Další vlastnosti: 1. pro libovolné reálné číslo α platí α o= o, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí (α β) u=(α u) (β u), 3. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v), 9. Poznámka V definici lineárního prostoru jsme pro každé reálné číslo λ uvažovali unární operaci λ. Místotěchtooperacíjemožnézavéstzobrazení :R L L(Olšák).Takovémuzobrazeníseříkáakce na množině. Přesněji: Nechť(G, ) je monoid(neprázdná množina s jednou binární operací, která je asociativní a má jednotkovýprvek).akcímonoidugnamnožinělnazývámezobrazení :G L L,kterésplňuje 1. prolibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí1 u= u, 2. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí α (β u)=(α β) u. Reálná čísla s operací násobení jsou určitě monoidem. Přihlédneme-li k předchozí poznámce, můžeme lineární prostornadtělesemreálnýchčíseldefinovatjakokomutativnígrupu(l, )sakcí tělesa Rnamnožině L, která splňuje následující dvě podmínky: 1. prokaždádvěreálnáčísla α, βalibovolnýprvek uzmnožiny Lplatí(α+β) u)=(α u) (β u), 2. prokaždéreálnéčíslo αakaždédvaprvky u, vzlplatí α ( u v)=(α u) (α v). 10. Příklady lineárních prostorů 1. triviální lineární prostor L = { o} 2. reálná čísla s obvyklými operacemi 3. komplexní čísla s obvyklými operacemi 4. polynomy s obvyklými operacemi 5. matice typu(m, n) s obvyklými operacemi 6. aritmetické vektory(uspořádané n-tice reálných čísel) s obvyklými operacemi 7. reálné posloupnosti s obvyklými operacemi 8. reálné funkce definované na reálném intervalu I s obvyklými operacemi 9. množinavázanýchvektorůve 2 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakotutorovinu 10.množinavázanýchvektorůvE 3 spočátkemvpevnězvolenémbodě P,můžemechápatjakocelýtento prostor 11. množina kladných reálných čísel s operací definovanou jako součin a operacemi λ definovanými jakoumocněnína λ Příklad Uvažujme množinu reálných funkcí reálné proměnné, které jsou shora omezené číslem 1 a zdola číslem 1. Definujme operace 1. (f g)(x)=max{f(x), g(x)} 2. (λ f)(x)=f(x)pro λ 0,0 fjekonstantnínulováfunkce. Tvoří tato množina s takto definovanými operacemi lineární prostor?

3 Lineární podprostor Lineární podprostor- intuitivně- nějaká podmnožina lineárního prostoru, která je sama také lineárním prostorem,operacenatépodmnožinějsou podoperacemi operacínapůvodnímprostoru.podmínka,aby podmnožinastěmi podoperacemi splňovalaaxiomylin.prostoru,jelehcesplnitelná,protoževlastnostise zachovají.(když mám krabičku plnou černých kostek a z ní jich několik vyberu a přendám do menší krabičky, pak v této menší krabičce jsou také všechny kostky černé.) Problém ale může nastat s operacemi. Neplatí totiž, že když vybereme libovolnou podmnožinu, výsledky všech operací s prvky této podmnožiny(operace jsou definované na celém lin. prostoru) jsou prvky této podmnožiny.(když jsou některé černé kostky ve větší krabičce navzájem spojené provázkem, musím do menší krabičky s každou kostkou přendat i ty, které jsou sníspojené,jinakseporuší struktura.)nutným(azároveňipostačujícím)požadavkemnato,abynějaká (neprázdná) podmnožina lin. prostoru byla lin. podprostorem, je tedy to, aby byla uzavřená na všechny operace. 12.DefiniceNechť Lsoperacemi aλ jelineárníprostor.neprázdnoupodmnožinu L Lnazveme lineárním podprostorem lineárního prostoru L, jestliže 1. provšechnyvektory u, v L platí,že u v L. 2. provšechnareálnáčísla λaprovšechnyvektory u L platí,že λ u L. 13. Příklady lineárních podprostorů 1. polynomy nejvýše n-tého stupně 2. čtvercové matice řádu n komutující s pevně zvolenou maticí A(čtvercovou řádu n) 3. symetrické čtvercové matice řádu n 4. omezené reálné posloupnosti 5. konvergentní(reálné) posloupnosti 6. (reálné) posloupnosti s limitou 0 7. aritmetické posloupnosti 8. geometrické posloupnosti s pevným kvocientem q(pro všechny stejným) 9. omezenéreálnéfunkcena I 10.spojitéreálnéfunkcena I 11. n-krát diferencovatelné reálné funkce 12.přímkaneborovinavE 3,přímkavE Lineárními podprostory nejsou např. tyto podmnožiny lin. prostorů 1. polynomystupněprávě n,kde n N(nulovýpolynommástupeň 1). 2. aritmeticképosloupnostispevnoudiferencí d R \ {0} 3. všechny geometrické posloupnosti(se všemi možnými kvocienty) 4. posloupnostislimitou l R \ {0} 5. reálné posloupnosti omezené shora číslem VětaNechť V a Wjsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom V Wjeopětlineární podprostor lineárního prostoru L. 15. Poznámka Sjednocení lineárních podprostorů téhož lineárního prostoru naproti tomu nemusí být lineární podprostor.

4 Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost vektorů 16.ÚmluvaOperacesvektoryužnebudeme kroužkovat.asociativitasčítánívektorů(vlastnost2.)nám dovolujenepsatzávorkypřisčítánívícevektorů.místo( u+ v)+ wa u+( v+ w)budemestručnějipsát u+ v+ w. 17.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, u 1, u 2,..., u n L, α 1, α 2,...,α n R.Vektor n α 1 u 1 + α 2 u α n u n = α i u i nazvemelineárníkombinacívektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2..., α n. 18.DefiniceLineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemenulovou,jestliže je rovna nulovému vektoru, tedy i=1 α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o. Lineárníkombinacivektorů u 1, u 2,..., u n skoeficienty α 1, α 2,..., α n nazvemetriviální,jestližejsouvšechny koeficientytétokombinacerovnynule,tedy α i =0provšechna i {1,2,..., n}.vopačnémpřípadě,když je aspoň jeden koeficient nenulový, ji nazveme netriviální. 19. Poznámka Triviální lineární kombinace je zřejmě nulová(součtem konečně mnoha nulových vektorů musí být nulový vektor). Naopak to neplatí. Pro některé vektory lze najít jejich netriviální lineární kombinaci, která se rovná nulovému vektoru(je nulová). 20. DefiniceŘekneme,ževektory u 1, u 2,..., u n jsoulineárnězávislé,jestližeexistujejejichnetriviální nulová kombinace. V opačném případě, tedy když existuje jediná nulová lineární kombinace těchto vektorů (totiž triviální), nazveme tyto vektory lineárně nezávislé. 21.PoznámkaVpředchozídefinicijsmepoužilispojení vektoryjsoulineárnězávislé,resp. vektoryjsou lineárněnezávislé,cožmůževéstkurčitýmnejasnostem. 1. lineární závislost a nezávislost je vždy vlastnost celého souboru vektorů(třeba i jednoprvkového), ne jednotlivých vektorů z tohoto souboru. Pokud je soubor jednoprvkový, je to samozřejmě vlastnost toho jediného vektoru, zřejmě je vektor lineárně závislý pouze v případě, že je nulový. Každý nenulový vektor je lineárně nezávislý. Dva nenulové vektory mohou být lineárně závislé i lineárně nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé, musí být jeden z nich násobkem(i nulovým) druhého. 2. Mezivektory u 1, u 2,..., u n mohoubýtněkteréshodné.budemeještědefinovattutovlastnostpro množiny vektorů, tam nic takového nastat nemůže, prvky množiny jsou navzájem různé. Někdy ale dostaneme soubor(dr. Olšák to nazývá skupina) vektorů jako výsledek něčeho(operace, zobrazení,...) nebo třeba vyšetřujeme řádky či sloupce matice a v tom případě mohou být některé vektory souboru stejné. Proto se užívá tato definice. 3. Pokud jsou v souboru nějaké vektory stejné, jsou zřejmě vektory souboru(všechny) lineárně závislé. Také se říká, že tento soubor je lineárně závislý. Analogicky- pokud některý z vektorů je nulový, jsou vektory lineárně závislé. 22.PozorováníNechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárnězávisléa v L.Potom jsouvektory v, u 1, u 2,..., u n takélineárnězávislé. Nechťjsouvektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Llineárněnezávislé,potomjsoulineárněnezávislétaké vektory u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n,kde i {1,2,..., n}. 23.VětaVektory u 1, u 2,..., u n, n 2lineárníhoprostoru Ljsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžaspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. 24.PoznámkaAnalogickymůžemeříci,ževektory u 1, u 2,..., u n lineárníhoprostoru Ljsoulineárněnezávislé právě tehdy, když žádný z nich není lineární kombinací ostatních. 25. Definice Řekneme, že neprázdná konečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže existuje netriviální nulová lineární kombinace vektorů z této množiny. V opačném případě řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Nekonečná množina M vektorů z lineárního prostoru L je lineárně závislá, jestliže nějaká její neprázdná konečná podmnožina je lineárně závislá. V opačném případě(tedy když každá její neprázdná konečná podmnožina je lineárně nezávislá) řekneme, že je tato množina lineárně nezávislá. Prázdnou množinu vektorů vždy považujeme za lineárně nezávislou.

5 Lineární obal, množina generátorů, báze 26.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Lineárnímobalemmnožiny M(značíme M )nazveme množinu všech lineárních kombinací konečného počtu vektorů z M, tedy { n } M = α i u i ; n N, α i R, u i M. i=1 27. Poznámka Pokud je množina M konečná, je jejím lineárním obalem množina všech lineárních kombinací vektorůzm,tedy u 1, u 2,..., u n ={α 1 u 1 + α 2 u α n u n ; α 1, α 2,..., α n R}. 28. Pozorování Nechť L je lineární prostor, M L. Potom 1. M M L. 2. M = M 29.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, M, P L. 1. Jestliže M P( L),potom M P L. 2. Jestliže M P M,potom M = P. 3. M P právětehdy,když M P. 30. Tvrzení Lineární obal neprázdné množiny M L je lineárním podprostorem lineárního prostoru L. 31.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom Mjelineárnímpodprostoremlineárníhoprostoru Lprávětehdy,když M= M. 32.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jeprůnikemmnožinyvšechpodprostorů W prostoru L,kteréobsahují M. 33. Poznámka Někdy se lineární obal definuje právě tímto způsobem. Lineárním obalem prázdné množiny je pak triviální prostor { o}. 34.VětaNechť Ljelineárníprostor, M L.Potom M jenejmenším(vesmysluinkluse)lineárním podprostorem lineárního prostoru L, který obsahuje množinu M. 35.PozorováníNechť Ljelineárníprostor, v 1, v 2,..., v n L, α R \ {0}, β R. 1. v 1, v 2,..., v n = α v 1, v 2,..., v n. 2. v 1, v 2,..., v n = v 1, v 2 + β v 1,..., v n. 36.TvrzeníNechťjemnožinaMlineárněnezávisláa vneležív M.Potomjemnožina M { v}také lineárně nezávislá. 37. Tvrzení Množina M je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro všechny její vlastní podmnožiny K platí,že K jevlastnípodmnožinou M. 38.DefiniceNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Spojenímlineárních podprostorů L 1 a L 2 nazvemelineárníobaljejichsjednocení,tedy L 1 L 2 = L 1 L 2 39.TvrzeníNechť L 1 a L 2 jsoulineárnípodprostorytéhožlineárníhoprostoru L.Potom L 1 L 2 = { u 1 + u 2 ; u 1 L 1, u 2 L 2 }

6 40. Příklady 1. Nechť Lje lineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P. Spojením dvou různoběžných přímek procházejících bodem P (chápaných jako podprostory prostoru L) je rovina těmito přímkami proložená. Spojením přímky p a roviny, které obě procházejí bodem P,jecelýprostorvpřípadě,že pneležíve,vopačnémpřípadějespojenímrovina.spojenímdvou různých rovin procházejících bodem P je celý prostor L. 2. Spojenímpodprostorů W 1 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1) a W 2 = (2, 2,1,0),( 2,3, 1,1) (podprostory R 4 )jepodprostor(v R 4 ) W 1 W 2 = (1,2,3,4),(2,1,0, 1),(2, 2,1,0),( 2,3, 1,1). 41. Definice Nechť L je lineární prostor, M L. Řekneme, že M je množinou generátorů lineárního prostoru L,jestliže M =L.Říkámetaké,žemnožina Mgenerujelineárníprostor L. 42. Tvrzení Podmnožina M lineárního prostoru L je množinou generátorů tohoto prostoru právě tehdy, kdyžkaždývektorzljelineárníkombinacívektorůzm. 43.DefiniceNechť Ljelineárníprostor, M L.Řekneme,že Mjebázelineárníhoprostoru L,jestliže 1. M generuje lineární prostor L 2. M je lineárně nezávislá množina 44. Tvrzení Každý netriviální lineární prostor má bázi. Důkaz- používá Zornovo lemma. Pro konečně generované prostory dokážeme později. 45. Poznámka Pokud definujeme = { o}, má triviální prostor bázi. Lineární množiny 46. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární množinou určenou vektorem v L a podprostorem W nazveme množinu v+ W= { v+ w; w W }. 47.PoznámkaLineárnímnožinu v+ Wsimůžemepředstavitjakopodprostor W posunutý ovektor v. 48.TvrzeníNechť Ljelineárníprostor, Wjehopodprostor, v 1, v 2 L.Potomplatí: 1. Prokaždývektor v Lje v v+ W. 2. Jestližeje v 1 v 2 + W,potom v 1 + W= v 2 + W. 3. Lineárnímnožiny v 1 + Wa v 2 + Wsebuďrovnajínebojsoudisjunktní(majíprázdnýprůnik). 4. Rovnost v 1 + W= v 2 + Wplatíprávětehdy,když v 1 v 2 W. 5. Lineárnímnožina v+ Wjeurčenavektorem v(apodprostorem W). 6. Lineární prostor L je disjunktním sjednocením lineárních podmnožin určených(libovolným) pevně zvoleným podprostorem W. 49. Příklady 1. Nechť Ljelineárníprostorvázanýchvektorůvprostoru,kterémajíspolečnýpočátekvbodě P, Wje podprostortvořenývšemivektory,kteréležínapřímce pprocházejícíbodem P.Prokaždývektor v L je lineární množina v + W tvořena všemi vektory, jejichž vrcholy leží na přímce q, která je rovnoběžná s p a prochází vrcholem vektoru v. Celý prostor V je disjunktním sjednocením všech podprostorů určených podprostorem W. 2. Nechť L je lineární prostor všech polynomů nejvýše n-tého stupně a W je lineární podprostor polynomů nejvýše n-tého stupně, které mají nulový absolutní člen. Lineární množina určená pevně zvoleným polynomem P Lapodprostorem WjetvořenavšemipolynomyzL,kterémajístejnýabsolutníčlen jakopolynom P.

7 50. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Na množině všech lineárních množin určených podprostorem W můžeme definovat sčítání a násobení skalárem takto: 1. pro u, v Ldefinujeme( u+w) ( v+ W)=( u+ v)+w. 2. pro u L, α Rdefinujeme α ( v+ W)=(α v)+w. Operace jsou definovány korektně(ověřit). 51. Tvrzení Množina všech lineárních množin určených podprostorem W s takto definovanými operacemi splňuje axiomy lineárního prostoru. 52. Definice Nechť L je lineární prostor, W jeho podprostor. Lineární prostor všech lineárních množin určených podprostorem W se nazývá faktorový prostor lineárního prostoru L podle podprostoru W.

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 14.10.2016: 1/13 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

10. Vektorové podprostory

10. Vektorové podprostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

1 Připomenutí vybraných pojmů

1 Připomenutí vybraných pojmů 1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

9. Vektorové prostory

9. Vektorové prostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 9. Vektorové prostory Vektor je kterýkoliv prvek některého vektorového prostoru.

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla

Více

10 Přednáška ze

10 Přednáška ze 10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Co je to univerzální algebra?

Co je to univerzální algebra? Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více