Řešení úloh 1. kola 50. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autořiúloh:J.Jírů(2,3,4,5,6),M.Jarešová,I.Volf(1),V.Vícha(7) 1.a) Dráha s 1,nakterésecyklistarozjíždí,jedánavztahem s 1 1 2 v1t11 2 24 3,6 60m200m. b) Dobajízdycyklistyrovnoměrnýmpohybemje t 2 s2 1000 s150s. v 1 24 3,6 c) Dráhacyklistyvetřetímúsekuje s 32700m s 1 s 21500m.Protuto dráhuplatívztah s 1 3 (v1+ v2)t3,zčehož 2 ( v 2 2s3 2 1500 v 1 24 ) m s 1 4,44m s 1 16km h 1. t 3 270 3,6 Jelikož v 2 < v 1, cyklistajelprotivětrurovnoměrnězpomalenýmpohybem. d) V posledním úseku svého pohybu se cyklista pohyboval se zrychlením o velikosti a 4 v2 2 2s 4 4,442 2 300 m s 2 0,033m s 2. Dobajízdyvtomtoposlednímúsekubyla t 4 2s4 v 2 2 300 4,44 s135s. e) Průměrnárychlostcyklisty v pjedánavztahem s1+ s2+ s3+ s4 v p 3000 t 1+ t 2+ t 3+ t 4 615 m s 1 4,88m s 1 17,6km h 1. f) Graf závislosti rychlosti na čase je znázorněn na obr. R1. 6,67 v m s 1 4,44 Obr. R1 0 60 210 480 615 t s 1
2.a) Délkakruhovéhoobloukupůlkružniceje l pr. Zrovniceplynepropoloměr oblouku 1. dráhy r l 1 p 100 p m31,83m. Poloměr oblouku 8. dráhy je Délka8.dráhyje r 8 r 1+7 1,22m40,37m. s 8200m+2pr 8453,66m. b) Rychlostběžceje v s t 400 46,5 m s 1 8,60m s 1. Úhlové rychlosti běžců jsou ω 1 v r 1 8,60 31,83 rad s 1 0,270rad s 1, ω 8 v r 8 8,60 40,37 rad s 1 0,213rad s 1. c) Na běžce v jeho vztažné soustavě působí tíhová síla a setrvačná odstředivá síla. Vektorová přímka jejich výslednice protíná dráhu ve stopě běžce. Platí: tg α 1 Fs mr1ω2 1 r1ω2 1 F G mg g tg α 2 r8ω2 8 g 40,37 0,2132 9,81 31,83 0,2702 9,81, α 810,6., α 113,3, 4body 3.a) Vprvnímpřípaděseštěrksypepodobu t 1 l/v 1 10s.Sílaprvnílokomotivy působící na vagon při konstantní rychlosti způsobuje urychlování štěrku ve vodorovném směru z nulové rychlosti na rychlost vagonu, její velikost je F p v1 1 m 3000N t t a při průjezdu pod násypkou se nemění. Obdobně v druhém případě působí lokomotivasilouovelikosti2000npodobu15s. 2
F N 3000 2000 1000 Obr. R2 0 5 10 15 t s b) Obsah plochy pod grafem prvního pohybu je 3000N 10s30000kg m s 1, obsah plochy pod grafem druhého pohybu je 2000N 15s30000kg m s 1. Obsahy se tedy rovnají a udávají velikosti hybností štěrku získaných ve vodorovném směru. c) Přírůstek kinetické energie první lokomotivy s vagonem je roven kinetické energii štěrku na korbě E k1 1 2 m1v2 1 1 2 m t t1 v2 118kJ. Prvnílokomotivavykonalapráci W 1F 1l36kJ. Obdobnědostanemepro druhoulokomotivuhodnoty E k2 12kJ, W 224kJ. Práce lokomotivy se spotřebovala na uvedení nákladu do pohybu vzhledem k zemi a na přírůstek vnitřní energie korby a štěrku, který vznikl, když třecí síla mezi štěrkem a vagonem způsobila uvedení štěrku do klidu vzhledem k vagonu. Poznámka: Obecně lze dokázat, že z práce vykonané lokomotivou se právě polovina spotřebuje na kinetickou energii štěrku a zbývající polovina se přemění na nemechanickou formu energie na vnitřní energii, která se projeví zahřátím třecích ploch: W Fl m v t v t m v 2 2 1 2 m v2 2 E k. d) Výkonprvnílokomotivyje P 1 F 1v 1 W1 t 1 3,6kW, obdobněvýkondruhélokomotivyje P 21,6kW. 3
4. a) Označme m hmotnost každého z vagonů. Složka tíhové síly každého vagonu ve směru nakloněné roviny má velikost F 1 mgsin α, složka tíhové síly každého vagonu působící kolmo na nakloněnou rovinu má velikost F 2 mgcos α. Velikost zrychlení nezabrzděné soupravy je a NF1 Nm mgsin α m gsin α0,34m s 2. b) Velikost třecí síly působící na každý vagon je Velikost zrychlení soupravy je a 1 NF1 Ft Nm F t ff 2 fmgcos α. Nmgsin α fmgcos α Nm Nsin α fcos α g0,23m s N 2. c) Zpodmínky Nmgsin α Kfmgcos α plyne K Nsin α 3,03, tedyminimálně 4 vagony musí být zabrzděné. fcos α d) Zpodmínky (L+1)mgsin α fmgcos α plyne L fcos α 13,30, tedy sin α k jednomu zabrzděnému vagonu můžeme připojit maximálně 3 vagony. 4
5. a) Maximální výška prvního vrhu je maximální výška druhého vrhu je h 1 ( ) 2 1 2 g t1 1 2 8 gt2 12,8m, h 2 1 2 g ( 2t1 2 ) 2 1 2 gt2 14h 111,0m. b) Rychlost míče rozložíme na vodorovnou složkuvx a svislou složkuvy. Minimální velikostirychlostidosáhnemíčvmaximálnívýšce,kde v y0: v min1 v x1 d t 1 12,0m s 1. Obdobněprodruhývrh v min2 v d x2 1 2t 1 2 vmin16,0m s 1. Maximální velikost má rychlost míče v okamžiku vrhu: v ( ) d 2 ( ) 2 max1 vx1 2 + v2 y1 + g t1 14,1m s t 1 2 1, v ( ) d 2 ( max2 vx2 2 + v2 y2 + g 2t1 2t 1 2 ) 2 ( d 2t 1 ) 2 +(gt 1) 2 15,9m s 1. 4body g t1 c) Vokamžikuvrhuplatí: tg α 1 vy1 2 gt 2 1 v x1 d 2d, α132, t 1 tg α 2 vy2 v x2 g 2t1 2 2gt 2 1 d d, α268. 2t 1 d) Práce je rovna kinetické energii míče v okamžiku vrhu: [ ( W 1 1 2 mv2 max1 1 ) d 2 ( ) 2 ] 2 m + g t1 30J, t 1 2 [ ( W 1 2 2 mv2 max2 1 ) d 2 ] 2 m +(gt 2t 1) 2 38J. 1 5
m 6.a) m v(v 0 V 1) v. b) Provoduopokojovéteplotěvrozmezí19 Caž23 Clzepoužítpodletabulek spřesnostína3platnéčíslicehodnotu v0,998g cm 3. c) Ukázka výsledků pro pivní lahve dvou typů: Láhev m V 0 V 1 g cm 3 cm 3 g cm 3 typ I, č. 1 374,6 522 295 2,53 typ I, č. 2 380,5 522 290 2,55 typ I, č. 3 377,0 523 295 2,52 typ II, č. 1 322,1 523 325 2,58 typ II, č. 2 323,0 522 325 2,55 typ II, č. 3 327,2 524 325 2,54 Zprovedených6měřeníjsmeurčilistředníhustotu 2,55g cm 3. 5bodů d) Kměřeníobjemů V 0a V 1bylypoužitydvaodměrnéválcesobjemy500mla100ml sodpovídajícímnejmenšímdílkemstupnice5mla1ml.kezjištěníobjemů V 0 a V 1 bylonutnépoužítdvakrátvětšíválecajednoumenšíválec.považujemeli za maximální přípustnou odchylku měření hodnotu nejmenšího dílku stupnice, dopustili jsme maximální odchylky(5+5+1) ml 11 ml. Hodnota rozdílu objemů V 0 V 1,kterávystupujevevzorci,sepohybujevrozmezí197až232ml,tedyhorní hranicí relativní odchylky měření je hodnota 11 197 100%6% Hmotnost byla určena technickými vahami s průměrnou odchylkou 0,1 g, což při navážených hmotnostech odpovídá relativní odchylce kolem 0,03%. Vzhledem k relativní odchylce při měření objemu je tato odchylka zanedbatelná. S přesností měření též souvisí nutnost důkladného přelévání kapaliny z láhve a přesnost při stanovení polohy plovoucí či vznášející se láhve. Vezmeme-li chyby při měření objemu jako rozhodující, dostáváme konečný výsledek určení hustoty skla pivních lahví δ 0,06, 2,55(1 ±0,06) g cm 3 (2,55 ±0,15) g cm 3. Vyloučíme-li možnost systematické chyby měření(např. tím, že láhev při plování nepatrně vyčnívala nad hladinu), dostáváme při statistickém zpracování získaných výsledkůhustotuskla (2,55 ±0,02)g cm 3 srelativníodchylkou0,8%.tato střední odchylka je podstatně menší než výše posouzená odchylka maximální. 6
7. Ukázka zpracování videozáznamu je v následujícím grafu: [ P [ W W W V Bodové hodnocení: a) Sestrojení grafu a nalezení regresní funkce jako polynomu druhého stupně 4body b) Protože grafem závislosti souřadnice na čase je parabola, jedná se o rovnoměrně zrychlenýpohyb,projehoždráhuobecněplatí s 1 2 at2 + v 0t+s 0. Vporovnánímsnalezenouregresnífunkcíjevidět,žepočátečnírychlost v 0 0,23m s 1 1. Prozrychleníplatí 2 {a}0,16, a0,32m s 2. c) Velikost rychlosti v čase 0,85 s vypočítáme podle vzorce dosazením hodnot počáteční rychlosti a zrychlení z úlohy b). Vyjde v 1(0,234+0,324 0,85)m s 1 0,51m s 1. d) Sestrojenátečnadávápoměr v 1 x 1,12 0 t 2,5 0,22 m s 1 0,49m s 1, což odpovídá výsledku c). Mírně odlišný výsledek je způsoben subjektivní volbou sklonu tečny ke křivce. 7